CHỦ ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN MỘT SỐ CƠNG THỨC GIẢI TAM GIÁC & CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH Hệ thức lượng tam giác vng : Cho ABC vng A ta có : A  Định lý Pitago : BC  AB  AC  BA2  BH BC ; CA2 CH CB  AB AC = BC AH 1  2  AH AB AC  AH2 = BH.CH c B b h c’  BC = 2AM b c b c  sin B  , cosB  , tan B  , cot B  a a c b  b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = b b  , sin B cos C  b = c tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c   2 R * Định lý hàm số Sin: sin A sin B sin C Các cơng thức tính diện tích a/ Cơng thức tính diện tích tam giác: S  a.ha a.b.c a b c  p.r  p.( p  a)( p  b)( p  c) với p  S = a.b sin C  2 4R Đặc biệt : * ABC vuông A : S  AB AC a * ABC cạnh a: S  b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng (chéo dài x chéo ngắn) d/ Diện tích hình thang : S  (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao d/ Diên tích hình thoi : S = e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình trịn : S  R M b’ H a C QUAN HỆ SONG SONG – QUAN HỆ VNG GĨC A.QUAN HỆ SONG SONG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm mp(P) song song với đường thẳng a nằm mp(P) đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) cắt theo giao tuyến song song với a ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng d d  (P)  d / /a  d / /(P) a  (P)  a / /(P)   d / /a a  (Q) (P)  (Q) d  (P)  (Q) d   d / /a (P) / /a (Q) / /a  a (P) (Q) a d (P) d a Q P HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) (Q) song song với ĐL2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song a,b  (P)   (P) / /(Q) a  b I a / /(Q),b / /(Q)  a b I P Q a (P) / /(Q)  a / /(Q)  a  (P) P Q R (P) / /(Q)  (R)  (P) a  a / / b (R)  (Q) b  P a b Q B.QUAN HỆ VNG GĨC 1.ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG ĐL1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp(P) đường thẳng d vng góc với mp(P) d  a ,d  b  a ,b  mp(P)  d  mp(P) a,b caét  d b P a ĐL2: (Ba đường vng góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) a a  mp(P),b  mp(P) b  a  b  a' b a' P HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC ĐL1:Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với a  mp(P)  mp(Q)  mp(P)  a  mp(Q) ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với đường thẳng a nằm (P), vng góc với giao tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (Q) (P)  (Q)  (P)  (Q) d  a  (Q) a  (P),a  d  ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với A điểm (P) đường thẳng a qua điểm A vng góc với (Q) nằm (P) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba Q a P P a Q d P (P)  (Q)  A  (P)  a  (P)  A  a  a  (Q) a A Q (P)  (Q) a   a  (R) (P)  (R) (Q)  (R)  Q P a R KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a ( mp(P)) O O a H P d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp(P) d(a;(P)) = OH a P O H H O Khoảng cách hai mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d((P);(Q)) = OH P H Q a 4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng d(a;b) = AB A b B GĨC Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm phương với a b a a' b' b a Góc đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ mp(P) Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mp(P) 900 a' P Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Hoặc góc đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm b a a b Q P Q P S Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác (H) mp(P) S’ diện tích hình chiếu (H’) (H) mp(P’) S' Scos   góc hai mặt phẳng (P),(P’) A C  B THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – MẶT NĨN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU I/ CÁC CƠNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN : THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V = B.h (B: Sđáy ; h: chiều cao) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c (a,b,c ba kích thước) Thể tích khối lập phương: với a độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: V = a3 (a độ dài cạnh) V= Bh (B: Sđáy ; h: chiều cao) S C' A' TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN VSABC SA SB SC  VSA'B 'C ' SA' SB ' SC ' A B' C B A' B' C' THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT: h V  ( B  B ' B.B ' ) A B C KHỐI NÓN 1 V = Bh=  r 2h 3 Sxq =  rl V = Bh =  r 2h KHỐI TRỤ Sxq = 2 rl V= KHỐI CẦU r S = 4 r Chú ý: 1/ Đường chéo hình vng cạnh a d = a , Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d = 2/ Đường cao tam giác cạnh a h = a2  b2  c2 , a 3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên (hoặc có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) 4/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác II/ CÁC DẠNG TOÁN Loại 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vng cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Ta có ABC vng cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' lăng trụ đứng  AA'  AB AA'B  AA'2 A 'B2  AB2 8a2  AA' 2a Vậy V = B.h = SABC AA' = a3 Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ ? Lời giải: ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2  BD 3a C' D' A' ABCD hình vuông B' 4a 5a C D Suy B = SABCD =  AB  9a2 3a Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 A B Ví dụ 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Gọi I trung điểm BC Ta có ABC nên C' A' B' AI  A C I B AB 2 & AI  BC  A 'I  BC(dl3 ) 2S SA'BC  BC.A 'I  A 'I  A'BC 4 BC AA '  (ABC)  AA '  AI A 'AI  AA '  A 'I2  AI2 2 Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= Ví dụ 4: Một bìa hình vng có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ góc bìa hình vng cạnh 12 cm gấp lại thành hộp chữ nhật khơng có nắp Tính thể tích hộp C' D' A' D' C' D' D C A' A B A' B' B' D C A B Giải Theo đề bài, ta có AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD hình C' vng có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm chiều cao hộp h = 12 cm Vậy thể tích hộp V = SABCD.h = 4800cm3 B' Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ.Tính thể tích hình hộp C' D' SABCD = 2SABD = B' A' C B 60 a2 a a DD'B  DD'  BD'2  BD2 a a3 Vậy V = SABCD.DD' = Theo đề BD' = AC = D A Lời giải: Ta có tam giác ABD nên : BD = a 2 Dạng 2: Lăng trụ có góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ C' A' C 60o A 'A  AB& AB hình chiếu A'B góc[A 'B,(ABC)] ABA ' 60o ABA '  AA ' AB.tan 600 a a2 SABC = BA.BC  2 a Vậy V = SABC.AA' = Vậy B' A Lời giải: Ta có A 'A  (ABC)  đáy ABC B  Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A với AC = a , ACB = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 Tính AC' thể tích lăng trụ A' Lời giải: C' ABC  AB AC.tan60o a Ta có: AB  AC;AB  AA'  AB  (AA'C'C) B' nên AC' hình chiếu BC' (AA'C'C) Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = BC'A = 30o 30o AC'B  AC'  AB 3a t an30o V =B.h = SABC.AA' A C a o 60 B AA'C'  AA'  AC'2  A'C'2 2a 2 ABC nửa tam giác nên SABC a 3 Vậy V = a Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh avà đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300 Tính thể tích tổng diên tích mặt bên lăng trụ Giải: Ta có ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên ta có: DD'  (ABCD)  DD'  BD BD hình chiếu BD' ABCD B' C' A' D' Vậy góc [BD';(ABCD)] = DBD' 300 o 30 C D BDD'  DD' BD.tan 300  B A Vậy V = SABCD.DD' = a a3 a S = 4SADD'A' = 4a Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình hộp A' D' o 30 A Giải C' B' C B 60 o a D a2 ABD cạnh a  SABD  a  SABCD 2SABD  ABB' vuông tạiB  BB' ABt an30o a 3a3 Vậy V B.h SABCD BB'  Dạng 3: Lăng trụ có góc mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ A' Lời giải: Ta có A 'A  (ABC)& BC  AB  C' BC  A'B Vậy góc[(A 'BC),(ABC)] ABA ' 60o ABA '  AA ' AB.tan 600 a a2 SABC = BA.BC  2 a Vậy V = SABC.AA' = B' A C 60o B Ví dụ 2: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 30 diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Giải: ABC  AI  BC mà AA'  (ABC) nên A'I  BC (đl  )  'IA = 30o Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A C' A' 2x  x Ta có 2 AI x A' AI : A' I  AI : cos 30   2 x 3 B' Giả sử BI = x  AI  30o A x Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x =  x 2 A’A = AI.tan 300 = C B I x x Do VABC.A’B’C’ = Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật D' C' A' B' C OCC' D 60 O B a Gọi O tâm ABCD Ta có ABCD hình vng nên OC  BD CC'  (ABCD) nên OC'  BD (đl  ) Vậy góc[(BDC');(ABCD)] =  = 60o COC' Ta có V = B.h = SABCD.CC' ABCD hình vng nên SABCD = a2 A vuông nên CC' = OC.tan60o = Vậy V = a3 10 a Lời giải: 1) SA  (ABC)  SA  AB &SA  AC mà BC  AB  BC  SB ( đl  ) Vậy mặt bên chóp tam giác vng 2) Ta có SA  (ABC)  AB hình chiếu SB (ABC) S Vậy góc[SB,(ABC)] = SAB 60o C a A 60o ABC vuông cân nên BA = BC = SABC = a2 BA.BC  a a 1 a2 a a3 V  SABC SA   34 24 SAB  SA AB.t an60o  B Vậy Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a biết SA vng góc với đáy ABC (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 60o Tính thể tích hình chóp Lời giải: Mlà trung điểm BC,vì tam giác ABC nên AM  BC  SA  BC (đl3  ) Vậy góc[(SBC);(ABC)] = SMA 60o S Ta có V = C A 60 o a M B 1 B.h  SABC SA 3 3a SAM  SA AM tan 60o  1 a Vậy V = B.h  SABC SA  3 Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o 1) Tính thể tích hình chóp SABCD 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Lời giải: 1)Ta có SA  (ABC) CD  AD   ).(1)  Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o S H SAD vuông Vậy 60 o A D a 1 a3 V  SABCD SA  a2a  3 nên SA = AD.tan60o = 2) Ta dựng AH  SD ,vì CD  (SAD) (do (1) ) nên CD  AH  AH  (SCD) Vậy AH khoảng cách từ A đến (SCD) B a 1 1  2  2 2 2 AH SA AD 3a a 3a a Vậy AH = SAD  C CD  SD 13 ( đl Dạng 2: Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáyABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD 1) S D A 2) H B Lời giải: Gọi H trung điểm AB SAB  SH  AB mà (SAB)  (ABCD)  SH  (ABCD) Vậy H chân đường cao khối chóp a Ta có tam giác SAB nên SA = suy C a3 V  SABCD SH  a Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác ,BCD tam giác vuông cân D , (ABC)  (BCD) AD hợp với (BCD) góc 60o Tính thể tích tứ diện ABCD Lời giải: Gọi H trung điểm BC Ta có tam giác ABC nên AH  (BCD) , mà (ABC)  (BCD)  AH  (BCD) A Ta có AH  HD  AH = AD.tan60o = a a a 3 BCD  BC = 2HD = 2a suy 1 a3 V = SBCD AH  BC.HD.AH  3 & HD = AD.cot60o = B 60 H o D C Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có BC = a Mặt bên SAC vng góc với đáy, mặt bên lại tạo với mặt đáy góc 450 a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC b) Tính thể tích khối chóp SABC Lời giải: a) Kẽ SH  BC mp(SAC)  mp(ABC) nên SH  mp(ABC) Gọi I, J hình chiếu H AB BC  SI  AB, SJ  BC, theo giả  thiết SIH SJH 45o S Ta có: H A 45 C I SHI SHJ  HI  HJ nên BH đường phân giác ABC suy H trung điểm AC a a3 b) HI = HJ = SH =  VSABC= S ABC SH  12 J B Dạng 3: Khối chóp 14 Ví dụ 1: Cho chóp tam giác SABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Chứng minh chân đường cao kẻ từ S hình chóp tâm tam giác ABC Tính thể tích chóp SABC Lời giải: Dựng SO  (ABC) Ta có SA = SB = SC suy OA = OB = OC S Vậy O tâm tam giác ABC Ta có tam giác ABC nên 2a AO = C A O a 2a a AH   3 11a2 SAO  SO2 SA  OA  a 11 a3 11 Vậy V  SABC SO   SO  12 H B Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cạnh có độ dài a 1) Chứng minh SABCD chóp tứ giác 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Lời giải: Dựng SO  (ABCD) S Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD  ABCD hình thoi có đường trịn gnoại tiếp nên ABCD hình vng Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên ASC vuông S C D  OS  O A a a 2  V 1 S ABCD SO 1 a a  a B Ví dụ 3: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC Lời giải: a) Gọi O tâm ABC  DO  ( ABC ) D V  S ABC DO a2 , a OC  CI  S ABC  3 M A C O I DOC vng có : DO  DC  OC  H a a a3 V  12 a B a b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) MH a MH  DO   VMABC 1 a a a3  S ABC MH   3 24 Dạng 4: Khối chóp & PP tỉ số thể tích 15 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B, AC a ,SA vng góc với đáy ABC, SA a 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC 2) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (  ) qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN Lời giải: S a)Ta có: VS ABC  S ABC SA SA a ABC cân có : AC a  AB a 1 a3  S ABC  a Vậy: VSABC  a a  + N C G A b) Gọi I trung điểm BC G trọng tâm,ta có : M I  // BC  B  VSAMN SM SN   VSABC SB SC Vậy: Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân A MN// BC SG  SI SM SN SG     SB SC SI VSAMN 2a  VSABC  27 AB a Trên đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Chứng minh CE  ( ABD ) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF Lời giải: D a)Tính VABCD : VABCD 1 SABC CD a c) Tính VDCEF :Ta có: b)Tacó: AB  AC , AB  CD  AB  ( ACD )  AB  EC Ta có: DB  EC  EC  ( ABD ) F a E B C VDCEF DE DF  (*) VDABC DA DB DE.DA DC , chia cho DA2 DE DC a2     DA DA2 2a 2 DF DC a2 Tương tự:    2 DB DB DC  CB VDCEF 1 a3   Từ(*) Vậy VDCEF  VABCD  VDABC 6 36 Mà a A Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng ( ) qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng 16 Lời giải: Kẻ MN // CD (N  SD ) hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM) S + N M D A O B C VSAND SN 1    VSANB  VSADB  VSABCD VSADB SD 2 VSBMN SM SN 1 1     VSBMN  VSBCD  VSABCD Mà VSBCD SC SD 2 4 VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD Suy VABMN.ABCD = VSABCD VSABMN  Do : V ABMN ABCD Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F a) Hãy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Lời giải: a) Gọi I SO  AM Ta có (AEMF) //BD  EF // BD S M E B I C F b) VS ABCD  S ABCD SO với S ABCD a + SOA Vậy : có : SO  AO.tan 60  VS ABCD a a3  c) Phân chia chóp tứ giác ta có VS AEMF = VSAMF + VSAME O A 60 Gọi M trung D =2VSAMF VS ABCD = 2VSACD = VSABC Xét khối chóp S.AMF S.ACD Ta có :  SM  SC SAC có trọng tâm I, EF // BD nên:  VSAMF SM SF SI SF      VSACD SC SD SO SD 1 a3  VSAMF  VSACD  VSACD  36  VS AEMF 2 a3 a3  36 18 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 17 SA a Gọi B’, D’ b) Chứng minh SC  ( AB ' D ') c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Lời giải: a) Ta có: S VS ABCD a3  S ABCD SA  3 b) Ta có BC  ( SAB )  BC  AB ' & SB  AB ' Suy ra: AB '  ( SBC ) nên AB'  SC Tương tự AD'  SC Vậy SC  (AB'D') B' C' D' c) Tính VSAB 'C ' SB ' SC '  (*) VSABC SB SC SC '  SAC vuông cân nên SC 2 SB ' SA 2a 2a 2 Ta có:     SB SB SA2  AB 3a VSAB 'C '  Từ (*)  VSABC I +Tính B A O C D VS A B 'C ' D ' VS AB ' C ' : Ta có:  VSAB 'C ' + a3 a3   3 VS A B 'C ' D ' 2VS A B 'C ' 2a  5) Dạng : Ơn tập khối chóp lăng trụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, SA vng góc đáy Góc SC đáy 60 M trung điểm SB 1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Tính thể tích khối chóp MBCD Lời giải: S a)Ta có V  S ABCD SA + S ABCD (2a) 4a + H A B 60o D 2a SAC có : SA  AC tan C 2a 8a  V  4a 2a  3 MH / / SA  MH  ( DBC ) 1 Ta có: MH  SA , S BCD  S ABCD 2 b) Kẻ C 2a  VMBCD  V  18 Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp Lời giải: Hạ SH  ( ABC ) , kẽ HE  AB, HF  BC, HJ  AC suy SE  AB, SF  BC, SJ  AC Ta có S SEH SFH   SJH 60O  SAH SFH SJH nên HE =HF = HJ = r ( r bán kính đường trịn ngọai tiếp ABC ) p ( p  a )( p  b)( p  c) a bc với p = 9a Nên SABC = 9.4.3.2 a 2 S 6a Mặt khác SABC = p.r  r   p Ta có SABC = J A C 60 H E F Tam giác vuông SHE: 6a 2 a 3 Vậy VSABC = 6 a 2 a 8 a B SH = r.tan 600 = Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a , AD = a, AA’ = a, O giao điểm AC BD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’ c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ A B O D M Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật V Ta có : V  AB AD.AA ' a 3.a a 3 ABD có : DB  AB  AD 2a C * Khối OA’B’C’D’ có đáy đường cao giống khối B' A' C' D' hộp nên: a3  VOA' B 'C ' D '  V  3 b) M trung điểm BC  OM  ( BB ' C ') 1 a a a3  VO BB 'C '  S BB 'C ' OM   3 2 12 c) Gọi C’H đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Ta có : C 'H  3VOBB 'C ' SOBB ' ABD có : DB  AB  AD 2a  SOBB '  a  C ' H 2a Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ Lời giải: 19 B A Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ +Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy chiều cao nên có thể tích Khối CB’D’C’ có D C 1 V1  a a  a 3 +Khối lập phương tích: A' V2 a  VACB ' D ' a  a  a B' C' D' a Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC b) E trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích khối CA’B’FE E A I B F C Lời giải: a) Khối A’B’ BC:Gọi I trung điểm AB, VA ' B ' BC  S A ' B ' B CI 1 a a  a 3 2 12 b)Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ CFA’B’ +Khối A’CEFcó đáy CEF, đường cao A’A nên B' A' J C' VA 'CEF  SCEF A ' A SCEF a2 a3  VA ' CEF   S ABC  48 16 +Gọi J trung điểm B’C’ Ta có khối A’B’CF có đáy CFB’, đường cao JA’ nên VA ' B 'CF  SCFB' A ' J a2 SCFB'  SCBB '  a a a3  VA ' B ' CF   24 + Vậy : VCA'B'FE 20 a3  16 ... THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN : THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V = B.h (B: Sđáy ; h: chiều cao) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c (a,b,c ba kích thước) Thể tích khối lập phương: với a độ dài cạnh THỂ... a a b Q P Q P S Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác (H) mp(P) S’ diện tích hình chiếu (H’) (H) mp(P’) S'' Scos   góc hai mặt phẳng (P),(P’) A C  B THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – MẶT NÓN,... điểm AC BD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’ c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ A B O D M Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật