BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẬU XUÂN LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62 46 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC VINH - 2010 Cơng trình hoàn thành Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Lê Dũng Mưu PGS TS Trần Văn Ân Phản biện 1: PGS TS Nguyễn Hữu Điển Phản biện 2: PGS TS Phan Nhật Tĩnh Phản biện 3: PGS TS Bùi Thế Tâm Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án cấp trường họp Trường Đại học Vinh vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia - Trung tâm thông tin thư viện Nguyễn Thúc Hào - Trường Đại học Vinh MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đời vào năm 60 (Stampacchia (1964), Hartman Stampacchia (1966), Lions Stampacchia (1967)), công cụ mạnh thống để nghiên cứu toán cân Cho đến nay, toán quy toán bất đẳng thức biến phân gồm có: tốn cân mạng giao thơng (Traffic Network Equilibrium Problem) tốn gần với tốn cân giá khơng gian (Spatial Price Equilibrium Problem), tốn cân tài (Financial Equilibrium Problem), cân nhập cư (Migration Equilibrium Problem), hệ thống môi trường (Environmental Network Problem) mạng kiến thức (Knowledge Network Problem) Phương pháp hàm phạt phương pháp quan trọng để giải toán bất đẳng thức biến phân (tham khảo chẳng hạn L D Muu (1986, 1992), Ito Kunisch (1990), Alber (1995), Tang Liu (2010)) Nhờ vào phương pháp này, tốn với miền ràng buộc phức tạp chuyển dãy tốn khơng ràng buộc với ràng buộc đơn giản Trong đó, phương pháp chiếu lớp phương pháp đơn giản hiệu quả, đặc biệt toán thỏa mãn điều kiện đơn điệu Nhược điểm phương pháp ta phải tính hình chiếu điểm lên miền lồi bất kỳ, tốn khó trường hợp tổng qt, mà miền khơng có hình dạng đặc biệt Do đó, kết hợp phương pháp hàm phạt phương pháp chiếu khắc phục nhược điểm phương pháp chiếu 1.2 Khái niệm bất đẳng thức biến phân vector giới thiệu Giannessi (1980) Từ tới nay, người ta tìm nhiều ứng dụng toán bất đẳng thức biến phân vector (Vector Variational Inequality Problem, viết tắt VVIP) toán bất đẳng thức biến phân vector yếu (Weak Vector Variational Inequality Problem, viết tắt WVVIP) toán tối ưu đa mục tiêu (Multiobjective Optimization Problem, viết tắt MOP), toán xấp xỉ vector (Vector Approximation Problem) toán cân giao thông vector (Vector Traffic Equilibrium Problem) Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân vector yếu nghiên cứu nhiều cơng trình (tham khảo chẳng hạn Chen Yang (1990), Chen Craven (1990), Chen (1992), Lee (1993), Daniilidis (1996)) Để ứng dụng toán bất đẳng thức biến phân vector yếu vào thực tiễn, địi hỏi phải có thuật tốn giải số hiệu cho toán Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tôi, có vài cơng trình nghiên cứu thuật toán để giải toán bất đẳng thức biến phân vector yếu (Goh Yang (1999, 2000)) Từ lâu, phương pháp hàm phạt áp dụng để giải toán tối ưu toán bất đẳng thức biến phân vô hướng Tuy nhiên, chưa có cơng trình nghiên cứu áp dụng phương pháp cho toán bất đẳng thức biến phân vector yếu mà biết 1.3 Khái niệm nghiệm tối ưu Pareto (mà luận án gọi nghiệm Pareto) toán tối ưu đa mục tiêu xuất cơng trình Edgeworth (1881) Pareto (1906) Một điểm x gọi nghiệm Pareto toán tối ưu đa mục tiêu với hàm mục tiêu f = (f1 , , fk ) (k mục tiêu) khơng có điểm khác tốt điểm đó, nghĩa khơng tồn điểm y = x cho fi (y) ≤ fi (x) với i = 1, , k , fj (y) < fj (x) với số j Điểm x gọi nghiệm Pareto yếu toán tối ưu đa mục tiêu khơng có điểm khác tốt điểm xét tất mục tiêu, nghĩa không tồn y cho fi (y) < fi (x) với i = 1, , k Bài toán tối ưu đa mục tiêu có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực, khoa học sống Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu sử dụng tốn xấp xỉ vector (Vector Approximation Problem), lý thuyết trị chơi (Game Theory), toán quản lý hoạch định tài nguyên (Resource Planning and Management), lý thuyết phúc lợi (Welfare Theory), toán kỹ thuật điều khiển phi cơ, hệ thống khí xác, v.v Phương pháp hàm phạt áp dụng cho toán tối ưu đa mục tiêu nghiên cứu vài cơng trình gần (tham khảo White (1984), Huang Yang (2001), Huang, Yang Teo (2006), Liu Feng (2009)) Liu Feng (2009) nghiên cứu nghiệm Pareto yếu toán MOP(D, f ) sử dụng hàm phạt mũ Liu Feng chứng minh x điểm giới hạn dãy nghiệm Pareto yếu toán phạt x chấp nhận (nghĩa x ∈ D), x nghiệm Pareto yếu toán ban đầu Như vậy, định lý hội tụ họ dựa giả thiết điểm giới hạn x dãy nghiệm Pareto yếu toán phạt nằm miền ràng buộc D Giả thiết điểm bất lợi cách tiếp cận toán tối ưu đa mục tiêu với hàm phạt mũ Liu Feng Từ nảy sinh yêu cầu phải có mơ hình hàm phạt cho kết hội tụ tốt hơn, khắc phục nhược điểm mơ hình đề xuất Liu Feng (2009) Với lí nêu trên, chúng tơi chọn đề tài “Phương pháp hàm phạt cho toán bất đẳng thức biến phân” làm đề tài luận án tiến sĩ Đề tài tập trung nghiên cứu vấn đề sau (1) Kết hợp phương pháp hàm phạt phương pháp chiếu để có thuật tốn hồn chỉnh giải toán bất đẳng thức biến phân dạng VIP(D, f ), với D lồi đóng khác rỗng f đơn điệu, liên tục Lipschitz Bằng cách này, ta khắc phục trở ngại lớn phương pháp chiếu khó khăn tính tốn hình chiếu điểm lên miền lồi (2) Áp dụng phương pháp hàm phạt để chuyển toán bất đẳng thức biến phân vector yếu với ràng buộc miền D lồi đóng dãy toán bất đẳng thức biến phân vector yếu với miền ràng buộc K ⊃ D đơn giản hơn, gọi toán phạt Ta chọn K = Rk , nghĩa tốn phạt khơng có ràng buộc (3) Áp dụng phương pháp hàm phạt để chuyển toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc miền D lồi đóng dãy toán tối ưu đa mục tiêu với miền ràng buộc K ⊃ D đơn giản hơn, gọi tốn phạt Ta chọn K = Rk , nghĩa tốn phạt khơng có ràng buộc Bằng cách sử dụng hàm phạt ngoài, thu kết hội tụ tốt so với kết mà Liu Feng (2009) đưa Ngồi ra, chúng tơi cịn điều kiện đủ để tốn phạt có nghiệm Pareto yếu, đồng thời dãy nghiệm có điểm giới hạn nghiệm tốn ban đầu Mục đích nghiên cứu Luận án nhằm mục đích nghiên cứu áp dụng phương pháp hàm phạt cho toán bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân vector yếu toán tối ưu đa mục tiêu, tốn cuối số trường hợp đặc biệt tương đương với toán bất đẳng thức biến phân vector yếu Qua đó, luận án đưa thuật toán cho toán vừa nêu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp hàm phạt, toán bất đẳng thức biến phân dạng thường dạng vector yếu, toán tối ưu đa mục tiêu Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân vector yếu toán tối ưu đa mục tiêu không gian Euclide hữu hạn chiều Rk Phương pháp nghiên cứu Chúng tơi sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết thực đề tài Trong chương thứ nhất, việc kết hợp lợi phương pháp hàm phạt phương pháp chiếu, khắc phục trở ngại lớn phương pháp chiếu khó khăn việc tính hình chiếu điểm lên miền lồi Trong chương thứ hai, nghiên cứu phương pháp hàm phạt áp dụng cho bất đẳng thức biến phân vector yếu, sử dụng kỹ thuật chứng minh truyền thống lý thuyết hàm phạt cho toán bất đẳng thức biến phân cho tốn tối ưu để chứng minh tính hội tụ thuật tốn Điểm khác với cơng trình nghiên cứu tốn bất đẳng thức biến phân (dạng thường) trước chúng tơi đổi vị trí tham số phạt xây dựng tốn phạt Nhờ tính hội tụ thuật tốn chứng minh Trong chương thứ ba, thay áp dụng hàm phạt mũ Liu Feng (2009), chúng tơi sử dụng hàm phạt ngồi áp dụng kỹ thuật chứng minh L D Muu (1986), nhờ thu kết hội tụ tốt kết chứng minh Liu Feng (2009) Ý nghĩa khoa học thực tiễn Kết luận án góp phần giải vấn đề giải số toán bất đẳng thức biến phân dạng thường dạng vector yếu toán tối ưu đa mục tiêu Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh chun ngành Tốn giải tích Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Trong luận án này, nghiên cứu phương pháp hàm phạt cho toán bất đẳng thức biến phân (dạng thường), toán bất đẳng thức biến phân vector tốn liên quan với tốn tối ưu đa mục tiêu Chương nghiên cứu vấn đề kết hợp phương pháp hàm phạt phương pháp chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân Kết chương trình bày mục 1.5 Trong mục này, chúng tơi đưa Thuật tốn 3, kết hợp phương pháp hàm phạt phương pháp chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân Thuật toán trước hết chuyển toán bất đẳng thức biến phân ràng buộc miền lồi đóng D dãy tốn phạt với ràng buộc đơn giản hơn, sau giải toán phạt phương pháp chiếu Vì tốn phạt có miền ràng buộc đơn giản, việc tính hình chiếu điểm lên miền ràng buộc trở nên dễ dàng Do phương pháp chiếu giải tốn phạt cách hiệu Chúng tơi minh họa Thuật tốn ba ví dụ 1.6.1, 1.6.2 1.6.3, giải số toán bất đẳng thức biến phân trường hợp hai chiều nhiều chiều, trường hợp nhiều chiều lấy theo mơ hình Nash (Konnov (2001)) Trong Chương 2, nghiên cứu phương pháp hàm phạt áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân vector yếu WVVIP(D, F ) Kết tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân vector yếu mà sử dụng chương định lý đưa Chen Yang (1990)) Trong định lý này, tính chất mà ánh xạ F cần phải thoả mãn tính yếu D trường hợp miền D không bị chặn Chúng đưa khái niệm D-bức K Với ánh xạ F thỏa mãn điều kiện D-bức K , tồn nghiệm toán phạt WVVIP(K, F (t) ) với t > đảm bảo Kết chứng minh Bổ đề 2.2.5 Trong mục 2.3, chúng tơi trình bày định lý hội tụ cho mơ hình hàm phạt Trước hết, với Bổ đề 2.3.1, chứng minh điểm giới hạn dãy nghiệm toán phạt điểm chấp nhận được, nghĩa thuộc vào miền ràng buộc toán bất đẳng thức biến phân vector yếu ban đầu Tiếp theo, với giả thiết tính liên tục ánh xạ F , Định lý 2.3.2 chứng minh điểm giới hạn dãy nghiệm toán phạt WVVIP(K, F (t) ) tham số phạt t tiến vô nghiệm toán ban đầu WVVIP(D, F ) Chúng tơi đưa tính chất mạnh tính chất D-bức K , tính chất D-bức mạnh K ánh xạ F : Rk → Rr×k Định lý 2.3.4 chứng minh F ánh xạ liên tục, đơn điệu, thỏa mãn điều kiện D-bức mạnh K , (1) tốn phạt ln có nghiệm; (2) dãy nghiệm toán phạt ln bị chặn có điểm giới hạn; (3) điểm giới hạn dãy nghiệm toán phạt nghiệm toán ban đầu Trong Chương 3, áp dụng phương pháp hàm phạt cho toán tối ưu đa mục tiêu MOP(D, f ) Sử dụng kết tồn nghiệm Pareto yếu toán tối ưu đa mục tiêu (Lee Kim (1998)) tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân vector yếu (Chen Yang (1990)), Bổ đề 3.2.1 đưa điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán phạt MOP(K, f (t) ) với t > Các kết hội tụ thuật tốn phạt trình bày mục 3.3 Bổ đề 3.3.1 chứng minh tính chấp nhận điểm giới hạn dãy nghiệm Pareto yếu toán phạt MOP(K, f (t) ) t tiến vô Dựa vào bổ đề này, Định lý 3.3.2 chứng tỏ điểm giới hạn dãy nghiệm Pareto yếu toán phạt MOP(K, f (t) ) t tiến vô nghiệm Pareto yếu toán ban đầu MOP(D, f ) Dùng kỹ thuật bao nghiệm Pareto yếu tốn phạt hình cầu, Định lý 3.3.3 đưa điều kiện đủ để (1) tốn phạt ln có nghiệm; (2) dãy nghiệm toán phạt ln bị chặn có điểm giới hạn; (3) điểm giới hạn dãy nghiệm toán phạt nghiệm toán ban đầu Kết luận án cơng bố báo liệt kê Danh mục cơng trình khoa học nghiên cứu sinh liên quan tới luận án 7.2 Cấu trúc luận án Nội dung luận án trình bày chương Ngồi ra, luận án có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận kiến nghị, Danh mục cơng trình khoa học nghiên cứu sinh liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo 10 1.3 Phương pháp chiếu Mục trình bày phương pháp chiếu hai lần cho toán bất đẳng thức biến phân (tham khảo Facchinei Pang (2003), Mục 12.1.2) 1.4 Phương pháp hàm phạt Cho D tập lồi đóng khác rỗng Rn , K tập Rn chứa D Ta xây dựng hàm lồi khả vi P : K → R thỏa mãn P (x) ≤ 0⇐⇒x ∈ D (1.3) Hàm P thỏa mãn (1.3) gọi hàm phạt D Bây ta xây dựng toán phạt sử dụng hàm phạt vừa định nghĩa Với t > 0, đặt f (t) = tf + P Dễ thấy f (t) đơn điệu với t > f đơn điệu Ta xét toán bất đẳng thức biến phân ứng với tham số phạt t, ký hiệu VIP(K, f (t) ) : Tìm x(t) ∈ K cho f (t) (x(t) ), x − x(t) ≥ , ∀x ∈ K Nội dung mục nhắc lại thuật toán phạt cho toán bất đẳng thức biến phân vô hướng đưa L D Muu (1986) 1.5 Phương pháp kết hợp phạt-chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân Trong thuật toán phạt (L D Muu (1986)), bước lặp thứ k ta giải toán biến phân VIP(K, f (tk ) ) Nếu miền ràng buộc K tốn có hình dạng đặc biệt, ta giải cách sử dụng phương pháp chiếu Ta cần đặt thêm giả thiết tính liên tục Lipschitz f P Chọn tham số tk cách thích hợp bước, dãy nghiệm toán phạt VIP(K, f (tk ) ) hội tụ nghiệm toán ban đầu VIP(D, f ) tk → t∗ Đây ý tưởng thuật tốn mơ tả 11 Thuật tốn Xây dựng tập lồi đóng K ⊃ D có hình dạng đặc biệt (chẳng hạn, hình hộp, hình cầu, khơng gian con) hàm phạt lồi khả vi P cho P bị chặn Lấy số dương tùy ý t0 > Chọn εk > 0, cho εk → k → ∞ Đặt a = 0, b = ∞ chuyển sang Bước k với k = Bước k (k = 0, 1, ): • Bước k0 : Chọn số λ > 0, η ∈ (0; 1/Ltk ), Ltk số Lipschitz f (tk ) Đặt j := 0, chọn điểm xuất phát y ∈ K • Bước k1 : a) Nếu ||y (j) − PK (y (j) − λf (tk ) (y (j) ))|| ≤ εk , đặt x(k) := y (j) Xét hai trường hợp sau a1) Nếu x(k) ∈ D, đặt a := tk tk+1 := (a + b)/2, b < ∞, 2a, b = ∞ Chuyển sang Bước k với k := k + a2) Nếu x(k) ∈ D, đặt b := tk tk := (a + b)/2 Đặt k := k + / quay lại Bước k b) Nếu ||y (j) − PK (y (j) − λf (tk ) (y (j) ))|| > εk , chuyển sang Bước k2 • Bước k2 : Tính y (j+1/2) := PK (y (j) − ηf (tk ) (y (j) )), y (j+1) := PK (y (j) − ηf (tk ) (y (j+1/2) )) Gán j := j + quay lại Bước k1 Trên PK (x) hình chiếu Euclide x lên K Khi K có hình dạng đặc biệt, ta tính PK (x) dễ dàng nhờ vào cơng thức hiển 12 1.5.1 Định lí Giả sử f ánh xạ đơn điệu miền lồi đóng K ⊃ D, P hàm phạt lồi khả vi D Hơn giả sử P bị chặn K , f P liên tục Lipschitz K Gọi {x(k) } dãy sinh Thuật tốn Khi đó, điểm giới hạn {x(k) } nghiệm toán ban đầu VIP(D, f ) 1.6 Ví dụ Chúng tơi cài đặt Thuật tốn dùng ngơn ngữ C để giải số ví dụ phân tích kết chạy chương trình luận án Các kết số thu phù hợp với kết nêu lý thuyết 1.6.1 Ví dụ Xét D = {x ∈ Rn : g(x) ≤ 0} ∩ K, K = {x = (x1 , x2 , , xn )T ∈ Rn : ≤ xi ≤ , i = 1, 2, , n}, = + i , 3i − g(x) = n2 exi − i e5 + n − n2 Chọn hàm P (x) ≡ g(x) Rn Khi P hàm phạt D Ánh xạ f lấy theo mơ hình Nash (Konnov (2001)) f (x) = H(x) − p(σx )e − p (σx )x, e = (1, , 1)T ∈ Rn , σx = x, e = xj , j H(x) = (α1 x1 + β1 , , αn xn + βn )T , với αi , βi , i = 1, , n lấy ngẫu nhiên khoảng [0, 10] Hàm p(t) cho p(t) = γ , t+1 13 γ lấy ngẫu nhiên khoảng [0, 15] Ánh xạ f , hàm phạt P , miền D K lấy thỏa mãn giả thiết Định lý 1.5.1 Do đó, dãy sinh Thuật tốn có tính chất điểm giới hạn dãy nghiệm tốn ban đầu Ta lấy D = {x = (x1 , x2 )T ∈ R2 : g1 (x) ≤ 0, g2 (x) ≤ 0}, g1 (x) = x2 − x1 − 1, g2 (x) = −x2 + x2 − hàm lồi R2 Bây ta xét hai ví dụ ứng với hai ánh xạ f khác 1.6.2 Ví dụ Giả sử f (x) = x1 + x2 x2 x2 + e − Có thể nhận thấy (0, 0)T nghiệm toán nghiệm nhất, f đơn điệu mạnh Ta chọn hàm phạt P (x) = [max{0, x2 − x1 − 1}]2 + [max{0, −x2 + x2 − 1}]2 Có thể bao D hình hộp K = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : −1 ≤ x1 ≤ 2, −1 ≤ x2 ≤ 3} Khi giả thiết Định lý 1.5.1 thỏa mãn 1.6.3 Ví dụ Lấy x + x + 10 f (x) = x + ex22 + 10 Chú ý khác với ví dụ trước, f khơng có nghiệm miền D Tuy nhiên, f thỏa điều kiện đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz với số Ví dụ 1.6.2 14 Kết luận Chương Trong chương này, luận án giải vấn đề sau - Kết hợp phương pháp hàm phạt phương pháp chiếu để đưa thuật tốn hồn chỉnh giải tốn bất đẳng thức biến phân VIP(D, f ), với f ánh xạ đơn điệu liên tục Lipschitz, D miền lồi đóng khác rỗng Rn Với phương pháp này, trở ngại phương pháp chiếu khắc phục - Áp dụng thuật toán cho số ví dụ cụ thể để minh họa kết có phần lý thuyết 15 CHƯƠNG HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VECTOR YẾU Chương nghiên cứu phương pháp hàm phạt áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân vector yếu Với x = (x1 , , xk )T ∈ Rk y = (y1 , , yk )T ∈ Rk , ta dùng ký hiệu sau x < y⇐⇒xi < yi , ∀i = 1, , p, x < y⇐⇒∃i : xi ≥ yi Giả sử D tập khác rỗng Rk Giả sử F : Rk → Rr×k ánh xạ liên tục với miền giá trị tập ma trận thực kích thước r × k Bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu với ràng buộc D định nghĩa sau WVVIP(D, F ) : Tìm x ∈ D cho F (x)(y − x) < 0, ∀y ∈ D 2.1 Điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân vector yếu Mục trình bày định nghĩa tính đơn điệu tính yếu hàm F : Rk → Rr×k nhắc lại điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân vector đưa Chen Yang (1990) 16 2.2 Bài toán phạt 2.2.1 Định nghĩa Cho D tập khác rỗng Rk Hàm P : Rk → R gọi hàm phạt (ngồi) D thỏa mãn P (x) = 0, x ∈ D, P (x) > 0, x ∈ D / (2.1) Ta chọn P cho P khơng hàm lồi mà cịn khả vi Đặt Qi := P Q : Rk → Rr×k với hàm thành phần Qi : Rk → Rk , i = 1, , r Cố định tập K ⊃ D Với t > ta xét toán phạt sau WVVIP(K, F (t) ) : Tìm x(t) ∈ K cho (F (t) (x(t) ))(y − x(t) ) < 0, với y ∈ K, F (t) := F + tQ 2.2.2 Định nghĩa Ánh xạ f : Rk → Rk gọi thỏa mãn điều kiện D-bức K tồn a ∈ D cho f (y), y − a → +∞ y → +∞, y ∈ K 2.2.3 Ví dụ Ánh xạ F : R2 → R2 cho F (y) = (y1 +y2 , y2 +ey2 /4 −1)T , thỏa mãn điều kiện D-bức R2 với tập D chứa gốc tọa độ (0, 0) R2 2.2.4 Định nghĩa Ánh xạ F : Rk → Rr×k gọi thỏa mãn điều kiện D-bức K tồn s ∈ Rr a ∈ D cho + sT F (y), y − a → +∞ y → +∞, y ∈ K Hiển nhiên r = hai định nghĩa ta lấy s = Bổ đề sau điều kiện đủ để toán ban đầu tốn phạt có nghiệm 17 2.2.5 Bổ đề Giả sử D = ∅ tập lồi đóng Rk F : Rk → Rr×k ánh xạ liên tục, đơn điệu thỏa mãn điều kiện D-bức K Khi WVVIP(D, F ) có nghiệm Hơn nữa, với t > 0, toán phạt WVVIP(K, F (t) ) có nghiệm 2.2.6 Ví dụ Ta lấy miền D hàm phạt P Ví dụ 1.6.2 Ánh xạ F : R2 → R2×2 cho F (x) = x1 + x2 x2 + ex2 /2 − x1 + 2x2 x1 + 3x2 + ex2 − Khi miền D, K = R2 ánh xạ F định nghĩa thỏa mãn tất giả thiết Bổ đề 2.2.5 Do đó, WVVIP(D, F ) WVVIP(K, F (t) ) (t > 0) tương ứng với D, K F có nghiệm 2.3 Các định lý hội tụ Ký hiệu S S(t) tương ứng tập nghiệm WVVIP(D, F ) WVVIP(K, F (t) ) Giả sử {tn }n dãy số thực dương tăng đơn điệu tới +∞ n → +∞ 2.3.1 Bổ đề Giả sử x(n) ∈ S(tn ) với n ∈ N, {x(nm ) }m dãy hội tụ {x(n) }n limm→+∞ x(nm ) = x Khi x ∈ D Định lý sau dãy nghiệm tốn phạt hội tụ điểm x x nghiệm toán ban đầu WVVIP(D, F ) 2.3.2 Định lí Giả sử x(n) ∈ S(tn ) với n ∈ N Khi điểm giới hạn dãy {x(n) }n nghiệm WVVIP(D, F ) 2.3.3 Định nghĩa Ánh xạ F : Rk → Rr×k gọi thỏa mãn điều kiện D-bức mạnh K tất ánh xạ thành phần thỏa mãn điều kiện D-bức K với vector a, nghĩa tồn a ∈ D 18 cho với j = 1, , r, F j (y), y − a → +∞, y → +∞, y ∈ K Dễ thấy với ánh xạ F miền D K = R2 định nghĩa Ví dụ 2.2.6 F thỏa mãn điều kiện D-bức mạnh K Hiển nhiên F thỏa mãn điều kiện D-bức mạnh K , F thỏa mãn điều kiện D-bức K Tuy nhiên, điều ngược lại lúc 2.3.4 Định lí Cho D = ∅ tập lồi đóng Rk F : Rk → Rr×k ánh xạ liên tục, đơn điệu, đồng thời thỏa mãn điều kiện D-bức mạnh K Giả sử x(n) ∈ S(tn ) với n ∈ N Khi dãy {x(n) }n có điểm giới hạn điểm giới hạn dãy nghiệm WVVIP(D, F ) Kết luận Chương Trong chương này, luận án giải vấn đề sau - Xây dựng mơ hình tốn phạt cho tốn bất đẳng thức biến phân vector yếu chứng minh điểm giới hạn dãy nghiệm tốn phạt nghiệm toán ban đầu - Chứng minh miền D lồi đóng, ánh xạ F đơn điệu thỏa mãn tính chất bức, tốn phạt có nghiệm Hơn nữa, dãy nghiệm toán phạt bị chặn, có điểm giới hạn, nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân vector yếu ban đầu 19 CHƯƠNG HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Chương trình bày phương pháp hàm phạt áp dụng cho toán tối ưu đa mục tiêu Cho D tập lồi đóng khác rỗng Rk Ta xét toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc D sau MOP(D, f ) : f (x) = (f1 (x), , fr (x)), x∈D fi : Rk → R, i = 1, , r ánh xạ xác định Rk D gọi miền ràng buộc MOP(D, f ) Nếu x ∈ D x gọi điểm chấp nhận MOP(D, f ) Vector x ∈ D gọi nghiệm Pareto yếu MOP(D, f ) không tồn y ∈ D thỏa mãn f (y) < f (x) Do đó, x ∈ D nghiệm Pareto yếu MOP(D, f ) với y ∈ D tồn số i cho fi (y) ≥ fi (x) 3.1 Điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tối ưu đa mục tiêu Mục trình bày vài điều kiện đủ để tốn tối ưu đa mục tiêu có nghiệm Pareto yếu 20 3.2 Bài toán phạt Cố định tập K ⊃ D Với t > ta định nghĩa toán phạt sau (t) MOP(K, f (t) ) : (t) fi (t) f (t) = (f1 , , fr ), x∈K = fi + tP , i = 1, , r, với P hàm phạt D Bổ đề vài điều kiện đủ để tốn phạt có nghiệm Pareto yếu 3.2.1 Bổ đề Giả sử f : Rk → Rr lồi khả vi Hơn giả thiết điều kiện sau thỏa mãn K bị chặn, K không bị chặn tồn vector s ∈ Rr a ∈ D cho + r lim y →+∞, y∈K si fi (y), y − a = +∞, i=1 K không bị chặn tồn a ∈ D cho lim y →+∞, y∈K fi (y), y − a > 0, i = 1, , r Khi MOP(K, f (t) ) có nghiệm Pareto yếu 3.3 Các định lý hội tụ Ký hiệu S S(t) tương ứng tập nghiệm MOP(D, f ) MOP(K, f (t) ) Lấy {tn }n dãy số thực dương tăng đơn điệu tới +∞ n → +∞ 3.3.1 Bổ đề Giả sử f liên tục x(n) ∈ S(tn ) với n ∈ N Giả sử x điểm giới hạn dãy x(n) n Khi x ∈ D Định lý sau chứng tỏ dãy nghiệm Pareto yếu tốn phạt hội tụ tới điểm x x nghiệm Pareto yếu toán ban đầu 21 3.3.2 Định lí Giả sử f liên tục x(n) ∈ S(tn ) với n ∈ N Khi điểm giới hạn dãy x(n) n nghiệm Pareto yếu MOP(D, f ) 3.3.3 Định lí Giả sử f : Rk → Rr lồi khả vi Giả sử thêm điều kiện sau thỏa mãn K bị chặn, K không bị chặn tồn a ∈ D cho lim y →+∞, y∈K fi (y), y − a > 0, i = 1, , r Giả sử x(n) ∈ S(tn ) với n ∈ N Khi dãy x(n) n có điểm giới hạn điểm giới hạn dãy nghiệm Pareto yếu MOP(D, f ) 3.3.4 Ví dụ Xét D P Ví dụ 1.6.2 Cho f (x) = (f1 (x), f2 (x)), x2 x2 f1 (x) = + + x1 x2 + 2ex2 /2 − 2x2 , 2 x2 x1 f2 (x) = e + x1 − x1 + + Lấy K = R2 Khi f , K D thỏa giả thiết Định lý 3.3.3 Do dãy nghiệm Pareto yếu toán phạt MOP(K, f (tn ) ), n = 1, 2, có điểm giới hạn điểm giới hạn dãy nghiệm Pareto yếu MOP(D, f ) Kết luận Chương Trong chương này, luận án giải vấn đề sau - Nghiên cứu mối quan hệ tập nghiệm Pareto yếu toán tối ưu đa mục tiêu ban đầu tập nghiệm Pareto yếu toán phạt tương ứng 22 - Chứng minh miền D lồi đóng, ánh xạ f lồi, khả vi thỏa mãn tính chất bức, tốn phạt có nghiệm Pareto yếu Hơn nữa, dãy nghiệm Pareto yếu toán phạt bị chặn, có điểm giới hạn nghiệm Pareto yếu tốn tối ưu đa mục tiêu ban đầu Định lý 3.3.2 chứng minh điểm giới hạn dãy nghiệm Pareto yếu toán phạt nghiệm Pareto yếu toán ban đầu, cần giả thiết tính liên tục hàm mục tiêu f Ta không yêu cầu f lồi khả vi định lý Tuy nhiên, Định lý 3.3.3 địi hỏi tính chất f Một vài cơng trình gần nghiên cứu nghiệm Pareto yếu toán tối ưu đa mục tiêu với giả thiết giảm nhẹ cho f , chẳng hạn, f không lồi không khả vi (tham khảo Kazmi (1996), Lee Kim (1998), Santos (2008)) Dựa kết này, ta giảm nhẹ giả thiết đặt lên hàm f nêu Định lý 3.3.3 23 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận chung Luận án nghiên cứu phương pháp hàm phạt áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân vector yếu toán tối ưu đa mục tiêu Kết luận án sau Đưa thuật toán kết hợp hai phương pháp hàm phạt phương pháp chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân Thuật toán kết hợp khắc phục nhược điểm phương pháp chiếu khó khăn tính hình chiếu điểm lên miền lồi tận dụng ưu điểm thuật tốn khối lượng tính toán nhỏ, thuật toán đơn giản Thuật toán minh họa ví dụ trường hợp hai chiều nhiều chiều, kết giải số ví dụ phân tích so sánh Xây dựng mơ hình hàm phạt để giải tốn bất đẳng thức biến phân vector yếu Chứng minh kết hội tụ phương pháp Nghiên cứu áp dụng phương pháp hàm phạt để tìm nghiệm Pareto yếu toán tối ưu đa mục tiêu Chứng minh kết hội tụ phương pháp Cải tiến kết nêu Liu Feng (2009) II Kiến nghị Thời gian tới, mong muốn tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau Nghiên cứu thêm tính hiệu tốc độ hội tụ thuật toán kết hợp phương pháp hàm phạt phương pháp chiếu cho toán bất đẳng thức biến phân Giảm nhẹ giả thiết nêu điều kiện đủ thiết lập Chương Chương Trước hết nghiên cứu kỹ điều kiện đủ trường hợp hàm mục tiêu không trơn không đơn điệu Nghiên cứu mở rộng phương pháp hàm phạt cho dạng tổng quát toán bất đẳng thức biến phân vector 24 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA NGHIÊN CỨU SINH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Đậu Xuân Lương (2003), “Ánh xạ tự ứng dụng vào bất đẳng thức biến phân,” Thông báo khoa học – Các ngành khoa học tự nhiên, Trường Đại học Vinh D X Luong and L D Muu (2010), “Combining the projection methods and the penalty function method to solve the variational inequalities with monotone mappings”, Int J Optim Theory Methods Appl., 2(2), 124–137 D X Luong (2010), “Penalty functions for the vector variational inequality problem”, submitted to Acta Mathematica Vietnamica for publication D X Luong and T V An (2010), “Penalty functions for the multiobjective optimization problem”, J Math Sci Adv Appl., 6(1), 177– 192 ... LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận chung Luận án nghiên cứu phương pháp hàm phạt áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân vector yếu toán tối ưu đa mục tiêu Kết luận án. .. Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Trong luận án này, nghiên cứu phương pháp hàm phạt cho toán bất đẳng thức biến phân (dạng thường), toán bất đẳng thức biến phân vector tốn liên quan... trên, chọn đề tài ? ?Phương pháp hàm phạt cho toán bất đẳng thức biến phân? ?? làm đề tài luận án tiến sĩ Đề tài tập trung nghiên cứu vấn đề sau (1) Kết hợp phương pháp hàm phạt phương pháp chiếu để có