ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU CẤP BỘ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHI TUYẾN VÀO CÁC BÀI TOÁN BIÊN Mã số: B. 2005-18-01 THỜI GIAN THỰC HIỆN 12 THÁNG Từ tháng 06/2005 đến tháng 06/2006 Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Thành Long TP. HỒ CHÍ MINH 2006 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU CẤP BỘ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHI TUYẾN VÀO CÁC BÀI TOÁN BIÊN Mã số: B. 2005-18-01 THỜI GIAN THỰC HIỆN 12 THÁNG Từ tháng 06/2005 đến tháng 06/2006 Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Thành Long Thành viên tham gia: 1/ TS. Trần Minh Thuyết, Đại học Kinh tế Tp. HCM 2/ TS. Trần Ngọc Diễm, Đại học Bách khoa Tp. HCM 3/ TS. Bùi Tiến Dũng, Đại học Kiến Trúc Tp. HCM 4/ ThS. Nguyễn Thò Thảo Trúc, Đại học Cần Thơ TP. HỒ CHÍ MINH 2006 0 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC 00 KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ 2005-2006 01 1. TÊN NHIỆM VỤ 01 2. TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐÃ THỰC HIỆN 01 3. CÁC SẢN PHẨM ĐỀ TÀI ĐÃ HOÀN THÀNH 02 3.1. KẾT QUẢ KHOA HỌC 02 3.2. KẾT QUẢ ĐÀO TẠO 03 3.3. KẾT QUẢ ỨNG DỤNG 04 4. TỔNG QUAN PHẦN NGHIÊN CỨU 05 4.1. TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 06 4.2. THUYẾT MINH NGHIÊN CỨU 09 Thuyết minh Phần I. 09 Thuyết minh Phần II. 13 Thuyết minh Phần III. 15 Thuyết minh Phần IV. 16 06 BÀI BÁO CÔNG BỐ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 ĐÍNH KÈM TOÀN VĂN 06 BÀI BÁO 23 1 KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ 2005-2006 1. TÊN NHIỆM VỤ Tên đề tài: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHI TUYẾN VÀO CÁC BÀI TOÁN BIÊN (Using nonlinear methods in some boundary value problems). Mã số: B. 2005-18-01 Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Thành Long Cơ quan quản lý: Đại học Quốc Gia TP. HCM Cơ quan chủ trì thực hiện: Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Đòa chỉ: 227 Nguyễn Văn Cừ, Q.5, Tp. Hồ Chí Minh, ĐT: 8.350098. Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Thành Long Thành viên tham gia: 1/ TS. Trần Minh Thuyết, Đại học Kinh tế Tp. HCM 2/ TS. Trần Ngọc Diễm, Đại học Bách khoa Tp. HCM 3/ TS. Bùi Tiến Dũng, Đại học Kiến Trúc Tp. HCM 4/ ThS. Nguyễn Thò Thảo Trúc, Đại học Cần Thơ. Thời gian thực hiện: từ tháng 06/2005 đến tháng 06/2006. 2. TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐÃ THỰC HIỆN Đề tài nầy đã nhận được nhiều kết quả trong các lãnh vực Giải tích hàm phi tuyến và phương trình vi phân thể hiện qua: - 06 công trình đã công bố trên các tạp chí Quốc tế chuyên ngành, - 05 báo cáo tại các hội nghò khoa học, - Hoàn thành 2 luận án tiến só và đã bảo vệ cấp Nhà nước thành công (NCS. Trần Ngọc Diễm đã bảo vệ ngày 20/05/2006 và NCS. Bùi Tiến Dũng đã bảo vệ ngày 24/06/2006). - Hoàn thành 06 luận án thạc só và đã bảo vệ chính thức. Mặt khác, đề tài nghiên cứu các bài toán liên quan đến mô hình toán học cho các vấn đề đặt ra trong Kỹ thuật, Cơ học,… và có đònh hướng ứng dụng trong thực tiễn. Mặt khác đề tài cũng ứng dụng trực tiếp ngay trong giảng dạy, đào tạo cùng với việc triển khai nó vào các đề tài luận văn thạc sỹ và luận án tiến só. Trong thời gian nầy hai thành viên trong nhóm xêmina đang chuẩn bò để thi nghiên cứu sinh theo hướng đề tài nầy. 2 3. CÁC SẢN PHẨM ĐỀ TÀI ĐÃ HOÀN THÀNH 3.1. KẾT QUẢ KHOA HỌC. Bao gồm 06 công trình đã công bố trên các tạp chí Quốc tế chuyên ngành cùng với 05 báo cáo tại các hội nghò khoa học. a) Các bài báo đã và nhận đăng [N1] Nguyen Thanh Long, On the nonlinear wave equation =− xxxtt uuutBu ),,( 22 ),,,,,,( 22 xtx uuuuutxf associated with the mixed homogeneous conditions , J. Math. Anal. Appl. 306 (1) (2005) 243-268. [N2] Nguyen Thanh Long, Nonlinear Kirchhoff- Carrier wave equation in a unit membrane with mixed homogemeous boundary conditions , Electronic J. Differential Equations, 2005, No. 138 (2005) Pages 1-18. ISSN: 1072-6691. URL: http://ejde.math.txstate.edu or http://ejde.math.unt.edu. [N3] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem, On a shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar , J. Boundary Value Problems, Hindawi Publishing Corporation, 2005 (3) (2005) 337-358. [ http://www.hindawi.com/journals/bvp/volume-2005/S1687276205408016.html] [ http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?pii=S1687276205408016 ] [N4] Nguyen Thanh Long, Vo Giang Giai, A nonlinear wave equation associated with nonlinear boundary conditions: Existence and asymptotic expansion of solutions , Nonlinear Anal. TMA, Series A: Theory and Methods, (2206) (accepted for publication). [N5] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, On a nonlinear parabolic equation involving Bessel's operator associated with a mixed inhomogeneous condition , Comput. Appl. Math. 196 (1) (2006) 267-284. [N6] Nguyen Thanh Long, On the nonexistence of positive solution of some singular nonlinear integral equations , J. Inequalities and Applications, Hindawi Publishing Corporation, (2006) Article ID 45043, Pages 1-10. DOI: 10.1155/JIA/2006/45043 [ http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?pii=S1025583406450438 ]. b) Các báo cáo tại nghò Hội Nghò Ứng Dụng Toán học, Hà Nội, 23-25/12/2005. 1. Trần Ngọc Diễm, Alain Phạm Ngọc Đònh, Mô hình toán học bài toán va chạm chứa thanh đàn hồi nhớt . 2. Lê Thò Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long, Bài toán hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff . 3. Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận, Võ Giang Giai, Về một hệ Elliptic p-Laplace trong không gian Sobolev có trọng . 4. Trần Minh Thuyết, Phạm Gia Khánh, Phương trình sóng phi tuyến liên kết với một phương trình tích phân phi tuyến . 3 5. Nguyễn Thò Thảo Trúc, Nguyễn Công Tâm, Về phương trình sóng tuyến tính: :),,,,( txxxtt UUUtxfUU =− Xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm cận . 3.2. KẾT QUẢ ĐÀO TẠO. Hướng nghiên cứu đề tài cũng góp phần trong việc triển khai trong 02 luận án tiến só đã bảo vệ cấp Nhà nước và 06 luận án thạc só. a) Tiến só : 1. N.C.S. Trần Ngọc Diễm (Cơ sở đào tạo: Đại học KH Tự Nhiên TP. HCM) Đề tài: Sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin vào một số bài toán biên phi tuyến. Hướng dẫn bởi: Nguyễn Thành Long và GS. TS. Alain Phạm Ngọc Đònh (Orléans, Pháp). Ngày bảo vệ chính thức: 20/05/2006. 2. N.C.S. Bùi Tiến Dũng (Cơ sở đào tạo: Đại học Sư phạm TP. HCM) Đề tài: Sử dụng phương pháp giải tích vào một số bài toán biên phi tuyến. Hướng dẫn bởi: Nguyễn Thành Long và PGS.TS. Nguyễn Hội Nghóa( Ban Đào Tạo Sau Đại học, ĐHQG Tp. HCM). Ngày bảo vệ chính thức: 24/06/2006. b) Thạc só: 1. Phạm Gia Khánh ( Khoá 09, Trường Đại học Cần Thơ) Đề tài: Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa phương trình tích phân phi tuyến. Người hướng dẫn: Nguyễn Thành Long Ngày bảo vệ: 17/09/2005. 2. Nguyễn Văn Diễm ( Khoá 10, Trường Đại học Cần Thơ) Đề tài: Phương trình nhiệt phi tuyến trong không gian Sobolev có trọng. Người hướng dẫn: Nguyễn Thành Long Ngày bảo vệ: 26/11/2005. 3. Phan Thanh Xuân ( Khoá 10, Trường Đại học Cần Thơ) Đề tài: Sự không tồn tại nghiệm dương của một số phương trình tích phân phi tuyến. Người hướng dẫn: Nguyễn Thành Long Ngày bảo vệ: 26/11/2005. 4. Dương Bửu Lộc ( Khoá 13, Trường Đại học Sư phạm TP. HCM) Đề tài: Bất đẳng thức tích phân thuôc loại Ostrowski cho hàm khả vi cấp hai. Người hướng dẫn: Nguyễn Thành Long Ngày bảo vệ: 07/10/2005. 5. Huỳnh Văn Tùng ( Khoá 13, Trường Đại học KHTN Tp. HCM) 4 Đề tài: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến trong không gian Sobolev có trọng. Người hướng dẫn: Nguyễn Thành Long Ngày bảo vệ: 21/01/2006. 6. Nguyễn Vũ Dzũng ( Khoá 13, Trường Đại học KHTN Tp. HCM) Đề tài: Khảo sát phương trình parabolic phi tuyến trong miền hình cầu. Người hướng dẫn: Nguyễn Thành Long Ngày bảo vệ: 21/01/2006. 3.3. KẾT QUẢ ỨNG DỤNG. Hướng đề tài nghiên cứu các bài toán liên quan đến mô hình toán học cho các vấn đề đặt ra trong Kỹ thuật, Cơ học,… và có đònh hướng ứng dụng trong thực tiễn. Các kết quả công bố trên tạp chí nói trên tiếp tục trình bày thảo luận trong các nhóm xêmina để các thành viên trong nhóm học hỏi, tiếp cận thêm các công cụ mới. Từ đó đề tài đã gợi ra thêm một số vấn đề mới cần tiếp tục nghiên cứu. Mặt khác đề tài cũng ứng dụng trực tiếp ngay trong giảng dạy, đào tạo cùng với việc triển khai nó vào các đề tài luận văn thạc sỹ và luận án tiến só. Trong thời gian nầy hai thành viên trong nhóm xêmina là Võ Giang Giai và Lê Xuân Trường đang chuẩn bò để thi nghiên cứu sinh theo hướng đề tài nầy. 5 4. TỔNG QUAN PHẦN NGHIÊN CỨU Các bài toán biên phi tuyến xuất hiện ngày càng nhiều trong các ngành của Khoa học ứng dụng ( Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật,…). Đây là nguồn đề tài mà rất nhiều nhà Toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu bởi tính chất phong phú và nhiều chủng loại của nó. Hiện nay các công cụ của Giải tích hàm phi tuyến đã xâm nhập vào từng bài toán biên phi tuyến cụ thể ở một mức độ nào đó. Tổng quát, chúng ta không có một phương pháp toán học chung để giải quyết cho mọi bài toán biên phi tuyến. Các yếu tố phi tuyến xuất hiện trong bài toán có ảnh hưởng rất nhiều đến việc chọn lựa các phương pháp toán học để giải quyết. Do đó các bài toán biên phi tuyến ở trên cũng chưa giải hoặc chỉ giải được một phần tương ứng với số hạng phi tuyến cụ thể nào đó. Bởi vậy, tôi cho rằng đề tài nghiên cứu ở đây là cần thiết, có ý nghóa lý luận và thực tiễn. Trong các bài toán biên trên đây, nhiều nhà Toán học thường chú ý đến những loại có xuất xứ từ các vấn đề của Vật lý, Cơ học, v.v… và nghiên cứu chúng ở nhiều khía cạnh khác nhau bởi các công cụ toán học thích hợp. Bản thân chủ nhiệm đề tài cũng đã có nhiều kết quả công bố về hướng nghiên cứu nầy từ năm 1992 đến nay trên các tạp chí của Anh, Balan, Đức, Mỹ, Việt Nam…. Trong đề tài nầy chúng tôi muốn sử dụng các phương pháp phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các đònh lý điểm bất đọâng, phương pháp khai triển tiệm cận… nhằm khảo sát một số bài toán biên có liên quan đến các vấn đề trong Khoa học ứng dụng. Chẳng hạn như các phương trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán mô tả dao độâng của một vật đàn hồi với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tựa trên một nền đàn nhớt. Cũng trong đề tài nầy, tính chất không tồn tại nghiệm dương của một số phương trình tích phân phi tuyến kỳ dò xuất phát từ bài toán biên Neumann cũng được nghiên cứu. Trong đề tài nghiên cứu chúng tôi chú ý đến các vấn đề tồn tại, không tồn tại, tính duy nhất và các tính chất khác của nghiệm (tính trơn, ổn đònh, khai triển tiệm cận,…) của các bài toán biên có điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất và không thuần nhất. Kết quả thu được đã công bố trong 06 bài báo dưới đây [N1-N6]. [N1] Nguyen Thanh Long, J. Math. Anal. Appl. 306 (1) (2005) 243-268. [N2] Nguyen Thanh Long, Electronic J. Differential Equations, 2005, No. 138 (2005) Pages 1-18. [N3] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem, J. Boundary Value Problems, Hindawi Publishing Corporation, 2005 (3) (2005) 337-358. [N4] Nguyen Thanh Long, Vo Giang Giai, Nonlinear Anal. TMA, Series A: Theory and Methods, (2206) (accepted for publication). 6 [N5] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Comput. Appl. Math. 196 (1) (2006) 267-284. [N6] Nguyen Thanh Long, J. Inequalities and Applications, Hindawi Publishing Corporation, (2006) Article ID 45043, Pages 1-10. Các kết quả thu được trên đây được phân loại và sắp xếp thành 4 phần như sau: Phần I. Phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff cho miền một chiều và hai chiều: A. Phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất. B. Phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff trong màng tròn đơn vò với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất. Phần II. Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên phi tuyến chứa một tích chập với giá trò biên. Phần III. Phương trình parabolic phi tuyến chứa toán tử Bessel với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất. Phần IV. Sự không tồn tại nghiệm dương của một số phương trình tích phân phi tuyến kỳ dò. 4.1. TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Tóm tắt kết quả Phần I. Phần nầy cũng chia thành hai phần tương ứng với các phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff trong miền một chiều và hai chiều. PHẦN A: TRƯỜNG HP MỘT CHIỀU. Với miền một chiều ),1,0( = Ω chúng tôi xét bài toán giá trò biên và đầu cho phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff (a.1) =− xxxtt uuutBu ),,( 22 ),,,,,,,( 22 xtx uuuuutxf ,0),1,0( Ttx < <= Ω ∈ (a.2) ,0),1(),1(),0(),0( 10 = + =− tuhtutuhtu xx (a.3) ),( ~ )0,( 0 xuxu = ),( ~ )0,( 1 xuxu t = trong đó 10 ,hh là các hằng số không âm cho trước với ;0 10 > + hh và 10 ~ , ~ , , uufB là các hàm cho trước. Trong phương trình (1.1) các số hạng phi tuyến ),,( 22 x uutB và ),,,,,,( 22 xtx uuuuutxf còn phụ thuộc vào các tích phân ,),()( 22 ∫ Ω = dxtxutu .),()( 22 ∫ Ω = dxtxutu xx Trong phần này, chúng tôi liên kết bài toán (a.1)-(a.3) với một dãy qui nạp tuyến tính hội tụ mạnh trong các không gian hàm thích hợp mà sự tồn tại 7 đòa phương của nghiệm duy nhất được chứng minh bằng phương pháp Galerkin thông dụng kết hợp với phương pháp compact. Trong trường hợp ,0 ),( 0 31 >≥∈ + + bBIRCB N ,0 ),( 1 3 1 ≥∈ + BIRCB N ),]1,0([ 231 ++ + ×××∈ IRIRIRCf N )]1,0([ 23 1 ++ ×××∈ IRIRIRCf N chúng tôi thu được từ phương trình xxxxtt uuutBuutBu )],,(),,([ 22 1 22 ε +− ),,,,,,( 22 xtx uuuuutxf= ),,,,,,( 22 1 xtx uuuuutxf ε + liên kết với điều kiện (a.2) và (a.3) một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu ),( txu ε đến cấp 1+N theo một tham số bé . ε Kết quả nầy đã được công bố trong [N1]. PHẦN B: TRƯỜNG HP HAI CHIỀU. Với miền hai chiều },1:),{( 22 <+=Ω yxyx chúng tôi xét bài toán giá trò biên và đầu cho phương trình sóng phi tuyến trong màng tròn đơn vò có chứa toán tử Kirchhoff (b.1) ),,,,() 1 )(,( 2 0 2 0 rrrrrtt uutrfu r uuuBu =+− ,0,10 Ttr < < < < (b.2) ,),(lim 0 ∞< + → trur r r (b.3) ,0),1(),1( =+ tuhtu r (b.4) ),( ~ )0,(),( ~ )0,( 10 rurururu t == trong đó 10 ~ , ~ , , uufB là các hàm cho trước và 0>h là hằng số cho trước. Trong phương trình (b.1) số hạng phi tuyến ),( 2 0 2 0 r uuB phụ thuộc vào các tích phân ,),( 1 0 22 0 ∫ = drtruru .),( 1 0 22 0 ∫ = drtruru rr Trong phần này, chúng tôi liên kết bài toán (b.1)-(b.4) với một dãy qui nạp tuyến tính mà sự tồn tại đòa phương của nghiệm duy nhất được chứng minh trong các không gian Sobolev có trọng thích hợp. Trong chứng minh phương pháp Galerkin kết hợp với phương pháp compact được sử dụng. Kế đó chúng tôi xét bài toán (b.1)-(b.4) với trong trường hợp ),( urff = và η η + = 0 )( bB với hằng số cho trước .0 0 >b Chúng tôi liên kết phương trình (b.1) với một dãy qui nạp }{ m u (phi tuyến) ) 1 )(),(( 2 2 2 1 0 0 2 2 r u r r u rdrtr r u b t u mmmm ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ +− ∂ ∂ ∫ ),,()(),( 111 −−− ∂ ∂ −+= mmmm ur u f uuurf ,0,10 Ttr <<< < với m u thỏa (b.2)-(b.4). Số hạng đầu tiên 0 u được chọn là . ~ 00 uu = Nếu ),]1,0([ 2 IRCf ×∈ chúng tôi chứng minh rằng dãy }{ m u là hội tụ bậc hai. Kết quả nầy đã được công bố trong [N2]. [...]... đó I 0 , r0 ,α là các hằng số dương cho trước Bài toán (4.6), (4.7) là bài toán dừng của bài toán parabolic liên quan đến vấn đề đốt cháy bởi bức xạ Trong trường hợp 0 < α ≤ 2 các tác giả trong [7] đã chứng minh rằng phương trình tích phân phi tuyến (4.8) u ( r ,0 ) = 1 2π +∞ ∫ (I 0 ) 2π 2 2 α 0 exp( − s / r0 ) + u ( s ,0) sds ∫ 0 dθ r + s − 2rs cosθ 2 2 , ∀r > 0, liên kết với bài toán (4.6), (4.7) không... tiến về zêrô dạng mũ khi t → +∞, chúng tôi chứng minh rằng nghiệm u (t ) hội tụ khi t → +∞, về một nghiệm u∞ của bài toán dừng tương ứng, với hiệu số u (t ) − u∞ tiến về zêrô dạng mũ theo t Trong mục 4, cho một ví dụ minh họa với tính toán cụ thể Cũng chú ý rằng các giả thiết về số hạng phi tuyến F (r , u ) = 0 trong công trình của chúng tôi cũng khá rộng, nó cũng chứa một số lớn các bài toán phi tuyến. .. một sự tổng quát hóa tương đối các kết quả trong [2, 3, 19, 22, 23, 29, 30] và đã được công bố trong [N3, N4] Thuyết minh Phần III Phương trình parabolic phi tuyến chứa toán tử Bessel với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất Nội dung của phần nầy được công bố trong 01 bài báo [N5] Trong phần này, chúng tôi xét bài toán giá trò biên và đầu cho phương trình parabolic phi tuyến (3.1) (3.2) ut − a(t )(urr... bài toán (1.12)-(1.15), chẳng hạn như u ∈ C 1 Ω × (0, T ) ∩ C 2 (Ω × (0, T ) ) Điều kiện này thường được sử dụng trong sự liên hệ với các không gian Sobolev có trọng r [4, 25] Trong báo cáo này, chúng tôi liên kết bài toán (1.12)-(1.15) với một dãy qui nạp tuyến tính mà sự tồn tại đòa phương của nghiệm duy nhất được chứng minh trong các không gian Sobolev có trọng thích hợp Trong chứng minh phương pháp. .. vô hạn với giả sử rằng hình trụ phụ thuộc vào sự trao đổi nhiệt một cách tuần hoàn ở bề mặt (r = 1) với môi trường bên ngoài có nhiệt độ zéro Phía trong hình trụ, nguồn nhiệt đối xứng trục và thay đổi một cách tuần hoàn Minasjan [35] đã tìm một nghiệm cổ điển của bài toán này bằng cách dùng biến đổi Fourier Phương pháp này dẫn đến một hệ giả chính quy vô hạn các phương trình đại số tuyến tính Tuy nhiên... tôi thu được rằng nếu 0 ≤ α ≤ ( N + β − γ ) /(σ + γ 1− β1 ), phương trình tích phân (4.1) không có nghiệm dương liên tục Kết quả nầy đã được công bố trong [N6] 4.2 THUYẾT MINH NGHIÊN CỨU Thuyết minh Phần I Phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff cho miền một chiều và hai chiều: Liên quan đến các phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff chúng tôi đặc biệt chú ý đến miền một chiều... hai Kết quả nầy là một sự tổng quát hóa tương đối các kết quả trong [4, 12, 13, 20, 24, 26, 27, 36, 40] và đã được công bố trong [N2] Thuyết minh Phần II Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên phi tuyến chứa một tích chập với giá trò biên Nội dung của phần nầy được công bố trong 02 bài báo [N3, N4] (2.1) Trong phần này, chúng tôi xét bài toán: tìm cặp hàm số (u, P ) sao cho utt − u xx + f (u,... cho trước và B ∈ C 2 ( IR+ ), B1 ∈ C 1 ( IR+ ), B ≥ 0, B1 ≥ 0 là các hàm cho trước Trong phần này, chúng tôi liên kết bài toán (1.1)-(1.3) với một dãy qui nạp tuyến tính hội tụ mạnh trong các không gian hàm thích hợp mà sự tồn tại đòa phương của nghiệm duy nhất được chứng minh bằng phương pháp Galerkin thông dụng kết hợp 3 với phương pháp compact Trong trường hợp B ∈ C N +1 ( IR+ ), B ≥ b0 > 0, 3 2... bởi Long, Ruy [32] cho điều kiện biên phi tuyến tổng quát (4.9) − u z (r ,0) = g (r , u (r ,0)), ∀r ≥ 0 Trong [31] bài toán (4.3), (4.4) được xét với N = 2 và hàm g là liên tục, không giảm và bò chận dưới bởi một hàm lũy thừa bậc α đối với biến thứ ba Chúng tôi đã chứng minh rằng nếu 0 < α ≤ 2 bài toán như thế không có nghiệm dương Trong [5, 6] chúng tôi đã xét bài toán (4.3), (4.4) với N ≥ 3 Hàm số... trong đó P0 , P1 là các hằng số dương Khi f = 0 và B = B( ∇u ) là hàm chỉ phụ thuộc vào ∇u , bài toán Cauchy 2 2 hay hỗn hợp cho phương trình (1.1) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả; xem [12, 40] và các tài liệu tham khảo được trích dẫn trong đó Trong hai công trình gần đây (xem [37, 38]), các tác giả Medeiros, Limaco, Menezes đã cho một tổng quan các kết quả về khía cạnh toán học có liên quan đến . v t r n và m t thanh đ n nh t tựa tr n m t n n đ n nh t. Cũng trong đề t i n y, t nh ch t không t n t i nghiệm dương của m t số phương trình t ch ph n phi tuy n kỳ dò xu t ph t từ bài to n. bi n Neumann cũng được nghi n cứu. Trong đề t i nghi n cứu chúng t i chú ý đ n các v n đề t n t i, không t n t i, t nh duy nh t và các t nh ch t khác của nghiệm (t nh tr n, n đònh, khai tri n. quan đ n mô hình to n học cho các v n đề đ t ra trong Kỹ thu t, Cơ học,… và có đònh hướng ứng dụng trong thực ti n. Các k t quả công bố tr n t p chí n i tr n tiếp t c trình bày thảo lu n trong