www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Lời nói đầu : Thực nhiệm vụ năm học 2008 – 2009, Trường THPT Chun Lê Q Đơn Khánh Hịa khuyến khích giáo viên dạy môn chuyên, làm chuyên đề để xây dựng tài ngun tổ chun mơn Chính thực làm chuyên đề : BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Trong kì thi tuyển sinh đại học cao đẳng, có hay hai câu khó để phân loại thí sinh thường có câu bất đẳng thức 1) Định lý (Bất đẳng thức Cô si) : Cho n số thực không âm : a1 ; a2 ; ; an Ta có : √ a1 + a2 + + an ≥ n a1 a2 an n Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an 2) Một số bất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Cô si : 2.1) Các Bất đẳng thức dạng phân thức Với x, y > Ta có : 1 + ≥ x y x+y (1) ≥ xy (x + y)2 (2) Đẳng thức xảy x = y Với x, y, z > Ta có : 1 + + ≥ x y z x+y+z (3) Đẳng thức xảy x = y = z 2.2) Các bất đẳng thức dạng đa thức : x2 + y + z ≥ xy + yz + zx (4) x2 + y + z ≥ (x + y + z)2 (5) (x + y + z)2 ≥ (xy + yz + zx) (6) Đẳng thức xảy x = y = z 3) MỘT SỐ BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC : Bài toán : Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2005 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn : 1 + + =4 x y z Huỳnh Kim Linh Trang thứ 12 trang www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Chứng minh : 1 + + ≤ 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Lời giải : Cách : Áp dụng bất đẳng thức : 1 + ≥ x y x+y Với x, y > 0, ta : 8=2 1 + + x y z = 1 1 1 1 + + + + + ≥4 + + x y y z z x x+y y+z z+x (1) Tương tự x+y + y+z 2x+y+z ≥4 1 1 = x+y + x+z x+y z+x 1 + x+y+2z (2) x+2y+z + + + y+z y+z + z+x Từ (1) (2) suy 8≥8 1 + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z ⇔ 1 + + ≤ 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Đẳng thức xảy x=y=z= Cách : Áp dụng bất đẳng thức : 1 + ≥ x y x+y với x, y > 0, bất đẳng thức Cơsi ta có : 2x + y + z = (x + y) + (x + z) ≥ √ xy + √ xz Do : 1 ≤ 2x + y + z √ √ xy + xz ≤ 1 √ +√ xy xz Tương tự : 1 ≤ x + 2y + z 1 √ +√ xy yz 1 ≤ x + y + 2z 1 √ +√ xz yz Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta : 1 1 + + ≤ 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Huỳnh Kim Linh 1 √ +√ +√ xy yz zx (3) Trang thứ 12 trang www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi 4= 1 + + x y 1 1 1 1 + + + ≥√ +√ +√ y z z x xy yz zx (4) Từ (3) (4) suy : 1 + + ≤ 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Cách : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương 1 1 + + + x x y z (x + x + y + z) ≥ 16 Suy 1 ≤ 2x + y + z 16 1 + + x y z 1 ≤ x + 2y + z 16 + + x y z 1 ≤ x + y + 2z 16 1 + + x y z Tương tự Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta : 1 + + ≤ 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Mở rộng toán : Cho n số thực dương cho trước : a1 , a , a n thỏa điều kiện : 1 + + ··· + =k a1 a2 an Với n > k > cho trước Chứng minh : 1 k + +· · ·+ ≤ m1 a1 + m2 a2 + · · · + mn an m2 a1 + · · · + mn an−1 + m1 an mn a1 + m1 a2 + · · · + mn−1 an m1 + m2 + Bài toán : Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005 Chứng minh : với x ∈ R ta có : 12 x 15 + x 20 + x ≥ 3x + 4x + 5x Khi đẳng thức xảy Lời giải : Huỳnh Kim Linh Trang thứ 12 trang www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Áp dụng bất đẳng thức Côsi 12 15 12 x x x + 15 + 20 + 20 x ≥2 ≥2 x 15 ≥2 x x 12 12 15 x 20 x 20 x x x = 2.3x = 2.5x = 2.4x Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta : 12 x + 15 x + 20 x ≥ 3x + 4x + 5x Đẳng thức xảy 12 x = x 15 x 20 = ⇔ x = Đặt a = 3, b = 4, c = ta đến toán tổng quát sau : Mở rộng toán : Cho a, b, c ba số thực dương tùy ý Chứng minh : với x ∈ R, ta có : ab c x + bc a x + ca b x ≥ ax + b x + c x Bài toán : Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2005 Cho số thực dương x, y, z thỏa xyz = Chứng minh : √ √ √ √ + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 + + ≥3 xy yz zx Lời giải : Đặt √ P = + x3 + y + xy Áp dụng bất đẳng thức Côsi √ + y3 + z3 + yz √ + z + x3 zx √ + x3 + y ≥ 3 x3 y = 3xy √ + y + z ≥ 3 y z = 3yz √ + z + x3 ≥ z x3 = 3zx Từ suy P ≥ √ √ √ xy yz zx + + xy yz zx √ = √ 1 √ +√ +√ xy yz zx (1) Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi 1 1 =3 √ + √ + √ ≥ 3√ xyz xy yz zx (2) Từ (1) (2) suy điều cần chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z = Huỳnh Kim Linh Trang thứ 12 trang www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Mở rộng toán : Cho số thực dương a1 , a , a n thỏa mãn : a1 a2 · · · an = Chứng minh : + ap + · · · ap n−1 m q (a1 a2 · · · an−1 ) m + + ap + · · · ap n + ··· + q (a2 a3 · · · an ) m + ap + ap + · · · ap n n−2 √ ≥nmn q (an a1 · · · an−2 ) Trong m≥2 số nguyên dương, p, q số thực tùy ý Hướng dẫn : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n số + ap + · · · ap ≥ n n (a1 a2 · · · an−1 )p n−1 Bài toán : DỰ BỊ KHỐI A Năm 2005 : Cho x, y, z ba số thực thỏa x + y + z = Chứng minh : √ √ √ + 4x + + 4y + + 4z ≥ Lời giải : Ta có: √ √ √ √ 4 + 4x = + + + 4x ≥ 4x ⇒ + 4x ≥ 4x = 4x Tương tự √ √ + 4y ≥ 4x ; √ √ + 4z ≥ 4z Vậy √ + 4x + √ + 4y + √ + 4z ≥ √ 4x + √ 4y + √ 4z ≥ √ 4x 4y 4z ≥ √ 24 4x+y+z = Đẳng thức xảy x = y = z = Bài toán : DỰ BỊ KHỐI A Năm 2005 : Chứng minh : với x, y > ta có : (1 + x) + y x 1+ √ y ≥ 256 Đẳng thức xảy nào? Lời giải : Ta có: 1+x=1+ x x x x + + ≥4 3 3 Đẳng thức xảy x = 1+ Huỳnh Kim Linh y y y y y3 =1+ + + ≥4 3 x 3x 3x 3x x Trang thứ 12 trang www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Đẳng thức xảy y = 3x = 3 33 1+ √ =1+ √ + √ + √ ≥44 √ y y y y y ⇒ 1+ √ y ≥ 16 36 y3 Đẳng thức xảy y = Vậy y x (1 + x) + 1+ √ y ≥ 256 x3 y 36 = 256 33 33 x3 y Đẳng thức xảy x = y = Bài toán : DỰ BỊ KHỐI B Năm 2005 : Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn : a+b+c= √ √ √ 3 a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ Chứng minh : Khi đẳng thức xảy ? Lời giải : Cách 1: Ta có : 3 √ a + 3b + √ (b + 3c) 1.1 ≤ Suy (a + 3b) 1.1 ≤ (c + 3a) 1.1 ≤ √ b + 3c + a+3b+1+1 b+3c+1+1 c+3a+1+1 c + 3a ≤ = (a + 3b + 2) = (b + 3c + 2) = (c + 3a + 2) 1 [4 (a + b + c) + 6] ≤ + = 3 Dấu = xảy   a+b+c= ⇔ ⇔a=b=c= a + 3b = b + 3c = c + 3a = Cách 2: Đặt x= y= z= √ √ √ a + 3b ⇒ x3 = a + 3b b + 3c ⇒ y = b + 3c c + 3a ⇒ z = c + 3a ⇒ x3 + y + z = (a + b + c) = = Bất đẳng thức cần chứng minh ⇔x+y+z ≤3 Ta có : √ x3 + + ≥ x3 1.1 = 3x √ y + + ≥ 3 y 1.1 = 3y √ z + + ≥ z 1.1 = 3z ⇒ ≥ (x + y + z) Huỳnh Kim Linh Trang thứ 12 trang www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Vì x3 + y + z = Vậy x+y+z ≤3 Hay √ a + 3b + √ b + 3c + √ c + 3a ≤ Đẳng thức xảy a=b=c= Bài toán : DỰ BỊ KHỐI B Năm 2005 : √ √ Chứng minh ≤ y ≤ x ≤ x y − y x ≤ 4 Đẳng thức xảy nào? Lời giải : Ta có √ ≤ x ≤ ⇒ x ≥ x2 √ √ 1 √ √ x y−y x≤ ⇔x y ≤ +y x 4 Theo bất đẳng thức Cauchy : (1) √ √ 1 1 √ √ y x + ≥ yx2 + ≥ yx2 = x y ⇒ x y − y x ≤ 4 4 Dấu = xảy ⇔   0≤y≤x≤1    √     x = x2 yx2 =   x=1 ⇔  y= 4 Bài toán : DỰ BỊ KHỐI D Năm 2005 : Cho x, y, z ba số dương xyz = Chứng minh : x2 1+y + y2 1+z + z2 1+x ≥ Lời giải : Ta có: x2 1+y y2 1+z z2 1+x + + + 1+y 1+z 1+x ≥2 ≥2 ≥2 x2 1+y =x 1+y 1+z y =y 1+z 1+x z =z 1+x Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế ta có: y2 x2 z2 + 1+y + 1+z + 1+z + 1+x + 1+x 1+y 4 y2 x+y+z x2 z2 ⇔ 1+y + 1+z + 1+x ≥ − − + (x + 3 ≥ 3 − = − = = 4 Huỳnh Kim Linh ≥ (x + y + z) y + z) ≥ 3(x+y+z) − √ x + y + z ≥ 3 xyz = Trang thứ 12 trang www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Vậy x2 y2 z2 + + ≥ 1+y 1+z 1+x Bài toán : Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2006 Cho hai số thực x = 0, y = thay đổi thỏa mãn điều kiện: (x + y) xy = x2 + y − xy x3 Tìm giá trị lớn biểu thức A = + y3 Lời giải : x Từ giả thiết suy ra: Đặt x = a, y + y = x2 + y2 − xy =b ta có: a + b = a2 + b2 − ab (1) Khi a + b = a2 + b2 − ab (1) Từ (1) suy ra: a + b = (a + b) − 3ab Vì ab ≤ a+b nên a + b ≥ (a + b)2 − (a + b)2 ⇒ (a + b)2 − (a + b) ≤ ⇒ ≤ a + b ≤ Suy ra: A = (a + b)2 ≤ 16 Với x = y = A = 16 Vậy giá trị lớn A 16 Bài toán 10 : Đề Dự bị Đại học khối A năm 2006 Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: 3−x + 3−y + 3−z = Chứng minh rằng: 9x 3x +3y+z + 9y 3y +3z+x + 9z 3z +3x+y ≥ 3x +3y +3z Lời giải : Đặt 3x = a, 3y = b, 3z = c Ta có: a, b, c > a +1+ b c = ⇔ ab + bc + ca = abc Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a2 b2 c2 + b+ca + c+ab ≥ a+b+c a+bc ⇔ ⇔ b3 c3 a3 + b2 +abc + c2 +abc ≥ a+b+c a2 +abc a3 b3 c3 + (b+c)(b+a) + (c+a)(c+b) (a+b)(a+c) Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có a+b+c (1) a + a+b + a+c (a+b)(a+c) 8 b3 b+c b+a + + (b+c)(b+a) c3 + c+a + c+b (c+a)(c+b) 8 ≥ Cộng theo vế bất đẳng thức (2), (3), (4) ta suy a3 a+b a+c = a (2) (a+b)(a+c) 8 b3 b+c b+a 3 ≥ (b+c)(b+a) = b (3) c3 ≥ 3 (c+a)(c+b) c+a c+b = c (4) 8 a3 b3 c3 (a+b)(a+c) + (b+c)(b+a) + (c+a)(c+b) ≥33 ≥ a+b+c Vậy (1) ta có điều phải chứng minh Bài toán 11 : Đề Dự bị Đại học khối B năm 2006 Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x + 11 2x + 1+ x2 , với x > Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức : (a2 + b2 ) (c2 + d2 ) ≥ (ac + bd)2 ⇒y ≥ x+ 11 2x + Khi x = y = x2 ≥ 3+ 3+ Ta có : (9 + 7) + x 15 x = x+ x + ≥6+ = nên giá trị nhỏ y 15 15 Bài toán 12 : Đề Dự bị Đại học khối B năm 2006 Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ Huỳnh Kim Linh Trang thứ 12 trang www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = 3x2 +4 4x + 2+y y2 Lời giải : 3x2 +4 + 2+y = 3x + x + y22 4x y2 ⇒ A = x + x + y12 + y + y + x+y 8 Với x = y = A = Vậy giá trị nhỏ A Ta có A = +y ≥ + + = 2 Bài toán 13 : Đề Dự bị Đại học khối A năm 2007 Cho x, y, z số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 4(x3 + y ) + 4(x3 + z ) + 4(z + x3 ) + x y z + 2+ 2 y z x Lời giải : Với x, y > ta chứng minh : x3 + y3 ≥ (x + y)3 (∗) Dấu = xảy x = y Thật bất đẳng thức (*) ⇔ (x + y) (x2 − xy + y2 ) ≥ (x + y)3 ⇔ (x2 − xy + y2 ) ≥ (x + y)2 dox, y > ⇔ (x2 + y2 − 2xy) ⇔ (x − y)2 ≥ Tương tự ta có y3 + z3 ≥ (y + z)3 Dấu = xảy y = z z3 + x3 ≥ (z + x)3 Dấu = xảy z = x Do (x3 + y ) + (y + z ) + √ (z + x3 ) ≥ (x + y + z) ≥ xyz Ta lại có y z x + 2+ 2 y z x ≥ √ xyz Suy P ≥6 √ xyz + √ xyz ≥ 12 Dấu = xảy x = y = z = Vậy minP = 12 x = y = z = Bài toán 14 : Đề Dự bị Đại học khối D năm 2007 Cho a, b > thỏa mãn ab + a + b = Chứng minh : 3a 3b ab + + ≤ a2 + b + b+1 a+1 a+b Huỳnh Kim Linh Trang thứ 12 trang www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Lời giải : Từ giả thiết a, b > ab + a + b = Suy ra: ab = − (a + b), (a + 1)(b + 1) = ab + a + b + = Bất đẳng thức cho tương đương với 3a(a+1)+3b(b+1) + a+b − (a+1)(b+1) a2 + b2 + ≥ (a2 + b2 ) + (a + b) 2 2 a2 + b + ⇔ ≥ + a+b ⇔ (a + b ) + ≥ (a + b ) + (a + b) + 2 ⇔ a + b − (a + b) − 12 a+b + 10 ≥ −1 12 a+b −4 (∗) Đặt x = a + b > ⇒ x2 = (a + b)2 ≥ 4ab = 4(3 − x) ( x > 0) ⇒ x2 + 4x − 12 ≥ ⇒ x ≤ −6 hay x ≥ ⇒ x ≥ Ta có x2 = a2 + b2 + 2ab ⇒ a2 + b2 = x2 − 2(3 − x) = x2 + 2x − Khi bất đẳng thức (*) thành x2 − x − 12 x + ≥ 0, ∀x ≥ ⇔ x3 − x + 4x − 12 ≥ 0, ∀x ≥ ⇔ (x − 2) (x2 + x + 6) ≥ 0, ∀x ≥ hiển nhiên Vậy bất đẳng thức cho chứng minh 4) Một số toán để bạn tự làm : Bài toán 15 : Cho x, y > thỏa : x + y + z = Chứng minh : x + y ≥ 16xyz Bài toán 16 : Chứng minh với a + b + c = 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c Bài toán 17 : Cho a, b, c > : a + b + c = Chứng minh (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8(1 − a)(1 − b)(1 − c) Bài toán 18 : Cho a, b, c > Chứng minh : a b c + + < b+c c+a a+b a + b+c b + c+a c a+b Bài toán 19 : Cho a, b, c > thỏa : 1 + + ≥2 1+a 1+b 1+c Chứng minh : abc ≤ Huỳnh Kim Linh Trang thứ 10 12 trang www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Bài toán 20 : Chứng minh : với a > b > a+ ≥3 (a − b) (b + 1)2 Bài toán 21 : Cho a, b, c > Chứng minh : a4 b4 c4 + + ≥ a + b3 + c b+c c+a a+b Bài toán 22 : Cho số thực dương a, b, c, d thỏa : a3 + b3 + c3 + d3 = Chứng minh : √ b2 c2 d2 434 a2 + + + ≥ b3 + c3 + d3 a3 + c3 + d3 a3 + b3 + d3 a3 + c3 + b3 Bài toán 23 : Cho số thực dương a, b, c, d thỏa : a + b + c + d = Chứng minh : P = a2 1 1 + + + ≥ 256 (3c + 3b + 3d − 2) b (3c + 3a + 3d − 2) c (3a + 3b + 3d − 2) d (3c + 3b + 3a − 2) Bài toán 24 : Cho a, b, c > Chứng minh : a b c a+b+c + + ≥ √ b c a abc Bài toán 25 : Cho a, b, c, d > Chứng minh : 64 1 16 + + + ≥ a b c d a+b+c+d Bài toán 26 : Cho a, b, c > Chứng minh : 1 4 + + ≥ + + a b c 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Bài toán 27 : Cho x, y, z số thực dương thỏa tích xyz = Chứng minh: x3 y3 z3 + + ≥ (1 + y) (1 + z) (1 + z) (1 + x) (1 + x) (1 + y) Bài toán 28 : Cho a, b, c > Chứng minh : 1 1 1 + + ≥ + + ab bc ca a+b b+c c+a Bài toán 29 : Cho a.b > a+b≤1 Chứng minh : + ≥ 14 ab a + b2 Huỳnh Kim Linh Trang thứ 11 12 trang www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Bài toán 30 : Cho a, b, c > Chứng minh : 1 + + ≥ (2a + b) (2c + b) (2b + c) (2a + c) (2b + a) (2c + a) (a + b + c)2 Bài toán 31 : Cho a, b, c > thỏa a + b + c = Chứng minh : a2 1 + + ≥9 + 2bc b + 2ca c + 2ab Bài toán 32 : Cho x, y, z > thỏa : x + y + z = Chúng minh : x y z + + ≤ x+1 y+1 z+1 Bài toán 33 : Chứng minh với a, b, c > : a8 + b8 + c8 ≥ a3 b3 c3 1 + + a b c Bài toán 34 : Cho a, b, c > thỏa : ab + cb + ca = Chứng minh : √ + a2 + √ + b2 + √ + c2 ≤ (a + b + c) Bài toán 35 : Cho a, b, c > thỏa a + b + c = Chứng minh : a+ a + b+ b + c+ c ≥ 100 Bài toán 36 : Chứng minh : với x, y, z > ta ln có : y3 z3 x3 + + ≥x+y+z yz zx xy Bài toán 37 : Chứng minh : với a, b, c > thỏa a + b + c = ta có : a b c + + ≥ 2 1+b 1+c 1+a Bài toán 38 : Cho a, b, c không âm Chứng minh : a2 b2 c2 + + ≥1 a + 2b2 b + 2c2 c + 2a2 Bài toán 39 : Cho a, b, c, d dương với a + b + c + d = Hãy Chứng minh 1) 2) 3) a b c d + 1+c2 + 1+d2 + 1+a2 ≥ 1+b2 a b c d + 1+c2 d + 1+d2 a + 1+a2 b ≥ 1+b2 c b+1 c+1 d+1 a+1 + 1+c2 + 1+d2 + 1+a2 ≥ 1+b2 Bài toán 40 : Cho a, b, c > a + b + c = Hãy chứng minh : √ Huỳnh Kim Linh √ a+ b+ √ c ≥ ab + cb + ca Trang thứ 12 12 trang ... Trang thứ 12 trang www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Vậy x2 y2 z2 + + ≥ 1+y 1+z 1+x Bài toán : Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2006 Cho hai số... trang www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Đẳng thức xảy y = 3x = 3 33 1+ √ =1+ √ + √ + √ ≥44 √ y y y y y ⇒ 1+ √ y ≥ 16 36 y3 Đẳng thức xảy y = Vậy...www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Chứng minh : 1 + + ≤ 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Lời giải : Cách : Áp dụng bất đẳng thức : 1 + ≥ x