Đang tải... (xem toàn văn)
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyêndương n, ta thực hiện như sau:• Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.• Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k 1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1.Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n p thì:+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 85 §1. SỐ PHỨC Số tiết : 3LT + 1BT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Khái niệm số phức : • Tập hợp số phức : ℂ • Số phức (dạng ñại số) : z = a + bi (a, b ∈ R, i ñơn vị ảo, i 2 = −1) ; a là phần thực, b là phần ảo của z. • z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0. • z là số ảo ⇔ phần thực của z bằng 0. • Hai số phức bằng nhau : a + bi = c + di ⇔ a c b d = = (a, b, c, d ∈ R) 2. Biểu diễn hình học số phức : Số phức z = a + bi ñược biểu diễn bởi ñiểm M(a ; b) hay bởi vecto u = (a ; b) trong mp tọa ñộ Oxy (mặt phẳng phức). 3. Phép cộng và phép trừ số phức : • (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i. • Số ñối của z = a + bi là −z = −a – bi . • Tính chất : o Kết hợp : (z + z’) + z” = z + (z’ + z”) với mọi z, z’, z” ∈ ℂ . o Giao hoán : z + z’ = z’ + z với mọi z, z’ ∈ ℂ . o Cộng với 0 : z + 0 = 0 + z = z với mọi z ∈ ℂ . • z biểu diễn bởi u , z’ biểu diễn bởi vecto ' u thì : z ± z’ biểu diễn bởi u ± ' u . 4. Phép nhân số phức : • (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i. k là số thực, z biểu diễn bởi vecto u thì kz biểu diễn bởi k u . • Tính chất : o Giao hoán : zz’ = z’z với mọi z, z’ ∈ ℂ . o Kết hợp : (zz’)z” = z(z’z”) với mọi z, z’, z” ∈ ℂ . o Nhân với 1 : 1.z = z.1 = z với mọi z ∈ ℂ . o Phân phối : z(z’ + z”) = zz’ + zz” với mọi z, z’, z” ∈ ℂ . 5. Số phức liên hợp và môñun của số phức : • Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a – bi. Như vậy : z a bi a bi = + = − o ; ' ' ; ' . ' = + = + = z z z z z z zz z z o z là số thực ⇔ z = z ; z là số ảo ⇔ z = − z . • Môñun của số phức z = a + bi là số thực không âm 2 2 . z a b z z OM = + = = o 0, ; 0 0 z z z z ≥ ∀ ∈ = ⇔ = ℂ o ' . ' , ' ' zz z z z z z z = + ≤ + với mọi z, z’ ∈ ℂ . 6. Phép chia cho số phức khác 0 : Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 86 • Số phức nghịch ñảo của z (z ≠ 0) là 1 2 1 z z z − = • Thương của z’ chia cho z (z ≠ 0) : 1 2 ' '. '. '. . z z z z z z z z z z z − = = = • Với z ≠ 0, ' w ' w z z z z = ⇔ = ; ' ' ' ' , z z z z z z z z = = B. MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: a) Số phức z = 2 + 3i có phần thực bằng 2, phần ảo bằng 3. b) Số phức z = −I có phần thực bằng 0, phần ảo bằng −1, ñó là số ảo. Ví dụ 2: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i. Hãy: a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức. b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức. Giải: a) Vecto OM biểu diễn số phức z = 1 + 3i, vecto ' OM biểu diễn số phức z’ = 2 + i b) z + z’ = (2 + 1) + (1 + 3)I = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức bởi vecto OP . z’ – z = (2 – 1) + (1 – 3)i = 1 – 2i, biểu diễn trên mp phức bởi vecto OQ . Ví dụ 3: Tính : (2 – i)(1 + 2i) = (2 + 2) + (4 – 1)i = 4 + 3i. (2 + i)(2 – i) = (4 + 1) + (−2 + 2)i = 5. (2 + i)(1 + 2i) = (2 – 2) + (4 + 1)i = 5i. (bi) 2 = b 2 .i 2 = −b 2 (b ∈R). i 3 = i 2 .i = −i, i 4 = 1, i 5 = i. (1 + i) 3 = 1 + 3i + 3i 2 + i 3 = −2 + 2i. Ví dụ 4: Phân tích z 2 + 4 thành nhân tử. Giải: z 2 + 4 = z 2 − 4i 2 = (z – 2i)(z + 2i). Tông quát nếu a là số thực thì : z 2 + a 2 = (z + ai)(z – ai). Ví dụ 5: Tính : 2 2 3 (3 )(1 ) 2 4 1 2 1 (1 )(1 ) 1 1 i i i i i i i i − − − − = = = − + + − + ( ) 2 2 2 2 2 ( 2 2 )( 2 2 ) ( 2 2 ) 2 4 2 1 2 2 6 3 2 2 ( 2 2 )( 2 2 ) 2 2 i i i i i i i i i + + + + − + − + = = = = − − + + Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn : (1 + 2i)z = 3z – i. Giải: Ta có : (1 + 2i)z = 3z – i ⇔ (−2 + 2i)z = −i ⇔ z = (2 2 ) 2 2 1 1 2 2 2 2 (2 2 )(2 2 ) 8 4 4 i i i i i i i i i i − + − + − = = = = + − + − − + C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : 1. Tự làm. 2. Tự làm. 3. Xác ñịnh các số phức biểu diễn bởi các ñỉnh của một lục giác ñều có tâm là gốc tọa ñộ O trong Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 87 mặt phẳng phức, biết rằng một ñỉnh biểu diễn số i. Giải: Gọi D là ñiểm biểu diễn số i⇒ A biểu diễn số −i. Dễ thấy ñiểm E có tọa ñộ 3 1 os ;sin ; 6 6 2 2 c π π = nên E biểu diễn số phức 3 1 2 2 i + ; C ñối xứng với E qua Oy nên C biểu diễn số phức 3 1 2 2 i − + ; F biểu diễn số phức 3 1 2 2 i − ; B biểu diễn số phức 3 1 2 2 i − − . 4. Thực hiện phép tính : 2 2 1 2 3 2 3 2 3 13 2 3 i i i + + = = − + ; 1 3 1 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 4 4 2 2 i i i + = = + + − 3 2 (3 2 )( ) 2 3 i i i i i − = − − = − − ; 3 4 (3 4 )(4 ) 16 13 4 16 1 17 i i i i i − − + − = = − + 5. Cho z = 1 3 2 2 i − + . Hãy tính : 2 3 2 1 ; ; ; ( ) ; 1 z z z z z z + + . Giải: 2 1 3 1 1 3 2 2 1 3 2 2 . 4 4 i z z i z z z z − − = = = = − − + ; z 2 = 1 3 1 2 2 i z z − − = = 3 2 ( ) .( ) 1 z z z = = ; 1 + z + z 2 = 0. 6. Chứng minh rằng : a) Phần thực của số phức z bằng 1 ( ) 2 z z + , phần ảo của số phức z bằng 1 ( ) 2 z z i − . b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z = − z . c) Với mọi số phức z, z’, ta có ' ' z z z z + = + , ' . ' zz z z = và nếu z ≠ 0 thì ' ' z z z z = . Giải: a) Gọi số phức z = a + bi (a là phần thực, b là phần ảo) ⇒ z = a – bi. ⇒ z + z = 2a ⇒ a = 1 ( ) 2 z z + z - z = 2bi ⇒ b = 1 ( ) 2 z z i − b) z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 ⇔ z + z = 0 ⇔ z = − z . c) Gọi số phức z = a + bi và z’ = c + di .Khi ñó z = a – bi và ' z = c – di. ⇒ z + ' z = (a + c) - (b + d)i, mà z + z’ = (a + c) + (b + d)i⇒ ' z z + = (a + c) - (b + d)i = z + ' z . Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 88 Tương tự cho các ñẳng thức còn lại. 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có : i 4m = 1 ; i 4m+1 = i ; i 4m+2 = −1 ; i 4m+3 = −i. Giải: i 4m = (i 4 ) m = (−1) 2m = 1 m = 1 ; i 4m+1 = i 4m .i = i i 4m+2 = i 4m+1 .i = i.i = −1 ; i 4m+3 = i 4m+2 .i = −i. 8. Chứng minh rằng : a) Nếu vecto u của mp phức biểu diễn số phức z thì ñộ dài của vecto u là u z = , và từ ñó nếu các ñiểm A 1 , A 2 theo thứ tự biểu diễn các số phức z 1 , z 2 thì 1 2 2 1 A A z z = − . b) Với mọi số phức z, z’, ta có . ' . ' z z z z = và khi z ≠ 0 thì ' ' z z z z = . c) Với mọi số phức z, z’, ta có ' ' z z z z + ≤ + . Giải: a) Ta có : z = a + bi ⇒ 2 2 z a b = + , và u biểu diễn số phức z thì u nên ñộ dài vecto u là 2 2 a b + , do ñó u z = . Nếu A 1 , A 2 theo thứ tự biểu diễn z 1 , z 2 thì vecto 1 2 2 1 A A OA OA = − biểu diễn z 2 – z 1 nên 1 2 2 1 A A z z = − (ñpcm). b) Ta cần chứng minh : 2 2 2 . ' . ' z z z z = và với z ≠ 0 thì : 2 2 2 ' ' '. 1 1 '. ' . z z z z z z z z z z z z z = = = = c) Gọi z = a + bi, z’ = c + di ⇒ z + z’ = (a + c) + (b + d)I ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' 2( ) 2 ( )( ) z z a b c d ac bd a b c d a b c d + = + + + + + ≤ + + + + + + = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ' a b c d z z + + + = + ⇒ ' ' z z z z + ≤ + 9. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng ñiều kiện sau: a) z – i = 1 b) 1 z i z i − = + c) 3 4 z z i = − + Giải: Gọi z = a + bi a) ⇒ z - i = a + bi - i = 1 ⇔ a + (b – 1)i = 1 ⇔ a 2 + (b – 1) 2 = 1, Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z là ñường tròn có tâm I(0 ; 1) và bán kính bằng 1. b) 2 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 ( 1) z i a b i a b i a b i a b a b b z i a b i − + − = = ⇔ + − = + + ⇔ + − = + + ⇔ = + + + Vậy z là số thực. c) Ta có : 3 4 z z i = − + ⇔ a + bi = a – bi – 3 + 4i ⇔a + bi = (a – 3) + (4 – b)i ⇔ a 2 + b 2 = (a – 3) 2 + (4 – b) 2 ⇔ 6a + 8b – 25 = 0. Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z là một ñường thẳng. Ti liu Ging dy Toỏn 12 nõng cao Giỏo viờn: Phan Cụng Tr Trng THPT Thanh Bỡnh 2 Thanh Bỡnh ng Thỏp 89 LUYN TP 10. Chng minh rng vi mi s phc z 1, ta cú : 1 + z + z 2 + . . . + z 9 = 10 1 1 z z Gii: Do (1 + z + z 2 + . . . + z 9 )(z 1) = z + z 2 + z 3 +. . . .+z 10 (1 + z + z 2 + . . . + z 9 ) = z 10 1 nờn khi z 1 ta chia hai v cho z 1 thỡ ủc ủng thc cn chng minh. 11. Hi mi s sau ủõy l s thc hay s o (z l s phc tựy ý cho trc sao cho biu thc xỏc ủnh) ? 2 2 2 2 3 3 ( ) ( ) ; ; ( ) 1 . z z z z z z z z z z + + + Gii: Gi z = a + bi z = a bi. 2 2 2 ( ) ( ) 2 . z z z z z z + = + l s thc. Vỡ z + z l s thc v z. z l s thc. z - z l s o v z 3 + ( z ) 3 = (z + z )[(z + z ) 2 3z. z ) l s thc nờn 3 3 ( ) z z z z + l s o. z 2 ( z ) 2 = (z + z )(z - z ) l s o v 1 + z. z l s thc nờn 2 2 ( ) 1 . z z z z + l s o. 12. Xỏc ủnh tp hp cỏc ủim trong mp phc biu din cỏc s phc z tha món tng ủiu kin sau: a) z 2 l s thc õm b) z 2 l s o c) z 2 = ( z ) 2 d) 1 z i l s o. Gii: a) z 2 l s thc õm z l s o. Vy tp hp cỏc ủim biu din s phc z nm trờn trc o (Oy), tr ủim O b) Gi z = a + bi z 2 = a 2 b 2 + 2abi l s o a 2 b 2 = 0 b = a. Vy tp hp cỏc ủim biu din s phc z nm trờn hai ủng phõn giỏc ca cỏc gc ta ủ. c) z 2 = ( z ) 2 (z + z )(z z ) = 0 z + z = 0 ( ) z - z = 0 ( ) truùc thửùc truùc aỷo . Vy tp hp cỏc ủim l cỏc trc ta ủ. d) 1 z i l s o z i l s o x + (y 1)i l s o x = 0 v y 1. Vy tp hp cỏc ủim biu din nm trờn trc Oy (tr ủim cú tung ủ bng 1). 13. Tỡm nghim phc ca cỏc phng trỡnh sau : a) iz + 2 i = 0 b) (2 + 3i)z = z 1 c) (2 i) z - 4 = 0 d) (iz 1)(z + 3i)( z - 2 + 3i) = 0 e) z 2 + 4 = 0. Gii: a) z = 2 1 2 i i i = + b) z = 1 1 3 1 3 10 10 i i = + + c) z = z = 4 8 4 8 4 2 5 5 5 5 i i i = + d) z = i, z = 3i, z = 2 + 3i e) z = 2i. Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 90 14. a) Cho số phức z = x + yi (x, y ∈ R). Khi z ≠ 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z i z i + − . b) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn ñiều kiện z i z i + − là số thực dương. Giải: a) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) [ ( 1) ].[ ( 1) ] 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) + + + + + − − + − = = = + − + − + − + − + − z i x y i x y i x y i x y x i z i x y i x y x y x y Vậy phần thực là 2 2 2 2 1 ( 1) x y x y + − + − và phần ảo là 2 2 2 ( 1) x x y+ − b) z i z i + − là số thực dương ⇔ 2 2 2 ( 1) x x y+ − = 0 và 2 2 2 2 1 ( 1) x y x y + − + − > 0 ⇔ 2 2 0 0 1 1 1 0 x x y hoaëc y x y = = ⇔ <− > + − > Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn z nằm trên trục Oy bỏ ra ñoạn thẳng IJ (I biểu diễn số i, J biểu diễn số −i). 15. a) Trong mp phức, cho 3 ñiểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z 1 , z 2 , z 3 . Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào ? b) Xét 3 ñiểm A, B, C của mp phức theo thư tự biểu diễn 3 số phức phân biệt z 1 , z 2 , z 3 thỏa mãn : z 1 = z 2 = z 3 . Chứng minh rằng A, B, C là 3 ñỉnh của tam giác ñều khi và chỉ khi z 1 + z 2 + z 3 = 0. Giải: a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có : 1 ( ) 3 OG OA OB OC = + + Suy ra , G biểu diễn số phức 1 2 3 (z + z + z ) 1 3 . b) Ba ñiểm A, B , C (hay 3 vecto , , OA OB OC ) biểu diễn 3 số phức z 1 , z 2 , z 3 thỏa mãn z 1 = z 2 = z 3 ⇔ OA = OB = OC (theo 8.a)) tức là ñiểm O cách ñều 3 ñiểm A, B, C hay 3 ñiểm ñó nằm trên ñường tròn tâm O (gốc tọa ñộ). A, B, C là 3 ñỉnh của tam giác ñều khi và chỉ khi trọng tâm G trùng với tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay G ≡ O ⇔ z 1 + z 2 + z 3 = 0 (theo a)). 16. ðố vui. Trong mp phức cho các ñiểm : O (gốc tọa ñộ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức z’ ≠ 0 và B’ biểu diễn số phức z.z’. Hai tam giác OAB, OA’B’ có phải là hai tam giác ñồng dạng không ?. Giải: Theo gt ta có: OA = 1; OA’ = z’ ; OB = z ; OB’ = z.z’ ; AB = z − 1 ; A’B’ = z.z’ −z’. Và : z' z.z' z.z'- z' OA' OB' A'B' = = z' , = = z' , = = z' OA 1 OB AB z z -1 Do ñó hai tam giác OAB, OA’B’ ñồng dạng với tỉ số ñồng dạng là z’. Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 91 §2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Số tiết : 2LT + 1BT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Căn bậc hai của số phức : • z là một căn bậc hai của số phức w ⇔ z 2 = w. • z = x + yi (x, y∈R) là căn bậc hai của w = a + bi (a, b∈R) ⇔ 2 2 2 x y a xy b − = = . • Số 0 có ñúng một căn bậc hai là 0. • Số phức khác 0 có ñúng hai căn bậc hai là 2 số ñối nhau. • Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là a ± . • Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là . a i ± − . 2. Phương trình bậc hai : Az 2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước A ≠ 0) • Tính ∆ = B 2 – 4AC • ∆ ≠ 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt ( 2 B A δ δ − ± là một căn bậc hai của ∆) • ∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép z 1 = z 2 = 2 B A − . B. MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của : a) −1 b) −a 2 (a là số thực khác 0) c) −5 + 12i d) i Giải: a) −1 là số thực âm nên có hai căn bậc hai là i ± . b) −a 2 là số thực âm nên có hai căn bậc hai là ai ± . c) ðặt w = −5 + 12i. Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w ⇔ 2 2 2 5 2 2 12 6 x x y x xy y x = − = − = − ⇔ = = Vậy có hai căn bậc hai của −5 + 12i là : 2 + 3i và −2 – 3i. d) Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w = i ⇔ 2 2 2 0 2 2 1 1 2 x x y xy y x = ± − = ⇔ = = Vậy có hai căn bậc hai của i là : 2 (1 ) 2 i ± + . Ví dụ 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức : a) z 2 – z + 1 = 0 b) z 2 + (−2 + i)z – 2i = 0 Giải: a) Ta có : ∆ = 1 – 4 = −3 là số thực âm nên một căn bậc hai của ∆ là : 3 i . Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 92 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt z 1 = 1 3 2 i + và z 2 = 1 3 2 i − b) Ta có : ∆ = (i – 2) 2 – 4(−2i) = 3 – 4i + 8i = 3 + 4i = (2 + i) 2 ( hay ta ñi tìm một căn bậc 2 của ∆ ). Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt : z 1 = 2 2-i - 2 -i z = = i 2 2 2 2, 2 i i− + + = - . C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : 17. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau : −i ; 4i ; −4 ; 1 + 4 3 i Giải: Hai căn bậc hai của −i là : 1 1 1 1 , 2 2 2 2 i i − + − . Hai căn bậc hai của 4i là : 2 2 , 2 2 i i + − − . Hai căn bậc hai của 1 + 4 3 i là : 2 3 , 2 3 i i + − − . 18. Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì z = w Giải: z là một căn bậc hai của số phức w ⇔ z 2 = w ⇒ z 2 = z 2 = w ⇒ z = 2 z = w . 19. Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau : a) z 2 = z + 1 b) z 2 + 2z + 5 = 0 c) z 2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0 Giải: a) z = 1 5 2 2 ± b) z = −1 ± 2i c) z = 2i và z = −1 + i/ 20. a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn ñúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không ? Vì sao ? b) Tìm hai số phức , biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i). c) Có phải mọi phương trình bậc hai z 2 + Bz + C = 0 (B, C là 2 số phức ) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực ? Vì sao ?ðiều ngược lại có ñúng không ? Giải: a) Từ công thức nghiệm của phương trình bậc hai ( 2 B A δ δ − ± 2 = B 2 – 4AC) chứng tỏ z 1 + z 2 = −B/A và z 1 .z 2 = C/A ⇒ công thức vẫn còn ñúng. b) Hai số phức cần tìm là nghiệm phương trình : z 2 – (4 – i)z + 5(1 – i) = 0. Giải ra ta ñược hai nghiệm là : 3 + i và 1 – 2i. c) Nếu phương trình z 2 + Bz + C = 0 có 2 nghiệm z 1 , z 2 là 2 số phức liên hợp thì z 2 = 1 z . Theo công thức Vi-ét, B = −(z 1 + z 2 ) = −(z 1 + 1 z ) là số thực và C = z 1 .z 2 = z 1 . 1 z là số thực. ðiều ngược lại không ñúng vì nếu B, C thực thì khi ∆ = B 2 – 4C > 0 hai nghiệm là 2 số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau, khi ∆ ≤ 0 thì phương trình mới có 2 nghiệm là 2 số phức liên hợp. 21. a) Giải phương trình sau : (z 2 + i)(z 2 – 2iz – 1) = 0 b) Tìm số phức B ñể phương trình bậc hai z 2 + Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8. Giải: Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 93 a) Phương trình ⇔ z 2 + i = 0 hoặc z 2 – 2iz – 1 = 0. Vậy phương trình ñã cho có 3 nghiệm z 1 = i, z 2 = 3 z = 1 1 1 1 , 2 2 2 2 i i − + − b) Ta có : B = −(z 1 + z 2 ), z 1 .z 2 = 3i (z 1 , z 2 là 2 nghiệm phương trình : z 2 + Bz + 3i = 0, mà theo gt ta ñược : z 1 2 + z 2 2 = 8 ⇔ (z 1 + z 2 ) 2 – 2z 1 .z 2 = 8 ⇔ b 2 – 6i = 8 ⇔ b 2 = (8 + 6i) ⇔ b = ± (3 + i). 22. ðố vui. Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của −1 là 1 − và tính : 1 − . 1 − như sau : a) Theo ñịnh nghĩa căn bậc hai của −1 thì 1 − . 1 − = −1. b) Theo tính chất của căn bậc hai (tích của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích hai số ñó) thì 1 − . 1 − = ( 1)( 1) 1 1 − − = = , từ ñó học sinh ñó suy ra −1 = 1. Hãy tìm ñiều sai trong lập luận trên. Giải: a) Lập luận a) ñúng. b) Lập luận b) sai. Vì 1 − . 1 − chỉ là một căn bậc hai của (−1)(−1) = 1 (theo H1 trang 194). Lưu ý có hai căn bậc hai của 1 là 1 và −1, các kí hiệu 1 − . 1 − và 1 chưa xác ñịnh. LUYỆN TẬP 23. Tìm nghiệm phức của phương trình sau : 1 z + = k z trong các trường hợp sau : a) k = 1 b) k = 2 c) k = 2i Giải: a) k = 1 thì z = 1 3 2 i ± b) z = 2 (1 ) 2 i ± c) z = (1 2) i ± . 24. Giải các phương trình sau trên ℂ và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình trong mp phức. a) z 3 + 1 = 0 b) z 4 – 1 = 0 c) z 4 + 4 = 0 d) 8z 4 + 8z 3 = z + 1 Giải: a) z 3 + 1 = 0 ⇔ (z + 1)(z 2 – z + 1) = 0 có 3 nghiệm z 1 = −1, z 2 = 3 1 3 z = - i 2 2 1 3 , 2 2 i+ (hình 1) b) z 4 – 1 = (z 2 + 1)(z 2 – 1) = 0 có nghiệm z 1 = i, z 2 = −i, z 3 = 1, z 4 = −1. (hình 2) c) z 4 + 4 = (z 2 + 2i)(z 2 – 2i) = 0 có nghiệm z 1 = 1 – i, z 2 = −1 + i, z 3 = 1 + i, z 4 = −1 – i.(hình 3) d) 8z 4 + 8z 3 = z + 1 ⇔ (z + 1)(8z 3 – 1) = 0 ⇔ (z + 1)(2z – 1)(4z 2 + 2z + 1) = 0 có nghiệm z 1 = −1, z 2 = ½, z 3 = 4 1 3 z = - - i 4 4 1 3 , 4 4 i− + .(hình 4) Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 94 25. a) Tìm các số thực b, c ñể phương trình (với ẩn z) : z 2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm một nghiệm. b) Tìm các số thực a, b, c ñể phương trình (với ẩn z) : z 3 + az 2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm và cũng nhận z = 2 làm nghiệm. Giải: a) Theo H2 trang 195, với z = 1 + i là nghiệm thì: (1 + i) 2 + b(1 + i) + c = 0 ⇔ b + c + (2 + b)i = 0 ⇔ b + c = 0 và 2 + b = 0, suy ra : b = −2, c = 2 b) Với 1 + i là nghiệm ta ñược : (1 + i) 3 + a(1 + i) 2 + b(1 + i) + c = 0 ⇔ (b + c – 2) + (2 + 2a + b)i = 0 ⇔ b + c – 2 = 0 (1) và 2a + b + 2 = 0 (2). Với 2 là nghiệm ta ñược : 8 + 4a + 2b + c = 0 (3). Từ (2) và (3) cho c = −4, (1) ⇒ b = 6 (2) ⇒ a = −4. Vậy a = c = −4, b = 6. 26. a) Dùng công thức cộng trong lượng giác ñể chứng minh rằng với mọi số thực ϕ , ta có : (cos ϕ + isin ϕ ) 2 = cos2 ϕ + isin2 ϕ Từ ñó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức cos2 ϕ + isin2 ϕ . Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở §2. b) Tìm các căn bậc hai của 2 (1 ) 2 i − bằng 2 cách nói ở câu a). Giải: a) (cos ϕ + isin ϕ ) 2 = cos 2 ϕ − sin 2 ϕ + 2sin ϕ .cos ϕ .i = cos2 ϕ + isin2 ϕ . Các căn bậc hai của cos2 ϕ + isin2 ϕ là : ± (cos ϕ + isin ϕ ). Còn theo cách giải trong bài học, ta cần giải hệ phương trình : 2 2 os2 2 sin 2 x y c xy ϕ ϕ − = = Giải ra ta tìm ñược hai căn bậc hai là : ± (cos ϕ + isin ϕ ). b) 2 (1 ) os isin os isin 2 4 4 4 4 i c c π π π π − = − = − + − thì theo câu a), 2 (1 ) 2 i − có hai căn bậc hai là 1 os isin os isin 2 2 2 2 8 8 8 8 2 c c i π π π π ± − + − = ± − = ± + − − (dùng ct hạ bậc) Còn theo cách trong bài học, ta cần giải hệ phương trình : 2 2 2 2 2 2 2 x y xy − = = − Giải ra ta ñược các nghiệm : 2 2 2 2 2 2 2 2 ; , ; 2 2 2 2 + − − − + − . [...]... THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ð ng Tháp 95 Tài li u Gi ng d y Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Tr π π 2 cos + i sin 4 4 π π 3 + i là : 2 cos + i sin 6 6 Do ñó d ng lư ng giác c a 1 + i là : Tương t , d ng lư ng giác c a ⇒ 1+ i = 2 2 3 +i Ví d 3: Tính : π π π π 2 π π cos − + isin − = cos + i sin 2 12 12 4 6 4 6 a) (1 + i)5 Gi i: b)... – ð ng Tháp 100 Tài li u Gi ng d y Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Tr c) (z2 + 1)2 + (z + 3)2 = (z + 1)2 – [i(z + 3)]2 = (z2 + 1 + i(z + 3))(z2 + 1 – i(z + 3)) = 0 Nghi m phương trình là z = 1 – 2i, z = −1 + i, z = 1 + 2i, z = −1 −i z 40 Xét các s ph c : z1 = 6 − i 2 , z2 = -2-2i , z3 = 1 z2 a) Vi t z1 , z2 , z3 dư i d ng lư ng giác 7π 7π và sin b) T câu a), hãy tính cos 12 12 Gi i: π ... [cos + i sin ] 3 3 2 3 3 z 2(cos π - isin π ) 2 3 3 kz = k 2(cosπ/3 + isinπ/3) khi k > 0 kz = − 2k[cos(4π/3) + isin(4π/3)] khi k < 0 Trư ng THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ð ng Tháp 96 Tài li u Gi ng d y Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Tr 28 Vi t các s ph c sau dư i d ng lư ng giác: a) 1 − i 3 ; 1 + i ; (1 − i 3)(1 + i) ; 1− i 3 1+ i b) 2i( 3 − i) 1 2 + 2i Gi i: d) z = sinϕ + icosϕ (ϕ∈R) c) ... Ch ng minh r ng hi u s acgumen c a z’ v i acgumen c a z là m t s ño c a góc lư ng giác (OM, OM’) Tính s ño ñó Gi i: a) z’/z = 1 + 3i Trư ng THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ð ng Tháp 97 Tài li u Gi ng d y Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Tr b) Ta có : sñ(OM, OM’) = sñ(Ox,OM’) – sñ(Ox, OM) = ϕ’ - ϕ = acgumen z' (sai khác k2π), trong z ñó ϕ và ϕ’ theo th t là acgumen c a z và z’ Theo a) z’/z = 1 +... 2004 1+ i = 2 2004 1 = 2 2004 200π 200 π 1 1 + i sin cos = 1002 (cosπ + i sin π) = − 1002 4 4 2 2 Trư ng THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ð ng Tháp 98 Tài li u Gi ng d y Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Tr 21 5 + 3i 3 42 π 42 π 21 + i sin = (−1 + i 3)21 = 2 21 cos =2 1 − 2i 3 3 3 1 34 Cho s ph c w = − (1 + i 3) Tìm các s nguyên dương... 4 4 36 Vi t d ng lư ng giác c a các s ph c sau : π 5π a) 1 − i tan b) tan +i 5 8 Gi i: c) 1 - cosϕ - isinϕ (ϕ∈R, ϕ ≠ k2π, k∈Z) Trư ng THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ð ng Tháp 99 Tài li u Gi ng d y Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Tr π π π 1 π cos − i sin = cos − + i sin − π π 5 5 5 5 cos cos 5 5 5π 1 5π 5π −1 5π 5π 1 7π 7π b) tan +i =.. .Tài li u Gi ng d y Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Tr §3 D NG LƯ NG GIÁC C A S PH C VÀ NG D NG S ti t : 1 A KI N TH C C N NH : 1 D ng lư ng giác c a s ph c : a) Acgumen c a s ph c z ≠ 0: Cho s ph c z ≠ 0 G i M là... c a tích các s ph c b ng t ng các acgumen c a các s ph c ñó (sai khác k2π, k∈Z), nên t a, b, c∈(0 ; π/2) Suy ra : a + b + c = π/4 Trư ng THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ð ng Tháp 101 Tài li u Gi ng d y Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Tr ðÁP ÁN TR C NGHI M KHÁCH QUAN 43 (C) ; 44 (A) ; 45 (A) ; 46 (B) ; 47 (B) ; 48 (A) ; 49 (B) ; 50 (C) ; 51 (A) ; 52 (B) ; 53 (B) ; 54 (B) Chú ý : −sinϕ − icosϕ... 10)10 + 50 n (nghìn ñ ng) 3600n Lãi nhi u nh t n u chi phí ít nh t.Do ñó c n tìm GTNN c a f(n) trên [1 ; 8], ∀n∈R* K t qu n = 5 ⇔ Trư ng THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ð ng Tháp 102 Tài li u Gi ng d y Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Tr 5 Tìm GTLN và GTNN c a hàm s f(x) = 1 −x + x + 6 2 trên ño n [0 ; 1] Gi i: GTLN là : 1 6 , GTNN là : 2/5 4x 6 a) Cho P(x) = x và hai s a, b th a mãn a + b =... di n tích hình ph ng gi i h n b i các ñư ng : a) y + x2 = 0 và y + 3x2 = 2 b) y2 – 4x = 4 và 4x – y = 16 Gi i: a) 8/3 b) 243/8 b) Trư ng THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ð ng Tháp 104 Tài li u Gi ng d y Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Tr 16 a) Cho hình thang cong A gi i h n b i ñ th c a hàm s y = ex, tr c hoành và các ñt x = 0 và x = 1 Tính th tích c a kh i tròn xoay t o ñư c khi quay A quanh . z’ ∈ ℂ . 6. Phép chia cho số phức khác 0 : Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 86 • Số phức nghịch ñảo của z (z. MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: a) Số phức z = 2 + 3i có phần thực bằng 2, phần ảo bằng 3. b) Số phức z = −I có phần thực bằng 0, phần ảo bằng −1, ñó là số ảo. Ví dụ 2: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức. Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức. b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức. Giải: a) Vecto OM biểu diễn số phức z = 1 + 3i, vecto ' OM biểu diễn số phức z’