KỲ THI GIẢI TOÁN HỘI ĐỒNG THI TỈNH BẠC LIÊU TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY 2011 Ngày thi: 25/12/2011 Số báo danh HỌ VÀ TÊN THÍ SINH MÔN THI: TOÁN Lớp 12 THPT Ngày sinh:…. tháng …. năm ……., nam hay nữ: Đơn vị dự thi HỌ, TÊN CHỮ KÝ Giám thị số 1: Giám thị số 2: SỐ PHÁCH (Do chủ tịch hội đồng ghi) Chú ý: - Thí sinh phải ghi đủ các mục ở phần trên theo sự hướng dẫn của giám thị; - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi có phách đính kèm này; - Bài thi phải được viết bằng một loại bút, một thứ mực; không viết bằng mực đỏ, bút chì; không được đánh dấu hay làm kí hiệu riêng; phần viết hỏng phải dùng thước gạch chéo; không được tẩy, xóa bằng bất kỳ cách gì (kể cả bút xóa). - Trái với các điề u trên, thí sinh sẽ bị loại. 1 SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO-VINACAL VÒNG TỈNH NĂM 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Lớp 12 THPT Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25/12/2011 Chú ý: - Đề thi này gồm 4 trang, 10 bài, mỗi bài 5 điểm - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này ĐIỂM BÀI THI CÁC GIÁM KHẢO (Họ, tên và chữ ký) SỐ PHÁCH (Do Chủ tịch Hội đồng thi ghi) Bằng số Bằng chữ Giám khảo 1: Giám khảo 1: Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Bài 1. Tìm tất cả các nghiệm gần đúng của phương trình: 12 2011 2 25 log 2012 0 x xx − + +− = . Cách giải Kết quả Bài 2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: 22 2sin 3sin 2 4cos 2 2 2 0xxx + −+−= . Cách giải Kết quả 2 Bài 3. Giải hệ phương trình: () () 22 2 36 38 x yyxy x xy y + += − ⎧ ⎨ ++= ⎩ . Cách giải Kết quả Bài 4. Cho dãy số () n u có 1 4u = và 1 23 nn uu + = − ( * n ∈ N ). Tính ()() () 2 22 18 1 2 18 3 3 3Su u u=−+−++ −. Cách giải Kết quả Bài 5. Cho hàm số 2 3cos 4sin 5 () 3 x xx fx +−+ = . Tính gần đúng giá trị của các hệ số a, b nếu đường thẳng yaxb=+ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số () f x tại điểm có hoành độ 5 x π = . Cách giải Kết quả 3 Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 164)1ln()1(2 22 −−−++−= xxexxy x trên đoạn [] 0;1 . Cách giải Kết quả Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại B, ba cạnh b, a, c của tam giác theo thứ tự lập thành cấp số cộng, biết chu vi của tam giác ABC là 58 cm. Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC. Cách giải Kết quả Bài 8. Tìm gần đúng tọa độ các giao điểm của hai đường tròn ( ) ( )( ) 22 1 :1 24Cx y−++ = và ()( )( ) 22 2 :2 11Cx y−++=. Cách giải Kết quả 4 Bài 9. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC, biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là d, góc tạo bởi đường thẳng AB và mặt phẳng (SBC) bằng α ( 00 060 α << ). Tính thể tích khối chóp S.ABC khi 5d = , 0 20 α = . Cách giải Kết quả Bài 10. Một vận động viên chạy từ A đến D phải bơi qua sông theo đoạn BC (như hình vẽ). Biết A cách D 1km, chiều rộng con sông 100m, vận tốc chạy bộ gấp đôi vận tốc bơi. Tìm gần đúng chiều dài đoạn BC để vận động viên đến được D với thời gian ít nhất. A D B C Cách giải Kết quả HẾT 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN 12 Cấp THPT Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25/12/2011 SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Bài 1. Tìm tất cả các nghiệm gần đúng của trình: 12 2011 2 25 log 2012 0 x xx − + +− = . Cách giải Kết quả Điểm Đặt 12 2011 2 ( ) 25 log 2012 x fx x x − =++− , với 0 x > . Ta có 12 2011 1 ( ) 25 .12.ln 25 2 0 ln10 x fx x x − ′ =++> (do 0 x > ) (1) Giải với phím SOLVE ta thu được 44,83690851 x ≈ (2) Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất 44,8369x ≈ . 44,8369x ≈ 2,0 2,0 1,0 Bài 2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: 22 2sin 3sin 2 4cos 2 2 2 0xxx + −+−= . Cách giải Kết quả Điểm 22 2sin 3sin 2 4cos 2 2 2 0xxx+−+−= () 1cos2 3sin2 21cos2 222 0xx x⇔− + − + +− = 122 cos 2 sin 2 3 xx − ⇔−= 24 cos 2 46 x π − ⎛⎞ ⇔+= ⎜⎟ ⎝⎠ 0,6155 , xkk π ≈ +∈Z 1,4009 , xkk π ≈ −+∈Z 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 Bài 3. Giải hệ phương trình: () () 22 2 36 38 x yyxy x xy y + += − ⎧ ⎨ ++= ⎩ . Cách giải Kết quả Điểm + Có y = 0 không thỏa mãn hệ. + 0y ≠ : Hệ () 2 2 3 6 3 8 x xy y x xy y + ⎧ ++= ⎪ ⇔ ⎨ +⎛⎞ ⎪ += ⎜⎟ ⎩⎝ ⎠ 1,0 2 2 2 3 4 2 3 2 4 x y xy x y xy + ⎡⎧ = ⎪ ⎢ ⎨ ⎢ ⎪ += ⎩ ⎢ ⇔ + ⎧ ⎢ = ⎪ ⎢ ⎨ ⎢ ⎪ += ⎣⎩ + Giải từng hệ để tìm x, y. { { 15 17 xx yy = =− = = hoaëc 16 16 56 56 xx yy ⎧⎧ =− + =− − ⎨⎨ =− =+ ⎩⎩ hoaëc 1,0 1,5 1,5 Bài 4. Cho dãy số () n u có 1 4u = và 1 23 nn uu + = − ( * n ∈ N ). Tính ()() () 2 22 18 1 2 18 3 3 3Su u u=−+−++ −. Cách giải Kết quả Điểm - Chứng minh 1 23 n n u − =+ bằng phương pháp qui nạp. + n = 1: 1 4u = (đúng) + Giả sử 1 23 k k u − =+ ( 1k ≥ ), chứng minh 32 1 += + k k u . Ta có 1 23 kk uu + =− = () 1 22 3 3 k − +− 23 k = + (đpcm). - Từ đó có () ( ) 22 22 17 18 1 2 2 2S =+ + + + * Cách 2: Sử dụng quy trình tính trên máy. + Chứng minh 1 23 n n u − =+ + 18 22 906 492 245S = (kết quả chính xác) 2,5 2,5 Bài 5. Cho hàm số 2 3cos 4sin 5 () 3 x xx fx +−+ = . Tính gần đúng giá trị của các hệ số a, b nếu đường thẳng yaxb=+ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số () f x tại điểm có hoành độ 5 x π = . Cách giải Kết quả Điểm - Tính () 5 f π - Do đường thẳng yaxb=+ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số () f x tại điểm có hoành độ 5 x π = nên ( ) 5 af π ′ = và ( ) . 55 bf a π π =− - Ta có 2 3cos 4sin 5 () (2 3sin 4cos).3 .ln3 xxx fx x x x +−+ ′ =− − - Suy ra a và b. ( ) 407,5533404 5 f ≈ π () (2 3sin 4cos).().ln3fx x x xfx ′ = −− 1675,8069a ≈ − 1460,4939b ≈ 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 164)1ln()1(2 22 −−−++−= xxexxy x trên đoạn [ ] 0;1 . Cách giải Kết quả Điểm + Ta có 4[ ln( 1) 2] x yxx e ′ =++− 1,0 3 + 0ln(1) 20 x yxxe ′ =⇔ ++ −= Trên máy tìm được 0,5601187864x ≈ + 4ln( 1) 0 1 x x yx e x ⎡⎤ ′′ =+++> ⎢⎥ ⎣⎦ + (do 0x > ) Suy ra 0y ′ = có nghiệm duy nhất 0,5601187864x ≈ . + Tính trên máy (0); (1); (0,5601187864)yyy . + Kết luận [] [] 0;1 0;1 max ,minyy . 0 0,5601187864yx ′ = ⇔≈ (0) 3y = , (1) 2,873127314y ≈ (0,5601187864) 1,718625234y ≈ [] [] 0;1 0;1 max 3,min 1,7186yy = ≈ 1,0 1,0 1,5 0,5 Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại B, ba cạnh b, a, c của tam giác theo thứ tự lập thành cấp số cộng, biết chu vi của tam giác ABC là 58 cm. Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC. Cách giải Kết quả Điểm Ta có a = b.sinA; c = b.cosA. Do b, a, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên 2bc a+= l l 2 00 .cosA 2 .sinA AAA 2cos 4.sin .cos 222 A1 tan A 53 7'48,37'' C 36 52'11,63'' 22 bb b⇔+ = ⇔= ⇔=⇒≈ ⇒≈ Theo định lí sin, ta có: 2 sin sin sin sin sin sin 2.sin ; 2.sin ; 2.sin a b c abc R A BC ABC aR AbRBcRC + + ==== ++ ⇒= = = 2bc a + = l 0 A537'48,37''≈ , l 0 C3652'11,63''≈ 2 24,16666667R ≈ 19,3333; 24,1667ab ≈ ≈ ; 14,5000c ≈ 1,0 1,0 1,5 1,5 Bài 8. Tìm gần đúng tọa độ các giao điểm của hai đường tròn ( ) ( )( ) 22 1 :1 24Cx y−++ = và ()( )( ) 22 2 :2 11Cx y−++=. Cách giải Kết quả Điểm Viết lại ( ) 22 1 :2410Cx y x y+−++= và ( ) 22 2 :4240Cxy x y+−++= Từ đó suy ra 32 2 x y − = . Thay vào PT của () 2 C , ta được 2 836370xx−+= . 2,911437828 1,588562172 x x ≈ ⎡ ⇔ ⎢ ≈ ⎣ Kết luận các giao điểm A và B. 32 2 x y − = 2 836370xx − += 11 2,911437828 1,411437828xy ≈ ⇒≈− 22 1,588562172 0,088562172xy ≈ ⇒≈− ( ) ( ) 2,9114; 1,4114 , 1,5886; 0,0886AB−− 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 Bài 9. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC, biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là d, góc tạo bởi đường thẳng AB và mặt phẳng (SBC) bằng α ( 00 060 α << ). Tính thể tích khối chóp S.ABC khi 5d = , 0 20 α = . Cách giải Kết quả Điểm 4 - Gọi I là trung điểm của BC, suy ra )(SAIBC ⊥ . H là chân đường cao kẻ từ S. Kẻ SIAK ⊥ (K thuộc SI). - Xác định d và α . - Xét tam giác vuông ABK , có α sin d AB = - Diện tích tam giác đều ABC là 2 3 4 AB S = - Xét hai tam giác vuông đồng dạng AKI và SHI , ta có SH AI SI AK= (*) Ta có: 13 36 AB HI AI== , 222 SI SH HI=+, với SHh = . Do đó, (*) ( ) 2 22 2 2 . 9 AI SH AI AK SH⇔= + () 22 2 22 . 9 AK AI SH AI AK ⇒= − )sin43(3 2 α − =⇒ d h Vậy 3 22 1 . 3 12 3 4sin .sin d VhS α α == − H I A C B S K AKd = , n ABK α = 2 2 3 4sin d S α = 55,9611V ≈ 1,0 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 Bài 10. Một vận động viên chạy từ A đến D phải bơi qua sông theo đoạn BC (như hình vẽ). Biết A cách D 1km, chiều rộng con sông 100m, vận tốc chạy bộ gấp đôi vận tốc bơi. Tìm gần đúng chiều dài đoạn BC để vận động viên đến được D với thời gian ít nhất. A D B C Cách giải Kết quả Điểm A E D B F C Gọi độ dài đoạn BC là x (km) (0,1 1 x < < ), vận tốc bơi là v ( 0v > ). 5 Ta có: 2 1(0,1)ED =− , 22 (0,1)FC x=− Thời gian vận động viên xuất phát từ A đến được D là: 2 10,01 0,01 2 x x t vv −−− =+ Xét hàm số: 2 () 2 0,01fx x x=− − Ta có 2 () 2 0,01 x fx x ′ =− − 0,04 '( ) 0 3 fx x=⇔= Dựa vào bảng biến thiên của () f x , ta có () f x đạt giá trị nhỏ nhất khi 0,1154700538x ≈ Suy ra t ít nhất khi 0,1154x ≈ (km) Vậy độ dài đoạn BC thỏa yêu cầu đề bài là 0,1154 km. 2 1(0,1)ED =− , 22 (0,1)FC x=− 2 10,012 0,01 2 xx t v −+−− = 2 2 20,01 () 0,01 x x fx x − − ′ = − 0,1154700538x ≈ 1,0 1,0 1,0 0,5 1,0 0,5 HẾT . giao đề) Ngày thi: 25/12/2011 SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các. gian giao đề) Ngày thi: 25/12/2011 Chú ý: - Đề thi này gồm 4 trang, 10 bài, mỗi bài 5 điểm - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này ĐIỂM BÀI THI CÁC GIÁM KHẢO (Họ, tên và chữ ký). nhất. A D B C Cách giải Kết quả HẾT 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN 12