BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẬU XUÂN LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC VINH - 2010 i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẬU XUÂN LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62 46 01 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH LÊ DŨNG MƯU PGS TS TRẦN VĂN ÂN VINH - 2010 MỤC LỤC Mục lục i Lời cam đoan iv Lời cảm ơn Mở đầu Lí chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 6 Ý nghĩa khoa học thực tiễn 7 Tổng quan cấu trúc luận án Hàm phạt cho toán bất đẳng thức biến phân 1.1 11 Các kết tồn tính nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân 12 1.2 Phép chiếu mối quan hệ với bất đẳng thức biến phân 13 1.3 Phương pháp chiếu 17 1.4 Phương pháp hàm phạt 19 ii iii 1.5 Phương pháp kết hợp phạt-chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân 22 Ví dụ 25 Kết luận Chương 35 1.6 Hàm phạt cho toán bất đẳng thức biến phân vector yếu 36 2.1 Điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân vector yếu 38 2.2 Bài toán phạt 39 2.3 Các định lý hội tụ 44 Kết luận Chương 50 Hàm phạt cho toán tối ưu đa mục tiêu 3.1 51 Điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tối ưu đa mục tiêu 52 3.2 Bài toán phạt 54 3.3 Các định lý hội tụ 55 Kết luận Chương 61 Kết luận kiến nghị 62 Kết luận 62 Kiến nghị 62 Danh mục cơng trình khoa học nghiên cứu sinh liên quan đến luận án 63 Tài liệu tham khảo 63 iv LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, kết trình bày luận án hồn tồn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng luận án hồn tồn khơng trùng lặp với tài liệu khác Đậu Xuân Lương LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu viết luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Vinh, lãnh đạo khoa Toán học, Khoa Sau đại học – Trường Đại học Vinh; Lãnh đạo Viện Toán học, tập thể GS Thầy, Cô Trường Đại học Vinh Viện Toán học động viên giúp đỡ tạo nhiều điều kiện thuận lợi thời gian tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới nhà khoa học Thầy, Cô thuộc Tổ Giải tích Khoa Tốn học – Trường Đại học Vinh dành thời gian đọc luận án cho ý kiến nhận xét quý báu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Cao Đẳng Sư phạm Quảng Ninh Khoa Tự nhiên thuộc Trường Cao Đẳng Sư phạm Quảng Ninh, người thân bạn bè góp ý, ủng hộ động viên tinh thần vật chất cho tác giả Đậu Xuân Lương MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đời vào năm 60 ([50, 20, 32]), công cụ mạnh thống để nghiên cứu toán cân Cho đến nay, toán quy toán bất đẳng thức biến phân gồm có: tốn cân mạng giao thơng (Traffic Network Equilibrium Problem) tốn gần với tốn cân giá khơng gian (Spatial Price Equilibrium Problem) (tham khảo chẳng hạn [8, 47, 9, 42, 41]), tốn cân tài (Financial Equilibrium Problem), cân nhập cư (Migration Equilibrium Problem), hệ thống môi trường (Environmental Network Problem) mạng kiến thức (Knowledge Network Problem) ([11, 25, 26, 10, 40, 41, 29]) Phương pháp hàm phạt phương pháp quan trọng để giải toán bất đẳng thức biến phân (tham khảo chẳng hạn [38, 23, 39, 1, 51]) Nhờ vào phương pháp này, toán với miền ràng buộc phức tạp chuyển dãy tốn khơng ràng buộc với ràng buộc đơn giản Trong đó, phương pháp chiếu lớp phương pháp đơn giản hiệu quả, đặc biệt toán thỏa mãn điều kiện đơn điệu Nhược điểm phương pháp ta phải tính hình chiếu điểm lên miền lồi bất kỳ, tốn khó trường hợp tổng qt, mà miền khơng có hình dạng đặc biệt Do đó, kết hợp phương pháp hàm phạt phương pháp chiếu khắc phục nhược điểm phương pháp chiếu 1.2 Khái niệm bất đẳng thức biến phân vector giới thiệu Giannessi [16] Từ tới nay, người ta tìm nhiều ứng dụng toán bất đẳng thức biến phân vector (Vector Variational Inequality Problem, viết tắt VVIP) toán bất đẳng thức biến phân vector yếu (Weak Vector Variational Inequality Problem, viết tắt WVVIP) toán tối ưu đa mục tiêu (Multiobjective Optimization Problem, viết tắt MOP) (tham khảo chẳng hạn [16, 2, 4, 53, 18], toán xấp xỉ vector (Vector Approximation Problem) ([54]), tốn cân giao thơng vector (Vector Traffic Equilibrium Problem) ([55]) Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân vector yếu nghiên cứu nhiều cơng trình (tham khảo chẳng hạn [6, 4, 3, 31, 12]) Để ứng dụng toán bất đẳng thức biến phân vector yếu vào thực tiễn, địi hỏi phải có thuật tốn giải số hiệu cho toán Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tơi, có vài cơng trình nghiên cứu thuật tốn để giải toán bất đẳng thức biến phân vector yếu ([18, 19]) Từ lâu, phương pháp hàm phạt áp dụng để giải toán tối ưu toán bất đẳng thức biến phân dạng thường, đưa toán với miền ràng buộc phức tạp dãy tốn có ràng buộc đơn giản khơng có ràng buộc Tuy nhiên, chưa có cơng trình nghiên cứu áp dụng phương pháp cho toán bất đẳng thức biến phân vector yếu mà biết 1.3 Khái niệm nghiệm tối ưu Pareto (mà luận án gọi nghiệm Pareto) toán tối ưu đa mục tiêu xuất cơng trình Edgeworth [13] Pareto [44] Một điểm x gọi nghiệm Pareto toán tối ưu đa mục tiêu với hàm mục tiêu f = (f1 , , fk ) (k mục tiêu) khơng có điểm khác tốt điểm đó, nghĩa không tồn điểm y = x cho fi (y) ≤ fi (x) với i = 1, , k, fj (y) < fj (x) với số j Điểm x gọi nghiệm Pareto yếu toán tối ưu đa mục tiêu khơng có điểm khác tốt điểm xét tất mục tiêu, nghĩa không tồn y cho fi (y) < fi (x) với i = 1, , k Bài toán tối ưu đa mục tiêu có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực, khoa học sống Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu sử dụng toán xấp xỉ vector (Vector Approximation Problem), lý thuyết trị chơi (Game Theory), tốn quản lý hoạch định tài nguyên (Resource Planning and Management), lý thuyết phúc lợi (Welfare Theory), toán kỹ thuật điều khiển phi cơ, hệ thống khí xác, v.v (tham khảo chẳng hạn [48, 49, 33, 24]) Phương pháp hàm phạt áp dụng cho toán tối ưu đa mục tiêu nghiên cứu vài cơng trình gần (tham khảo [52, 21, 22, 34]) Trong [34], Liu Feng nghiên cứu nghiệm Pareto yếu toán MOP(D, f ) sử dụng hàm phạt mũ Liu Feng chứng minh x điểm giới hạn dãy nghiệm Pareto yếu toán phạt x chấp nhận (nghĩa x ∈ D), x nghiệm Pareto yếu tốn ban đầu Như vậy, định lý hội tụ họ dựa giả thiết điểm giới hạn x dãy nghiệm Pareto yếu toán phạt nằm miền ràng buộc D Giả thiết điểm bất lợi cách tiếp cận toán tối ưu đa mục tiêu với hàm phạt mũ Liu Feng Từ nảy sinh yêu cầu phải có mơ hình hàm phạt cho kết hội tụ tốt hơn, khắc phục nhược điểm mơ hình đề xuất [34] Với lí nêu trên, chọn đề tài “Phương pháp hàm phạt cho toán bất đẳng thức biến phân” làm đề tài luận án tiến sĩ Đề tài tập trung nghiên cứu vấn đề sau (1) Kết hợp phương pháp hàm phạt phương pháp chiếu để có thuật tốn hồn chỉnh giải tốn bất đẳng thức biến phân dạng VIP(D, f ), với D lồi đóng khác rỗng f đơn điệu, liên tục Lipschitz Bằng cách này, ta khắc phục trở ngại lớn phương pháp chiếu khó khăn tính tốn hình chiếu điểm lên miền lồi (2) Áp dụng phương pháp hàm phạt để chuyển toán bất đẳng thức biến phân vector yếu với ràng buộc miền D lồi đóng dãy toán bất đẳng thức biến phân vector yếu với miền ràng buộc K ⊃ D đơn giản hơn, gọi tốn phạt Ta chọn K = Rk , nghĩa tốn phạt khơng có ràng buộc (3) Áp dụng phương pháp hàm phạt để chuyển toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc miền D lồi đóng dãy toán tối ưu đa mục tiêu với miền ràng buộc K ⊃ D đơn giản hơn, gọi tốn phạt Ta chọn K = Rk , nghĩa tốn phạt khơng có ràng buộc Bằng cách sử dụng hàm phạt ngồi, chúng tơi thu kết hội tụ tốt so với kết nêu [34] Ngồi ra, chúng tơi cịn điều kiện đủ để tốn phạt có nghiệm Pareto yếu, đồng thời dãy nghiệm có điểm giới hạn nghiệm tốn ban đầu Mục đích nghiên cứu Luận án nhằm mục đích nghiên cứu áp dụng phương pháp hàm phạt cho toán bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân vector yếu toán tối ưu đa mục tiêu, tốn cuối số trường hợp đặc biệt tương đương với toán bất đẳng thức biến phân vector yếu Qua đó, luận án đưa thuật toán cho toán vừa nêu 55 (t) Chứng minh Hiển nhiên fi = fi + tP lồi khả vi Nếu K bị chặn, theo Hệ 3.1.4, MOP(K, f (t) ) có nghiệm Pareto yếu Giả sử điều kiện thứ hai thỏa mãn Ta có r r si (t) fi (y), y −a = r si fi (y), y − a + t i=1 r i=1 ≥ si P (y), y − a i=1 si fi (y), y − a + t(P (y) − P (a)) si fi (y), y − a i=1 r ≥ i=1 → +∞, y → +∞, y ∈ K Trong bất đẳng thức thứ hai ta sử dụng tính chất P (y) ≥ P (a) = a ∈ D Do đó, theo Hệ 3.1.4 MOP(K, f (t) ) có nghiệm Pareto yếu Giả sử điều kiện thứ ba thỏa mãn Với i = 1, , r ta có (t) fi (y), y − a = fi (y), y − a + t P (y), y − a ≥ fi (y), y − a + t(P (y) − P (a)) ≥ fi (y), y − a Do lim y →+∞, y∈K (t) fi (y), y − a > Theo Hệ 3.1.4, ta kết luận MOP(K, f (t) ) có nghiệm Pareto yếu 3.3 Các định lý hội tụ Ký hiệu S S(t) tương ứng tập nghiệm MOP(D, f ) MOP(K, f (t) ) Lấy {tn }n dãy số thực dương tăng đơn điệu tới +∞ n → +∞ 56 3.3.1 Bổ đề Giả sử f liên tục x(n) ∈ S(tn ) với n ∈ N Giả sử x điểm giới hạn dãy x(n) n Khi x ∈ D Chứng minh Ta chứng minh bổ đề phương pháp phản chứng Giả sử x giới hạn dãy x(nm ) m x(n) n x ∈ D Khi / P (x) > P (x) > ε với ε > Lấy y ∈ D Vì x(nm ) ∈ S(tnm ), tồn inm cho (t ) (t ) n n finmm (y) ≥ finmm (x(nm ) ) Vì inm ∈ {1, 2, , r}, tồn dãy vô hạn {inm } số có giá trị, chẳng hạn inm = 1, với ∈ N Để đơn giản ký hiệu, ta giả sử inm = với m ∈ N Do với m ∈ N (t ) (t ) f1 nm (y) ≥ f1 nm (x(nm ) ) (3.1) Vì P (x(nm ) ) → P (x) > ε, với m đủ lớn ta có P (x(nm ) ) > ε Do với m đủ lớn (t ) (t ) f1 nm (x(nm ) ) − f1 nm (y) = f1 (x(nm ) ) − f1 (y) + tnm (P (x(nm ) ) − P (y)) ≥ f1 (x(nm ) ) − f1 (y) + tnm ε → f1 (x) − f1 (y) + ∞ = +∞, as m → +∞ Điều mâu thuẫn với (3.1) Chú ý P (y) = y ∈ D Định lý sau chứng tỏ dãy nghiệm Pareto yếu toán phạt hội tụ tới điểm x x nghiệm Pareto yếu toán ban đầu Để ý tồn n ∈ N cho x(n) ∈ S(tn ) ∩ D, dễ thấy x(n) nghiệm MOP(D, f ) 3.3.2 Định lí Giả sử f liên tục x(n) ∈ S(tn ) với n ∈ N Khi điểm giới hạn dãy x(n) Pareto yếu MOP(D, f ) n nghiệm 57 Chứng minh Ta giả sử x điểm giới hạn dãy x(n) n Gọi x(nm ) m dãy x(n) n hội tụ tới x Theo Bổ đề 3.3.1, x ∈ D Giả sử phản chứng x ∈ S Khi tồn y ∈ D thỏa mãn / fi (y) < fi (x), i = 1, , r Vì x(nm ) ∈ S(tnm ), tồn inm cho (t ) (t ) n n finmm (y) ≥ finmm x(nm ) nhận Vì inm ∈ {1, 2, , r}, tồn dãy vô hạn số inm giá trị, chẳng hạn inm = 1, với ∈ N Để đơn giản ký hiêu, ta lại giả sử dãy inm m thỏa mãn tính chất này, tức inm = với m ∈ N Do với m ∈ N đủ lớn ta có (t ) (t ) f1 nm (y) ≥ f1 nm x(nm ) (3.2) Vì f1 (y) < f1 (x), ta suy f1 (y) − f1 (x) < −ε, với ε > Vì x(nm ) → x m → +∞, với m đủ lớn ta có f1 (y) − f1 x(nm ) < −ε Do với m đủ lớn (t ) (t ) f1 nm (y) − f1 nm x(nm ) = f1 (y) − f1 x(nm ) + tnm P (y) − P x(nm ) < −ε − tnm P x(nm ) ≤ −ε Điều mâu thuẫn với (3.2) 3.3.3 Định lí Giả sử f : Rk → Rr lồi khả vi Giả sử thêm điều kiện sau thỏa mãn K bị chặn, 58 K không bị chặn tồn a ∈ D cho fi (y), y − a > 0, i = 1, , r lim y →+∞, y∈K Giả sử x(n) ∈ S(tn ) với n ∈ N Khi dãy x(n) n có điểm giới hạn điểm giới hạn dãy nghiệm Pareto yếu MOP(D, f ) Chứng minh Trước hết để ý theo Bổ đề 3.2.1, ta có S(tn ) = ∅ Do dãy x(n) n nêu định lý ln tồn Nếu K bị chặn dãy x(n) n ⊆ K bị chặn Do theo nguyên lý Bolzano-Weierstrass, dãy có điểm giới hạn Khẳng định điểm giới hạn nghiệm Pareto yếu MOP(D, f ) suy trực tiếp từ Định lý 3.3.2 Bây giả sử K không bị chặn tồn a ∈ D cho lim y →+∞, y∈K fi (y), y − a > 0, i = 1, , r Ta cần chứng tỏ dãy x(n) n bị chặn đủ Với t > 0, gọi B(t) hình cầu đóng nhỏ Rk tâm gốc tọa độ cho với y ∈ B(t) với i = 1, , r, ta có / (t) fi (y), y − a > 0, hay nói cách khác fi (y), y − a) + t P (y), y − a > Vì fi (y), y − a) > y đủ lớn, t P (y), y − a ≥ t(P (y) − P (a)) ≥ 0, 59 ta suy B(t) có bán kính hữu hạn Tiếp theo, ta chứng minh S(t) ⊆ B(t) Thật vậy, giả sử phản chứng tồn y ∈ S(t)\B(t) Khi theo định nghĩa B(t), với i = 1, , r ta có (t) fi (y), y − a > 0, hay nói cách tương đương, (t) fi (y), a − y < 0, i = 1, , r Do y nghiệm WVVIP(K, (f (t) ) ) Theo Định lý 3.1.2, ta suy y ∈ S(t), mâu thuẫn Do S(t) ⊆ B(t) / Mặt khác, với t > t, ta có B(t ) ⊆ B(t) Thật vậy, với y ∈ B(t) / với i = 1, , r, ta có fi (y), y − a) + t P (y), y − a > 0, fi (y), y − a) + t P (y), y − a > 0, kéo theo (3.3) P (y), y − a ≥ P (y) − P (a) ≥ Theo định nghĩa, B(t ) hình cầu đóng nhỏ cho với y ∈ / B(t ), bất đẳng thức (3.3) thỏa mãn với i = 1, , r Do B(t ) tập B(t) Cuối cùng, {tn }n đơn điệu tăng, ta có B(t1 ) ⊇ B(t2 ) ⊇ · · · ⊇ B(tn ) ⊇ · · · Do với n ∈ N ta có x(n) ∈ S(tn ) ⊆ B(tn ) ⊆ B(t1 ) Vì bán kính B(t1 ) hữu hạn, ta kết luận dãy chặn x(n) n bị 60 3.3.4 Ví dụ Xét D = {x = (x1 , x2 )T ∈ R2 : x2 − x1 − ≤ 0, −x2 + x2 − ≤ 0} Hình 3.1: Miền ràng buộc D Lấy P theo (2.3) P (x) = [max{0, x2 − x1 − 1}]2 + [max{0, −x2 + x2 − 1}]2  0,  x ∈ D,     (x − x − 1)2 , x ∈ (I), = (x − x − 1)2 + (−x + x2 − 1)2 , x ∈ (II),  2     (−x + x2 − 1)2 , x ∈ (III) Cho f (x) = (f1 (x), f2 (x)), x2 x2 f1 (x) = + + x1 x2 + 2ex2 /2 − 2x2 , 2 x2 x1 f2 (x) = e + x1 − x1 + + Dễ thấy f định nghĩa lồi khả vi R2 Lấy K = R2 a = ∈ D Khi ta có f1 (y), y = (y1 + y2 )2 + y2 ey2 /2 − 2y2 , 2 f2 (y), y = 2y1 + y2 + y1 ey1 − y1 , 61 hiển nhiên số dương y → +∞ Do đó, theo Định lý 3.3.3 dãy nghiệm Pareto yếu toán phạt MOP(K, f (tn ) ), n = 1, 2, có điểm giới hạn điểm giới hạn dãy nghiệm Pareto yếu MOP(D, f ) Kết luận Chương Trong chương này, luận án giải vấn đề sau - Nghiên cứu mối quan hệ tập nghiệm Pareto yếu toán tối ưu đa mục tiêu ban đầu tập nghiệm Pareto yếu toán phạt tương ứng - Chứng minh miền D lồi đóng, ánh xạ f lồi, khả vi thỏa mãn tính chất bức, tốn phạt có nghiệm Pareto yếu Hơn nữa, dãy nghiệm Pareto yếu tốn phạt bị chặn, có điểm giới hạn nghiệm Pareto yếu toán tối ưu đa mục tiêu ban đầu Định lý 3.3.2 chứng minh điểm giới hạn dãy nghiệm Pareto yếu toán phạt nghiệm Pareto yếu toán ban đầu, cần giả thiết tính liên tục hàm mục tiêu f Ta không yêu cầu f lồi khả vi định lý Tuy nhiên, Định lý 3.3.3 đòi hỏi tính chất f Một vài cơng trình gần nghiên cứu nghiệm Pareto yếu toán tối ưu đa mục tiêu với giả thiết giảm nhẹ cho f , chẳng hạn, f không lồi không khả vi (tham khảo [27, 30, 46]) Dựa kết này, ta giảm nhẹ giả thiết đặt lên hàm f nêu Định lý 3.3.3 62 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Luận án nghiên cứu phương pháp hàm phạt áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân vector yếu toán tối ưu đa mục tiêu Kết luận án sau Đưa thuật toán kết hợp hai phương pháp hàm phạt phương pháp chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân Thuật toán kết hợp khắc phục nhược điểm phương pháp chiếu khó khăn tính hình chiếu điểm lên miền lồi tận dụng ưu điểm thuật toán khối lượng tính tốn nhỏ, thuật tốn đơn giản Thuật tốn minh họa ví dụ trường hợp hai chiều nhiều chiều, kết giải số ví dụ phân tích so sánh Xây dựng mơ hình hàm phạt để giải tốn bất đẳng thức biến phân vector yếu Chứng minh kết hội tụ phương pháp Nghiên cứu áp dụng phương pháp hàm phạt để tìm nghiệm Pareto yếu toán tối ưu đa mục tiêu Chứng minh kết hội tụ phương pháp Cải tiến kết nêu [34] Kết luận án cơng bố [37], [35] [36] Kiến nghị Thời gian tới, mong muốn tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau Nghiên cứu thêm tính hiệu tốc độ hội tụ thuật toán 63 kết hợp phương pháp hàm phạt phương pháp chiếu cho toán bất đẳng thức biến phân Giảm nhẹ giả thiết nêu điều kiện đủ thiết lập Chương Chương Trước hết nghiên cứu kỹ điều kiện đủ trường hợp hàm mục tiêu không trơn không đơn điệu Nghiên cứu mở rộng phương pháp hàm phạt cho dạng tổng quát toán bất đẳng thức biến phân vector DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA NGHIÊN CỨU SINH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Đậu Xuân Lương (2003), “Ánh xạ tự ứng dụng vào bất đẳng thức biến phân,” Thông báo khoa học – Các ngành khoa học tự nhiên, Trường Đại học Vinh D X Luong and L D Muu (2010), “Combining the projection methods and the penalty function method to solve the variational inequalities with monotone mappings”, Int J Optim Theory Methods Appl., 2(2), pp 124–137 D X Luong (2010), “Penalty functions for the vector variational inequality problem”, submitted to Acta Mathematica Vietnamica for publication D X Luong and T V An (2010), “Penalty functions for the multiobjective optimization problem”, J Math Sci Adv Appl., 6(1), pp 177–192 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Alber Y I (1995), “The penalty method for variational inequalities with nonsmooth unbounded operators in banach space”, Numer Funct Anal Optim., 16(9&10), 1111–1125 [2] Chen G Y (1988), “Vector variational inequality and vector optimization”, Lecture Notes in Econom and Math Systems, 285, 408–416 [3] Chen G Y (1992), “Existence of solutions for a vector variational inequality: An extension of the Hartman-Stampacchia theorem”, J Optim Theory Appl., 74, 445–456 [4] Chen G Y and Craven B D (1990), “A vector variational inequality and optimization over an efficient set”, ZOR-Meth Models Oper Res., 34, 1–12 [5] Chen G Y and Craven B D (1994), “Existence and continuity of solutions for vector optimization”, J Optim Theory Appl., 81(3), 459–468 [6] Chen G Y and Yang X Q (1990), “The vector complementary problem and its equivalences with the weak minimal element in ordered spaces”, J Math Anal Appl., 153, 136–158 [7] Cominetti R and Dussault J P (1994), “Stable exponential-penalty algorithm with superlinear convergence”, J Optim Theory Appl., 83(2), 285–309 64 65 [8] Dafermos S C (1980), “Traffic equilibria and variational inequalities”, Transportation Science, 14(1), 42–54 [9] Dafermos S C (1990), “Exchange price equilibria and variational inequalities”, Math Program., 46, 391–402 [10] Dafermos S C (1990), “Exchange price equilibria and variational inequalities”, Math Program., 46(3), 391–402 [11] Dafermos S C and McKelvey S C (1992), “Partitionable variational inequalities with applications to network and economic equilibria”, J Optim Theory Appl., 73(2), 243–268 [12] Daniilidis A and Hadjisavvas N (1996), “Existence theorems for vector variational inequalities”, Bull Austral Math Soc., 54, 473–481 [13] Edgeworth F Y (1881), Mathematical Psychics, Kegan Paul, London, England [14] Evans J P and Gould F J (1974), “An existence theorem for penalty function theory”, SIAM J Control., 12, 505–516 [15] Facchiney F and Pang J.-S (2003), Finite Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Springer Series in Operations Research and Financial Engineering [16] Giannessi F (1980), “Theorems of alternative, quadratic programs and complementary problems”, 151–186, in Variational inequality and complementary problems, edited by Cottle R W., Giannessi F and Eds J.-L Lions, Wiley, New York [17] Giannessi F (2000), Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria, Kluwer Academic Publishers [18] Goh C J and Yang X Q (1999), “Vector equilibrium problem and vector optimization”, European J Oper Res., 116(3), 615–628 66 [19] Goh C J and Yang X Q (2000), “Scalarization methods for vector variational inequality”, in Vector variational inequalities and vector equilibria, edited by Giannessi F., Kluwer Acadamic Publishers [20] Hartman P and Stampacchia G (1966), “On some nonlinear elliptic differential functional equations”, Acta Mathematica, 115, 153–188 [21] Huang X Q and Yang X Q (2002), “Nonlinear Lagrangian for multiobjective optimization and applications to duality and exact penalization”, SIAM J Optim., 13(3), 675–692 [22] Huang X Q., Yang X Q and Teo K L (2006), “Convergence analysis of a class of penalty methods for vector optimization problems with cone constraints”, J Global Optim., 36(4), 637–652 [23] Ito K and Kunisch K (1990), “An augmented Lagrangian technique for variational inequalities”, Appl Math Optim., 21(1), 223–241 [24] Jahn J (2004), Vector Optimization: Theory, Applications, and Extensions, Springer Verlag, New York [25] Jofre A., Rockafellar R T and Wets R J-B (2005), “A variational inequality scheme for determining an economic equilibrium”, in Variational Analysis and Applications, edited by Giannessi F and Maugeri A., Kluwer Acadamic Publishers [26] Jofré A., Rockafellar R T and Wets R J-B (2007), “Variational Inequalities and Economic Equilibrium”, Math Oper Res., 32(1), 32–50 [27] Kazmi K R (1996), “Existence of solutions for vector optimization”, Appl Math Lett., 9, 19–22 67 [28] Konnov I V (2001), “Combined relaxation methods for variational inequalities”, Lecture Notes in Economics and mathematical Systems, 495 [29] Konnov I V (2007), Equilibium Models and Variational Inequalities, Elsevier B V., Amsterdam [30] Lee G M and Kim D S (1994), “Existence of Solutions for vector optimization problems”, J Optim Theory Appl., 81(3), 459–468 [31] Lee G M., Kim D S., Lee B S and Cho S J (1993), “Generalized vector variational inequalities and fuzzy extensions”, Appl Math Lett., 6, 47–51 [32] Lions J L and Stampacchia G (1967), “Variational inequalities”, Comm Pure Appl Math., 20, 493–519 [33] Liu G P., Yang J B and Whidborne J F (2002), Multiobjective Optimization and Control, Research Studies Press Ltd, Baldock United Kingdom [34] Liu S and Feng E (2010), “The exponential penalty function method for multiobjective programming problems”, Optim Methods Softw., 25(5), 667–675 [35] Luong D X (2010), “Penalty functions for the vector variational inequality problem”, Submitted to Acta Mathematica Vietnamica for publication [36] Luong D X and An T V (2010), “Penalty functions for the multiobjective optimization problem”, J Math Sci Adv Appl., 6(1), 177–192 [37] Luong D X and Muu L D (2010), “Combining the projection methods and the penalty function method to solve the variational inequal- 68 ities with monotone mappings”, Int J Optim Theory Methods Appl., 2(2), 124–137 [38] Muu L D (1989), “An augmented penalty function method for solving a class of variational inequalities”, U.S.S.R Comput Math and Math Phys., 26(6), 117–122 [39] Muu L D (1992), “On a Lagrangian penalty function method for nonlinear programming problems”, Appl Math Optim., 25(1), 1–9 [40] Nagurney A (1989), “Migration Equilibrium and Variational Inequalities”, Econom Lett., 31(1), 109–112 [41] Nagurney A (1999), Network Economics: A Variational Inequality Approach, Edition 2, Springer Series in Advances in Computational Economics [42] Nagurney A and Dafermos S C (1984), “General spatial economic equilibrium problem”, Oper Res., 32, 1069–1086 [43] Nguyen V H and Strodiot J J (1979), “On the convergence rate for a penalty function method of exponential type”, J Optim Theory Appl., 27(4), 495–508 [44] Pareto V (1906), Manual of Political Economy, Societa Editrice Libraria, Milano, Italy [45] Rockafellar R T (1970), Convex Analysis, Princeton Univ Press, Princeton, New Jersey [46] Santos L B., Ruiz-Garzon G., Rojas-Medar M A and Rufian-Lizana A (2008), “Existence of weakly efficient solutions in nonsmooth vector optimization”, Appl Math Comput., 200(2), 547–556 [47] Smith M J (1979), “The existence, uniqueness and stability of traffic equilibria”, Transportation Science, 13B, 295–304 69 [48] Stadler W (1979), “A survey of multicriteria optimization or the vector maximum problem, part I: 1776–1960”, J Optim Theory Appl., 29(1), 1–52 [49] Stadler W (1988), Multicriteria Optimization in Engineering and in the Sciences, Springer Verlag, New York [50] Stampacchia G (1964), “Formes bilineares coercives sur les ensembles convexes”, Comptes Rendus Academie Sciences Paris, 258, 4413– 4416 [51] Tang Y C and Liu L W (2010), “The penalty method for a new system of generalized variational inequlities”, Int J Math Math Sci., 25(2010), 1–9 [52] White D J (2002), “Multiobjective programming and penalty functions”, J Optim Theory Appl., 13(3), 675–692 [53] Yang X Q (1993), “Vector complimentary and minimal element problems”, J Optim Theory Appl., 77, 483–495 [54] Yang X Q (1993), “Vector variational inequality and its duality”, Nonlinear Anal., 21(11), 869–877 [55] Yang X Q and Goh C J (1997), “On vector variational inequality: applications to vector traffic equilibria”, J Optim Theory Appl., 95, 431–443 [56] Zangwill W I (1969), Nonlinear Programming: A Unified Approach, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ ... pháp hàm phạt phương pháp chiếu để giải tốn bất đẳng thức biến phân Chúng tơi nhắc lại số định nghĩa kết tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Phương pháp chiếu phương pháp hàm phạt cho toán bất... 1.5 Phương pháp kết hợp phạt-chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân Trong phần kết hợp phương pháp hàm phạt phương pháp chiếu để giải tốn bất đẳng thức biến phân, nhờ khắc phục trở ngại phương. .. nghiên cứu phương pháp hàm phạt cho toán bất đẳng thức biến phân (dạng thường), toán bất đẳng thức biến phân vector toán liên quan với tốn tối ưu đa mục tiêu Chương nghiên cứu vấn đề kết hợp phương