S¸ng kiÕn kinh nghiÖm THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 5/9/2009 đến ngày 5/5/2010 4. Tác giả: Họ và tên: Phạm Thị Thuận Năm sinh: 1976 Nơi thường trú: Thị trấn Gôi - Huyện Vụ Bản - Tỉnh Nam Định Trình độ chuyên môn: ĐHSP Toán Chức vụ công tác: Phó hiệu trưởng Nơi làm việc: Trường THCS Thị trấn Gôi - Huyện Vụ Bản - Tỉnh Nam Định Địa chỉ liên hệ: Phạm Thị Thuận - Trường THCS Thị trấn Gôi - Huyện Vụ Bản - Tỉnh Nam Định. Số điện thoại: 0945273339 5. Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THCS Thị trấn Gôi. Địa chỉ: Thị trấn Gôi - Huyện Vụ Bản - Tỉnh Nam Định. Số điện thoại: 03503820694. Trang 1 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm I. Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến: Trong chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9 THCS, học sinh được làm quen với phương trình bậc hai, công thức nghiệm của phương trình bậc hai, đặc biệt là hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó trong việc giải toán. Song qua việc khảo sát tại trường THCS, tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Vi-ét chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức vào giải nhiều loại toán, trong khi đó hệ thức Vi-ét lại có phạm vi ứng dụng rất rộng rãi, đó là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán 9. Đứng trước tình hình đó, tôi đi sâu nghiên cứu việc "Ứng dụng hệ thức Vi-ét trong giải toán" với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo hệ thức Vi-ét, đồng thời làm tăng khả năng, năng lực học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh. II. Thực trạng Khi học về hệ thức Vi-ét, nhiều học sinh chỉ nắm được hệ thức và vận dụng đơn thuần hệ thức để tính tổng, tích các nghiệm. Còn đứng trước một bài toán dạng: Tìm giá trị của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước hoặc lập hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số, thì với học sinh đại trà, đa số các em thường tỏ ra lúng túng, không biết cách giải. Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về phương trình bậc hai, nhất là việc vận dụng hệ thức Vi-ét, trong quá trình giảng dạy, tôi đã tổng hợp, phân dạng toán có sử dụng hệ thức Vi-ét để giải nhằm giúp cho học sinh nắm được phương pháp giải từng loại toán đó. Từ đó các em có kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể. III. Các giải pháp 1. Hệ thống kiến thức cơ bản * §Þnh lý Vi-Ðt: Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 thì Trang 2 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm S = x 1 +x 2 = b a − P = x 1 .x 2 = c a Điều cần lưu ý là để áp dụng được hệ thức Vi-ét thì phương trình phải có nghiệm. * Ứng dụng: + Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( ) 0a ≠ có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là 1 1x = , còn nghiệm kia là 2 c x a = + Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( ) 0a ≠ có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là 1 1x = − , còn nghiệm kia là 2 c x a = − + Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình X 2 - SX + P = 0. Điều kiện để có hai số đó là: 2 4 0S P− ≥ 2. C¸c d¹ng bµi tËp vËn dông hÖ thøc Vi-Ðt : 2.1. Dạng 1 : Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai * Trường hợp phương trình bậc hai có các hệ số có quan hệ đặc biệt: Ví dụ 1: Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) 3x 2 - 5x + 2 = 0 b) 7x 2 + x - 6 = 0 c) (m-1) x 2 + mx - 1 = 0 (m ≠ 1) Giải: a) 3x 2 - 5x + 2 = 0 Ta có a + b + c = 3 - 5 + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm x 1 = 1, x 2 = c a = 2 3 b) 7x 2 + x - 6 = 0 Ta có a - b + c = 7 -1 - 6 = 0 nên phương trình có hai nghiệm Trang 3 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm x 1 = -1; x 2 = c a − = 6 7 c) (m-1) x 2 + mx + 1 = 0 (m ≠ 1) Phương trình đã cho là phương trình bậc hai (do m ≠ 1). Ta có a - b + c = m -1 - m + 1 = 0 nên phương trình có hai nghiệm x 1 = -1; x 2 = c a − = 1 1m − * Trường hợp phương trình bậc hai không có sự đặc biệt về hệ số nhưng có nghiệm nguyên đơn giản, ta có thể nhẩm nghiệm như sau: Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm của phương trình sau a) x 2 - 7x + 10 = 0 b) x 2 + 6x +8 = 0 Giải: a) Ta có: 2 + 5 = 7 và 2 . 5 = 10. Vậy ta nhẩm được hai nghiệm là x 1 = 2, x 2 = 5. b) Tương tự như câu a) ta có -2 + (-4) = -6 và (-2)(-4) = 8. Ta nhẩm được hai nghiệm là x 1 = -2, x 2 = -4 2.2. Dạng 2: Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho và tìm nghiệm còn lại. * Phương pháp: + Cách 1: Thay giá trị nghiệm đã biết vào phương trình để tìm tham số, sau đó kết hợp với hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại. + Cách 2: Thay giá trị nghiệm đã biết vào một trong hai hệ thức của Vi-ét để tìm nghiệm còn lại, sau đó kết hợp với hệ thức Vi-ét còn lại để tìm giá trị của tham số. * Ví dụ: Cho phương trình 2x 2 - px + 5 = 0. Biết phương trình có một nghiệm là 2. Tìm p và tìm nghiệm còn lại Giải: Cách 1: Thay x = 2 vào phương trình ta được p = 13 2 . Theo hệ thức Vi-ét ta có Trang 4 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm x 1 x 2 = 5 2 mà x 1 = 2 nên x 2 = 5 4 Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có x 1 x 2 = 5 2 mà x 1 = 2 nên x 2 = 5 4 . Mặt khác x 1 + x 2 = 2 p ⇒ 2 p = 2 + 5 4 ⇒ p = 13 2 2.3. Dạng 3: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai * Phương pháp: Dựa vào quan hệ về dấu của tổng và tích hai số với dấu của hai số đó, kết hợp với hệ thức Vi-ét thì ta sẽ xét được dấu của hai nghiệm hoặc tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm thoả mãn điều kiện về dấu. Cụ thể: Xét phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0. Giả sử phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 . Gọi S là tổng hai nghiệm, P là tích hai nghiệm. Khi đó: a) P < 0 thì hai nghiệm đó trái dấu b) P > 0 thì hai nghiệm đó cùng dấu c) P > 0 và S > 0 thì hai nghiệm đều dương d) P > 0 và S < 0 thì hai nghiệm đều âm e) P < 0 và S > 0 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn. f) P < 0 và S < 0 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn. + Chú ý: Trước khi xét dấu nghiệm, cần chú ý xét xem phương trình có nghiệm hay không. * Các ví dụ: Ví dụ1 : Không giải phương trình, xét dấu các nghiệm của các phương trình sau: a) x 2 - 2 3 x + 4 = 0 b) x 2 + 5x - 1 = 0 c) x 2 - 2 3 x + 1 =0 Trang 5 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm d) x 2 + 9x + 6 = 0 Giải: a) Ta có ∆ '= -1 < 0 nên phương trình vô nghiệm b) Ta có P < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Ta có ∆' = 2 > 0; S = 2 3 > 0; P = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt d) Ta có ∆ =57 > 0; S = -9 < 0; P = 6 > 0 nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để phương trình sau: 2x 2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau Giải: Phương trình đã cho là phương trình bậc hai nên ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 4.2. 1 4 4 1 8 8 4 12 9 2 3m m m m m m m m∆ = − − − = − + − + = − + = − Ta thấy 0 ∆ ≥ với mọi m (vì ( ) 2 2 3 0m − ≥ với mọi m). a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi P < 0 hay 1 0 2 m − < ⇔ m < 1 b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi ( ) 2 3 3 2 3 0 2 0 1 2 1 2 1 0 0 1 2 0 3 2 2 0 1 0 2 1 1 0 2 m m m m m S m m m P m m m    ≠     − > ≠  ∆ > >      −     < ⇔ < ⇔ − < ⇔ > ⇔      ≠      > − >  − >     >        c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi Trang 6 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ( ) 2 3 2 0 2 3 0 1 0 1 2 0 2 0 1 0 1 m m S m m P m m  ≠   ∆ > − >      > ⇔ − > ⇔ < ⇔       > − >   >    không có giá trị nào của m thoả mãn d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau tức là phương trình có hai nghiệm đối nhau . Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi 0 0S ∆ ≥   =  ⇔ 1 - 2m = 0 ⇔ m = 1 2 2.4. Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình bậc hai đã cho. * Phương pháp: Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét ta sẽ tính được giá trị của biểu thức chứa các nghiệm. * Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho phương trình x 2 + mx + 1 = 0 (m là tham số) Biết phương trình có nghiệm x 1 , x 2 . Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m: a) x 1 2 + x 2 2 b) x 1 3 + x 2 3 c) 1 2 x x− Giải: Vì phương trình có nghiệm x 1 , x 2 nên theo hệ thức Vi-ét ta có: x 1 + x 2 = -m và x 1 .x 2 = 1 a) x 1 2 + x 2 2 = (x 1 +x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = m 2 - 2 b) x 1 3 + x 2 3 = (x 1 +x 2 ) 3 - 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = -m 3 + 3m c) (x 1 - x 2 ) 2 = (x 1 +x 2 ) 2 - 4x 1 x 2 = m 2 - 4 nên 1 2 x x− = 2 4m − (vì phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 nên ∆ = m 2 - 4 ≥ 0) Ví dụ 2: Cho phương trình x 2 - 4x + 1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức Trang 7 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 4 1 1 1 2 8 9 5A x x x= + + − (với x 1 là một nghiệm của phương trình đã cho) Phân tích: - Quan sát biểu thức ta thấy: cần biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành dạng bình phương để đưa A về dạng A = 1 1 ( ) 5B x x− - Bằng cách xét dấu nghiệm ta chứng tỏ B(x 1 ) > 0 từ đó tính được giá trị của A. Giải: Vì x 1 là nghiệm của phương trình đã cho nên : x 1 2 = 4x 1 -1 ⇒ x 1 4 = 16x 1 2 - 8x 1 + 1 ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 32 8 11 5 25 7 8 11 5 25 7(4 1) 8 11 5 (do 4 1) 25 20 4 5 5 2 5 5 2 5 A x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = − + − = + − + − = + − − + − = − = + + − = + − = + − Phương trình đã cho có ∆' > 0 nên theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 1 2 4 0 1 0 x x x x + = >   = >  Vậy phương trình có hai nghiệm cùng dương. Ta có x 1 > 0 ⇒ 5x 1 + 2 > 0 ⇒ A = 5x 1 + 2 - 5x 1 = 2. Vậy A = 2. Ví dụ 3: Cho phương trình x 2 + x - 1 = 0 và x 1, x 2 là nghiệm của phương trình (x 1 < x 2 ) . Tính giá trị của biểu thức 8 1 1 1 10 13B x x x= + + + Giải: Từ giả thiết ta có: x 1 2 = 1 - x 1 ⇒ x 1 4 = x 1 2 -2x 1 + 1=(1 - x 1 ) - 2x 1 + 1=- 3x 1 + 2 ⇒ x 1 8 = 9x 1 2 - 12x 1 + 4 ⇒ 8 1 1 1 10 13B x x x= + + + = 2 1 1 1 1 9 12 4 10 13x x x x− + + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 9 2 17 8 2 17 8 1 2 17 10 25 5 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x = − + + = + − + + = + − − + + = − + + = − + = − + Theo hệ thức Vi-ét ta có P = x 1 x 2 = -1 Trang 8 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Vì P < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu mà x 1 < x 2 nên x 1 < 0 1 5 0x⇒ − < Vậy B = 1 1 5x x− + = 5 - x 1 + x 1 = 5 2.5. Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức nào đó. * Phương pháp: - Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm (hoặc nếu nhận thấy phương trình luôn có nghiệm thì chứng minh điều đó) - + Đối với loại hệ thức bậc nhất giữa hai nghiệm (dạng mx 1 ± nx 2 = p) hoặc dạng hiệu luỹ thừa của hai nghiệm (dạng x m - x n = p ) thì ta thường kết hợp với một trong hai hệ thức của Vi-ét để được hệ phương trình. Giải hệ phương trình đó ta tìm được hai nghiệm, thay vào hệ thức còn lại của Vi-ét ta tìm được giá trị của tham số. + Đối với các hệ thức giữa hai nghiệm dạng khác (chẳng hạn: x m + x n = p hoặc ( ) ( ) m xg xg xf xf =± 2 1 2 1 )()( , 1 2 ( ) ( )f x f x n± = , 1 2 ( ) ( )f x f x p± = ) ta thường biến đổi hệ thức chứa nghiệm về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta được phương trình có ẩn là tham số. Giải phương trình vừa lập ta tìm được giá trị của tham số. + Đối với các phương trình có các hệ số có quan hệ đặc biệt (a + b + c = 0 hoặc a - b + c = 0) ta có thể tìm cụ thể nghiệm và thay vào hệ thức, từ đó tìm được giá trị của tham số. - Đối chiếu giá trị tìm được của tham số với điều kiện có nghiệm của phương trình đã cho rồi kết luận. * Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x 2 + 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn a) 3x 1 + 2x 2 = 1 Trang 9 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm b) x 1 2 -x 2 2 = 6 c) x 1 2 + x 2 2 = 8 Giải: Phương trình x 2 + 2x + m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x nên ta có ' 1 m∆ = − Để phương trình có nghiệm thì ∆' ≥ 0 ⇔ 1 0m − ≥ ⇔ 1m ≤ Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 1 2 2x x x x m + = −   =  a) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi-ét ta có hệ: 1 2 1 2 1 2 2 (1) 3 2 1 (2) (3) x x x x x x m + = −   + =   =  Giải hệ (1), (2) ta được x 1 = 5; x 2 = -7 Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả mãn điều kiện) b) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi-ét ta có hệ: 2 2 1 2 1 2 1 2 6 (1) 2 (2) (3) x x x x x x m  − =  + = −   =  Giải hệ (1), (2) ta được x 1 = 5 2 − ; x 2 = 1 2 Thay vào (3) ta được m = - 5 4 (thoả mãn điều kiện) c) x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = 4 - 2m Ta có x 1 2 + x 2 2 = 8 ⇔ 4 - 2m = 8 ⇔ m = -2 (thoả mãn điều kiện) Ví dụ 2: Tìm m để phương trình (m-1)x 2 - 2mx +m + 2 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 1 2 2 1 6 0 x x x x + + = Giải: Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ( ) ( ) 2 1 1 0 1 ' 0 2 1 2 0 m m m m m m m ≠  − ≠ ≠    ⇔ ⇔ ⇔    ∆ > < − − + >     (*) Điều kiện: 1 2 0 2x x m≠ ⇔ ≠ − (**) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: Trang 10 [...]... nghiệm không phụ thuộc vào tham số * Phương pháp: + Với dạng này thì cách giải chung là theo hệ thức Vi-ét ta có hai hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình Từ một trong hai hệ thức ta biểu diễn tham số theo hai nghiệm, sau đó thế vào hệ thức còn lại ta được hệ thức cần tìm + Hoặc dùng quy tắc cộng để khử tham số từ hai hệ thức (Cần chú ý đến điều kiện có hai nghiệm của phương trình) * Các ví... Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình bậc hai đã cho Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn hệ thức nào đó Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số Dạng 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; chứng minh bất đẳng thức của biểu thức chứa nghiệm Dạng 8: Sử dụng ứng dụng của hệ thức Vi-ét: tìm hai số biết tổng... chỉ áp dụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy của cá nhân mà tôi còn phổ biến cho các bạn đồng nghiệp trong trường Kết quả: các bạn đồng nghiệp đều phản ánh là sáng kiến kinh nghiệm nêu trên đem lại kết quả tốt, học sinh vận dụng tốt hệ thức Vi-ét vào giải toán Chất lượng học của học sinh được nâng lên rõ rệt Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của bản thân tôi về "Ứng dụng hệ thức Vi-ét trong giải toán" ... + 6x1x2 = 8 Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 + 6x1x2 = 8 2.7 Dạng 7: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, chứng minh bất đẳng thức của biểu thức chứa nghiệm * Phương pháp: +Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm + Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, từ đó vận dụng hệ thức Vi-ét đưa biểu thức về dạng chỉ chứa tham số Từ đó sử dụng các phương... thức Vi-ét đối với các em khi gặp trong các kỳ thi vào THPT hay trường chuyên lớp chọn không còn khó khăn nữa Các em hứng thú, say sưa khi học về chuyên đề Hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó Trang 22 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Với việc áp dụng sáng kiến nêu trên, chất lượng bộ môn toán ở lớp tôi dạy có sự tiến bộ vượt bậc so với thời điểm chưa áp dụng sáng kiến Cụ thể: Các đề kiểm tra có phần bài tập về hệ. .. trình đã cho có hai nghiệm là: ( x1 ; y1 ) = ( 1;1) , ( x2 ; y2 ) = ( −2;1) * Ứng dụng (1) còn được sử dụng vào chứng minh bất đẳng thức, vận dụng vào các bài toán chứng minh khác: * Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện sau: a > 0, a2 = bc, a + b + c = abc Chứng minh rằng: a ≥ 3 , b > 0, c > 0 và b2 + c2 ≥ 2a2 Giải: Từ a + b + c = abc ⇒ b + c = a(bc - 1) = a(a2 - 1) = a3 - a (vì bc =... thường được sử dụng vào giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn: * Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  x+ y =3 2 2 x + y = 5 a)   x− y =2 2 2  x + y = 34 b)  Giải: a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ  S =3 ⇔  2 S − 2P = 5 S = 3  P = 2 x + y = 3  xy = 2 Do đó ta có:  Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0 Giải phương trình ta được X1 = 1; X2 = 2 Vậy hệ phương trình... (x1 + x2 - 2)2 là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ 1 = 0 (m là tham số ) Biết phương trình luôn có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Giải : Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm nên nó là phương trình bậc hai, do đó m ≠ 0 Theo giả thiết phương trình luôn có hai nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có:... dụng từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập về hệ thức Vi-ét để học sinh được củng cố và khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày khi gặp các dạng này Trong thời gian ôn thi, các em được hệ thống lại một cách hoàn chỉnh theo các dạng trên, đặc biệt chú ý cho học sinh nhận dạng và nêu phương pháp giải đối với từng dạng Vì thế, việc làm các bài toán có áp dụng hệ. .. Toán 9 - NXB giáo dục 3) Sách bài tập Toán 9 - NXB giáo dục 4) Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 - NXB Hà Nội 5) Luyện giải và ôn tập Toán 9 - NXB giáo dục 6) Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 9 - NXB giáo dục 7) Bài tập trắc nghiệm và các đề kiểm tra Toán 9 - NXB giáo dục 8) 500 bài toán chọn lọc lớp 9 - NXB đại học sư phạm 9) Ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán - NXB giáo dục 10) Ôn tập thi vào . việc giải toán. Song qua việc khảo sát tại trường THCS, tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Vi-ét chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức vào giải nhiều loại toán, trong. khi đó hệ thức Vi-ét lại có phạm vi ứng dụng rất rộng rãi, đó là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán 9. ứng trước tình hình đó, tôi đi sâu nghiên cứu việc " ;Ứng dụng hệ thức. việc vận dụng hệ thức Vi-ét, trong quá trình giảng dạy, tôi đã tổng hợp, phân dạng toán có sử dụng hệ thức Vi-ét để giải nhằm giúp cho học sinh nắm được phương pháp giải từng loại toán đó.