Trung tâm ôn thi Cao học MSc www.onthicaohoc.com Mr Đức 097 267 0808 Mail: onthicaohocmsc@gmail.com 1 Đáp án Tham khảo môn Toán kỹ thuật ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐỀ THI CAO HỌC NĂM 2013 Câu I: Giải các phương trình vi phân: 4 3 1/ 3 5 2 / 2 5sin(3 ) 25cos(3 ) − ′ + = ′′ ′ + − = − x y y x e y y y x x Câu II: 1/ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số: 4 2 4 2 1 2 3 1 , . 2 1 8 1 + + ∞ = + +     =     + +     ∑ n n n n n n n n u u n n 2/ Tìm mi ề n h ộ i t ụ c ủ a chu ỗ i l ũ y th ừ a: ( ) ( ) 1 1 1 1 .2 . 3 3 1 − ∞ + = − + ∑ n n n n n x n Câu III: 1/ Kh ả o sát c ự c tr ị và ti ệ m c ậ n c ủ a hàm s ố 2 8 1 + = + x y x 2/ Cho ( ) 2 2 , 3 5 2 = − + u x y x xy y . Tính giá tr ị các bi ể u th ứ c 3 4 ∂ ∂ = − ∂ ∂ u u A x y T ạ i đ i ể m x = 1, y = 2 và 2 2 2 2 2 3 ∂ ∂ = − ∂ ∂ u u B x y t ạ i đ i ể m x = 2, y = 1. Câu IV: 1/ Tính ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ln 2 2 . + + = + + + ∫∫ D x y I x y x y với D: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 − ≤ + ≤ −e x y e 2/ Cho ( ) sin cos 2 cos ( , ) 2 sin , , − − + = − = x x y y e x P x y e x Q x y y y . Tìm hàm h(x,y) = yg(x), g(0) = 1 sao cho bi ểu thức h(x,y)P(x,y)dx + h(x,y)Q(x,y) là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đò. Với h(x,y) v ừa tìm, tính tích phân ( ) ( ) ( , ) ( , ) , ,= +     ∫ L J h x y P x y dx h x y Q x y dy , trong đó L là phần đường cong : 4cos 3cos 1 0 + + = x y theo chi ề u t ừ đ i ể m A ; 3       π π đế n B ( ) ;2 π π Câu V: 1/ Kh ả o sát c ự c tr ị c ủ a hàm 3 3 2 3 3 3 3 2 = + + − + − − z x y x xy x y 2/ Ch ứ ng minh tích phân suy r ộ ng 3 3 3 1 +∞ = − − ∫ dx K x x h ộ i t ụ . Tính K. Trung tâm ôn thi Cao học MSc www.onthicaohoc.com Mr Đức 097 267 0808 Mail: onthicaohocmsc@gmail.com 2 Đáp án Tham khảo môn Toán kỹ thuật ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu I: 1. 4 3 ' 3 5 . − + = x y y x e (1) PT thu ầ n nh ấ t t ươ ng ứ ng: 3 3 3 0 3 − − ∫ ′ + = ⇔ = − ⇔ = = dx x dy y y dx y Ce Ce y Xem C là hàm s ố , ta tìm hàm s ố y = C(x).e -3x th ỏ a mãn ph ươ ng trình (1) Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 4 3 4 4 5 (1) ' 3 3 ( ) 5 5 5 ( ) − − − − ⇔ − + = ′ ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∫ x x x x C x e C x e C x e x e C x x C x dx C x x k V ậ y ( ) 5 3 . − = + x y x k e là nghi ệ m t ổ ng quát c ủ a ph ươ ng trình (1) 2. ( ) ( ) 2 5sin 3 25cos 3 ′′ ′ + − = − y y y x x (2) Ph ươ ng trình đặ c tr ư ng: 2 1 2 0 2 =  + − = ⇔  = −  k k k k ⇒ Nghi ệ m t ổ ng quát c ủ a ph ươ ng trình thu ầ n nh ấ t t ươ ng ứ ng là 2 1 2 − = + x x y C e C e Ta tìm m ộ t nghi ệ m riêng c ủ a (2) ở d ạ ng: sin3x+Bcos3x ∗ =y A Khi đ ó ( ) ( ) * 3 cos3 3 sin 3 * 9 sin 3 9 cos3 ′ = − ′′ = − − y A x B x y A x B x Thay vào (2) ta được: Trung tâm ôn thi Cao học MSc www.onthicaohoc.com Mr Đức 097 267 0808 Mail: onthicaohocmsc@gmail.com 3 Đáp án Tham khảo môn Toán kỹ thuật ( ) 11 3 sin 3 (3 11 )cos3 5sin 3 25cos3 11 3 5 1 3 11 25 2 − − + − = −  − − = = −  ⇔ ⇔   − = − =   A B x A B x x x A B A A B B * sin 3 2cos3 ⇒ = − + y x x V ậy NTQ của (2) là * = + y y y hay 2 1 2 sin 3 2cos3 − = + − + x x y C e C e x x Câu II: Trung tâm ôn thi Cao học MSc – Mr Đức 1. CHIÊU SINH LỚP ÔN THI CAO HỌC VÀO BÁCH KHOA ĐỢT THÁNG 10 KHAI GIẢNG: 22/6/2013 Lớp 1: Học tối 2, 3, 4, Lớp 2: Học tối 3, 5, 7, Lớp 3: Học Thứ 7, CN. Học phí 1 môn: 90 tiết * 30 000 VNĐ/1 tiết = 2 700 000 VNĐ Sỉ số: 30 Học viên / 1 lớp. Học thử 1 tuần miễn phí *** Đă ng ký b ằ ng cách nh ắ n tin (Ms Tú: 0909 733 469) theo m ẫ u sau: 1. H ọ và tên: Nguy ễn Văn A 2. Mail: onthicaohocmsc@gmail.com 3. Môn: Toán kỹ thuật, Anh văn 4. Lớp: 2,4,6 hoặc 3,5,7 hoặc 7,CN Hoặc liên hệ: 0909 733 469 (Ms Tú) hoặc 096 560 2478 (Ms Thảo) hoặc Thầy Đức: 097 267 0808 Mail: onthicaohocmsc@gmail.com, Xem thêm tại : www.onthicaohoc.com *** 2. Trung tâm duy nhất hoàn trả 100% HỌC PHÍ nếu Học viên không cảm thấy yên tâm về chất lượng giảng dạy. Học viên được học thử 2 buổi/môn (MIỄN PHÍ) để khẳng định chất lượng Giảng dạy. 3. Trung tâm duy nhất ôn thi có UY TÍN và KINH NGHIỆM LÂU NĂM trong ôn thi Cao học tại Tp.HCM cũng như toàn miền Nam. 4. Trung tâm duy nhất có đầy đủ TÀI LIỆU, ĐỀ THI, ĐÁP ÁN Cao học các trường, Bài giảng, Bài tập phong phú các môn do chính Giảng viên của trung tâm biên soạn có chất lượng cao. Trung tâm ôn thi Cao học MSc www.onthicaohoc.com Mr Đức 097 267 0808 Mail: onthicaohocmsc@gmail.com 4 Đáp án Tham khảo môn Toán kỹ thuật 1. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 ∞ = ∑ n n u với 4 2 4 2 2 3 1 2 1 8 1 + + + +     =     + +     n n n n n n u n n Ta có 0 ≥ n u nên chu ỗ i s ố đ ã cho là chu ỗ i s ố d ươ ng. Xét 4 2 1 4 2 2 3 1 lim lim .lim 2 1 8 1 + + →∞ →∞ →∞ + +     =     + +     n n n n n n n n n n u n n Ta nh ậ n th ấ y: 4 2 2 2 2 4 2 4 2 1 2 1 (2 1) 4 2 2 1 2 2 4 2 1 1 2 2 2 2 3 2 *lim lim 1 2 1 2 1 2 lim 1 2 1 + + + + + + →∞ →∞ + + + + →∞   +       = +       + +             = + =     +     n n n n n n n n n n n n n n n n n n e n 1 1 1 1 *lim lim 1 8 1 8 8 →∞ →∞ + + = = + + n n n n n n 2 lim 1 8 →∞ ⇒ = < n n n e u V ậ y 1 ∞ = ∑ n n u h ộ i t ụ theo đị nh lý Cauchy 2. Tìm mi ề n h ộ i t ụ c ủ a chu ỗ i l ũ y th ừ a ( ) ( ) 1 1 1 1 .2 . 3 3 1 − ∞ + = − + ∑ n n n n n x n Ta có: ( ) ( ) 1 1 1 .2 3 3 1 − + − = + n n n n a n nên ( ) ( ) 1 1 2 1 3 3 1 2 2 lim lim . 3 3 4 2 3 + + + − →∞ →∞ + = = = + n n n n n n n n n a L a n Trung tâm ôn thi Cao học MSc www.onthicaohoc.com Mr Đức 097 267 0808 Mail: onthicaohocmsc@gmail.com 5 Đáp án Tham khảo môn Toán kỹ thuật ⇒ Bán kính h ộ i t ụ 1 3 2 = = R L T ạ i 3 2 = − x chu ỗ i hàm tr ở thành 1 1 1 . 6 3 1 ∞ = + ∑ n n . Ta có 1 1 1 3 1 lim 1 1 1 phân ky 6 3 1 1 phân ky ∞ →∞ = ∞ =   +   ⇒  +     ∑ ∑ n n n n n n n T ạ i 3 2 = x chu ỗ i hàm tr ở thành 1 1 ( 1) . 6 3 1 ∞ = − + ∑ n n n . Đ ây là chu ỗ i đ an d ấ u th ỏ a mãn đị nh lý Lepnit nên h ộ i t ụ . V ậ y mi ề n h ộ i t ụ c ủ a chu ỗ i hàm đ ã cho là 3 3 , 2 2   −     Câu III: 1. Kh ả o sát c ự c tr ị và tìm ti ệ m c ậ n c ủ a hàm s ố 2 8 1 + = − x y x *TX Đ : (1, ) = +∞ D ( ) 2 2 2 2 9 9 1 1 1 1 8 1 8 8 2 2 1 1 ′   − + +   ′   − − +   ′ = = =     − + +   − − x x x x y x x x x x ( ) 2 2 (loaïi) 9 0 1 0 4 1 = −  ′ = ⇔ − = ⇔  = −  x y x x x 1 4 +∞ y’ - 0 + y y CT Trung tâm ôn thi Cao học MSc www.onthicaohoc.com Mr Đức 097 267 0808 Mail: onthicaohocmsc@gmail.com 6 Đáp án Tham khảo môn Toán kỹ thuật V ậ y hàm s ố có m ộ t c ự c ti ể u đạ t t ạ i x = 4 và y CT = y(4) = 2 2 * 1 lim 1 + → = +∞ ⇒ = x y x là ti ệ m c ậ n đứ ng. * lim →+∞ = +∞ ⇒ x y Đồ th ị hàm s ố không có ti ệ m c ậ n ngang. * ( ) 2 2 8 lim lim 0 1 →+∞ →+∞ + = = ⇒ − x x y x x x x Đồ th ị hàm s ố không có ti ệ m c ậ n xiên. 2. Cho ( ) 2 2 , 3 5 2 = − + u x y x xy y (*) Tính 3 4 = − du du A dx dy t ạ i ( ) ( ) , 1,2 =x y Ta có: 2 2 2 2 6 5 5 4 , 2 3 5 2 2 3 5 2 ∂ − ∂ − + = = ∂ ∂ − + − + u x y u x y x y x xy y x xy y ( ) ( ) 6.1 5.2 5.1 4.2 3 1,2 2, 1,2 12 2.1 2.1 2 ∂ − ∂ − + ⇒ = = − = = ⇒ = − ∂ ∂ u u A x y (*) Tính 2 2 2 2 2. 3. ∂ ∂ = − ∂ ∂ u u B x y t ạ i (x,y) = (2,1) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 5 6 3 5 2 2 3 5 2 1 1 . 2,1 2 3 5 2 32 − − + − − + ∂ ∂ = ⇒ = − ∂ − + ∂ x y x xy y x xy y u u x x xy y x ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 4. 3 5 2 2 3 5 2 1 2 1 . 2,1 2 3 5 2 16 8 − + − + − − + ∂ ∂ = ⇒ = − = − ∂ − + ∂ x y x xy y x xy y u u y x xy y y 1 1 5 2. 3 32 8 16     ⇒ = − − − =         B Trung tâm ôn thi Cao học MSc www.onthicaohoc.com Mr Đức 097 267 0808 Mail: onthicaohocmsc@gmail.com 7 Đáp án Tham khảo môn Toán kỹ thuật Câu IV: 1. Tính ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ln 2 2 + + + + + ∫∫ D x y dxdy x y x y v ới D: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 − ≤ + ≤ −e x y e Chuyển sang tọa độ cực cos sin =  ⇒ =  =  ϕ ϕ ϕ x r dx dy r dr d y r Trung tâm ôn thi Cao học MSc – Mr Đức 1. CHIÊU SINH LỚP ÔN THI CAO HỌC VÀO BÁCH KHOA ĐỢT THÁNG 10 KHAI GIẢNG: 22/6/2013 Lớp 1: Học tối 2, 3, 4, Lớp 2: Học tối 3, 5, 7, Lớp 3: Học Thứ 7, CN. Học phí 1 môn: 30 000/VNĐ/1 tiết * 80 tiết *** Đăng ký bằng cách nhắn tin (Ms Tú: 0909 733 469) theo mẫu sau: 1. H ọ và tên: Nguyễn Văn A 2. Mail: onthicaohocmsc@gmail.com 3. Môn: Toán kỹ thuật, Anh văn 4. Lớp: 2,4,6 hoặc 3,5,7 hoặc 7,CN Hoặc liên hệ: 0909 733 469 (Ms Tú) hoặc 096 560 2478 (Ms Thảo) hoặc Thầy Đức: 097 267 0808 Mail: onthicaohocmsc@gmail.com, Xem thêm tại : www.onthicaohoc.com *** 5. Trung tâm duy nhất hoàn trả 100% HỌC PHÍ nếu Học viên không cảm thấy yên tâm về chất lượng giảng dạy. Học viên được học thử 2 buổi/môn (MIỄN PHÍ) để khẳng định chất lượng Giảng dạy. 6. Trung tâm duy nhất ôn thi có UY TÍN và KINH NGHIỆM LÂU NĂM trong ôn thi Cao học tại Tp.HCM cũng như toàn miền Nam. 7. Trung tâm duy nhất có đầy đủ TÀI LIỆU, ĐỀ THI, ĐÁP ÁN Cao học các trường, Bài giảng, Bài tập phong phú các môn do chính Giảng viên của trung tâm biên soạn có chất lượng cao. Trung tâm ôn thi Cao học MSc www.onthicaohoc.com Mr Đức 097 267 0808 Mail: onthicaohocmsc@gmail.com 8 Đáp án Tham khảo môn Toán kỹ thuật D ↔ D’ 2 2 2 0 2  − ≤ ≤ −  ≤ ≤  ϕ π e r e Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 ln 2 d dr 2 2 ′ + + + = = + + + + ∫∫ ∫∫ ϕ D D x y r I r x y x y r r ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 ln 2 ln 2 ln( 2) 2 − − − − + ⇒ = = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ π π ϕ ϕ e e e e r I d dr d r d r r ( ) 2 2 ln 2 2 2 3 2 2 + − = = − π π r e e 2. Tìm h(x, y) = y. g(x) h(x, y). P(x, y)dx + h(x, y). Q(x, y)dy là vi phân toàn ph ầ n cùa hàm u(x, y) nào đ ó khi và ch ỉ khi ( ) ( ) ( ) ( ) , . , , . ,∂ ∂         = ∂ ∂ h x y P x y h x y Q x y y x ( ) sin cos 2 cos . ( ). 2 sin . . − −       + ∂ − ∂             ⇔ = ∂ ∂ x x y y e x y g x e x y g x y y y x ( ) ( ) ( ) sin 2 sin (cos 2 cos ) − −   ∂ −   ∂ +     ⇔ = ∂ ∂ x x g x y ye x g x y e x y x ( ) ( ) cos 2 sin − ⇔ − x g x y e x ( ) ( ). cos 2 cos ( ). 2 cos 2 sin − − − ′   = + + − −   x x x g x y e x g x e x e x [ ] ( ) ( ) cos 2 cos 0 ( ) ( ) ( ) − ′   ⇔ − + =   ′ ⇔ = ⇔ = + x x g x g x y e x g x g x g x e c Do g(0) = 1 ⇒ c = 0 V ậ y ( ) = x g x e và ( ) , . = x h x y y e Trung tâm ôn thi Cao học MSc www.onthicaohoc.com Mr Đức 097 267 0808 Mail: onthicaohocmsc@gmail.com 9 Đáp án Tham khảo môn Toán kỹ thuật Nh ư v ậ y [ ] ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) sin cos 2 cos . 2 sin . . sin 2 sin cos 2cos − − = +     + = − +           = − + +   ∫ ∫ ∫ L x x x x L x x L J h x y P x y dx h x y Q x y dy y y e x y e e x dx y e dy y y e y y x dx e y x dy Vì hàm s ố u(x,y) nh ậ n ( ) ( ) sin 2 sin cos 2cos− + + x x e y y x dx e y x dy làm vi phân toàn ph ầ n nên tích phân đườ ng c ầ n tìm không ph ụ thu ộ c vào đườ ng cong L mà ch ỉ ph ụ thu ộ c vào đ i ể m A và B. V ậ y ( ) ( ) 0 0 ( , ) sin 0 2.0sin cos 2cos sin 2 cos = − + + = + ∫ ∫ y x x x x u x y e x dx e y x dy e y y x ( ) ( ;2 ) ( , ) sin 2 cos 4 2 cos 5 ; 3 3 ⇒ = = + = − − = −       π π π π π π π π x B J u x y e y y x A Câu V: 1. Kh ả o sát c ự c tr ị c ủ a hàm 3 3 2 3 3 3 3 2 = + + − + − − z x y x xy x y 2 2 2 2 0 0, 1 3 6 3 3 0 2 1 0 0 1, 0 3 3 3 0 1  ′ =  = = + − + = + − + =    ⇔ ⇔ ⇔     ′ = = − = − − = = −       x y z x y x x y x x y z x y y x x y Suy ra hàm s ố có 2 đ i ể m d ừ ng là M(0,1) và N(-1,0). Ta có 6 6 3 6 ′′  = +  ′′ = −   ′′ =  xx xy yy z x z z y ⇒ *Tại M(0,1) có: 2 6, 3, 6 27 0 = = − = ∆ = − = > A B C AC B ⇒ M là đ i ể m c ự c ti ể u c ủ a z *T ạ i N(-1,0) có: 2 0, 3, 0 9 0 = = − = ∆ = − = − < A B C AC B ⇒ N(-1,0) không ph ả i là đ i ể m c ự c tr ị c ủ a z Trung tâm ôn thi Cao học MSc www.onthicaohoc.com Mr Đức 097 267 0808 Mail: onthicaohocmsc@gmail.com 10 Đáp án Tham khảo môn Toán kỹ thuật V ậ y z có 1 c ự c ti ể u t ạ i M(0,1) và z CT = z(0,1) = - 4 2. *Ch ứ ng minh 3 3 3 1 +∞ = − − ∫ dx K x x h ộ i t ụ Xét 3 1 ( ) 3 1 = − − f x x x và ( ) 3 1 =g x x là 2 hàm không âm trên [ ) 3, ∞ Có ( ) 3 3 3 3 3 3 ( ) lim lim 1 0, ( ) 3 1 hoi tu 3 1 hoi tu +∞ →+∞ →+∞ +∞  = = ∈ +∞  − −  ⇒  − −    ∫ ∫ x x f x x g x x x dx x x dx x Khuy ến cáo: Đây là Đáp án Tham khảo nên có thể Mr Đức& đội ngũ Giảng viên có thể sai sót nhỏ, nếu có rất vui khi nhận được phản hồi của các Học viên. Mail: onthicaohocmsc@gmail.com HẾT [...]...WWW.ONTHICAOHOC.COM - FIRST STEP TO GET MASTER WWW.ONTHICAOHOC.COM - FIRST STEP TO GET MASTER WWW.ONTHICAOHOC.COM - FIRST STEP TO GET MASTER