NỘI DUNG ÔN TẬP CUỐI NĂM LỚP 11 MÔN TOÁN STT NỘI DUNG MỤC TIÊU 1. Phương trình lượng giác. - Học sinh giải được phương trình lượng giác cơ bản. - Nhắc lại và củng cố phương trình lượng giác thường gặp. 2. Đại số tổ hợp, xác suất thống kê. - Phân biệt được hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Vận dụng được vào bài toán tính số phần tử của tập hợp. - Xác định được hệ số trong khai triển nhị thức Newton. - Tính được xác suất của một biến cố bằng công thức xác suất cổ điển. 3. Giới hạn - Tính được giới hạn của dãy số. - Tính được giới hạn của hàm số. - Xác định được tính liên tục của hàm số tại một điểm và trên tập xác định. Áp dụng tính liên tục để chứng minh phương trình có nghiệm. 4. Đạo hàm - Tính thành thạo đạo hàm của các hàm số lũy thừa, căn bậc hai và các hàm số lượng giác. Vận dụng được kiến thức tính đạo hàm vào các bài tập liên quan đến đạo hàm. 5. Hình học không gian - Biết chứng minh hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc. - Biết tính khoảng cách giữa điểm và đường thẳng, giữa điểm và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng song song và giữa hai đường thẳng chéo nhau. - Biết phối hợp và sử dụng các kiến thức cơ bản và các kĩ năng cơ bản để giải những bài toán mang tính tổng hợp, biết khai thác mối quan hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. 6. Ôn tập theo dạng đề - Ôn tập kiến thức tổng hợp và cho học sinh tự đánh giá khả năng hoàn thành kiến thức trọng tâm của chương trình toán 11. 2 CH 1. PHNG TRèNH LNG GIC A. CễNG THC NGHIM CN NH Cụng thc nghim Cỏc trng hp c bit sin sin - cos cos - tan tan ( ; ) cot cot ( ; ) u v k u v u v k u v k u v u v k u v u v k u v k u v u v k u v k = + = = + = + = = + = = + + = = + 2 2 2 2 2 ( u; v laứ caực bieồu thửực chửựa aồn vaứ Zk ) sin 1 2 2 sin 0 sin 1 2 2 cos 1 2 cos 0 2 cos 1 2 = = + = = = = + = = + = = + = = x x k x x k x x k x x k x x k x x k B. BI TP P DNG Bi 1. Gii cỏc phng trỡnh lng giỏc sau a) = 1 sin2 2 x b) 2 cos( ) 4 2 x = c) 03) 6 2sin(2 =+ x d) 03) 3 cos(2 =+ x e) 2 cot 5 cot 3 3 6 x x = ữ ữ )cos cos 2 2 4 3 5 f x x + = ữ ữ g) 2 tan cot 2 4 3 x x + = ữ ữ h) 5 7 tan 2 21 0 6 x = ữ i) ( ) ( ) xx = 00 54sin273sin j) sin 2 cos3 0 4 x x + + = ữ k) 0cos32sin = xx Bi 2. Tỡm nghim ca phng trỡnh trờn cỏc khong cho trc 3 3 a)sin 2 , ; ; 3 2 2 x x = ữ b) 0 tan(2 15 ) 1x = , vi 0 0 180 90x < < c) sin(2x - 10 o ) = 1 2 với -120 o < x < 90 o d) cos(2x + 1) = 2 2 với - < x < . Bi 3. Cho hm s ( ) tan3 .f x x= a) Tỡm iu kin cú ngha ca hm s. b) Gii phng trỡnh ( ) ' 4 0.f x = 3 DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A.LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Dạng phương trình Phương pháp giải + + = + + = + + = + + = 2 2 2 2 sin sin 0 cos cos 0 tan tan 0 cot cot 0 a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c ( ) , , ; 0a b c R a∈ ≠ Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx) Ta được phương trình : 2 0at bt c+ + = (1) Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x Chú ý : Nếu sin , cost x t x= = thì điều kiện 1 1t− ≤ ≤ B.BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 4. Giải các phương trình sau a) 01sin2sin3 2 =++ xx b) 2 3tan 4 3 tan 3 0x x− + = c) 02cos2cos2 2 =−+ xx d) 01sincos 2 =++ xx e) 01cos2sin2cos 2 =+−+ xxx f) 012sin4cos3 =+− xx g) 2 cos 2 sin 2cos 1 0x x x+ + + = h) 3cos 2 2(1 2 sin )sin 3 2 0x x x+ + + − − = i) 2 3 3cot 3 sin x x = + Bài 5. Giải các phương trình sau d) 2cos cos2 1 cos2 cos3x x x x = + + e) 4 4 1 sin cos sin2 2 x x x+ = − f) 0)2 2 cos()cos(sin2 44 =−−+ xxx π g) 4 4 sin cos 1 2sin 2 2 x x x+ = − h) 0cos.sincossin 44 =++ xxxx Bài 6. Tìm nghiệm của phương trình trên các khoảng cho trước 2 3 3 0sin x sin x+ = , 2 4 3 3 x ; π π   ∈     D ẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Dạng phương trình Phương pháp giải + = ≠sin os (1) ( a;b 0)a x bc x c Chú ý: -Phương trình có nghiệm 2 2 2 a b c⇔ + ≥ -Trong trường hợp phương trình cho dưới dạng: + =os sin (1) ac x b x c , với cách đặt như bên, phương trình được đưa về dạng α α α ⇔ + ⇔ + 2 2 2 2 c cosx.cos + sin .sin = a c cos(x- ) = (3) a x b b Vậy tùy theo dạng của phương trình, khi áp dụng cơng thức cộng ta sẽ đưa Chia hai vế của phương trình cho 2 2 a b+ thì pt ⇔ + = + + + 2 2 2 2 2 2 (1) sin os a b c x c x a b a b a b (2) Đặt 2 2 2 2 b cos và sin a a a b b α α = = + + với [ ) 0;2 α π ∈ thì : α α α ⇔ + ⇔ + 2 2 2 2 c (2) sinx.cos + cos .sin = a c sin(x+ ) = (3) a x b b Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x. 4 về các phương trình cơ bản khác nhau. -Ngoài ra ta còn có thể đặt α α = = + + 2 2 2 2 b sin vaø os a a c a b b . B.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 7. Giải các phương trình sau: 3 1) 3sin 3 cos 2 x x − + = 2) 3 cos9 sin9 2x x+ = 3) 3 cos3x + sin3x = 2 ; 4). 4sinx – 3cosx = 5; 5) 3sin2x + 2cos2x = 3; Bài 8. Giải các phương trình sau: 1) 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x 2) 3sin 2 4cos(3 2 ) 5x x π + + = 3) cos7 cos5 3sin 2 1 sin7 sin5x x x x x− = − ( ) ( ) 4) 1 3 sin 1 3 cos 1x x+ + − = Bài 9. Giải phương trình ='( ) 0f x với: a) = + +( ) 3cos 4sin 5f x x x x b) = − − −( ) cos 3sin 2 1f x x x x c) = + 2 ( ) sin 2cosf x x x d) = − − cos4 cos6 ( ) sin 4 6 x x f x x e) π + = − π + + 3 ( ) 1 sin( ) 2cos 2 x f x x f) = − + −( ) sin3 3cos3 3(cos 3sin )f x x x x x . 5 CH 2. I S T HP - XC SUT I. Các bài toán về Chỉnh hợp, Tổ hợp và phép đếm A. Kiến thức cần nhớ: 1. Quy tắc đếm: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân 2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) a) Hoán vị ĐN: Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A đợc gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số hoán vị của n phần tử kí hiệu là: P n P n = n! = n(n-1) 2.1; P 1 = 1; Quy ớc: P 0 = 0! = 1 b) Chỉnh hợp ĐN: Mỗi bộ sắp thứ tự gồm k phần tử của tập A là một chỉnh hợp chập k của n phần tử (của tập A). Số chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu là: k n A * ! ( 1) ( 1) ; ( , , ) ( )! k n n A n n n k n k N k n n k = + = ; Quy ớc 0 1 n A = c) Tổ hợp ĐN: Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A đợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử Số tổ hợp chập k của n phần tử kí hiệu là: k n C ! ; ( , ,0 ) ! !( )! k k n n A n C n k N k n k k n k = = ; Chú ý: 0 1 0 0 1 1 n n n C C C C= = = = T.Chất: 1 1 ; k n k k k k n n n n n C C C C C + = = + B. Bài tập Bài tập về PT, BPT có liên quan đến các số P n ; k n C ; k n A Bi 1. Giải các PT, BPT: a) 4 5 6 1 3 n n n C C C + + = ĐS: n = 6. b) 1 2 2 2 2,5 n n n n n C C A + + + > ĐS: n 2. c) 4 3 4 1 23 24( ) n n n n A A C + = ĐS: n = 5. d) 3 2 2 9 n n n A C n + ĐS: n = {3; 4} Bi 2. Giải bất PT hai ẩn n, k với n, k 0 2 5 3 60 ( )! k n n P A n k + + + ĐS: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3). Bi 3. Tính giá trị của biểu thức 4 3 1 3 ( 1)! n n A A M n + + = + nếu 2 2 2 2 1 2 3 4 2 2 149 n n n n C C C C + + + + + + + = . ĐS: 3/4 Bi 4. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 4). Biết rằng số tập hợp con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phần tử của A. ĐS: A có 18 phần tử. Các bài tập về phép đếm có liên quan đến hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp Bi 5. Có 6 phong bì th khác nhau và 5 tem th khác nhau. Ngời ta chọn và dán 3 tem lên ba bì th, mỗi bì th gián một tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm nh thế? ĐS: 1200 cách Bi 6. (ĐH K D - 2004) 6 Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hởi đó có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2. ĐS: 56.875 cách chọn đề kiểm tra. Bi 7. (ĐH K B - 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngời gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. ĐS: 4 1 4 1 12 3 8 2 . 207.900C C C C = Bi 8. (ĐH K D- 2006) Đội thanh niên xung kích của một trờng phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L, và 3 học sinh lớp H. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh thuộc không quá 2 trong ba lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh vậy? ĐS: 225 cách II. Các bài toán liên quan đến công thức nhị thức Newton A. Kiến thức cơ bản Công thức nhị thức Newton: Với mọi số thực a, b và n nguyên dơng ta có: ( ) 0 n n k n k k n k a b C a b = + = (1) Số hạng thứ k+1 là T k+1 = k n k k n C a b 0 k n (2) Khai triển đặc biệt: ( ) 0 1 2 2 1 n n n n n n n x C C x C x C x + = + + + + (3) B. Bài tập Các bài tập về hệ số trong khai triển nhị thức Newton Bi 9. Tỡm h s ca 12 13 x y trong khai trin ( ) 25 + x y . s: 5200300 Bi 10. Tớnh giỏ tr ca biu thc sau: 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 2 2 2 2 2= + + + + +M C C C C C C . Bi 11. Cho nh thc 10 3 2 1 2 + ữ x x . a) Tỡm giỏ tr ca s hng khụng ph thuc x trong khai trin nh thc ó cho; b) S hng khụng ph thuc x l s hng th my trong khai trin nh thc Newton? Bi 12. Tỡm s hng cha 6 x trong khai trin 8 1 2 + ữ x x . III. Xác suất A. Tóm tắt lí thuyết (SGK) I. Bin c: 1. Phộp th: Phộp th ngu nhiờn l mt thớ nghim m ta khụng oỏn trc c kt qu ca nú, dự ó bit tp hp tt c cỏc kt qu cú th xy ra. 2. Khụng gian mu: Khụng gian mu ( ) l tp hp tt c cỏc kt qu ca phộp th. 3. Bin c: Bin c l tp hp con ca khụng gian mu. II. Xỏc sut ca bin c: 1. Cho A l mt bin c liờn quan n phộp th tng ng vi khụng gian mu . Xỏc sut bin c A xy ra, ký hiu l ( )P A l t s ca s phn t ca A v s phn t ca khụng gian mu . 7 ( ) ( ) ( ) N A P A N = Dng toỏn Tớnh cỏc phn t ca khụng gian mu ca bin c, tớnh xỏc sut ca bin c. + Nu ta lit kờ c cỏc phn t ca , A: Suy ra N( ); N(A). + Nu phc tp, ta dựng cỏc cụng thc ; ; k k n n n P A C tớnh N( ); N(A). + Tớnh ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) N A N P A P A N = B. Bài tập Bi 13. Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất trong hai trờng hợp sau: 1) Lấy đợc ba viên bi màu đỏ. 2) Lấy đợc ít nhất hai viên bi màu đỏ. ĐS: 1) 35/220; 2) 140/220. Bi 14. Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Ngời quản lí chọn ngẫu nhiên 6 ngời. Tính xác suất để 1) Có 4 khách nam và 2 khách nữ. 2) Có ít nhất hai khách nữ. ĐS: 1)3/7; 2) 27/42. Bi 15. Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga. Có 4 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi ngời độc lập với nhau chọn nhẫu nhiên 1 toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 ngời, 1toa có 1 ngời, hai toa còn lại không có ngời nào trong 4 ngời đó. ĐS: 3/16. Bi 16. Một ngời bỏ ngẫu nhiên ba lá th khác nhau vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để ít nhất có một lá th bỏ đúng phong bì của nó. ĐS: 2/3. Bi 17. Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ. Tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn. ĐS: 13/18. Bi 18. Ngời ta sử dụng 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn Vật lí, 7 cuốn Hoá học (các cuốn sách cùng loại giống nhau) để làm giải thởng cho 9 học sinh, mỗi học sinh đợc hai cuốn sách khác loại. Trong số 9 học sinh trên có hai bạn Ngọc và Thảo. Tìm xác suất để hai bạn đó có giải thởng giống nhau. ĐS: 5/18. Bi 19. Có hai hộp đựng bi. Hộp I có 7 viên bi màu xanh, 5 viên bi màu đỏ, hộp II có 6 viên bi màu trắng, 4 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. Biết kết quả lấy bi ở mỗi hộp là độc lập, tính xác suất của biến cố lấy đợc 1) A = hai bi cùng màu 2) B = hai bi khác màu ĐS: Bi 20. Biết trong 20 vé số có 2 vé trúng thởng. Chọn ngẫu nhiên 3 vé, tính xác suất để có hai vé trúng thởng. Bi 21. Đôi bạn Ngân và Nga cùng tham dự một kì thi. Biết khả năng đỗ của mỗi ngời tơng ứng là 90% và 70%. Tìm xác suất của các biến cố sau: 1) Cả hai đều đỗ. 2) Có ít nhất một ngời đỗ. 3) Chỉ có Ngân đỗ còn Nga trợt. ĐS: 1) 63%; 2) 97%; 3) 27%. Bi 22. Một xạ thủ đợc bắn hai viên đạn, xác suất bắn đợc điểm 10 của mỗi lần bắn là 0,7 và 0,9. Biết hai lần bắn độc lập, tính xác suất để ít nhất 1 lần bắn đạt điểm 10. Bi 23. Một xạ thủ đợc bắn 3 viên đạn. Xác suất để trúng cả 3 viên vòng 10 điểm là 0,008, xác suất để 1 viên trúng vào vòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vào vòng dới 8 điểm là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm. (các vòng bắn độc lập với nhau). ĐS: 0,0935. 1 CHỦ ĐỀ 3. GIỚI HẠN 1/Giới hạn hàm số: Bài toán 1:Tìm giới hạn hàm số khi 0 x x→ (tương tự cho trường hợp 0 0 ;x x x x + − → → ). * Dạng 1: Nếu ( ) f x xác định tại 0 x thì ( ) ( ) 0 0 lim x x f x f x → = . Áp dụng: a/ ( ) 2 1 lim 2 15 7 x x x → + + b/ 2 2 4 3 lim 1 x x x → + − c/ ( ) 2 3 lim 3 7 2 x x x → + + − d/ 2 3 2 3 1 lim 3 5 x x x x →− + − + . * Dạng 2: ( ) ( ) 0 lim x x f x g x → với ( ) ( ) 0 0 0f x g x= = Cách giải: ☺Nếu ( ) ( ) ,f x g x là những đa thức thì phân tích ( ) ( ) ( ) 0 1 f x x x f x= − , ( ) ( ) ( ) 0 1 g x x x g x= − khi đó: ( ) ( ) 0 lim x x f x g x → = ( ) ( ) 0 1 1 lim x x f x g x → . ☺Nếu ( ) f x hoặc ( ) g x có chứa căn bậc hai ta nhân lượng liên hợp để biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt Ví dụ: a) 3 2 2 8 lim 4 x x x → − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 lim 2 2 x x x x x x → − + + − + = 2 2 2 4 lim 3 2 x x x x → + + = + . b) 2 6 4 1 5 lim 7 6 x x x x → + − − + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 1 5 4 1 5 lim 7 6 4 1 5 x x x x x x →∞ + − + + − + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 6 4 6 lim 1 6 4 1 5 x x x x x → − − − + + = ( ) ( ) 6 4 2 lim 25 1 4 1 5 x x x → = − + + . Áp dụng: Bài 1 : Tính các giới hạn sau a/ ( ) ( ) 2 5 25 lim 5 1 x x x x → − − + b/ 3 2 1 11 10 lim 1 x x x x → − + − c/ 2 2 3 5 6 lim 9 x x x x → − + − d/ 5 1 1 lim 1 x x x →− + + e/ 2 2 4 2 13 20 lim 16 x x x x → − + − ; f/ 3 2 1 3 2 lim 10 9 x x x x x → − + − + g/ 3 2 2 5 2 lim 3 2 x x x x x → − + − + h/ 3 2 3 10 3 lim 7 12 x x x x x → − + − + k/ 3 2 3 3 3 lim 3 x x x x → − − m/ 10 1 1 lim 1 x x x → − − . Đáp số theo thứ tự là: 5 3 − ; -4; 1 6 ; 5; 3 8 − ; 0; 7; -17; 3 3 ; 10. Bài 2 :Tính các giới hạn sau a/ 2 0 2 1 1 lim 3 x x x x → + − + b/ 2 1 4 5 3 lim 1 x x x → + − − c/ 3 2 3 lim 3 x x x x → + − − d/ 2 8 1 3 lim 2 15 8 x x x x → + − − − e/ 4 3 4 4 lim 4 9 5 x x x → + − + − f/ 3 2 8 lim 6 4 4 x x x → − + − g/ 2 2 3 12 1 lim 6 x x x x x → + − + + − h/ 2 4 6 1 2 3 lim 16 x x x x → + − + − k/ 2 3 9 2 lim 3 7 6 x x x x x → − − − − l/ 2 3 0 1 2 1 lim 3 x x x x x → + − + + . Đáp số theo thứ tự là: 1 3 ; 1 3 − ; 2 3 − ; 1 102 ; 15 16 ; -16; 1 25 − ; 7 40 ; 3 22 − ; 1 6 . * Dạng 3: ( ) ( ) 0 lim x x f x g x → với ( ) ( ) 0 0 0; 0f x g x≠ = Cách giải:Sử dụng quy tắc b trang 131. 2 Ví dụ: 3 5 8 lim 3 x x x + → − − .Ta có: ( ) 3 lim 5 8 7 0 x x + → − = 〉 ; ( ) 3 lim 3 0 x x + → − = và 3 0x − 〉 3x∀ 〉 do đó 3 5 8 lim 3 x x x + → − = +∞ − Áp dụng: a/ 2 2 11 lim 2 4 x x x + → − − b/ 2 5 10 lim 5 x x x x − → + − − c/ ( ) 2 2 2 5 lim 2 x x x → − − d/ 2 4 2 1 7 lim 16 x x x + → + − − e/ 3 2 2 7 lim 2 3 x x x −   → −  ÷   − + . Tiết 2 Bài toán 2:Tìm giới hạn hàm số khi x → +∞ ( x → −∞ ) * Dạng 1: ( ) lim x f x →+∞ Với ( ) f x là một đa thức. Cách giải:Đặt x có số mũ cao nhất ra làm thừa số, đưa về dạng tích ( khi x → −∞ giải tương tự) Ví dụ: ( ) 3 lim 2 1 x x x →−∞ + − = 3 2 3 1 1 lim 2 x x x x →−∞   + − = −∞  ÷   vì 3 lim x x →−∞ = −∞ và 2 3 1 1 lim 2 2 0 x x x →−∞   + − = 〉  ÷   . Áp dụng: a/ ( ) 3 2 lim 20 3 4 x x x →−∞ − + b/ 3 3 lim 6 7 x x x →+∞   + +  ÷   c/ 4 2 lim 2 3 5 4 x x x x →−∞   − + − +  ÷   d/ ( ) 7 5 lim 2 1 x x x →+∞ − + − . * Dạng 2: ( ) ( ) lim x f x g x →+∞ Với ( ) f x , ( ) g x là một đa thức. Cách giải: Chia cả tử và mẫu cho x có số mũ cao nhất,biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt.(tương tự cho trường hợp x → −∞ ) Ví dụ:a/ 2 2 3 7 1 lim 4 7 x x x x →+∞ + + − + = 2 2 7 1 3 3 lim 7 4 4 x x x x →+∞ + + = − − + ;(Đã chia cả tử và mẫu cho 2 x ) b/ 5 2 1 lim 4 3 x x x x →+∞ + + + = 4 5 4 5 3 1 lim 0 4 3 1 x x x x x →∞ + = + ;(Đã chia cả tử và mẫu cho 5 x ) Tuy nhiên nếu ( ) f x là đa thức bậc cao hơn ( ) g x thì ta có thể đưa về dạng tích. Ví dụ: 6 2 3 10 3 lim 4 2 1 x x x x x →−∞ + + + + = 6 4 6 3 2 3 1 3 10 lim 2 1 4 x x x x x x x →−∞   + +  ÷     + +  ÷   = 4 6 3 2 3 1 3 10 lim 2 1 4 x x x x x x →−∞ + + = −∞ + + Vì: 3 lim x x →−∞ = −∞ , 4 6 2 3 1 3 10 5 lim 0 2 1 2 4 x x x x x →−∞ + + = 〉 + + . Áp dụng: a/ 5 3 5 2 4 5 4 lim 2 3 7 x x x x x →−∞ + + − + b/ 3 2 3 6 7 lim 2 3 5 x x x x x →+∞ − + + + − c/ 2 4 3 2 3 lim 4 6 9 x x x x →−∞ + + + ; d/ 4 3 2 7 6 13 lim 2 4 x x x x x →−∞ + − − + e/ 6 4 3 3 3 lim 4 10 7 x x x x x →+∞ − + + − + f/ 10 3 6 10 5 3 lim 3 2 1 x x x x x →+∞ − + − + + . * Dạng 3: ( ) lim x f x →+∞ với ( ) f x có chứa căn bậc hai thì tùy mỗi bài ta có thể đưa về dạng tích hoặc nhân lượng liên hợp để biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt. (Tương tự cho trường hợp x → −∞ ). Đặc điểm nhận biết: 3 Hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp Hệ số không phải là hai số đối nhau→Đặt thừa số đưa về dạng tích. Ví dụ:a/ ( ) 2 lim 1 x x x x →+∞ + + − Nhận xét: x− có hệ số là-1;vì x → +∞ nên 2 x x x= = có hệ số là 1 Hai hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp Giải: a/ ( ) 2 lim 1 x x x x →+∞ + + − = ( ) ( ) 2 2 2 1 1 lim 1 x x x x x x x x x x →+∞ + + − + + + + + + = 2 1 lim 1 x x x x x →+∞ + + + + = 2 1 lim 1 1 1 x x x x x x →+∞ + + + + = 2 1 1 lim 1 1 1 1 x x x x →+∞ + + + + = 1 2 . b/ ( ) 2 lim 4 3 1 x x x x →−∞ + + + Nhận xét: 3x có hệ số là 3;vì x → −∞ nên 2 4 2 2x x x= = − có hệ số là -2 hệ số không là hai số đối nhau→Đưa về dạng tích Giải: b/ ( ) 2 lim 4 3 1 x x x x →−∞ + + + = 1 lim 4 3 1 x x x x →−∞   + + +  ÷  ÷   = 1 1 lim 4 3 x x x x →−∞   − + + +  ÷  ÷   = −∞ Vì: lim x x →−∞ = −∞ ; 1 1 lim 4 3 1 0 x x x →−∞   − + + + = 〉  ÷  ÷   . c/ ( ) 3 2 lim 3 2 9 1 x x x →−∞ + + + Nhận xét: 3 3x bậc ba; vì x → −∞ nên 2 9 3 3= = −x x x bậc nhất →Không cùng bậc→Đưa về dạng tích. Giải: ( ) 3 2 lim 3 2 9 1 x x x →−∞ + + + 3 6 4 6 9 1 lim 3 2 x x x x x →−∞     = + + +  ÷  ÷  ÷     = 3 3 4 6 9 1 lim 3 2 x x x x x →−∞   + + +  ÷  ÷   = 3 3 4 6 2 9 1 lim 3 x x x x x →−∞   + − + = −∞  ÷  ÷   vì: 3 lim x x →−∞ = −∞ , 3 4 6 2 9 1 lim 3 3 0 x x x x →−∞   + − + = >  ÷  ÷   . Áp dụng: a/ ( ) 2 lim 2 3 5 2 x x x x →+∞ + + − b/ ( ) 2 lim 1 10 3 x x x x →−∞ + + − + c/ ( ) 4 2 4 lim 4 10 3 4 1 x x x x →+∞ + + − + d/ ( ) lim 2 3 2 1 x x x →+∞ + − + e/ ( ) 2 2 lim 1 2 3 x x x x →−∞ + + − + f/ ( ) 2 lim 9 3 7 5 3 x x x x →+∞ + + − + g/ ( ) 4 2 lim 3 9 x x x x →−∞ + + + + h/ ( ) 2 2 lim 3 7 16 4 3 x x x x x →+∞ + − − + k/ ( ) 2 lim 9 3 1 x x x x →−∞ + + − . Hướng dẫn: a/b/c/d/k/:Nhân lượng liên hợp biến đổi.Đáp số theo thứ tự là: 3 2 4 ; 6; 5 2 ; 0; 7 6 − . e/f/g/h/:Đặt thừa số đưa về dạng tích. Đáp số theo thứ tự là: +∞ ; −∞ ; +∞ ; −∞ . * Các dạng khác: a) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 3 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → − − + + − = = = + + = − − − [...]... (x + 1)(x + 2)(x + 3) 7) y = (x3 − 2)(1 − x2 ) ĐS: y’=3x2+12x +11 ĐS: y’=3x2-5x4+4x 8) y = (x 2 − 1)(x2 − 4)(x 2 − 9) ĐS: y’=6x5-56x3+88x 9) y = (x 2 + 3x)(2 − x) 10) y = ( x3 – 3x + 2 ) ( x4 + x2 – 1 ) ĐS:y’=-3x2-2x+6 ĐS:y’=7x6-10x4+8x3-12x2+4x+3 ( )  1  x +1  − 1÷  x  ax + b (ad − bc ≠ 0) 12) y = cx + d x+3 3 y= ;y = 2x − 1 2x + 1 11) y = 13) y = ax 2 + bx + c px + q ĐS: y = AD: y = 2 15) y =... 2− x + 7 x →1 ĐS :1/12 ĐS:3/2 ĐS: -11/ 24 x −1 4 2x − 1 + 5 x − 2 6) lim ĐS:7/10 x →1 x −1 (x 2 + 2001) 7 1 − 2x − 2001 7) lim x →0 x 1 − 2x + 1 + sin x 8) lim x →0 3x + 4 − 2 − x x + x2 + L + xn − n x →1 x −1 n x − nx + n − 1 10) lim x →1 ( x − 1) 2 9) lim 3 3 4 x3 − 24 + x + 2 − 8 2 x − 3 x →2 4 − x2 3 x −1 12) lim 4 x →1 x −1 n 1 + 2x −1 13) lim m x →0 1 + 3x − 1 11) lim 2x + 1 − 3 x 2 + 1 x →0 sin... tính đh, rồi nhân 2 vế với x, lại tính đh, chọn x=1 0 1 2 2010 15) S 4 = 3Cn − 5Cn + 7Cn − + 4023C2010 HD: Cấp số cộng 3,5,7,…,4023 là CSC có u1=3; d=2; 4023=2.2 011+ 1 0 1 2 2010 0 1 2 2010 Ta tách thành : S 4 = 2 1.Cn − 2.Cn + 3.Cn − + 2 011. C2010  + 1 Cn − Cn + Cn − + C2010      Kt(1-x)2010; nhân 2 vế với x lấy đh; chọn x=1 Bài 4: 3 3 An + Cn = 35, ( n ≥ 3) Tính tổng : Cho số ngun n thỏa... 6) f(x) = 1 cos x 7) f(x) = cos2x 3) f(x) = x + 1, (x > − 1) 8) f(x) = cosx VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng cơng thức Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng cơng thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm 11 Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: (Tổng, hiệu, tích, thương) 1 4 1 3 1 2 x − x + x − x + a3 4 3 2 1 2) y = 2x 4 − x3 + 2 x − 5 3 1) y = 3) y = 1 3 x –... 3 x2 + 7 − 2 lim = lim x →1 x →1 x2 − 1 lim x →1 3 (x 2 +7 ) 2 ) ( x2 −1 2   − 1  3 x2 + 7 + 2 3 x2 + 7 + 4 ÷   1 1 = (3) 12 3 2 +2 x +7+4 (x ) ( 2 = ) Thay ( 2) , ( 3 ) vào ( 1 ) có : A = − 3 1 11 − = 8 12 24 2.Hàm số liên tục: * Dạng 1:Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) tại x0 Cách giải: lim Dùng định nghĩa: Nếu f ( x ) xác định tại x0 và x → x f ( x ) = f ( x0 ) thì f ( x ) liên tục tại... − 3x − 3 ;y= ;y= ;y= x −1 x+2 x −1 x+2 ĐS: y = 2x − 2 x2 2 x 2x + 1 x +1 2x − 5 AD: y = ; y= ;y = ; 1 − 3x 2x − 3 x+2 2 14) y = x − 3x + 3 x −1 −1 ĐS: ĐS: y= y= x2 − 2x ( x − 1) 18) y = 2 2x2 − 12x + 11 ( x − 3) 2 19) y = 1 + x − x2 1 − x + x2 x 3 − 2x x2 + x + 1 −2 − 2x2 ( x − 1) 2 2 20) y = −5x2 + 6x + 8 ( ) x2 + x + 1 2x 2 x2 − 2x − 3 2 Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: (Hàm số hợp: y=f’u... 2) y = 3 x − 5 3) y = x − 1 + − x + 9 ĐS: x=5 4) y = 6 − x + 4 + x ĐS: x=1 5) y = x + 4 − x 2 7) y = 3x − 9x 2 + 6x + 5 ĐS:x= 2 2 ĐS:x= 5 ĐS:vơ nghiệm 8) y = 2 x + ĐS: VN 6) y = −2 x + 3 x 2 + 1 x2 +1 11) y = 2x2 − 5x + 2 −3 ;VN 2x 2 x 3 x ; y’=0 khi x=0 ĐS: y’= 2x + 2 ĐS:x=5/4 12) y = x 2 + 2x + 4 − x 2 − 2x + 4 ĐS: y’=0 khi x=0 13) y = 3 x3 − 3x + 2 ĐS: x=-1 14) y = x + x ĐS: y = 9) y = 1 ĐS: y '... + ) 4 4 8) y = 1 + tan 2 x ĐS: y= 1 − tan 2 x 2sin 2x 1 ;y' = cos2x cos2 (2x) 9) y = cot 2x 10) y = 1 + 2 tan x −1 ĐS: y' = ĐS: y' = sin 2x cot 2x 1 cos2 x 1 + 2 tan x s inx ĐS: y' = cos x cos x π 1 2 11) y = cos x , x ≠ 2 + kπ, k ∈ Z 2  sin x  12) y =  ÷  1 + cos x  13) y = x.cos x ĐS: y' = 2sin x ( 1 + cos x ) 2 14) y = sin(x − 3x + 2) 15) y = sin3 (2x + 1) ĐS: y’=cosx-xsinx ĐS:y’=(2x-3)cos(x2-3x+2)... ' = y b) Cho hàm số y = cot 2 x Chứng minh : y '+ 2 y 2 + 2 = 0 Bài 10: Giải phương trình y ' = 0 biết : a) y = sin 2 x − 2 cos x b) y = cos 2 x + sin x c) y = 3sin 2 x + 4 cos 2 x + 10 x 1 3 2 Bài 11: Cho hàm số y = x − ( 2m + 1) x + mx − 4 Tìm m để : 3 a) y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ; ĐS:m tùy ý b) y ' có thể viết được thành bình phương của nhị thức ĐS: ∆=0 vơ nghiệm Khơng có giá trị nào... I HD: CM chỉ có 1 tt đi qua I Bài 10: Cho (C): y = 1 − x − x2 Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): 1 a) Tại điểm có hồnh độ x0 = 2 ĐS: y = −2x + b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0 ĐS: y = − Bài 11: Cho hai hàm số y = 1 x 2 và y = x2 2 3 2 x +1 2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho x 1 + 2; y = 2x − ;900 2 2 2 Bài 12: Cho Parabol (P): y = x Gọi M1 và M2 là hai điểm . NỘI DUNG ÔN TẬP CUỐI NĂM LỚP 11 MÔN TOÁN STT NỘI DUNG MỤC TIÊU 1. Phương trình lượng giác. - Học sinh giải được phương. giải những bài toán mang tính tổng hợp, biết khai thác mối quan hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. 6. Ôn tập theo dạng đề - Ôn tập kiến thức. một trờng phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L, và 3 học sinh lớp H. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh thuộc không quá 2 trong ba lớp trên. Hỏi