Đang tải... (xem toàn văn)
Với mục đích là tinh giản, nhưng đầy đủ, do đó có một vài mục nhỏ, tác giả chỉ giới thiệu chứng không trình bày chi tiết hoặc đưa vào bài tập để sinh viên tự nghiên cứu. Ở phần cuối cuốn sách có phần hướng dẫn giải bài tập và kết quả nhằm giúp sinh viên phương pháp giải một số bài toán và kiếm tra kết quả học tập của mình
NGUYỄN ĐỊNH - NGUYỄN HỒNG (CƠ SỞ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI) GIÁO TRÌNH DÙNG CHO SINH VIÊN KHOA TỐ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGUYÊN ĐỊNH - NGUYEN HOANG HAM SO BIEN SO THUC (CƠ SỞ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI) GIAO TRINH DUNG CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC (Tái lân thứ hai) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC Bản quyền thuộc Nhà xuất Giáo dục 11 — 2007/CXB/231 — 2119/GD Mã số : 7K410n7 -D re LOI NOI DAU Cuốn sách trình bày kiến thức sở giải tích đại từ khái niệm ban đầu không gian mêtric, không gian tơpơ, lí thuyết độ đo tích phân Lebesgue Qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy, chọn nội dung tối thiểu giải tích cho sinh viên khoa Toán trường ĐHSP ĐHKH cho dù sau sinh viên trở thành giáo viên cán nghiên cứu ngành khác Đặc thù phần kiến thức nặng suy luận trừu tượng, lí thuyết, khác với phần giải tích cổ điển, thường tập trung cho Kĩ tính tốn biến đổi Cuốn sách bao gồm chương Chương dành cho khái niệm mêtric, cửa ngõ vào phần khác giải tích hàm (tuyến tính hay phi tuyến) Chương trình bày yếu tố tổng quát giải tích, khơng gian tơpơ Chúng tơi khơng có tham vọng trình bày tiết, đủ vấn để tôpô đại cương mà cung cấp lượng kiến thức cần thiết, để người học toán làm quen với khái niệm, thuật ngữ, phương pháp suy luận hầu dễ dàng lĩnh hội học phần khác sau Chương trình bày lí thuyết độ đo Lebesgue, nội dung quan trọng, đồng thời sở để xây dựng tích phân Lebesgue chương Có nhiều giáo trình sách tham khảo định nghĩa độ đo đại số tập hợp day chúng tơi trình bày độ đo nửa vành Nhìn chung độ phức tạp khơng tăng cách tỏ thuận lợi xây dựng độ đo Lebesgue R” hay tích độ đo Về lí thuyết tích phân, chúng tơi trình bày theo phương pháp kinh điển mà tác Rudin, Hewitt-Stromberg, Hồng Tuy trình bày sách họ Cho đến việc lập chương trình tốn thống cho trường đại học vấn đề khó thực Do hai chương đầu chúng tơi cố gắng trình bày tương đối độc lập (do có đơi chỗ lặp lại) để tuỳ theo chương trình quan điểm người dạy, từ chương thẳng vào chương dùng chương I, để giảng kiến thức sở tôpô, mêtric v.v Nói chung chúng tơi cố ý thiết kế để sách dùng cách uyển chuyển tuỳ theo ý thích giảng viên chương trình quy định Các vấn dé sách khó học viên có trình độ từ trung bình trở xuống Do sinh viên học phải tập trung nỗ lực để tiếp thu khái niệm, định nghĩa Cần nắm phép toán tập hợp, ve ánh xạ, phải thao tác biến đổi đối tượng cách thành thạo Kinh nghiệm cho thấy rằng, sinh viên không hiểu đẩy đủ quy tắc suy luận logic phép tốn tập hợp lúng túng việc tiếp thu chương Dù ý đồ tác giả cố gắng trình bày tiết, sơ cấp vấn để để phù hợp với trình độ đa số sinh viên (đây đối tượng phục vụ chủ yếu sách) có nhiều kết khó chứng minh dài nên địi hỏi người học kiên trì đáng kể Theo phân cơng, PTS Nguyễn Hồng viết chương 1, va PTS Nguyễn Định viết chương 3, Các tác giả có nhiều cố gắng việc biên soạn, nhiên lần mắt bạn đọc nên sách cịn khiếm khuyết Chúng tơi mong nhận góp ý chân tình quý đồng nghiệp bạn đọc để sách hoàn thiện lần in sau CÁC TÁC GIẢ Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ § TẬP HỢP, ÁNH XẠ, QUAN HỆ 1.1 Tập hợp 1.1.1 Các phép toán tập hợp a) Cho A, Ø tap hop Tap A gọi tập tập B, kí hiệu AC Ư, phần tử A phần tử Ö Hai tập hợp A, gọi AC BC A Giả sử X tập hợp Kí hiệu Z2(X) dùng để tập hợp tất tập X, ` Các phép toán hợp, giao, hiệu, hiệu đối xứng hai tập định nghĩa sau : AUB=f{xlxe A hay xe B} (hợp A B), AnB=ftxlxeA vàzc BÌ (giao A và.B), A\ B= {xlxeA vax B} (higu cia A B), AQB =(A\ B)U(B\ A) (higu d6i xtmg) Nếu Af1B= Ø ta nói A B rdi (khong giao hay có giao Ø) Các tính chất Mối quan hệ phép toắn thể công thức sau Giả sử 4, 8, C tập hợp 6) (AU8)n€C =(An€C)U(80n€), (i) (ANBJUC =(AUC)N(BUC), (AUB)\C = (ANC)ULBNC), (iv) (AN B)\C =(A\C)N(B\C) b) Hợp, giao cia mét ho tap Cho (4,),., 1A mot ho cdc tap hop Hop giao họ tập định nghĩa sau : UA,;=ÍxI3i =m) & (Wx, € X, Hy = f(m)=f(x)), Uf —toan anh) eo(Vy €Y, axe X: f(x)=y), ({ƒ —song ánh) dn (ƒ vừa đơn ánh vừa toàn ánh) Bay giả sử ƒ:X——Y ánh xạ, ÁCX va BCY Anh tập A qua ánh xạ ƒ, kí hiệu ƒ(4), nghịch ảnh (tạo ảnh) tập B qua ánh xạ ƒ, kí hiệu ƒ'{B), định nghĩa tập sau : ƒ(A)={yeYl3ze A ƒ(x)= y}, f'(B)= {xe Xl flee Bh Giả sử ƒ: X——Y, (A,)„„C/P(X), (8,)„„ cP(Y) Khi đó, i) fu A)=U #(4) Gd FQ AD= F(A) ief đi) FU B)= Uf '(B), ied (iv) a 8)=f7(8), ied @) /£-!ÍE')=(ƒ#-!@)Ÿ =xš/Ƒ 1) 1.2.2 Hợp hai ánh xạ Cho ƒ:X————Y g:Y—Z hai ánh xạ Khi hợp ø F (theo thứ tự đó), kí hiệu go ƒ, ánh xạ định nghĩa #9ƒ:X——Ừ x——(go ƒ)(x)= g(ƒ(+)), xeX “Ta chứng minh đẳng thức sau @ (ge7) '(Œ)= '{g"!(C)), CC Z, (iÐ (geƒ)oh=go(ƒoh), h:T——X, Git) ƒ(/-!U)}C B, 8CY, AC£ 'Ứ(A)), moi ACX 1.2.3 Tích Descartes họ tập Giả sử (A,),„ họ cdc tap hop Tich Descartes cha hg nay, ki hiệu [] A,, tập định nghĩa ief HA = {x1 ief UA iel la@e A, íe ƑÌ, Phần tử [[ A, thường kí hiệu {x, :/e/} hay (x,),„ jet Khi họ gồm có hai tập A, B tích Descartes chúng kí hiệu Ax thứ tự), nghĩa phần tử Ax thường viết thành cặp (có AxB= l(a, b)laeA, be BÌ Tương tự, tích Descartes 7: tập, A;x xA„ tập f=, gồm 20,0 có thứ tự (a, đ;, đu) (cũng kí hiệu đ A) i=l aA, moi Nếu có ¿c7 A,#=Ø ¿e7 mà 4,= Ø ta định nghĩa []A, = Ø Tuy nhiên tel liệu ta khẳng định []A, fel khác Ø không ? Không thể trả lời câu hỏi cách sử dụng tiên dé thong thường tập hợp Mệnh đẻ sau thường biết tên gọi “tiên để chọn” Tiên dé chọn : Nết (A,),„ họ gồm tập khơng 14, #2 iel Đạng tượng đương tiên đề chọn : Nếu (Ai), họ gâm tập khác rỗng, rời đơi tốn tập Econ UA cho EQOA, ngôi) tập ie chita phần tử với ¡ 6l, 1.3 Quan hệ, Một quan hệ (hai Descartes X xX, Nếu (z,v)e# X tập # tích ta nói “x quan hệ với y theo quan hệ K” kí hiéu xRy 1.3.1 Quan hệ tương đương Một quan hệ # mãn điều kiện sau : () x€x, (ii) Néu X với xe X xRy y€x (ii) Nếu x€y yz Giả sử gọi guan hệ tương đương thoả (tính phản xa), (tính đối xứng), x€z (tính bắc cầu) quan hệ tương đương X xeX, Lớp tương đương x (theo quan hệ tương đương ), kí hiệu x, tập #=tyeXlzKy} Tập hợp gồm tất lớp tương đương theo quan hệ £ thường gọi tập thương X theo £ kí hiệu X/7 Vậy XIE={XlxeXÌ ... ø:Z———X, cho ƒoø = ƒog; ø:Z———X g; = g; i § SỐ THỰC Trong phần này, chúng tơi trình bày số tính chất tập số thực, dùng thường xuyên sau Nhắc lại rằng, tập hợp số thực R trường với hai phép tốn cộng nhân... Bolzano-Weierstrass Mọi số thực bị chặn có dãy hội tụ R 2.4 Dãy số thực (x„)„ C R gọi hay Cauchy (Ve > 0)(Any)(Wm,n nạ): [1y — x„|< : Nguyên lí Cauchy Mọi số thực phải hội tự 2.5 Tính chất trù mật tập số hữu... hữu tỉ Q R Với cặp số thực (a, b), a < b tôn số hữu ier cho a