aotrangtb.com Chương 2 Bất đẳng thức 2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauch y 2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy - So sánh giữa tổng v à tích Cho ba số không âm a, b, c, ta có : 1. a + b 2 ≥ √ ab, dấu bằng x ảy ra khi a = b ; 2. a + b + c 3 ≥ 3 √ abc, dấu bằng x ả y ra khi a = b = c. 2.1.2 Một số hệ quả trực tiếp Hệ quả 1 : So sánh giữa tổng nghịch đảo v à tổng. Cho ba số dương a, b, c có : 1. 1 a + 1 b ≥ 4 a + b ; 2. 1 a + 1 b + 1 c ≥ 9 a + b + c . Hệ quả 2 : So sánh giữa tổng bình phương v à tồng. Cho ba số thực a, b, c có : 1. 2(a 2 + b 2 ) ≥ (a + b) 2 ; 2. 3(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c). Hệ quả 3 : So sánh giữa tổng, tổng bình phương v à tích. Cho ba số thực a, b, c có : 1. (a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ca) ; 2. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca. 2.1.3 Bài tậpđề nghị Bài 2.1 : Cho a, b, > 0. Chứng minh rằng : ab(a + b) 2 ≤ a + b 2 3 ≤ (a + b)(a 2 + ab + b 2 ) 6 ≤ a 3 + b 3 2 ≤ (a 2 + b 2 ) 3 (a + b) 3 . Bài 2.2 : Cho a, b > 0 v à a + b ≤ 1. Chứng minh rằng : 37 aotrangtb.com CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC 1. 1 a + 1 b ≥ 4 ; 2. 1 a + 1 b + a + b ≥ 5. Bài 2.3 : Cho các số không âm a, b, c có a + b + c ≤ 3. Chứng minh rằng : 1. a + b + c ≥ ab + bc + ca ; 2. √ a + √ b + √ c ≥ ab + bc + ca. Bài 2.4 : Cho x, y > 0. Chứng minh rằng : (1 + x)(1 + y) ≥ (1 + √ xy) 2 . Bài 2.5 : Cho x, y > 0. Chứng minh rằng : x 2 + y 2 + 1 x + 1 y ≥ 2( √ x+ √ y). Bài 2.6 : Cho x, y > 0 v à x + y = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của P = 1 x 2 + y 2 + 1 xy . Bài 2.7 : Cho x, y, z > 0 v à x + y + z = 1. T ì m giá trị lớn nhất của P = x x + 1 + y y + 1 + z z + 1 . Bài 2.8 : Cho a, b > 0 v à a + b = 1. Chứng minh rằng : a 2 a + 1 + b 2 b + 1 ≥ 1 3 . Bài 2.9 : Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng : 1 a + 3b + 1 b + 3c + 1 c + 3a ≥ 1 2a + b + c + 1 2b + c + a + 1 2c + a + b . Bài 2.10 : Chứng minh rằng v ớ i mọi a, b, c > 0 đều có : 1. 1 a(b + c) + 1 b(c + a) + 1 c(a + b) ≥ 27 2(a + b + c) 2 ; 2. 1 a(a + b) + 1 b(b + c) + 1 c(c + a) ≥ 27 2(a + b + c) 2 . Bài 2.11 : Cho a, b > 0 v à a + b ≤ 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của S = ab + 1 ab . Bài 2.12 : Cho a, b > 0. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a+ b √ ab + √ ab a + b . Bài 2.13 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c ≤ 3 2 . T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + b + c + 1 a + 1 b + 1 c . Bài 2.14 : Chứng minh rằng v ớ i mọi số dương x, y, z đều có : x 2 + y 2 + z 2 ≥ √ 2(xy + yz). Bài 2.15 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 4. Chứng minh rằng : ab a + b + 2c + bc b + c + 2a + ca c + a + 2b ≤ 1. Bài 2.16 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : ab a + 3b + 2c + bc b + 3c + 2a + ca c + 3a + 2b ≤ a + b + c 6 . Bài 2.17 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 1. a + b c + b + c a + c + a b ≥ 6 ; 2. a b + c + b c + a + c a + b ≥ 3 2 ; 3. a 2 b + c + b 2 c + a + c 2 a + b ≥ a + b + c 2 ; 4. a 3 b + c + b 3 c + a + c 3 a + b ≥ a 2 + b 2 + c 2 2 . Bài 2.18 : Cho a, b, c > 0 v à abc = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau : 1. P = a 2 b + c + b 2 c + a + c 2 a + b ; 2. Q = a 3 b + c + b 3 c + a + c 3 a + b ; 3. R = a 2 √ a b + c + b 2 √ b c + a + c 2 √ c a + b ; 4. S = bc a 2 b + a 2 c + ca b 2 c + b 2 a + ab c 2 a + c 2 b ; TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 38 aotrangtb.com CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC Bài 2.19 : Cho x, y, z, t > 0 v à xyzt = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = 1 x 3 (yz + zt + ty) + 1 y 3 (zt + tx + xz) + 1 z 3 (tx + xy + yt) + 1 t 3 (xy + yz + zx) . Bài 2.20 : Cho a, b, c > 0. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : 1. P = a b + 2c + b c + 2a + c a + 2b . 2. Q = a b + mc + b c + ma + c a + mb , m ∈ N, m > 2. 1 Bài 2.21 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 1. (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc ; 2. bc a + ca b + ba c ≥ a + b + c. Bài 2.22 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : 1. a b + c − a + b c + a − b + c a + b − c ≥3 ; 2. a 2 b + c − a + b 2 c + a − b + c 2 a + b − c ≥a + b + c. Bài 2.23 : 1. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa c h u vi của tam giác. Chứng minh rằng : (p − a)(p − b)(p − c) ≤ abc 8 . 2. Cho tam giác ABC có c h u vi bằng 3 v à độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c. Chứng minh rằng : 4(a 3 + b 3 + c 3 ) + 15abc ≥ 27. Bài 2.24 : Cho a, b, c, d > 0 v à a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng : 1 a − 1 1 b − 1 1 c − 1 1 d − 1 ≥ 81. Bài 2.25 : Cho a, b ≥ 1. Chứng minh rằng : a √ b − 1 + b √ a − 1 ≤ ab. Bài 2.26 : Cho a, b, c ≥ 0 v à a + b + c = 1. Chứng minh rằng : ab + bc + ca + abc ≤ 10 27 . Bài 2.27 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 2 a 2 + bc ≤ 1 2 1 ab + 1 ac . Bài 2.28 : Cho a, b > 0 v à a + b = 1. Chứng minh rằng : 3 ab + 2 a 2 + b 2 ≥ 16. Bài 2.29 : Cho a, b, c > 0 v à 1 1 + a + 1 1 + b + 1 1 + c ≥ 2. Chứng minh rằng : abc ≤ 1 8 . Bài 2.30 : Cho a > b > 0 v à ab = 1. Chứng minh rằng : a 2 + b 2 a − b ≥2 √ 2. Bài 2.31 : T ì m giá trị nhỏ nhất của A = (1 + x) 1 + 1 y + (1 + y) 1 + 1 x v ớ i x, y > 0 thỏa mãn x 2 + y 2 = 1. Bài 2.32 : Cho x, y, z > 1 thỏa mãn x + y + z = xyz. T ì m giá trị nhỏ nhất của : P = y − 2 x 2 + z − 2 y 2 + x − 2 z 2 . Bài 2.33 : Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng : a log b c + b log c a + c log a b ≥ 3 3 √ abc. 1 Một cách tổng q uá t, tìm giá trị nhỏ nhất của R = a xb + yc + b xc + ya + c xa + yb v ớ i a, b, c, x, y là những số dương TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 39 aotrangtb.com CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC Bài 2.34 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 1. Chứng minh rằng : 1 + 1 a 1 + 1 b 1 + 1 c ≥ 64. Bài 2.35 : Cho a, b > 0. Chứng minh rằng : (a + b) 2 + 1 a + 1 b 2 ≥ 8. Bài 2.36 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : bc a 2 b + a 2 c + ca b 2 c + b 2 a + ab c 2 a + c 2 b ≥ 1 2 1 a + 1 b + 1 c . Bài 2.37 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : ab a + b + bc b + c + ca c + a ≤ a + b + c 2 . Bài 2.38 : Cho a ≥ 3. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + 1 a . Bài 2.39 : Cho a ≥ 2. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + 1 a 2 . Bài 2.40 : Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + b + c + 1 abc . Bài 2.41 : Cho x, y > 0 v à x + y = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x √ 1 − x + y √ 1 − y . Bài 2.42 : Cho a, b, c ≥ 0 v à a + b + c = 1. T ì m giá trị lớn nhất của biểu thức S = 3 √ a + b + 3 √ b + c + 3 √ c + a. Bài 2.43 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 3. T ì m giá trị lớn nhất của biểu thức S = 3 a(b + 2c) + 3 b(c + 2a) + 3 c(a + 2b). Bài 2.44 : Cho a ≥ 2; b ≥ 6; c ≥ 12. Tì m giá trị lớn nhất của biểu thức S = bc √ a − 2 + ca 3 √ b − 6 + ab 4 √ c − 12 abc . Bài 2.45 : Chứng minh rằng : a b + b c + c a 2 ≥ 3 2 a + b c + b + c a + c + a b v ớ i mọi a, b, c > 0. Bài 2.46 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 3. Chứng minh rằng : a 3 (a + b)(a + c) + b 3 (b + c)(b + a) + c 3 (c + a)(c + b) ≥ 3 4 . Bài 2.47 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 3. Chứng minh rằng : a 3 b(2c + a) + b 3 c(2a + b) + c 3 c(2b + c) ≥ 1. Bài 2.48 : Cho a, b, c > 0 v à a 2 + b 2 + c 2 = 1. Chứng minh rằng : a 3 b + 2c + b 3 c + 2a + c 3 a + 2b ≥ 1 3 . Bài 2.49 : Cho a, b, c > 0 v à a 2 + b 2 + c 2 = 1. Chứng minh rằng : a 3 a + b + b 3 b + c + c 3 c + a ≥ 1 2 . TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 40 aotrangtb.com CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC Bài 2.50 : Cho a, b, c > 0 v à ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng : a √ 1 + a 2 + b √ 1 + b 2 + c √ 1 + c 2 ≤ 3 2 . Bài 2.51 : Cho a, b, c > 0 v à ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng : 1 a(a + b) + 1 b(b + c) + 1 c(c + a) ≥ 9 2 . Bài 2.52 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 1. Chứng minh rằng : a (b + c) 2 + b (c + a) 2 + c (a + b) 2 ≥ 9 4 . Bài 2.53 : Cho a, b, c > 0 v à a 2 + b 2 + c 2 = 3. Chứng minh rằng : ab c + bc a + ca b ≥ 3. Bài 2.54 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 1. Chứng minh rằng : bc √ a + bc + ca √ b + ca + ab √ c + ab ≤ 1 2 . Bài 2.55 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 2. Chứng minh rằng : bc √ 2a + bc + ca √ 2b + ca + ab √ 2c + ab ≤ 1. Bài 2.56 : Cho a, b, c > 0 v à abc = 1. Chứng minh rằng : a 3 (1 + b)(1 + c) + b 3 (1 + c)(1 + a) + c 3 (1 + a)(1 + b) ≥ 3 4 . Bài 2.57 : Cho a, b, c > 0 v à abc = 1. Chứng minh rằng : 1 a 3 (b + c) + 1 b 3 (c + a) + 1 c 3 (a + b) ≥ 3 2 . Bài 2.58 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 1 a + 1 b + 1 c ≥ 2 1 a + b + 1 b + c + 1 c + a . Bài 2.59 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng : 1 a 2 + 2bc + 1 b 2 + 2ca + 1 c 2 + 2ab ≥ 9. Bài 2.60 : Cho a, b > 0 v à a + b ≤ 1. Chứng minh rằng : 1 a 2 + b 2 + 1 ab ≥ 6. Bài 2.61 : Cho a, b > 0 v à a + b ≤ 1. Chứng minh rằng : 1 a 2 + b 2 + 1 ab + 4ab ≥ 7. Bài 2.62 : Cho a, b, c > 0 v à ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng : 1 a + 2b + 3c + 1 b + 2c + 3a + 1 c + 2a + 3b < 3 16 . Bài 2.63 : T ì m giá trị nhỏ nhất của : A = a 1 + b − a + b 1 + c − b + c 1 + a − c v ớ i a, b, c > 0 v à a + b + c = 1. Bài 2.64 : Cho x, y, z > 0 v à x 2 + y 2 + z 2 = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x y 2 + z 2 + y z 2 + x 2 + z x 2 + y 2 . Bài 2.65 : Cho x, y là hai số thực thay đổi. T ì m giá trị lớn nhất v à giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = (x + y)(1 − xy) (1 + x 2 ) 2 (1 + y 2 ) 2 . TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 41 aotrangtb.com CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC Bài 2.66 : Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn x + y + z = 0. T ì m giá trị nhỏ nhất của P = √ 2 x + 3 + √ 2 y + 3 + √ 2 z + 3. Bài 2.67 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 6. Chứng minh rằng : 8 x + 8 y + 8 z ≥ 4 x+1 + 4 y+1 + 4 z+1 . Bài 2.68 : Cho 0 < a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e v à a + b + c + d + e = 1. Chứng minh rằng : a(bc + be + cd + de) + cd(b + e − a) ≤ 1 25 . Bài 2.69 : Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng : a 2 a + bc + b 2 b + ca + c 2 c + ab ≥ a + b + c 4 . Bài 2.70 : Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng : b + c a + 3 4(b 3 + c 3 ) + c + a b + 3 4(c 3 + a 3 ) + a + b c + 3 4(a 3 + b 3 ) ≤2. Bài 2.71 : Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng : 1 a 3 + b 3 + abc + 1 b 3 + c 3 + abc + 1 c 3 + a 3 + abc ≤ 1 abc . Bài 2.72 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng : a 3 + b 3 a 2 + ab + b 2 + b 3 + c 3 b 2 + bc + c 2 + c 3 + a 3 c 2 + ca + a 2 ≥ 2. Bài 2.73 : Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng : 2 √ a a 3 + b 2 + 2 √ b b 3 + c 2 + 2 √ c c 3 + a 2 ≤ 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 . Bài 2.74 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 1 a 2 + bc + 1 b 2 + ca + 1 c 2 + ab ≤ a + b + c 2abc . Bài 2.75 : Cho a, b, c là ba số dương sao c h o ab + bc + ca ≥ 1. Chứng minh rằng : a 3 b 2 + 1 + b 3 c 2 + 1 + c 3 a 2 + 1 ≥ √ 3 4 . 2.2 Bất đẳng thức hình học Bài 2.76 : Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh rằng : √ a 2 + b 2 + 4c 2 + 4ac + √ a 2 + b 2 + 4c 2 − 4ac ≥ 2 √ a 2 + b 2 . Bài 2.77 : V ớ i mọi a, b, c, d ∈ R. Chứng minh rằng : √ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2ac + 2bd ≤ √ a 2 + b 2 + √ c 2 + d 2 . Bài 2.78 : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng : √ x + 2 √ y + 3 √ z ≤ 14(x+ y + z). TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 42 aotrangtb.com CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC Bài 2.79 : Cho bốn số a, b, c, d ∈ R thỏa mãn a 2 + b 2 = 1 v à c + d = 3. Chứng minh rằng : ac + bd + cd ≤ 9 + 6 √ 2 4 . Bài 2.80 : V ớ i mọi a, b, c ∈ R. Chứng minh rằng : √ a 2 + ab + b 2 + √ a 2 + ac + c 2 ≥ √ b 2 + bc + c 2 . Bài 2.81 : V ớ i mọi x, y ∈ R. Chứng minh rằng : 4 cos 2 x cos 2 y + sin 2 (x − y) + 4 sin 2 x sin 2 y + sin 2 (x − y) ≥ 2. Bài 2.82 : V ớ i mọi x, y ∈ R. Chứng minh rằng : 4x 2 + y 2 + 12x + 9 + 4x 2 + y 2 − 4x −6y + 10 ≥ 5. Bài 2.83 : Cho a + b + c = 1, ax + by + cz = 4 v ớ i a, b, c  0. Chứng minh rằng : √ 9a 2 + a 2 x 2 + 9b 2 + b 2 y 2 + 9c 2 + c 2 z 2 ≥ 5. Bài 2.84 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : a 2 − ab √ 2+ b 2 + b 2 − bc √ 3+ c 2 ≥ a 2 − ac 2 − √ 3 + c 2 . Bài 2.85 : Cho a, b, c > 0 v à abc + bc + ca = abc. Chứng minh rằng : √ b 2 + 2a 2 ab + √ c 2 + 2b 2 bc + √ a 2 + 2c 2 ac ≥ √ 3. Bài 2.86 : Cho x 2 + y 2 = 1. Chứng minh rằng : x 2 √ 5 + 2xy − y 2 √ 5 ≤ √ 6. Bài 2.87 : Cho x 2 + xy + y 2 = 3 y 2 + yz + z 2 = 16 v à x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng : xy + yz + zx ≤ 8. Bài 2.88 : Cho x, y, z là những số dương. Chứng minh rằng : x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ≥ √ 3(x+ y + z). Bài 2.89 : Cho a + b + c = 12. Chứng minh rằng : 3a + 2 √ a + 1 + 3b + 2 √ b + 1 + 3c + 2 √ c + 1 ≥ 3 √ 17. Bài 2.90 : Cho các số dương x, y, z v à x + y + z ≤ 2. Chứng minh rằng : 4x 2 + 1 x 2 + 4y 2 + 1 y 2 + 4z 2 + 1 z 2 ≥ √ 145 2 . Bài 2.91 : Giả sử x, y, u, v ∈ R thỏa mãn : x 2 + y 2 = 1; u 2 + v 2 + 16 = 8u + 4v. Tì m giá trị lớn nhất của biểu thức P = 8u + 4v − 2(ux+ vy). Bài 2.92 : Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xy + yz + zx = 5. Tì m giá trị nhỏ nhất của P = 3x 2 + 3y 2 + z 2 . TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 43 aotrangtb.com CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC 2.3 Phương pháp sửdụng điều kiện có nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình - phương pháp miền giá trị Bài 2.93 : T ì m giá trị lớn nhất v à nhỏ nhất của hàm số : f (x) = 2x 2 + 7x + 23 x 2 + 2x + 10 . Bài 2.94 : T ì m giá trị lớn nhất v à giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 − (x − 4y) 2 x 2 + 4y 2 , v ớ i x 2 + y 2 > 0. Bài 2.95 : Cho x là số dương, y là số thực tùy ý . Tì m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức : P = xy 2 (x 2 + 3y 2 ) x + x 2 + 12y 2 . Bài 2.96 : T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 , v ớ i 2x 2 + y 2 + xy ≥ 1. Bài 2.97 : Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện : 3 √ x( 3 √ x − 1) + 3 √ y( 3 √ y − 1) = 3 √ xy. T ì m giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức : P = 3 √ x + 3 √ y + 3 √ xy. Bài 2.98 : Cho x, y thỏa mãn điều kiện : x 2 −xy + y 2 = 3. T ì m giá trị lớn nhất v à nhỏ nhất của biểu thức : P = x 2 + xy −2y 2 . Bài 2.99 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện : x − 3 √ x+ 1 = 3 √ y + 2 − y. Tì m giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = x + y. Bài 2.100 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn : x 2 + y 2 = 2(x + y) + 7. T ì m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3 √ x(x − 2) + 3 √ y(y − 2). Bài 2.101 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : 4x 2 − 3xy + 3y 2 = 6. T ì m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + xy − 2y 2 . Bài 2.102 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : √ x + √ y = 4. T ì m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = √ x + 1 + √ y + 9. Bài 2.103 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : xy + x + y = 3. T ì m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3x y + 1 + 3y x + 1 − x 2 − y 2 . Bài 2.104 : Cho a, b ≥ 0 v à a 2 + b 2 + ab = 3. T ì m giá trị nhỏ nhất v à giá trị lớn nhất của biểu thức P = a 4 + b 4 + 2ab − a 5 b 5 . Bài 2.105 : Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 2. T ì m giá trị lớn nhất của P = (x 3 + 2)(y 3 + 2). 2.4 Bất đẳng thức trong các kì thi tuyển sinh ĐH Bài 2.106 (CĐ08) : Cho hai số thực x, y thay đổi v à thoả mãn x 2 + y 2 = 2. Tì m giá trị lớn nhất v à giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2(x 3 + y 3 ) −3xy. Bài 2.107 (CĐ10) : Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y ≤ 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1 x + 1 √ xy . Bài 2.108 (A03) : Cho x, y, z là ba số dương v à x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng : x 2 + 1 x 2 + y 2 + 1 y 2 + z 2 + 1 z 2 ≥ √ 82. TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 44 aotrangtb.com CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC Bài 2.109 (A05) : Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : 1 x + 1 y + 1 z = 4. Chứng minh rằng : 1 2x + y + z + 1 x + 2y + z + 1 x + y + 2z ≤ 1. Bài 2.110 (A06) : Cho hai số thực x  0, y  0 thay đổi v à thoả mãn điều kiện : (x + y)xy = x 2 + y 2 − xy. Ti m giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1 x 3 + 1 y 3 . Bài 2.111 (A07) : Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi v à thoả mãn điều kiện xyz = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x 2 (y + z) y √ y + 2z √ z + y 2 (z + x) z √ z + 2x √ x + z 2 (x + y) x √ x + 2y √ y . Bài 2.112 (A09) : Chứng minh rằng v ớ i mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz ta có : (x + y) 3 + (x + z) 3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) ≤ 5(y + z) 3 . Bài 2.113 (B05) : Chứng minh rằng v ớ i mọi x ∈ R, ta có : 12 5 x + 15 4 x + 20 3 x ≥ 3 3 + 4 x + 5 x . Khi nào đẳng thức x ảy ra. Bài 2.114 (B06) : Cho x, y là các số thực thay đổi. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = (x − 1) 2 + y 2 + (x + 1) 2 + y 2 + |y − 2|. Bài 2.115 (B07) : Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x x 2 + 1 yz + y y 2 + 1 xz + z z 2 + 1 xy . Bài 2.116 (B08) : Cho hai số thực x, y thay đổi v à thoả mãn hệ thức x 2 + y 2 = 1. T ì m giá trị lớn nhất v à giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2(x 2 + 6xy) 1 + 2xy + 2y 2 . Bài 2.117 (B09) : Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn (x + y) 3 + 4xy ≥ 2. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 3(x 4 + y 4 + x 2 + y 2 ) − 2(x 2 + y 2 ) + 1. Bài 2.118 (B10) : Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 3(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) + 3(ab + bc + ca) + 2 √ a 2 + b 2 + c 2 . Bài 2.119 (D05) : Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng : 1 + x 3 + y 3 xy + 1 + y 3 + z 3 yz + √ 1 + z 3 + x 3 zx ≥ 3 √ 3. Bài 2.120 (D07) : Cho a ≥ b > 0. Chứng minh rằng : 2 a + 1 2 a b ≤ 2 b + 1 2 b a . Bài 2.121 (D08) : Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. T ì m giá trị lớn nhất v à giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = (x − y)(1 − xy) (1 + x) 2 (1 + y) 2 . Bài 2.122 (D09) : Cho các số thực không âm x, y thay đổi v à thỏa mãn x + y = 1. T ì m giá trị lớn nhất v à giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = (4x 2 + 3y)(4y 2 + 3x) + 25xy. Bài 2.123 (D10) : Tì m giá trị nhỏ nhất của hàm số y = √ −x 2 + 4x + 21 − √ −x 2 + 3x + 10. TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 45 aotrangtb.com CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC 2.5 Bài tậptổng hợp Bài 2.124 : Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = 5 4 . T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = 4 x + 1 4y . Bài 2.125 : Giả sử a, b, c, d là bốn số nguyên tha y đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. Chứng minh a b + c d ≥ b 2 + b + 50 50b v à tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = a b + c d . Bài 2.126 : Cho x, y, z là ba số thoả mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng : √ 3 + 4 x + √ 3 + 4 y + √ 3 + 4 z ≥ 6. Bài 2.127 : Chứng minh rằng v ớ i mọi x, y > 0 ta có : (1 + x) 1 + y x 1 + 9 √ y 2 ≥ 256. Đẳng thức xảy ra khi nào. Bài 2.128 : Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn a + b + c = 3 4 . Chứng minh rằng : 3 √ a + 3b + 3 √ b + 3c + 3 √ c + 3a ≤ 3. Khi nào đẳng thức xảy ra? Bài 2.129 : Chứng minh rằng 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x √ y − y √ x ≤ 1 4 . Đẳng thức x ả y ra khi nào ? Bài 2.130 : Cho x, y, z là ba số dương v à xyz = 1. Chứng minh rằng : x 2 1 + y + y 2 1 + z + z 2 1 + x ≥ 3 2 . Bài 2.131 : Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x 2 + xy + y 2 ≤ 3. Chứng minh rằng : −4 √ 3 − 3 ≤ x 2 − xy − 3y 2 ≤ 4 √ 3 − 3. Bài 2.132 : Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện 3 −x + 3 −y + 3 −z = 1. Chứng minh rằng : 9 x 3 x + 3 y+z + 9 y 3 y + 3 z+x + 9 z 3 z + 3 x+y ≥ 3 x + 3 y + 3 z 4 . Bài 2.133 : Cho hai số dương x, y thay đổi v à thoả mãn điều kiện x + y ≥ 4. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 3x 2 + 4 4x + 2 + y 3 y 2 . Bài 2.134 : Tì m giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x + 11 2x + 4 1 + 7 x 2 , x > 0. Bài 2.135 : Cho x, y, z là các số thực dương. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = 3 4(x 3 + y 3 ) + 3 4(y 3 + z 3 ) + 3 4(z 3 + x 3 ) + 2 x y 2 + y z 2 + z x 2 . Bài 2.136 : Cho a, b là các số dương thoả mãn ab + a + b = 3. Chứng minh rằng : 3a b + 1 + 3b a + 1 + ab a + b ≤ a 2 + b 2 + 3 2 . Bài 2.137 : Cho x, y > 0 v à xy = 100. Hãy x á c định giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 x − y . TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 46 [...]...CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 2.138 : Giả sử phương trình ax2 + bx + c có hai nghiệm thuộc đoạn [0; 1] Xác định a, b, c để biểu thức P có giá trị nhỏ (a − b)(2a − c) nhất, giá trị lớn nhất, trong đó P = a(a − b + c) 1 1 Bài 2.139 : Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2 y2 + 2 y x Bài 2.140 : Chứng minh các bất đẳng thức sau với a, b, c là các... http://aotrangtb.com Trang 47 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 2.154 : Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện a + b + c = P= √ a2 + ab + b2 + √ b2 + bc + c2 + √ √ 3 Tính giá trị nhỏ nhất của c2 + ca + a2 Bài 2.155 : Cho x, y ∈ R thỏa mãn x2 + y2 − 2x − 4y + 4 = 0 Chứng minh rằng √ √ √ √ x2 − y2 + 2 3xy − 2(1 + 2 3)x + (4 − 2 3)y ≤ 5 − 4 3 Bài 2.156 : Giả sử x, y, z là các số thực... ≥ 4x+1 + 4y+1 + 4z+1 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? Bài 2.157 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P= x2 (y + z) y2 (z + x) z2 (x + y) + + yz zx xy Bài 2.158 : Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 8 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 + + 2a + b + 6 2b + c + 6 2c + a + 6 om P= Bài 2.159 : Cho x, y > 0 và thỏa mãn x + y = 1 Chứng... − 1) 2 Bài 2.148 : Cho x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 y3 P = 2 + 9 3 y x Bài 2.149 : Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy + yz + 5 zx + x+y+z Bài 2.150 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z2 z3 + xy Bài 2.151... 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x4 x y + 2 2 +y x + y4 c Bài 2.145 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 = x + y Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức tb A = x3 + y3 + x2 y + xy2 ng Bài 2.146 : Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 ≤ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P= 1 1 1 + + xy + z2 yz + x2 zx + y2 ao tra Bài 2.147 : Cho ba số dương a, b,... Trang 48 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2 ab + bc + ca ≥ 3 + √ a2 + 1 + √ b2 + 1 + √ c2 + 1 Bài 2.169 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3 Chứng minh rằng : 1 1 1 1 + + ≤ 1 + a2 (b + c) 1 + b2 (c + a) 1 + c2 (a + b) abc Bài 2.170 : Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1 Chứng minh rằng : 1 1 1 + + ≤ 1 x+y+1 y+z+1 z+x+1 √ √ √ 2 y 2 x 2 z 1 1 1 Bài 2.171 : Cho x, y, z... x+y y+z z+x ao tra Bài 2.176 : Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng 1 1 1 + 2 + 2 + 3 ≥ 2(a + b + c) 2 a b c √ yz 2 3−3 Bài 2.177 : Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng x ≤ (y + z) 3x 6 π π Bài 2.178 : Cho các số thực x, y thỏa mãn 0 ≤ x ≤ và 0 ≤ y ≤ Chứng minh rằng cos x + cos y ≤ 1 + cos(xy) 3 3 √ Bài 2.179 : Cho số nguyên n (n > 2) và hai số thực không... rằng √ x 1 − x2 + y 2 ≥ √ 3 1 − y2 c Bài 2.160 : Cho hai số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 + xy = 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức tb P = x3 + y3 − (x2 + y2 ) ng Bài 2.161 : Cho a, b, c là các số thực không âm, khác nhau từng đôi một và thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 4 Chứng minh rằng ao tra 1 1 1 + + ≥ 1 2 2 (a − b) (b − c) (c − a)2 Bài 2.162 : Cho x, y, z là ba số thực... c) Bài 2.167 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = (1 − a)(1 − b)(1 − c) Bài 2.166 : Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = Bài 2.168 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc Chứng minh rằng : √ √ 1 c ab ≥ 1 + 1 + c2 ; Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Trang 48 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN... b 1+ c 1+ a Bài 2.141 (*) : Cho 6 số thực x1 , x2 , , x6 ∈ [0; 1] Chứng minh rằng : (x1 − x2 )(x2 − x3 )(x3 − x4 )(x4 − x5 )(x5 − x6 )(x6 − x1 ) ≤ Bài 2.142 : Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng : Bài 2.143 : Cho x1 , x2 , x3 , x4 > 0 thỏa mãn 4 È i=1 x6 1 16 2x 2y 2z 1 1 1 + 6 + 6 ≤ 4 + 4 + 4 4 4 4 +y y +z z +x x y z 4 È 4 x x1 = 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T = i=1 4 È i=1 i x3 i om Bài 2.144 : . d 2 . Bài 2.78 : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng : √ x + 2 √ y + 3 √ z ≤ 14(x+ y + z). TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 42 aotrangtb.com CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC Bài. + ca b 2 c + b 2 a + ab c 2 a + c 2 b ; TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 38 aotrangtb.com CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC Bài 2.19 : Cho x, y, z, t > 0 v à xyzt = 1. T ì. v ớ i a, b, c, x, y là những số dương TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 39 aotrangtb.com CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC Bài 2.34 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 1. Chứng