Đang tải... (xem toàn văn)
Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert: các định lý điểm bất động, đặc trưng hình chiếu trên một tập lồi, sự chặt cụt, nguyên lý cực đại yếu, bất đẳng thức biến phân, một số bài toán dẫn tới bất đẳng thức biến phân.
LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô tổ giải tích-khoa Tốn, trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi cho em trình thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Trần Thị Phượng i LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan, hướng dẫn Thầy Nguyễn Văn Tuyên khóa luận tốt nghiệp “Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert” hồn thành khơng trùng với đề tài khác Trong q trình hồn thành khóa luận, em thừa kế thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Trần Thị Phượng ii Mục lục Mở đầu 1 Bất đẳng thức biến phân Rn 1.1 Các định lý điểm bất động 1.2 Đặc trưng hình chiếu tập lồi 1.3 Định lý thứ bất đẳng thức biến phân 1.4 Bất đẳng thức biến phân 11 1.5 Một số toán dẫn tới bất đẳng thức biến phân 14 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 18 2.1 Dạng song tuyến tính 18 2.2 Sự tồn nghiệm 19 2.3 Sự chặt cụt 23 2.4 Khơng gian Solobev tốn biên 24 2.5 Nguyên lý cực đại yếu 31 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) đời vào năm 1960, gắn liền với cơng trình G Stampacchia, J L Lions G Fichera [24, 30] Hiện nay, toán bất đẳng thức biến phân phát triển thành nhiều dạng khác nhau, ví dụ: bất đẳng thức biến phân vector, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng Bài toán thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học mơ hình chứa nhiều tốn quan trọng số lĩnh vực khác toán học trường hợp riêng, ví dụ: tối ưu hóa, lý thuyết trị chơi, cân Nash, cân mạng giao thông Trong năm gần đây, toán mở rộng toán bất đẳng thức biến phân toán cân thu hút quan tâm nhiều người, chẳng hạn: A N Iusem, W Sosa [14], P Q Khanh N X Hai [6], M Bianchi S Schaible [20] Trong khóa luận này, hệ thống lại số kết liên quan tới bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Khóa luận chia thành hai chương Chương hệ thống lại kết bất đẳng thức biến phân không gian Rn số toán dẫn tới bất đẳng thức biến phân Chương trình bày kết liên quan đến bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert mối liên hệ toán với số toán khác, ví dụ: tốn biên, ngun lý cực đại yếu 2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert mối liên hệ với số toán khác Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu kết bất đẳng thức biến phân toán dẫn đến bất đẳng thức biến phân Nghiên cứu bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert mối liên hệ với số toán khác Phương pháp nghiên cứu Tra cứu tài liệu, tổng hợp theo đạo người hướng dẫn để hoàn thành mục tiêu đề Cấu trúc khố luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo khố luận bao gồm chương: Chương 1: Bất đẳng thức biến phân Rn : Chương 2: Bất đẳng thức biến phân không gian Hn : Chương Bất đẳng thức biến phân Rn 1.1 Các định lý điểm bất động Lý thuyết điểm bất động nhánh toán học, nhiều vấn đề giải tích giải định lý điểm bất động Một số kết tồn điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ XX, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer(1912) nguyên lý ánh xạ co Banach(1922) Các kết kinh điển mở rộng lớp ánh xạ không gian khác Định nghĩa 1.1 Cho F ánh xạ từ tập A vào nó, F : A → A Điểm x ∈ A gọi điểm bất động F F (x) = x Nói cách khác, điểm bất động F nghiệm phương trình F (x) = x Định nghĩa 1.2 Cho (S, d) không gian metric Ánh xạ F : S → S gọi ánh xạ co tồn số a ∈ [0, 1) cho d(F (x), F (y)) ≤ ad(x, y), x, y ∈ S Khi a = 1, ánh xạ F gọi ánh xạ không giãn (1.1) Định lý 1.1 Cho S không gian metric đầy F : S → S ánh xạ co Khi đó, ánh xạ F có điểm bất động Chứng minh Lấy x0 ∈ S lập dãy xn = F (xn−1 ) ∀n = 1, 2, Ta có: d(x2 , x1 ) = d(F (x1 ), F (x0 )) ≤ ad(x1 , x0 ) = ad(F (x0 , x0 )) d(x3 , x2 ) = d(F (x2 ), F (x1 )) ≤ ad(x2 , x2 ) ≤ a2 d(F (x0 , x0 )) d(xn+1 , xn ) = d(F (xn ), F (xn−1 )) ≤ ad(xn , xn−1 ) ≤ an d(F (x0 , x0 )), với n = 1, 2, Với n, p = 1, 2, sử dụng bất đẳng thức tam giác liên tiếp p lần ta p p d(xn+p , xn ) ≤ k=1 n = an+k−1 d(xn+k , xn+k−1 ) ≤ d(F (x0 , x0 )) k=1 n n+p a a −a d(F (x0 ), x0 ) ≤ d(F (x0 ), x0 ) 1−a 1−a Vì ≤ a < nên lim an = Suy lim d(xn+p , xn ) = ∀p ∈ N∗ , n→∞ n→∞ nghĩa dãy {xn } dãy Vì S khơng gian đầy nên tồn lim xn = x ∈ S Ta có ¯ n→∞ d(F (¯), x) ≤ d(F (¯), xn ) + d(xn , x) = d(F (¯), F (xn−1 )) + d(xn , x) x ¯ x ¯ x ¯ ≤ ad(xn−1 , x) + d(xn , x), ∀n = 1, 2, ¯ ¯ cho n → ∞ ta d(F (¯), x) = hay F (¯) = x, nghĩa x điểm x ¯ x ¯ ¯ bất động ánh xạ F *Chứng minh ¯ Giả sử tồn điểm x ∈ S điểm bất động ánh xạ F Ta có d(¯, x ) = d(F x, F x ) ≤ ad(¯, x ) x ¯ ¯ ¯ x ¯ ⇒ (1 − a)d(¯, x ) ≤ ≤ a < ⇒ d(¯, x ) = x ¯ x ¯ Suy ra: x = x ¯ ¯ Vì x điểm bất động F ¯ Chú ý định lý khơng cịn F ánh xạ không giãn Chẳng hạn, phép tịnh tiến từ không gian tuyến tính vào ánh xạ khơng giãn khơng có điểm bất động Định lý 1.2 (Định lý Brouwer) Cho F ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng ⊂ Rn vào Khi đó, ánh xạ F có điểm bất động 1.2 Đặc trưng hình chiếu tập lồi Trong phần này, xét phép chiếu lên tập lồi không gian Hilbert H trường số thực Chú ý rằng, chứng minh tương tự trường hợp H không gian hữu hạn chiều Bổ đề 1.1 Giả sử K tập lồi đóng khơng gian Hilbert H Khi đó, với x ∈ H tồn y ∈ K cho: x − y = inf x − η η∈K (1.2) Chứng minh Kí hiệu d := inf η − x Theo tính chất infimum tồn η∈K dãy {ηk } ∈ K cho lim ηk − x = d = inf η − x k→∞ η∈K (1.3) Ta có x+y =2 x − ηk + x−y 2 =2 x + y , x, y ∈ H Do đó, ta có ηk − ηh 2 + x − ηh − x − 1/2(ηk + ηh ) (1.4) Vì K tập lồi nên 1/2(ηk + ηh ) ∈ K d2 ≤ x − 1/2(ηk + ηh ) Do ηk − ηh Từ (1.3) ta có: lim k,h→∞ ≤ x − ηk + x − ηh − 4d2 ηk − ηh = Vì H đầy nên có y ∈ K mà lim ηk = y k→∞ Hơn x + y = lim x − ηk = d k→∞ Dễ thấy y Thật vậy, giả sử có phần tử y, y ∈ K thỏa mãn (1.2) Trong (1.4) ta thay ηk y, ηh y được: y−y =2 x−y +2 x−y − 1/2 y + y ≤ 4d2 − 4d2 = Hay y = y Nhận xét 1.1 Các điểm thỏa mãn (1.2) gọi chân hình chiếu x lên K kí hiệu P rK x Ta viết: y = P rK x Chú ý: P rK x = x, ∀x ∈ K Định lý 1.3 Giả sử K tập lồi, đóng khơng gian Hilbert H Khi đó, y chân hình chiếu x K khi: {y ∈ K : (y, η − y) ≥ (x, η − y) ∀η ∈ K} (1.5) Chứng minh Giả sử x ∈ H y = P rK x Vì K tập lồi nên: (1 − t)y + tη = y + t(η − y) ∈ K ∀η ∈ K, ≤ t ≤ 1, (1.2) hàm Φ(t) = x − y − t(η − y) = x−y − 2t(x − y, η − y) + t2 η − y đạt giá trị nhỏ t = Suy Φ (0) ≥ 0, có nghĩa là: −2(x − y, η − y) ≥ ⇔ (x − y, η − y) ≤ ∀η ∈ K, hay (y, η − y) ≥ (x, η − y) ∀η ∈ K Ngược lại, y ∈ K mà (y, η − y) ≥ (x, η − y) ∀η ∈ K Khi đó: ≤ (y − x, (η − x) + (x − y)) ≤ − x − y + (y − x, η − x) Do đó: x−y ≤ (y − x, η − x) ≤ x − y η−x Suy ra: x−y ≤ η−x ∀η ∈ K Do x − y = inf x − η η∈K Hệ 1.1 Giả sử K tập lồi khơng gian Hilbert H Khi tốn tử P rK khơng giãn, có nghĩa P rK x − P rK x ≤ x − x , với x, x ∈ H (1.6) Chứng minh Giả sử x, x ∈ H cho y = P rK x y = P rK x Khi đó, y ∈ K : (y, η − y) ≥ (x, η − y), η ∈ K (1), 27 Bài toán 2.2 (bài toán Dirichlet’s) Cho f ∈ H−1 (Ω) g ∈ H1 (Ω), tìm u ∈ H1 cho −∆u = f Ω, (2.9) u = g ∂Ω Khi f = f0 , g u trơn (2.9) Để có kết (2.9) điều kiện yếu, ta giả sử hàm trơn nhân vế ∞ phương trình với ζ ∈ C0 (Ω) Sau lấy tích phân phần, ta (u, ζ)H1 (Ω) = uxi ζxi dx = Ω f ζdx Ω Ở phần tiếp theo, sử dụng quy tắc lấy tích phân phần, u ∈ H1 (Ω) gọi nghiệm yếu (2.9) uxi ζxi dx = f, ζ với ζ ∈ H1 (Ω), u − g ∈ H1 (Ω) 0 (2.10) Ω Cuối cùng, viết toán bất đẳng thức biến phân Xét không gian affine M = Mg = {v ∈ H1 (Ω) : v − g ∈ H1 (Ω)} Bây (2.9) trở thành Bài tốn Dirichlet yếu Bài tốn 2.3 Tìm u∈M : uxi (v − u)xi dx ≥ f, v − u Ω Tất nhiên dạng song tuyến tính u, v → uxi vxi dx Ω với v ∈ M 28 tích vơ hướng H1 (Ω), khơng thỏa điều kiện tồn khơng gian H1 (Ω) Hơn uxi (v − u)xi dx = Ω (u − g)xi (v − u)xi dx + Ω gxi (v − u)xi dx Ω u nghiệm toán ω = u − g nghiệm ωxi (v − u)xi dx ≥ f, v − u − Ω gxi (v − u)xi dx (2.11) Ω Nhắc lại rằng, gxi ∈ L2 (ω), ≤ i ≤ n Bài tốn (2.3) tương đương với tìm ω ∈ H1 (Ω) : ωxi (ζ − ω)xi dx ≥ F, ζ − ω với ζ ∈ H1 (Ω) (2.12) Ω với F ∈ H−1 (Ω) xác định F, ζ = f, ζ − gxi ζxi dx Ω Từ Định lý 2.1 suy (2.12) có nghiệm ω Rõ ràng, u = g + ω nghiệm Bài toán 2.3 Nếu a(u, v) dạng song tuyến tính H1 (Ω), thỏa điều kiện H1 (Ω) K lồi, đóng với K − K = {u − v : u, v ∈ K} ∈ H1 (Ω), 0 tồn nghiệm u ∈ K : a(u, v − u) ≥ f, v − u với v ∈ K, với f ∈ H−1 (Ω) Quay trở lại với Bài tốn 2.3, từ tập lồi có, tồn ωxi ζxi dx = F, ζ với ζ ∈ H1 (Ω), Ω suy ra: ω + g = u nghiệm (2.10) 29 Một toán Dirichlet tổng quát −∆u + λu = f Ω, u = g ∂Ω Một lần nhân vế phương trình với ζ ∈ H1 (Ω) lấy tích phân phần dẫn tới tốn Bài tốn 2.4 Tìm u ∈ M = {v ∈ H1 (Ω) : v − g ∈ H1 (Ω)} cho a(v, ζ) = vζdx với v, ζ ∈ H1 (Ω) vxj ζxj dx + λ Ω Ω Chúng ta thấy rằng, a(v, ζ) thỏa điều kiện H1 (Ω) với điều kiện λ > −1/β, β số bất đẳng thức Poincare Thực vậy, với t ∈ (0, 1), vx dx + (1 − t) a(v, v) = t Ω vx dx + λ Ω v dx Ω vx dx + [(1/β) − (t/β) + λ] ≥t Ω v dx Ω Chọn t, < t < 1, cho < t < β[( β ) + λ] = + βλ Khi đó, a(v, v) ≥ t v H1 (Ω) Từ sau này, ví dụ trước đó: Bài tốn Dirichlet có nghiệm Bài toán 2.5 (Bài toán Neumann) Khi ∂Ω, f, g trơn tốn cổ điển phát biểu sau: tìm hàm u cho −∆u + λu = f Ω, ∂u/∂n = g ∂Ω, 30 với ∂/∂n đạo hàm theo hướng pháp tuyến ∂Ω Nhân hai vế phương trình với ζ ∈ C (∂Ω) lấy tích phân phần ta a(u, ζ) = f ζdx + Ω gζdx, (2.13) Ω a(u, ζ) = uxi ζxi dx + λ Ω uζdx Ω Bằng cách chọn λ > α = min(1, λ) ta có a(v.v) ≥ α v H1 (Ω) Tuy nhiên, α = dạng a(u, v) khơng thỏa điều kiện trường hợp Bài toán Neumann khơng phải lúc có nghiệm có nghiệm nghiệm khơng phải Bài toán 2.6 (bài toán hỗn hợp) Giả sử ∂Ω = ∂1 Ω ∪ ∂2 Ω với ∂1 Ω ∩ ∂2 Ω = ∅ Bài toán hỗn hợp phát biểu sau −∆u + λu = f Ω, u = ∂1 Ω, (2.14) ∂u/∂n = ∂2 Ω Với λ > 0, toán tử −∆ + λ cho ta dạng song tuyến tính thỏa điều kiện H1 (Ω), thấy Nếu λ = dạng thỏa điều kiện miễn ∂1 (Ω) đủ lớn cụ thể, ∂1 (Ω) đủ lớn đảm bảo tồn β > cho ζx dx với ζ ∈ C ∞ (Ω), ζ dx ≤ β Ω Ω thỏa mãn ζ = ∂1 Ω Một điều kiện đủ cho điều Ω trơn liên thơng là: ∂1 (Ω) có phần khác rỗng ∂Ω 31 Định lý 2.3 Cho Ω miền Rn có biên trơn, giả sử u ∈ H1 (Ω) : −∆u = f Ω f ∈ Hm,s (Ω) u ∈ Hm+2,s (Ω), < s < ∞ Tất nhiên, biểu thức “−∆u = f Ω” có nghĩa uxj ζxj dx = Ω f ζdx, Ω ∞ với ζ ∈ C0 (Ω) Chứng minh định lý tham khảo Morrey 2.5 Nguyên lý cực đại yếu Giả sử Ω miền bị chặn, liên thông Rn với biên ∂Ω Định nghĩa 2.7 Cho u ∈ H1 (Ω) E ⊂ Ω Hàm u không âm E theo nghĩa H1 (Ω), ngắn gọn u ≥ E H1 (Ω), tồn dãy {un } ∈ H1,∞ (Ω) cho un (x) ≥ với x ∈ E; un → u H1 (Ω) (2.15) Nếu −u ≥ E H1 (Ω) u không dương E H1 (Ω) hay u ≤ E H1 (Ω) Nếu u ≥ E H1 (Ω) u ≤ E H1 (Ω) nói u = E H1 (Ω) Tương tự vậy, nói u ≤ v E H1 (Ω) v − u ≥ E H1 (Ω) với phần tử u, v ∈ H1 (Ω) Đặc biệt, v số, điều dẫn tới định nghĩa sup u = inf{M ∈ R : u ≤ M E H1 (Ω)} E 32 Chúng ta so sánh khái niệm “≥” H1 (Ω) “≥” H1 (Ω) Mệnh đề 2.1 Cho Ω ⊂ Rn bị chặn, E ⊂ ∂Ω u ∈ H1 (Ω) (i) Nếu u ≥ E H1 (Ω) u ≥ E h.k.n (ii) Nếu u ≥ E Ω h.k.n u ≥ Ω H1 (Ω) (iii) Nếu u ∈ H1 (Ω) u ≥ Ω h.k.n tồn dãy un ∈ H1,∞ (Ω), cho an ≥ Ω un → u H1 (Ω) 0 (iv) Nếu E mở Ω u ≥ h.k.n E, u ≥ K theo nghĩa H1 (Ω) với tập compact K ⊂ E Chứng minh (i) Đây hệ hội tụ h.k.n tới u dãy dãy tùy ý u hội tụ tới u L2 (Ω) (ii) Cho ⊂ H1,∞ (Ω) thỏa mãn → u H1 (Ω) Ω h.k.n theo điểm, max(vn , 0) ≥ u = max(u, 0) Ω h.k.n, max(vn , 0) − u L2 (Ω) = max(vn , 0) − max(u, 0) ≤ − u L2 (Ω) L2 (Ω) → n → ∞ Từ max (vn , 0)2 dx ≤ x Ω vnx dx ≤ C, Ω dãy max(vn , 0) chứa dãy hội tụ yếu H1 (Ω) tới phần tử u nói Theo nhận xét mệnh đề trước, u ≥ Ω H1 (Ω) (iii) Chứng minh tương tự (ii) Bắt đầu với ∈ H1,∞ (Ω) ∞ (iv) Cho K compact E, lấy ζ ∈ C0 (Rn ) thỏa mãn ζ = {x : dist(x, K) ≤ dist(Rn − E, K)}, n ζ = R − E, 33 ≤ ζ ≤ Cho, ϕε (x) họ với cách làm giảm với giá ϕε ⊂ ε (0) đặt ωn (x) = u ∗ ϕεn (x) = u(y)ϕεn (x − y)dy, εn (0) εn → đơn điệu ε0 < dist(K, Rn − E) Do ωn ≤ K Cho ∈ H1,∞ (Ω) thỏa mãn → u H1 (Ω), un = ζωn + (1 − ζ)vn dãy cần tìm Mệnh đề 2.2 Cho u ∈ H1 (Ω) giả sử sup u = M = inf{m ∈ R : u ≤ m ∂Ω H1 (Ω)} < +∞ ∂Ω Khi đó, với k ≥ M, max(u − k, 0) ∈ H1 (Ω) max(u − k, 0) ≥ 0 Ω H1 (Ω) Chứng minh Để chứng minh max(u − k, 0) ∈ H1 (Ω) ta chứng minh điều kiện tương đương Có nghĩa là, ta chứng minh tồn dãy ∈ H1,∞ (Ω) mà yếu − → max(u − k, 0) H1 (Ω) − Theo giả thuyết, với ε ≥ 0, tìm dãy uε ∈ C (Ω) cho n k − uε + ε > ∂Ω n k − uε + ε → k − u + ε H1 (Ω) n → ∞ n Từ đó, ta chọn ε = 1/n, uε = un , ta có n k + (1/n) − un > ∂Ω 34 un → u H1 (Ω) Do đó, hàm Lipschitz = max(un − (1/n) − k, 0) có giá compact Ω Hơn yếu − → max(u − k, 0) H1 (Ω) − Do đó, max(u − k, 0) ∈ H1 (Ω) Chú ý max(u−k, 0) ≥ h.k.n Ω, max(u−k, 0) ≥ Ω H1 (Ω) (theo Mệnh đề 2.1(ii)) Nguyên lý cực đại nói dạng phương trình với hệ số đo được, bị chặn Cho aij (x) ∈ L∞ (Ω) thỏa mãn (1/Λ)ξ ≤ aij (x)ξi ξj ≤ Λξ với ξ ∈ Rn h.k.n x ∈ Ω, với Λ ≥ định nghĩa aij (x)uxj (x)vxj (x)dx, u, v ∈ H1 (Ω) a(u, v) = Ω Điều xác định toán tử L : H1 (Ω) → H−1 (Ω) cho Lu, v = a(u, v), u, v ∈ H1 (Ω) Ta viết lại Lu = −(∂/∂xi )(aij uxj ) ∈ H−1 (Ω), với aij không thiết đối xứng (2.16) 35 Định lý 2.4 Cho Lu = −(∂/∂(xi ))(aij uxj ) với aij thỏa mãn 2.16, với ϕ ∈ H−1 (Ω) có nghiệm toán u ∈ H1 (Ω) : Lu = f Ω, u = ϕ ∂Ω Chúng ta quay trở lại với nguyên lý cực đại Định lý 2.5 Cho u ∈ H1 (Ω) nghiệm toán Lu = Ω, u = ϕ ∂Ω đó, Lu = −(∂/∂xi )(aij uxj ) với aij thỏa mãn 2.16 ϕ ∈ H1 (Ω) Khi đó, ta có u L∞ (Ω) ≤ sup |ϕ| ∂Ω Chứng minh Chúng ta chứng minh u ≤ sup ϕ H1 (Ω) ∂Ω Vì −u nghiệm phương trình với giá trị biên −ϕ, từ suy −u ≤ sup −ϕ H1 (Ω) ∂Ω Các kết luận định lý suy từ Mệnh đề 2.1(i) Theo Mệnh đề 2.2, ζ = max(u − M, 0) ∈ H1 (Ω), 0 = a(u, ζ) = aij uxj ζxi dx (2.17) Ω Chúng ta chia Ω thành tập, tập xác định tập có độ đo khơng: {x : ζ(x) > 0} {x : ζ(x) = 0} Ta có ζxi = h.k.n {x : ζ(x)} = 0, ζxi = uxi h.k.n {x : ζ(x)} > 36 Suy uxj (x)ζxi (x) = ζxj (x)ζxi (x) h.k.n Ω Thay vào (2.17), có = a(u, ζ) = aij uxj ζxj dx = a(ζ, ζ) Ω ζxi dx = (1/Λ) ζ ≥ (1/Λ) H1 (Ω) Ω Do ζ = H1 (Ω), u − M ≤ H1 (Ω) 37 KẾT LUẬN Do thời gian nghiên cứu lực cịn hạn chế nên khóa luận đạt số kết định Em mong thầy cơ, bạn góp ý nhận xét để khóa luận đầy đủ hồn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy cô giáo trường, đặc biệt Thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên tận tình giúp đỡ em hồn thành khóa luận Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Trần Thị Phượng Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] K Chi, D.H Chương N.H Linh, Bất đẳng thức biến phân ứng dụng vào toán mạng giao thông, Đề tài NCKH cấp trường Đại học KHTN, Đại học Quốc Gia Tp.HCM, 2004 [B] Tài liệu tiếng Anh [2] X Hải and P.Q Khánh, Existence of Solutions to General QuasiEquilibrium Problems and Applications, (In Press), 2004 [3] Q Khánh and L.M Lưu, On The Existence of Solution to Vector Quasi Variational Inequalities and Quasi Complementtarity Problems with Application to Traffic Network Equilibria, Journal of Optimization and Its Applications, Vol 123, 533-548, 2004 [4] Q Khánh and L.M Lưu, Some Existence Results for Vector Quasivariational Inequalities Involving Multifunction and Application to Traffic Equilibrium Problems, Journal of Global Optimization, Vol 32, 551-568, 2005 [5] Q Khánh and L.M Lưu, UpperSemi continuos of The Solution Set to Parametric Vector Quasivariational Inequalities Journal of Global Optimization, Vol 32, 569-580, 2005 39 [6] Daniele, A Maugeri and W Oettli, Timedependent Traffic Equilibria, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 103, 543-555, 1999 [7] J Smith, The Existence, Uniqueness and Stability of Traffic Equilibrium, Transportation, Vol 13B, 295-304, 1979 [8] Q Yang and C.J Goh, On Vector Variational Inequalities Application to Vector Equilibria, Euro Journal of Operational Research, Vol 116, 615-628, 1999 [9] S Kum and G.M Lee, Remarks on Implicit Vector Variational Inequalities, Taiwanese Journal of Mathematics, Vol 6, 369-382, 2002 [10] S Kum and G.M Lee, On Implicit Vector Variational Inequaliries, Journal of Optimization Theory and Application, Vol 104, 409-425, 2000 [11] D Yen, Lipschitz Continuity of Solution of Variational Inequalities with a Parametric Polyhedral Constraint, Mathematics of Operations Research, Vol.20, 695-708, 1995 [12] M Lee, D.S Kum, B.S Lee va N.D Yen, Vector variational Inequality as a tool for studying vector optimization problems, Nonlinear Analysis, Vol 34, 745-765, 1998 [13] Wardrop, Some theoretical aspects of Road Traffic Reseach, Proceedings of the Institute of Civil Engineers, Vol 1, 325-378, 1952 [14] N Iusem and W Sosa, New Existence Results for Equilibrium Problems, Nonlinear Analisys, Vol 52, 621-635, 2003 40 [15] J Li, G.L Chen and K.L Teo, On the Stability of Generalized Vector Quasi Variational Inequalities Problems, Journal of Mathematical Analysis and Application, Vol 113, 283-295, 2002 [16] V Konov, On Quasimonotone Variational Inequalities Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 99, 165-181, 1998 [17] Tarafdar, A Fixed point theorem Equivalent to the Fan-Knaster Kuratowski-Mazurkiewicz theorem, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 128, 475-479, 1987 [18] Asseul and N Hadjisavvas, On Quasimonotone Variational Inequalities, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 125, 445-450, 2004 [19] H Ansari, Y.C Lin and J.C.Yao, General KKM theorem with Applications to Minimax and Variational Inequalities, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 184, 41-57, 2000 [20] Bianchi and S Schaible, Equilibrium Problems under generalized convexity and generalized monotonicity, Journal of Global Optimization, Vol 30, 121 - 134, 2004 [21] Ricceri, Basic Existence Theorems for Generalized Variational and Quasivariational Inequalities, Variational Inequalities and Network Equilibrium Problems, Edited by F Giannessi and A Maugeri, Plenum Press, NewYork, 251-255, 1995 [22] De Luca, Generalizd Quasi-variational Inequalities and Traffic Equilibrium Problem, Variational Inequalities and Network Equilibrium Problems, Edited by F Giannessi and A Maugeri, Plenum Press, NewYork, 45-54, 1995 41 [23] Jahn, Introduction to The Theory of Nonlinear Optimization, Springer-Verlag, 1994 [24] Kinderlehrer and G Stampacchia, An Induction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, NewYork, 1980 [25] Aubin and H Franowska, Set- Valued Analysis, Birkhauser, Berlin, 1990 [26] Giannessi, On the Theory of Vecotr Optimization and Variational Inequalities Image Space Analysis and Separation, Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria, Edited by F Giannessi, Kluwer Academic, Dordrecht, 153-216, 2000 [27] Giannessi, Separation of nets and gap Function for Quasivariational Inequalities, Variational Inequalities and Network Equilibrium Problems, Edited by F Giannessi and A Maugeri, Plenum Press, NewYork, 101-122, 1995 [28] H Ansari, Vector Equilibrium Problems and Vector Variational Inequalities, Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria, Edited by F Giannessi, Kluwer Academic, Netherlands, 2000 [29] Berge, Topological Spaces, MacMillan, NewYork, 1968 [30] Bensoussan and J.1.1ions, Impulse Control and Qusivariational Inequalities, Gautheiers Villars, Bordar, Paris, France, 1984 ... toán bất đẳng thức biến phân phát triển thành nhiều dạng khác nhau, ví dụ: bất đẳng thức biến phân vector, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất. .. liên quan tới bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Khóa luận chia thành hai chương Chương hệ thống lại kết bất đẳng thức biến phân khơng gian Rn số tốn dẫn tới bất đẳng thức biến phân Chương... chương: Chương 1: Bất đẳng thức biến phân Rn : Chương 2: Bất đẳng thức biến phân không gian Hn : Chương Bất đẳng thức biến phân Rn 1.1 Các định lý điểm bất động Lý thuyết điểm bất động nhánh toán