Chương 1 – & — Hàm số hai biến GV. Dương Hoàng Kiệt Trang 1 CHƯƠNG 1. HÀM HAI BIẾN SỐ ? Nội dung: Các khái niệm cơ bản của hàm hai biến − Giới hạn và liên tục − Đạo hàm và vi phân − Đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn − Đạo hàm và vi phân cấp hai − Cực trò hàm hai biến − Bài tập. ? Mục tiêu: Sinh viên phải biểu diễn hình học được xác đònh hàm hai biến; phải tính được đạo hàm riêng, đạo hàm cấp cao, vi phân toàn phần và vi phân cấp cao hàm hai biến; tính gần đúng được giá trò hàm số; phải tìm được cực trò và xác đònh được giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm trên miền đóng. §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. Ví dụ mở đầu 1.1. Ví dụ 1 Trong thực phẩm, hàm lượng muối ăn NaCl theo % được xác đònh bởi tỉ số giữa số mol (n) AgNO 3 0,1N đã sử dụng để chuẩn độ mẫu thử và trọng lượng (p) của mẫu thử (tính bằng g), biểu thò bởi phương trình: = 0,00585 100100 (,). 10 gn Xnp p (1) 1.2. Ví dụ 2 Các nhà tâm lý học thường dùng thương số thông minh (Q) được xác đònh bởi tỷ số giữa trí tuệ lứa tuổi (m – xác đònh bằng một số câu trắc nghiệm) và lứa tuổi cùng thời (c), biểu thò bởi phương trình: (,)100. m Qmc c = (2) (1) và (2) là hai ví dụ về hàm hai biến. 2. Đònh nghóa Cho tập hợp khác trống DR ⊂ . Nếu theo qui luật f mỗi cặp số thực (,) xy thuộc miền xác đònh DD × tương ứng với một và chỉ một phần tử zR ∈ thì ta nói f là hàm hai biến số trên DD × . Ký hiệu : fDDR ×→ hay (,) zfxy = . Ví dụ 1.1. Các hàm 22 222 123 ,, xy zxyzxyze −− ==+= đều là hàm số hai biến. Khi , xy lần lượt lấy giá trò 00 , xy thì giá trò tương ứng của z sẽ được ký hiệu là 000 (,) zfxy = . Chẳng hạn 123 (1;1)1,(1;0)1,(0;0)1 zzz −=== . Chương 1 – & — Hàm số hai biến GV. Dương Hoàng Kiệt Trang 2 Đối với hàm ba biến thì ta có đònh nghóa tương tự, khi đó ta có: (,,) ufxyu = . Chẳng hạn 22223 1,, uxyzuxyz=−−−= 3. Miền xác đònh của hàm hai biến Tập hợp các cặp (,) xy mà ứng với chúng có thể xác đònh được giá trò của z được gọi là miền xác đònh của hàm hai biến (,) zfxy = , ký hiệu là () Df . Ví dụ 1.2. 1) Miền xác đònh của hàm 22 1 9 z xy = −− là 22 90 xy −−> hay 22 9 xy +< . Vậy () Df gồm các điểm nằm trong vòng tròn tâm là gốc toạ độ và bán kính bằng 3. 2) Miền xác đònh của hàm arcsin 3 y zxy =+ là 3 11 0 y xy  −≤≤   ≥   hay: 00 3003 xx yy ≤≥  ∨  −≤≤≤≤  3) Miền xác đònh của hàm ln() zxy =+ là 0 xy +> hay yx >− §2. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1. Giới hạn của hàm hai biến Số A được gọi là giới hạn của hàm (,) zfxy = khi điểm (,) Mxy tiến đến điểm 000 (,) Mxy nếu với mọi 0 ε> , bé tuỳ ý cho trước, có thể tìm được 0 δ> sao cho khi 0 0 MM <<δ thì (,) fxyA −<ε . Ký hiệu 0 lim(,) MM fxyA → = hay 0 0 lim(,) xx yy fxyA → → = Ở đây 22 000 ()() MMxxyy =−+− . Những điểm (,) Mxy thoả 0 MM <δ gọi là lân cận của M 0 , đó là một hình tròn tâm M 0 bán kính δ . Ví dụ 1.3. 1) Chứng minh rằng 2 22 0 0 lim0 x y xy xy → → = + . Thật vậy, do 2 22 1 2 xy x xy ≤ + . Do đó 0,2 ∀ε>∃δ=ε thì 22 2 xxyx ≤+<δ⇒<ε 2 22 xy xy ⇒<ε + . Theo đònh nghóa ta có điều phải chứng minh. Chương 1 – & — Hàm số hai biến GV. Dương Hoàng Kiệt Trang 3 2) Tìm 22 0 1 1 lim x y xy A xy → → + = + . Ta thấy biểu thức (,) fxy xác đònh tại điểm (0;1) do đó khi tính giới hạn ta chỉ cần tính (0;1) f . Vậy (0;1)1 Af == . 3) Tìm 22 0 0 lim x y xy A xy → → = + . Cho ykx = với k là hằng số tuỳ ý, ta có 2 2222 0 0 lim 1 x y kxk A xkyk → → == ++ . Vậy với những k khác nhau thì (,) fxy có những giới hạn khác nhau. Do đó A không tồn tại giới hạn tại (0,0) . 2. Hàm hai biến liên tục Giả sử 000 (,)() MxyDf ∈ . Hàm (,) zfxy = được gọi là hàm liên tục tại điểm M 0 nếu 0 0 00 lim(,)(,) xx yy fxyfxy → → = Chú ý a. Hàm số liên tục tại mọi điểm của một miền nào đó gọi là hàm liên tục trong miền đó. b. Điểm mà tại đó hàm số không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số. Đường cong gián đoạn là đường mà điều kiện liên tục có thể bò vi phạm. Ví dụ 1.4. 1) Hàm 22 zxy =+ liên tục tại mọi điểm của mặt phẳng xOy. 2) Hàm 22 2 xy z xy = + liên tục khắp nơi trong 2 R , trừ điểm (0,0) . Đây là điểm gián đoạn của z. 3) Hàm 2 1 x z xy + = − liên tục khắp nơi trừ đường parabol 2 xy = là đường cong gián đoạn. §3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN 1. Đạo hàm riêng Cho hàm (,) zfxy = . Nếu xem y là một hằng số (tham số) thì f trở thành hàm của một biến số x. Ta gọi đạo hàm riêng của z theo biến x là giới hạn 0 (,)(,) lim x zfxxyfxy xx ∆→ ∂+∆− = ∂∆ Chương 1 – & — Hàm số hai biến GV. Dương Hoàng Kiệt Trang 4 Ký hiệu '' ,,, xx zf zf xx ∂∂ ∂∂ . Tương tự, ta có đònh nghóa của đạo hàm riêng của hàm (,) zfxy = theo biến y và dùng một trong các ký hiệu '' ,,, yy zf zf yy ∂∂ ∂∂ . Và ta có: 0 (,)(,) lim y zfxyyfxy yy ∆→ ∂+∆− = ∂∆ Nhận xét: Tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến theo biến số nào thì chỉ cần xem biến số đó là biến số biến thiên và các biến số còn lại là hằng số (tham số). Ví dụ 1.5. 1) Cho 2 sin zxy = . Ta có 2 2sin,cos zz xyxy xy ∂∂ == ∂∂ . 2) Với 2 3 zxyxy =++ thì '2' 31,61 xy zyzxy =+=+ . 3) Với ln() zxy = thì 2 zz xy xy ∂∂ += ∂∂ . 2. Vi phân toàn phần 2.1. Đònh nghóa Xét hàm (,) zfxy = xác đònh trong lân cận của điểm 000 (,) Mxy . Lấy điểm (,) Mxy thuộc lân cận M 0 . Ta có các ký hiệu 22 00 ,,()()xxxyyyxy ∆=−∆=−ρ=∆+∆<δ Gọi 00 (,)(,) zfxyfxy ∆=− là số gia toàn phần của z. Nếu tồn tại hai số A và B sao cho: 0() zAxBy ∆=∆+∆+ρ thì z được gọi là hàm khả vi tại điểm M 0 . Hàm 0() ρ là vô cùng bé cấp cao hơn ρ khi 0 ρ→ . Khi z khả vi tại M 0 , ta gọi hàm tuyến tính AxBy ∆+∆ là vi phân toàn phần của f tại M 0 và ký hiệu là dz, xác đònh bởi dz = AxBy ∆+∆ Do vi phân của biến độc lập trùng với số gia của chúng: , dxxdyy =∆=∆ nên: dzAdxBdy =+ 2.2. Đònh lý Nếu hàm (,) zfxy = khả vi tại 000 (,) Mxy và dzAdxBdy =+ là vi phân toàn phần của nó tại điểm đó thì tại M 0 hàm f có các đạo hàm riêng và: Chương 1 – & — Hàm số hai biến GV. Dương Hoàng Kiệt Trang 5 0000 (,)(,) , fxyfxy AB xy ∂∂ == ∂∂ Hay zz dzdxdy xy ∂∂ =+ ∂∂ Ví dụ 1.6. 1) Xét hàm y zx = thì ta có: 1 ln yy zz dzdxdyyxdxxxdy xy − ∂∂ =+=+ ∂∂ 2) Với hàm 22 1 yx z + = thì ta có : 223223 , ()() zxzy xy xyxy ∂−∂− == ∂∂ ++ Suy ra: 223 () xdxydy dz xy + =− + 3. Áp dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng Xét hàm (,) zfxy = . Khi x ∆ và y ∆ đủ bé ta có đẳng thức gần đúng sau: zdz ∆= hay (,)(,) fxxyyfxydz +∆+∆≈+ Ví dụ 1.7. Tính gần đúng 3,01 1,02 . Xét hàm y zx = , 1,3,0,02,0,01 xyxy ==∆=∆= . Khi đó: 1 ln310,021ln10,010,06 yy zdzyxxxxy − ∆≈=∆+∆=××+××= Vậy 3,01 1,0210,061,06 ≈+=. §4. ĐẠO HÀM HÀM HP – HÀM ẨN 1. Đạo hàm hàm hợp Giả sử (,) zfxy = , trong đó (),() xtyt =ϕ=φ và các hàm (,),(),() fxytt ϕφ là những hàm khả vi. Khi đó đạo hàm toàn phần của hàm hợp [(),()] zftt =ϕφ được tính theo công thức: dzzdxzdy dtxdtydt ∂∂ =+ ∂∂ Nếu (,) zfxy = và () yx =ϕ thì dzzzdy dxxydx ∂∂ =+ ∂∂ . Trường hợp (,) zfxy = với (,),(,) xy =ϕξη=φξη thì các đạo hàm riêng được tính như sau: Chương 1 – & — Hàm số hai biến GV. Dương Hoàng Kiệt Trang 6 zzxzy xy ∂∂∂∂∂ =+ ∂ξ∂∂ξ∂∂ξ và zzxzy xy ∂∂∂∂∂ =+ ∂η∂∂η∂∂η Ví dụ 1.8. 1) Với 22 ,cos,sin xy zexatyat + === thì: dzzdxzdy dtxdtydt ∂∂ =+ ∂∂ 2222 2(sin)2(cos) xyxy exateyat ++ =−+ 2222 2(cossin)2(sincoscossin)0 xyxy aeytxtaeattatt ++ =−=−= 2) Cho ln,sin zxyyx =+=. Ta có: 1111 .coscos 22sin dzzzdy xx dxxydxxx yx ∂∂ =+=+=+ ∂∂ 3) Cho ,,zxyxy ξ ==ηξ= η . Ta có: zzxzyx y xy ∂∂∂∂∂ =+=η+ ∂ξ∂∂ξ∂∂ξη và 2 zzxzyy y xy ∂∂∂∂∂ξ =+=ξ− ∂η∂∂η∂∂η η 2. Đạo hàm của hàm ẩn 2.1. Hàm ẩn một biến Xét hàm (,)0 fxy = , được gọi là hàm ẩn một biến. Giả sử '' ,, xy fff liên tục và tồn tại vi phân df. Khi đó công thức đạo hàm của hàm ẩn một biến là: ' ' x y f dy dx f =− Ví dụ 1.9. Cho phương trình đường elip 22 22 1 xy ab += . Khi đó: 22 22 (,)1 xy fxy ab =+− , '' 22 22 , xy xy ff ab == . Vậy 22 22 2 . 2 dyxbbx dxy aay =−=− . 2.2. Hàm ẩn hai biến Xét hàm (,,)0 fxyz = , được gọi là hàm ẩn hai biến. Khi tính z x ∂ ∂ ta coi y là hằng số và khi tính z y ∂ ∂ ta xem x là hằng số. Khi đó ' ' x z f z x f ∂ =− ∂ và ' ' y z f z y f ∂ =− ∂ . Ví dụ 1.10. Cho 2 (,,)50 z fxyzexyz =+++= . Ta có ''2' 2,,1 z xyz fxyfxfe ===+ . Vậy 2 2 , 11 zz zxyzx xy ee ∂∂ =−=− ∂∂ ++ . Chương 1 – & — Hàm số hai biến GV. Dương Hoàng Kiệt Trang 7 §5. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP HAI CỦA HÀM HAI BIẾN 1. Đạo hàm cấp hai 1.1. Đònh nghóa Đạo hàm riêng cấp hai của hàm (,) zfxy = là đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một của nó. Vậy ta có các ký hiệu: 2 '' 2 xx zz f xx x ∂∂∂  ==  ∂∂ ∂ , 2 '' yx zz f xyxy  ∂∂∂ ==  ∂∂∂∂  2 '' xy zz f yxyx ∂∂∂  ==  ∂∂∂∂  , 2 '' 2 yy zz f yy y  ∂∂∂ ==  ∂∂ ∂  Ví dụ 1.11. 1) Cho ln zyx = thì ,ln zyz x xxy ∂∂ == ∂∂ và 2 22 zyy xx xx ∂∂  ==−  ∂ ∂ , ( ) 2 2 ln0 z x y y ∂∂ == ∂ ∂ ( ) 2 1 ln zz x xyxyxx  ∂∂∂∂ ===  ∂∂∂∂∂  , 2 1 zzy yxyxyxx ∂∂∂∂  ===  ∂∂∂∂∂  2) Với 23 321 zxxy =−+ thì 32 62,6 zz xyxy xy ∂∂ =−=− ∂∂ và 2222 22 22 6,12,6,6 zzzz xyyy xyyỹ xy ∂∂∂∂ ==−=−=− ∂∂∂∂ ∂∂ 1.2. Đònh lý Nếu hàm (,) zfxy = và các đạo hàm riêng 22 ,,, zzzz xyxyyx ∂∂∂∂ ∂∂∂∂∂∂ liên tục trong một lân cận điểm (,) Mxy thì 22 zz xyyx ∂∂ = ∂∂∂∂ . 2. Vi phân cấp hai Vi phân cấp hai của hàm (,) zfxy = là vi phân của vi phân toàn phần của nó, nghóa là 2 () dzddz = . Bằng cách tính dựa vào đạo hàm riêng cấp 2, ta được công thức: 222 222 22 2 zzz dzdxdxdydy xy xy ∂∂∂ =++ ∂∂ ∂∂ Ví dụ 1.12. Cho sin zxy = . Ta có: sin,cossincos zz yxydzydxxydy xy ∂∂ ==⇒=+ ∂∂ Chương 1 – & — Hàm số hai biến GV. Dương Hoàng Kiệt Trang 8 222 22 0,cos,sin2cossin zzz yxydzydxdyxydy xy xy ∂∂∂ ===−⇒=− ∂∂ ∂∂ §7. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN 1. Đònh nghóa Hàm (,) zfxy = gọi là đạt cực đại tại 000 (,) Mxy nếu tại mọi điểm (,) Mxy trong lân cận của M 0 ta đều có 00 (,)(,) fxyfxy ≥ . Tương tự, hàm (,) zfxy = gọi là đạt cực tiểu tại 000 (,) Mxy nếu tại mọi điểm (,) Mxy trong lân cận của M 0 ta đều có 00 (,)(,) fxyfxy ≤ . Ví dụ 1.13. 1) Hàm 22 (1)(1)3. zxy =−+−− Ta có (1,1)3 f =− và 22 (1)0(1),(1)0(1) xxyy −>≠−>≠ 22 (1)(1)3. zxy ⇒=−+−≥ (,)(1,1) fxyf ⇒≥ . Vậy (1;1) f là cực tiểu. 2) Hàm 22 1 sin() 2 zxy =−+. Chọn (,) xy trong đường tròn 22 6 xy π +< . Khi đó 22 sin()0 xy +≥ . Suy ra 22 11 (,)sin() 22 fxyxy =−+≤ . Mà 1 (0;0) 2 f = nên (0;0) f là cực đại. 2. Cách tìm cực trò 2.1. Đònh lý Nếu hàm khả vi (,) zfxy = đạt cực trò tại 000 (,) Mxy thì tại đó các đạo hàm riêng , ff xy ∂∂ ∂∂ đều bằng 0. Các điểm mà 0 ff xy ∂∂ == ∂∂ tại đó gọi là điểm dừng. 2.2. Đònh lý Giả sử 000 (,) Mxy là một điểm dừng của (,) zfxy = và tại M 0 hàm z có các đạo hàm riêng 222 000000 22 (,),(,),(,) zzz xyAxyBxyC xy xy ∂∂∂ === ∂∂ ∂∂ . Khi đó: 1. Nếu 2 0 BAC −< thì hàm đạt cực trò tại M 0 (đạt cực tiểu nếu 0 A > , đạt cực đại nếu 0 A < ). 2. Nếu 2 0 BAC −> thì hàm không có cực trò tại M 0 . 3. Nếu 0 2 =− ACB thì chưa có kết luận. Ví dụ 1.14. Xét hàm 33 (,)6 fxyxyxy =+− . Ta thực hiện các bước: Chương 1 – & — Hàm số hai biến GV. Dương Hoàng Kiệt Trang 9 1) Bước 1. Tìm điểm dừng. '22 1 2 360 x fxyyx =−=⇒= và '22 1 2 360 y fyxxy =−=⇒= . Suy ra ( ) 2 23 11 22 00 (8)0 22 xy xxxx xy =⇒=  =⇒−=⇒  =⇒=  Vậy có hai điểm dừng là 0 (0;0) M và 1 (2;2) M . 2) Xét điểm 0 (0;0) M : Bước 2: Tính A, B, C. Ta có: 0 '' (0;0)60 xx M Afx === , '' (0;0)6 xy Bf ==− , 0 '' (0;0)60 yy M Afy === . Bước 3: Tính 2 360 BAC −=> nên tại M 0 hàm không có cực trò. 3) Xét điểm 1 (2;2) M : Bước 2: 1 '' (2,2)612 xx M Afx === , '' (2,2)6 xy Bf ==− , 1 '' (2,2)612 yy M Afy === . Bước 3: 2 1080 BAC −=−< . Mà 120 A => , do đó (2,2)8 f =− là cực tiểu. 3. Cực trò có điều kiện 3.1. Đònh nghóa Bài toán cực trò có điều kiện là bài toán tìm cực trò của hàm (,) zfxy = với ràng buộc: (,)0 xy ϕ= 3.2. Phương pháp đưa về một biến Giả sử từ (,)0 xy ϕ= ta rút ra được () yyx = , thay vào hàm (,) zfxy = ta được hàm số một biến. Ví dụ 1.15. Với 22 1,(,)0(01) zxyxyyaa =−−ϕ=−=<< . Thay ya = vào z ta được : 22 1 zax =−− . Khảo sát như hàm một biến, ta có 2 max 1 za =−. 3.3. Phương pháp nhân tử số Lagrange Bước 1. Phát biểu bài toán dưới dạng mô hình toán học. Bước 2. Lập hàm Lagrange (,,)(,)(,) Lxyfxyxy λ=+λϕ với λ gọi là nhân tử số Lagrange. Bước 3. Tìm điểm dừng của hàm L, tức là giải hệ phương trình: (1) ' ' ' (,,)0 (,,)0 (,,)0 x y Lxy Lxy Lxy λ  λ=   λ=   λ=   Chương 1 – & — Hàm số hai biến GV. Dương Hoàng Kiệt Trang 10 Bước 4. Xét dấy 2''2''''2 2 xxxyyy dLLdxLdxdyLdy =++ tại từng điểm 00 (,) xy mà 000 (,,) xy λ là nghiệm của hệ (1). 1. Nếu 2 000 (,,)0 dLxy λ< thì max00 (,) zfxy = . 2. Nếu 2 000 (,,)0 dLxy λ> thì min00 (,) zfxy = . Ví dụ 1.16. Tìm cực trò của hàm zxy = với 2 xy += . Bước 1. Tìm cực trò của hàm zxy = với ràng buộc (,)20 xyxy ϕ=+−= . Bước 2. (,,)(2) Lxyxyxy λ=+λ+− Bước 3. Giải hệ ' ' ' 0 1 01 1 20 x y Ly x Lxy Lxy λ  =+λ= =    =+λ=⇒=   λ=−  =+−=   ⇒ L có điểm dừng là (1;1;1) − Bước 4. ''''''2 0,1,02 xxxyyy LLLdLdxdy ===⇒= . Do 2 xy += ⇒ 0 dxdydxdy +=⇒=− nên 22 20 dLdx =−< . Vậy tại (1;1) hàm số đạt cực đại max (1;1)1 zf == . 4. Giá trò lớn nhất và bé nhất của hàm hai biến Các bước cơ bản để tìm giá trò lớn nhất và bé nhất của hàm (,) zfxy = trong miền đóng là: Bước 1. Tìm các điểm dừng nằm trong miền này và tính giá trò của hàm tại các điểm dừng. Bước 2. Tìm các cực trò với ràng buộc là phương trình đường biên. Bước 3. Chọn giá trò lớn nhất và bé nhất trong tất cả các giá trò đã tìm được. Ví dụ 1.17. Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm 22 zxy =+ trong hình tròn 22 (1)(1)2 xy −+−≤ . Hàm 22 zxy =+ có một điểm dừng (0;0) và tại (0;0) hàm z có giá trò bé nhất min 0 z = . Với ràng buộc 22 (,)(1)(1)20 xyxy ϕ=−+−−= hàm z đạt cực tiểu tại (0;0) và đạt cực đại tại (2;2) . Tóm lại max (2,2)8 zz == và min (0,0)0 zz == . [...]... đạo hàm riêng cấp 1 1) z = x y 2) z = (1 + xy )y 3) z = ln sin x +1 y Bài 5 Tìm vi phân toàn phần 1) z = sin2 x + cos2 y 2) z = ln tan y x 3) u = x 2 + y 2 + z 2 GV Dương Hoàng Kiệt Trang 11 Chương 1 –&— Bài 6 Tìm vi phân hàm hợp ( Hàm số hai biến dz ) dt 1) z = e 3x + 2y với x = cos t, y = t 2 2) z = x với x = et , y = ln t y 3) z = ln sin x với x = 3t 2, y = t 2 + 1 y Bài 7 Tìm vi phân hàm ẩn ( 1) ...Chương 1 –&— Hàm số hai biến §8 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài 1 Tìm miền xác đònh của hàm 1) z = 1 − x 2 − y 2 2) z = 3) z = 1 1 + x y 1 y− x 4) u = ln(x 2 + y 2 + z 2 − 4) Bài 2 Tìm giới hạn của hàm 1) lim (x 2 + y 2 )sin (x ,y )→(0,0) 2) x +y (x ,y )→(∞, ∞) x 2 + y 2 3) 1 xy y  lim  1 +  (x ,y )→(∞,k )  x lim x Bài 3 Tính các đạo hàm riêng cấp 1 1) z = x 3 + y 3 − 3xy 2) z = x... với y = ϕ(x ) 3) z = u v với u = sin x , v = cos x Bài 8 Dùng vi phân, tính gần đúng các số sau 1) 3 (1, 02)2 2) arctan + (0,05)2 1, 02 0,95 3) ln( 3 1, 03 + 4 0,98 − 1) Bài 9 Tìm đạo hàm cấp 1 hàm ẩn 1) xey + ye x − e xy = 0 (y ') 2) ln x 2 + y 2 = arctan y (y ') x ' ' 3) x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz (z x , zy ) Bài 10 Tìm đạo hàm và vi phân cấp cao 1) z = x2 a2 + y2 b2 ( 2) z = ln(x 2 + y ) ( ∂ 2z ∂x , 2 ∂2z... ) ∂x 2 Trang 12 Chương 1 –&— Hàm số hai biến Bài 11 Tìm tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm 1) u = xy + yz + zx 2) u = arctan y x 3) u = 2xy + y 2 Bài 12 Tìm cực trò 1) z = (x − 1) 2 + 2y 2 2) z = x 2 + xy + y 2 − 2x − y 3) z = (x 2 + y 2 )e −(x 2 +y 2 ) 4) z = x 4 + y 4 − x 2 − 2xy − y 2 5) z = 2x 4 + y 4 − x 2 − 2y 2 Bài 13 Tìm cực trò có điều kiện 1) z = 6 − 4x − 3y với x 2 + y 2 = 1 2) z = xy... x 2 + y 2 = 1 2) z = xy với x + y = 1 3) z = cos2 x + cos2 y với y − x = π 4 Bài 14 Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của 1) z = xy + x + y trong hình vuông giới hạn bởi x = 1, x = 2, y = 2, y = 3 2) z = x 2 + 3y 2 + x − y trong tam giác giới hạn bởi yx = 1, y = 1, x + y = 1 3) z = 1 − x 2 − y 2 trong hình tròn (x − 1) 2 + (y − 1) 2 ≤ 1 GV Dương Hoàng Kiệt Trang 13 . Ví dụ 1. 13. 1) Hàm 22 (1) (1) 3. zxy =−+−− Ta có (1, 1)3 f =− và 22 (1) 0 (1) , (1) 0 (1) xxyy −>≠−>≠ 22 (1) (1) 3. zxy ⇒=−+−≥ (,) (1, 1) fxyf ⇒≥ . Vậy (1; 1) f là cực tiểu. 2) Hàm 22 1 sin() 2 zxy =−+ 1 ln 310 ,021ln10, 010 ,06 yy zdzyxxxxy − ∆≈=∆+∆=××+××= Vậy 3, 01 1,0 210 ,0 61, 06 ≈+=. §4. ĐẠO HÀM HÀM HP – HÀM ẨN 1. Đạo hàm hàm hợp Giả sử (,) zfxy = , trong đó (),() xtyt =ϕ=φ và các hàm. Kiệt Trang 7 §5. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP HAI CỦA HÀM HAI BIẾN 1. Đạo hàm cấp hai 1. 1. Đònh nghóa Đạo hàm riêng cấp hai của hàm (,) zfxy = là đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một của