TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN – TIN HỌC Tài liệu hỗ trợ môn HÌNH VI PHÂN Trích bài giảng và bài tập của thầy Nguyễn Hà Thanh sinh viên thực hiện Nguyễn Thành An Học phần MẶT TRONG KHÔNG GIAN 3 ¡ Tp. Hồ chí minh – 8/2008 2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Mặt tham số. Cho U là tập mở trong 2 ¡ , hàm véctơ ( ) ( ) 3 : , , r U u v r u v ® ¡ a là mặt tham số nếu r là ánh xạ khả vi trên U . Khi đó ( ) r U là giá của mặt tham số. Hai mặt tham số ~ ~ 3 3 : , :r U r U® ® ¡ ¡ là tương đương nếu tồn tại vi phôi ~ : U U j ® sao cho ~ 0 r r j = , ký hiệu ~ r r : . Nếu hai mặt tham số tương đương với nhau thì giá của chúng trùng nhau. 2. Mặt đơn. Cho mặt ( ) S có tham số hóa r , nếu r đơn ánh thì ( ) S là mặt đơn. 3. Mặt chính qui. Cho mặt ( ) S có tham số hóa ( ) ( ) 3 : , , r U u v r u v ® ¡ a . Khi đó ( ) 0 0 , M r u v = là điểm chính qui của mặt ( ) S nếu hai véctơ ( ) ( ) 0 0 0 0 ' , , ' , u v r u v r u v độc lập tuyến tính. Nếu mặt ( ) S chính qui tại mọi điểm ( ) , M r u v = , với ( ) , u v U Î thì ( ) S là mặt chính qui. Điểm không chính qui là điểm kỳ dị. Tính chính qui của mặt ( ) S không phụ thuộc vào biểu diễn tham số (các bạn tự chứng minh). Nếu tại điểm ( ) 0 0 , M r u v = là điểm chính qui của mặt ( ) S thì phương trình mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện tại điểm ( ) 0 0 0 , , M x y z nhận ( ) ( ) 0 0 0 0 ' , , ' , u v r u v r u v làm cặp véctơ chỉ phương có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , 0 ' , ' , ' , u u u v v v x x y y z z x u v y u v z u v x u v y u v z u v - - - = . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc tại điểm ( ) 0 0 , M r u v = là pháp tuyến có phương trình 0 0 0 x x y y z z a b c - - - = = với , , a b c được tính bởi ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , ' , u u v v y u v z u v a y u v z u v = , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , ' , u u v v z u v x u v b z u v x u v = , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , ' , u u v v x u v y u v c x u v y u v = , hơn nữa không gian sinh bởi ( ) ( ) 0 0 0 0 ' , , ' , u v r u v r u v tại điểm ( ) 0 0 , M r u v = là không gian tiếp xúc với mặt ( ) S tại điểm M , ký hiệu ( ) M T S . Khi đó ( ) ( ) ( ) M M S T S T S Î = U là tập tất cả các không gian tiếp xúc. 4. Đường trên mặt. Phaàn 1 3 Cho mặt ( ) S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3 : , , r U u v r u v ® ¡ a và ( ) x là đường trong U có tham số ( ) ( ) u u t v v t ì = ï í = ï î , t I Î qua r cho ta đường cong ( ) ( ) S x Ì có ( ) ( ) ( ) ( ) 3 : , I t t r u t v t j j ® = ¡ a . Ta khảo sát 2 trường hợp đặc biệt sau. Trường hợp 1. 0 v v = tương ứng với đường ( ) ( ) 0 r u u t v v x ì = ï ¾¾® í = ï î có ( ) ( ) ( ) 0 , t u t v j = . Ta nói đây là họ tham số thứ nhất trên mặt ( ) S . Các tiếp tuyến của đường tham số thứ nhất có phương là ( ) ' , u r u v . Trường hợp 2. 0 u u = tương ứng với đường ( ) ( ) 0 r u u v v t x = ì ï ¾¾® í = ï î có ( ) ( ) ( ) 0 , t u v t j = . Ta nói đây là họ tham số thứ hai trên mặt ( ) S . Các tiếp tuyến của đường tham số thứ hai có phương là ( ) ' , v r u v . 5. Mặt định hướng, véctơ pháp tuyến đơn vị trên mặt định hướng. Cho mặt ( ) S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3 : , , r U u v r u v ® ¡ a , theo trên hai mặt tham số hóa gọi là tương đương nếu tồn tại vi phôi ~ : U U j ® sao cho ~ 0 r r j = . Như ta đã biết ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ' ' ' ' u v u v J d u d v du dv r r r r d u d v dv du Ù = Ù 14243 , nếu 0 J > thì ( ) S là mặt định hướng được. Cho mặt ( ) S định hướng ta luôn có ~ ~ ~ ~ ' ' ' ' ' ' ' ' u v u v u v u v r r r r r r r r Ù Ù = Ù Ù . Tại mọi điểm ( ) , M r u v = ta luôn có một véctơ đơn vị ( ) ' ' , ' ' u v u v r r n u v r r Ù = Ù là véctơ pháp tuyến đơn vị của ( ) S . 6. Dạng toàn phương cơ bản thứ nhất. Cho mặt ( ) S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3 : , , r U u v r u v ® ¡ a . Xét dạng toàn phương ( ) ( ) : , M I T S a I a a a ® = ¡ a . Khi đó công thức dạng toàn phương cơ bản thứ nhất có dạng 4 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 u u v v I a E a Fa a G a = + + với , , E F G được xác định bởi ( ) ( ) 2 ' , u E r u v = , ( ) ( ) ' , . ' , u v F r u v r u v = , ( ) ( ) 2 ' , v G r u v = . Đối với dạng toàn phương cơ bản thứ nhất ta thường quen nhìn ở dạng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 I a E du Fdudv G dv = + + . 7. Công thức tính độ dài cung trên mặt. Cho mặt ( ) S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3 : , , r U u v r u v ® ¡ a và đường cong ( ) x có tham số ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] , , , t r u t v t t a b j = Î . Khi đó công thức tính độ dài cung trên mặt là ( ) ( ) 2 2 ' 2 ' ' ' b t t t t a l E u Fu v G v dt = + + ò , với , , E F G được xác định như trên. 8. Công thức góc giữa hai đường cong trên mặt. Cho mặt ( ) S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3 : , , r U u v r u v ® ¡ a và hai đường cong ( ) 1 x có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 , , ' ' ' ' ' u v t r u t v t t r u r v j j = = + ( ) 2 x có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 , , ' ' ' ' ' u v t r u t v t t r u r v j j = = + ( 1 2 1 2 , , , u u v v đều lấy đạo hàm theo biến t ). Khi đó công thức tính góc giữa 2 đường cong ( ) 1 x và ( ) 2 x là · ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 1, 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' os ' 2 ' ' ' ' 2 ' ' ' Eu u F u v u v Gv v c E u Fu v G v E u Fu v G v x x + + + = + + + + . Trong trường hợp đặc biệt. Nếu ( ) 1 x có ( ) ( ) ( ) 1 0 , t r u t v j = , ( ) 2 x có ( ) ( ) ( ) 2 0 , t r u v t j = thì ( ) 1 ' ' ' u t t r u j = , ( ) 2 ' ' ' v t t r v j = . Khi đó · ( ) 1, 2 os F c EG x x = . 9. Ánh xạ Weingarten. Xét ánh xạ ( ) ( ) : M M h T S T S ® thỏa mãn ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' h u u u h v v v r h r n r h r n ì ¾¾® = - ï í ¾¾® = - ï î và ( ) ( ) ( ) : ' ' ' ' ' ' h u u v v u u v v u u v v M S a T a a r a r a a n a n a n a n Î = + ¾¾® = - + - = - - . ta gọi ánh xạ h được xác định như trên là ánh xạ Weingarten (ánh xạ định dạng của ( ) S ). Khi đó [ ] det h là độ cong Gauss của ( ) S và các giá trị riêng của ma trận [ ] h gọi là độ cong chính. Nhận xét. h là ánh xạ tuyến tính, cách xác định ánh xạ tuyến tính h không phụ thuộc vào tham số. Ma trận của ánh xạ tuyến tính h là ma trận cấp 2, l là giá trị riêng của ma trận h nếu 0 A I l - = . Ánh xạ Weingarten là ánh xạ tuyến tính đối xứng, tự liên hợp. 5 10. Dạng toàn phương cơ bản thứ hai. Cho mặt ( ) S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3 : , , r U u v r u v ® ¡ a Ánh xạ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : , , . . M M II T S T S a b I a b h a b a h b ® = = a là dạng song tuyến tính đối xứng. Khi đó ( ) ( ) ( ) , . . II a a a h a h a a = = là dạng toàn phương cơ bản thứ hai có công thức dạng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 u u v v II a L a Ma a N a = + + , với , , L M N được tính bởi ( ) ( ) ' , ' , u u L n u v r u v = - , ( ) ( ) ( ) ( ) ' , ' , ' , ' , u v v u M n u v r u v n u v r u v = - = - , ( ) ( ) ' , ' , v v N n u v r u v = - . Nếu mặt ( ) S có tham số hóa dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , r u v x u v y u v z u v = thì , , L M N được tính 2 '' '' '' 1 ' ' ' ' ' ' uu uu uu u u u v v v x y z L x y z EG F x y z = - , 2 '' '' '' 1 ' ' ' ' ' ' uv uv uv u u u v v v x y z M x y z EG F x y z = - , 2 '' '' '' 1 ' ' ' ' ' ' vv vv vv u u u v v v x y z N x y z EG F x y z = - 11. Độ cong pháp dạng. Lấy ( ) : ' ' M u u v v a T S a a r a r Î = + . Độ cong pháp dạng của ( ) S tại điểm M theo phương a được ký hiệu ( ) M K a và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 u u v v M u u v v L a Ma a N a II a K a I a E a Fa a G a + + = = + + . Lưu ý. ( ) ( ) M M K a K a l = 12. Phương chính. Giả sử h là ánh xạ Weingarten của mặt ( ) S , ( ) , 0 M a T S a Î ¹ . Ta nói a là phương chính của mặt ( ) S nếu a là véctơ riêng của ma trận ánh xạ tuyến tính h hay ( ) h a a l = với l là độ cong chính. Thấy rằng ( ) ( ) ( ) : ' , ' , M u u v v a T S a a r u v a r u v Î = + ta sẽ xác định , u v a a dựa vào định thức 2 2 0 v u v u a a a a E F G L M N - = . Khi đó 2 2 LN M K EG F - = - là độ cong Gauss, ( ) 2 2 2 EN GL FM H EG F + - = - là độ cong trung bình. 6 Lưu ý. Việc tính độ cong chính của mặt ( ) S ta có thể dựa vào phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 EG F EN LG MF LN M l l - - + - + - = để ý rằng 1 2 1 2 . , 2 K H l l l l + = = . 13. Phân loại điểm trên mặt. Cho mặt ( ) S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3 : , , r U u v r u v ® ¡ a và độ cong Gauss tại điểm ( ) ( ) , A r u v S = Î có công thức 2 2 LN M K EG F - = - , độ cong chính tương ứng là 1 2 , l l . Nếu 0 K > thì A là điểm Eliptic. Nếu 0 K < thì A là điểm Hyperbolic. Nếu 0 K = thì A là điểm Parabolic. Nếu 1 2 l l = thì A là điểm rốn. Nếu 1 2 0 l l = ¹ thì A là điểm cầu. Nếu 1 2 0 l l = = thì A là điểm dẹt. BÀI TẬP MINH HỌA Bài 1. Viết phương trình tham số hóa của các mặt tròn xoay sau trong 3 ¡ . a) Mặt Elipxoit tròn xoay. b) Mặt Hyperboloit 1 tầng tròn xoay. c) Mặt Hyperboloit 2 tầng tròn xoay. d) Mặt Paraboloit tròn xoay. Giải. a) Phương trình Elipxoit tròn xoay quay quanh trục ( ) 0 x có dạng 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b b + + = . Đặt 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin x y u a b z u b ì = + ï ï í ï = ï î . Khi đó ta được .cos .cos .cos .sin .sin x a u v y b u v z b u = ì ï = í ï = î . Do vậy phương trình tham số hóa của mặt Elipxot tròn xoay quay quanh trục ( ) 0 x là ( ) ( ) , .cos .cos , .cos .cos , .sin r u v a u v b u v b u = . Phương trình Elipxoit tròn xoay khi quay quanh trục ( ) 0 y có dạng 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b a + + = . Tương tự như trên cho ta phương trình tham số hóa của mặt Elipxoit tròn xoay quay quanh trục ( ) 0 y là ( ) ( ) , .cos .cos , .cos .cos , .sin r u v a u v b u v a u = . b) Phương trình Hyperboloit 1 tầng tròn xoay có dạng 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b a - + = . Phaàn 2 7 Đặt 2 2 2 2 2 2 2 2 os sin x y c u a b z u a ì = - ï ï í ï = ï î . Khi đó ta được .cos . . os. .sin x a u chv y b c shv z a u = ì ï = í ï = î . Do vậy phương trình tham số hóa của Hyperboloit 1 tầng tròn xoay là ( ) ( ) , .cos . , .cos . , .sin r u v a u chv b u shv a u = . c) Phương trình Hyperboloit 2 tầng tròn xoay có dạng 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b b - - = . Đặt 2 2 2 2 2 2 2 2 x y ch u a b z sh u a ì = - ï ï í ï = ï î . Khi đó ta được . . . . . x a chu chv y b chu shv z b shu = ì ï = í ï = î . Do vậy phương trình tham số hóa của Hyperboloit 2 tầng tròn xoay là ( ) ( ) , . . , . . , . r u v a chu chv b chu shv a shu = . d) Phương trình Parabolit tròn xoay có dạng 2 2 2 x y pz + = . Đặt 2 1 2 os .c .sin y u z u p x u v v ì ï ï ï í ï = = î = ï ï . Khi đó phương trình tham số hóa của Paraboloit tròn xoay là ( ) 2 1 .c , sin ,, 2 os .r u v u v u v u p æ ö = ç ÷ è ø . Bài 2. Cho [ ] [ ] 0,2 0,2 U p p = ´ và hai hàm véctơ ~ ~ 3 3 : , :r U I r U U® Ì = ® ¡ ¡ xác định bởi công thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ , 2 cos cos , 2 cos sin ,sin , 2 cos cos , 2 cos sin ,sin r u v u v u v u r u v v u v u v ì = + + ï í æ ö æ ö æ ö = + + ï ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø î a) Chứng minh rằng r và ~ r là các mặt tham số hóa và ( ) ~ ~ r U r U æ ö = ç ÷ è ø . b) r và ~ r có tương đương không? Vì sao? Giải. a) Dễ dàng kiểm tra được r , ~ r là 2 ánh xạ khả vi vì các hàm os, sin c u là các hàm số sơ cấp. Do ~ U U = nên ( ) ~ ~ r U r U æ ö = ç ÷ è ø . 8 b) Gi s r v ~ r tng ng tc l tn ti phộp bin i tham s ~ : U U j đ sao cho ~ 0 r r j = . Khi ú j l vi phụi bo ton hng t ~ U lờn U tc l det 0 J j > vi 1 1 2 2 ~ ~ ~ ~ u v J u v j j j j j ổ ử ả ả ỗ ữ ả ả ỗ ữ = ỗ ữ ả ả ỗ ữ ả ả ố ứ . Ta li cú ( ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 2 0 , , , , , , r u v r u v r u v r u v u v j j j ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử = = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 2 ~ ~ ~ 1 2 cos cos 2 os , os , 2 cos sin 2 os , sin , sin sin , v u c u v c u v v u c u v u v u u v j j j j j ỡ ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử + = + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ù ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ù ù ổ ử ù ổ ử ổ ử ổ ử + = + ớ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ù ù ổ ử = ù ỗ ữ ố ứ ù ợ . Suy ra ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ 2 , , u v v u v u j j ỡ ổ ử = ỗ ữ ù ù ố ứ ớ ổ ử ù = ỗ ữ ù ố ứ ợ Do ú 1 1 1 0 J j ổ ử = ỗ ữ ố ứ cú det 1 0 J j = - < (mõu thun). Vy ta cú iu cn chng minh. Bi 3. Cho U m trong Ă , mt ( ) S cú 3 : r U đ Ă xỏc nh bi ( ) ( ) 2 2 , , , r u v u v u v = - , vi mi ( ) , u v U ẻ . a) Chng minh r l tham s húa chớnh qui. b) Tỡm giao tuyn gia mt phng tip xỳc ( ) p ti im ( ) 0,1 A r = vi mt ( ) S . Gii. a) Xột ti im tựy ý ( ) , A r u v U = ẻ . Ly o hm theo bin , u v cho ta ( ) ( ) ( ) ( ) ' , 1,0,2 , ' , 0,1, 2 u v r u v u r u v v = = - . Suy ra ( ) ( ) ( ) ' ' , 2 ,2 ,1 u v r r u v u v = - Theo trờn ta li c ( ) ( ) ( ) 2 2 ' ' , 4 4 1 0, , u v r r u v u v u v U = + + ạ " ẻ . Do ú 2 vộct ( ) ( ) ' , , ' , u v r u v r u v c lp tuyn tớnh. Vy r l tham s húa chớnh qui hay ( ) S l mt chớnh qui. b) Phng trỡnh mt phng tip xỳc ( ) p ti ( ) ( ) 0,1 A r S = ẻ cú dng l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ' 0,1 ' 0,1 ' 0,1 0 ' 0,1 ' 0,1 ' 0,1 u u u v v v x x y y z z x y z x y z - - - = (3.1), trong ú ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0,1 , , 0,1, 1 ' 0,1 1, ' 0,1 0, ' 0,1 0 ' 0,1 0, ' 0,1 1, ' 0,1 2 u u u v v v A r x y z x y z x y z ỡ = = = - ù = = = ớ ù = = = - ợ . 9 Thế vào (3.1) ta được 1 1 1 0 0 0 0 1 2 x y z- + = - hay 2 1 0 y z + - = . Do vậy phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( ) p là 2 1 0 y z + - = . Lấy ( ) ( ) 2 2 , , , x u M x y z r u v y v z u v ì = ï Î Û = í ï = - î . Khi đó mặt ( ) 2 2 : S z x y = - . Từ đó cho ta 2 2 2 1 0 z x y y z ì = - í + - = î suy ra 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 x y y z x y y z é + - = ì í ê + - = î ê ê - + = ì ê í + - = ê î ë Do vậy giao tuyến giữa mặt phẳng tiếp xúc ( ) p với ( ) S là cặp đường thẳng có phương trình 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 x y y z x y y z é + - = ì í ê + - = î ê ê - + = ì ê í + - = ê î ë . Bài 4. Trong 3 ¡ với mục tiêu trực chuẩn 0 xyz cho ( ) 2 : 0, P y z ax = = a) Viết phương trình mặt tròn xoay sinh ra khi ( ) P quay quanh trục 0 z . b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc tại điểm tùy ý của mặt tròn xoay. Giải. a) Quay ( ) 2 1 : 0 x z P a y ì = ï í ï = î quanh trục 0 z cho ta mặt tròn xoay ( ) S có phương trình 2 2 1 x y z a + = . b) Phương trình tham số hóa của mặt ( ) S là ( ) ( ) 2 , cos , sin , r u v u v u v au = . Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( ) p tại điểm ( ) ( ) 0 0 , A r u v S = Î có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , 0 ' , ' , ' , u u u v v v x x y y z z x u v y u v z u v x u v y u v z u v - - - = (4.1). Với ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , cos , sin , A r u v x y z u v u v au = = = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , ' cos ,sin ,2 u u u u r u v x y z v v au = = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , ' sin , cos ,0 v v v v r u v x y z u v u v= = - . Thế vào (4.1) cho ta mặt phẳng ( ) p là ( ) ( ) 2 2 3 0 0 0 0 0 0 2 cos 2 sin 0 au v x au v y u z au + - - = . 10 Bi 5. Cho f l hm trn trờn tp m 2 U è Ă v mt ( ) S cú tham s húa 3 : r U đ Ă xỏc nh bi ( ) ( ) ( ) , , , , r u v u v f u v = , vi mi ( ) , u v U ẻ . a) Tỡm dng c bn th nht, th hai ca r . b) Tớnh cong Gauss K ca ( ) S ti mt im tựy ý. Gii. a) Dng c bn th nht ca r cú dng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 u u v v I a E a Fa a G a = + + (5.1) Vi ( ) ( ) ( ) 2 2 ' , 1 ' u u E r u v f= = + , ( ) ( ) ' , ' , ' . ' u v u v F r u v r u v f f = = ( ) ( ) ( ) 2 2 ' , 1 ' v v G r u v f= = + . Th vo (5.1) ta c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 ' 2 ' ' 1 ' u u u v u v v v I a f a f f a a f a ộ ự ộ ự = + + + + ở ỷ ở ỷ . Dng c bn th hai ca r cú dng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 u u v v II a L a Ma a N a = + + (5.2). Vi ( ) ( ) 2 2 2 '' '' '' '' 1 ' ' ' 1 ' ' ' ' ' uu uu uu u u u u u v v v v x y z f L x y z EG F f f x y z = = - + + ( ) ( ) 2 2 2 '' '' '' '' 1 ' ' ' 1 ' ' ' ' ' uv uv uv uv u u u u v v v v x y z f M x y z EG F f f x y z = = - + + ( ) ( ) 2 2 2 '' '' '' '' 1 ' ' ' 1 ' ' ' ' ' vv vv vv vv u u u u v v v v x y z f N x y z EG F f f x y z = = - + + Th vo (5.2) ta c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 '' 2 '' '' 1 ' ' u u uv u v v v u v II a f a f a a f a f f = + + + + . b) cong Gauss ti mt im tựy ý c tớnh theo cụng thc 2 2 LN M K EG F - = - theo cõu a) ta c ( ) ( ) ( ) 2 2 2 '' '' '' 1 ' ' u v uv u v f f f K f f - = + + . Bi 6. Cho [ ] [ ] 0,2 0,2 U p p = v mt xuyn ( ) S cú 3 : r U đ Ă xỏc nh bi cụng thc ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 cos cos , 2 cos sin ,sin r u v u v u v u = + + a) Xỏc nh cỏc ng ta ( ) ( ) 0 0 , , , r u v r u v ca r . b) Lp phng trỡnh tng quỏt ca cỏc mt phng tip xỳc ti 2 im ( ) 0,0 , ,0 2 A r B r p ổ ử = = ỗ ữ ố ứ . Gii. [...]... ¶v è EG ¶v ø ¶u è EG ¶u ø ø Theo giả thi t ta có E = 1 nên K = - 1 ỉ ¶ ỉ 1 ¶G ư ư 1 ỉ 1 1 2ư ç ç ÷ ÷ = G ç - 2 Guu + 4G ( Gu ) ÷ = 2 G è ¶u è G ¶u ø ø è ø ỉ 1ư çG2 ÷ è øuu G 1 2 Bài 11 Mặt trong ¡ 3 gọi là mặt tối tiểu nếu độ cong trung bình triệt tiêu tại mọi điểm Chứng u u ỉ ư minh rằng mặt ( S ) có tham số hóa r ( u , v ) = ç a.ch cos v, a.ch sin v, u ÷ là mặt tối tiểu a a è ø Giải Độ cong trung... thứ nhất, thứ N hai Bài 3 Chứng minh rằng điểm M thuộc ( S ) trong ¡ 3 là điểm rốn của ( S ) khi và chỉ khi có một trong hai điều kiện: 21 i) Trong mọi tham số hóa ( u , v ) a r ( u , v ) của mặt ( S ) trong một lân cận của điểm M , giá trị tại M của các hệ số của dạng cơ bản thứ hai tỉ lệ với dạng cơ bản thứ nhất i.e ii) H 2 = K Bài 4 Cho mặt tròn xoay ( j ' ) + (f ' ) 2 2 (S ) L M N = = E F G có... phương cơ bản thứ hai của mặt ( S ) b) Tính độ cong Gauss tại một điểm tùy ý trên mặt ( S ) ỉ ư a + a2 - u 2 c) Tinh độ cong Gauss với trường hợp đặc biệt c ( u ) = ± ç a ln - a2 - u2 ÷ , ç ÷ u è ø m (u ) = u d) Tính độ cong trung bình của mặt ( S ) e) Tìm phương trình m = m ( u ) trong trường hợp c ( u ) = u để H = 0 tại mọi điểm trên mặt Bài 10 Tìm độ cong chính của trên mặt x = a b uv (u - v )... trên mặt là tiệm cận nếu v tiếp tuyến tại mọi điểm có phương tiệm cận Đường tiệm được xác định bởi K M a = 0 hay ( ) phương trình L ( du ) + 2Mdudv + N ( dv ) = 0 Tìm đường tiệm cận của mặt sau đây 2 2 2 a) x = u 2 + v, y = u 3 + uv, z = u 4 + u 2v 3 b) z = xy 2 ỉ x c) z = a ç + ÷ èy xø Lời kết ! Hình vi phân là mơn học khó, đòi hỏi người học phải có sự trừu tượng và có kỷ năng tính tốn tốt mà tài liệu. .. c) z = a ç + ÷ èy xø Lời kết ! Hình vi phân là mơn học khó, đòi hỏi người học phải có sự trừu tượng và có kỷ năng tính tốn tốt mà tài liệu tiếng việt viết về Hình Học Vi Phân rất ít, chủ yếu là tài liệu tiếng anh Vì thời gian hồn thành tài liệu hỗ trợ này rất gấp nên khơng tránh những sai xót mong nhận được ý kiến đóng góp của các bạn Mọi ý kiến đóng góp các bạn gởi về theo địa chỉ mail thanhansp@gmail.com... giác là l » + l AC + lBC = a » » AB 6 3 Phần 3 BÀI TẬP TỰ GIẢI { } Bài 1 Chứng minh rằng ánh xạ r : U = ( u , v ) Ỵ ¡ 2 | u > 0, v > 0 ® ¡ 3 là tham 2 2 ( u, v ) a r ( u , v ) = u , uv, v số hóa mặt trong ¡3 Bài 2 Xét tham số hóa a Ỵ TM ( S ) : a = au r 'u + av r 'v a 2v E L -au av F M ( u, v ) a r ( u, v ) ( S ) trong xác định một phương chính của ( S ) của mặt ( ) ¡ 3 Chứng minh rằng véctơ tại M... - v0 sin u0 z - ku0 = = -k sin u0 k cos u0 -v0 Bài 16 Chứng minh rằng thể tích của tứ diện tạo bởi từ các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng tiếp ỉ a3 ư xúc (p ) của mặt ( S ) có phương trình tham số hóa r ( u , v ) = ç u , v, ÷ khơng phụ thuộc vào tiếp uv ø è điểm, với a Ỵ ¡ 18 Giải Phương trình mặt phẳng tiếp xúc x - x0 x 'u ( u0 , v0 ) x 'v ( u0 , v0 ) tại điểm M = r ( u0 , v0 ) Ỵ ( S ) có dạng là (p... Hyperbolic p Nếu K = 0 Û cos u = 0 Û u = + kp , k Ỵ ¢ thì tại mọi điểm A = r ( u, v ) thỏa 2 p u = + kp , k Ỵ ¢ là điểm Parabolic 2 cos u d) Giả sử mặt ( S ) có điểm rốn tức là l1 = l2 Û 1 = (vơ lí) Vậy mặt ( S ) khơng có 2 + cos u điểm rốn 14 (S ) Bài 10 Cho mặt trong ¡ 3 được tham số hóa sao cho dạng cơ bản thứ nhất có dạng 1 1 ỉ 2ư I ( a ) = ( au ) + G ( av ) Chứng minh rằng độ cong Gauss của ( S ) cho... cho ta phương trình mặt phẳng là x - 3 = 0 ỉp ư Tương tự phương trình mặt phẵng tiếp xúc (p B ) tại điểm B = r ç ,0 ÷ Ỵ ( S ) là x + z - 3 = 0 è2 ø Bài 7 Cho U = [ 0, 2p ] ´ [ 0, 2p ] Ì ¡ 2 và mặt giả cầu ( S ) có r : U ® ¡ 3 xác định bởi cơng thức ỉ u ưư ỉ r ( u , v ) = ç a sin u cos v, a sin u sin v, a ç cos u + ln tan ÷ ÷ 2 øø è è a) Xác định dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của mặt ( S ) b) Tính... = ç -a.ch cos v, -a.ch sin v,0 ÷ a a è ø 2 2 1 a2 ỉ ỉ Suy ra E = ç sh ÷ + 1, F = 0, G = a 2 ç ch ÷ và L = - , M = 0, N = a a è à è à Thế vào (11.1) ta được H = 0 tức là mặt ( S ) là mặt tối tiểu Bài 12 Cho mặt tham số hóa ( S ) trong ¡3 có r ( u , v ) = ( u cos v, u sin v, u + v ) a) Xác định các dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai và độ cong Gauss của ( S ) b) Tìm độ cong chính và phương chính của ( . – TIN HỌC Tài liệu hỗ trợ môn HÌNH VI PHÂN Trích bài giảng và bài tập của thầy Nguyễn Hà Thanh sinh viên thực hiện Nguyễn Thành An Học phần MẶT TRONG KHÔNG GIAN 3 ¡ . u v c x u v y u v = , hơn nữa không gian sinh bởi ( ) ( ) 0 0 0 0 ' , , ' , u v r u v r u v tại điểm ( ) 0 0 , M r u v = là không gian tiếp xúc với mặt ( ) S tại điểm M , ký. ( ) , M r u v = , với ( ) , u v U Î thì ( ) S là mặt chính qui. Điểm không chính qui là điểm kỳ dị. Tính chính qui của mặt ( ) S không phụ thuộc vào biểu diễn tham số (các bạn tự chứng