Đang tải... (xem toàn văn)
chuyên đề hàm số ôn thi đại học tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh...
1 Chuyên ñề hàm số, ôn thi ñại học năm 2010. Soạn: ðỗ Cao Long 1 2 ÔN THI ðẠI HỌC NĂM 2009 Chương I: Hàm số Cấu trúc ñề thi của Bộ GD&ðT: Câu Nội dung kiến thức ðiểm I • Khảo sát, vẽ ñồ thị của hàm số. • Các bài toán liên quan ñến ứng dụng của ñạo hàm và ñồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số. Cực trị. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tiếp tuyến, tiệm cận (ñứng và ngang) của ñồ thị hàm số. Tìm trên ñồ thị những ñiểm có tính chất cho trước; tương giao giữa hai ñồ thị (một trong hai ñồ thị là ñường thẳng); 2,0 NỘI DUNG ÔN TẬP 1. Chiều biến thiên của hàm số Kiến thức: Cho hàm số ( ) y f x = xác ñịnh và có ñạo hàm trên khoảng ( ) ; a b . • Nếu ( ) 0 y x ′ ≥ với mọi ( ) ; x a b ∈ ( 0 y ′ = tại hữu hạn ñiểm thuộc ( ) ; a b ) thì hàm số ( ) y f x = ñồng biến trên khoảng ( ) ; a b . • Nếu ( ) 0 y x ′ ≤ với mọi ( ) ; x a b ∈ ( 0 y ′ = tại hữu hạn ñiểm thuộc ( ) ; a b ) thì hàm số ( ) y f x = nghịch biến trên khoảng ( ) ; a b . Ví dụ 1: Tìm m ñể hàm số ( ) 3 2 2 3 3 2 y m x x x = − − − + luôn nghịch biến (trên tập xác ñịnh). Hướng dẫn: • Tập xác ñịnh: D = ℝ • ðạo hàm ( ) ( ) 2 2 3 2 6 3 3 2 2 1 y m x x m x x ′ = − − − = − − − Hàm số luôn nghịch biến khi và chỉ khi 0 y ′ ≤ với mọi x. ( ) 2 2 2 1 0 m x x ⇔ − − − ≤ với mọi x. 2 0 2 3 0 3 m m m m − < < ⇔ ⇔ ′ ∆ = + ≤ ≤ − 3 m ⇔ ≤ − . • Kết luận: Giá trị của m phải tìm thỏa yêu cầu là 3 m ≤ − . Ví dụ 2: Tìm m ñể hàm số 2 2 3 1 x x m y x − + = − ñồng biến trên khoảng ( ) 3; +∞ . Hướng dẫn giải: • Với mọi 3 x > , ta có ( ) 2 2 2 4 3 1 x x m y x − + − ′ = − . • Hàm số ñồng biến trên khoảng ( ) 3; +∞ khi và chỉ khi ( ) 2 2 2 4 3 0 1 x x m y x − + − ′ = ≥ − với mọi 3 x > 2 2 4 3 0 x x m ⇔ − + − ≥ với mọi 3 x > . (*) Việc giải quyết vấn ñề này có 02 cách: Cách 1: Dùng ñịnh lý về dấu của tam thức bậc hai (cách này khó với nhiều học sinh). Cách 2: Dùng ñạo hàm Ta có (*) 2 2 4 3 x x m ⇔ − + ≥ , với mọi 3 x > (**) Xét hàm số ( ) 2 2 4 3 y f x x x = = − + trên nửa khoảng [ ) 3; +∞ , ta có: ( ) ( ) 4 1 0, f x x ′ = − > với mọi 3 x ≥ . Vậy hàm số ñồng biến trên ( ) 3; +∞ . Suy ra ( ) ( ) 2 2 4 3 3 9 f x x x f = − + > = với mọi 3 x > . Do ñó (**) ñược thỏa mãn 9 m ⇔ ≤ . • Kết luận: Giá trị của m phải tìm là 9 m ≤ . 2 Chuyên ñề hàm số, ôn thi ñại học năm 2010. Soạn: ðỗ Cao Long 3 4 • Bài tập tự luyện: Bài 1: (ðH Ngoại thương 1997) Tìm m ñể hàm số ( ) 3 2 3 1 4 y x x m x m = + + + + nghịch biến trên khoảng ( ) 1;1 − . Bài 2: (ðH Luật – Dược 2001) Tìm m ñể hàm số ( ) ( ) 3 2 3 1 3 2 1 y x m x m m x = − − + − + ñồng biến trên các khoảng thỏa mãn 1 2 x ≤ ≤ . 2. Cực trị Lý thuyết: 1). Giả sử hàm số ( ) y f x = liên tục trên khoảng ( ) ; a b chứa ñiểm 0 x và có ñạo hàm trên khoảng ( ) { } 0 ; \ a b x . • Nếu ( ) 0 f x ′ < với mọi ( ) 0 ; x a x ∈ và ( ) 0 f x ′ > với mọi ( ) 0 ; x x b ∈ thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 0 x . • Nếu ( ) 0 f x ′ > với mọi ( ) 0 ; x a x ∈ và ( ) 0 f x ′ < với mọi ( ) 0 ; x x b ∈ thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 0 x . 2). Giả sử hàm số ( ) y f x = có ñạo hàm cấp một trên khoảng ( ) ; a b chứa 0 x , ( ) 0 0 f x ′ = và có ñạo hàm cấp hai khác 0 tại 0 x . • Nếu ( ) 0 0 f x ′′ < thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 0 x . • Nếu ( ) 0 0 f x ′′ > thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 0 x . Ví dụ 1: (CðSP TP Hồ Chí Minh 1999) Tìm m ñể hàm số ( ) 3 2 2 3 3 1 y x mx m x m = − + − + ñạt cực tiểu tại 2 x = . Hướng dẫn giải: • Tập xác ñịnh: D = ℝ • ðạo hàm: ( ) 2 2 3 2 1 y x mx m ′ = − + − , ( ) 6 y x m ′′ = − • ðiều kiện cần và ñủ ñể hàm số ñạt cực tiểu tại 2 x = là: ( ) ( ) 2 0 2 0 y y ′ = ′′ > ( ) ( ) 2 3 4 4 1 0 6 2 0 m m m − + − = ⇔ − < 2 4 3 0 2 0 m m m − + = ⇔ − < 1 3 3 2 m m m m = ⇔ ⇔ = = > . • Kết luận: 3 m = . Nhận xét: Ngoài cách giải trên có thể dùng ñiều kiện cần (ñiều kiện cần ñể hàm số có cực trị tại 2 x = là ( ) 2 0 y ′ = ) ñể tìm m, sau ñó kiểm tra lại rồi kết luận. Ví dụ 2: (ðH Cảnh sát 2000) Tìm m ñể hàm số 4 2 1 3 4 2 y x mx = − + chỉ có cực tiểu mà không có cực ñại. Hướng dẫn giải: • Tập xác ñịnh: D = ℝ • ðạo hàm: ( ) 3 2 2 2 y x mx x x m ′ = − = − , 2 3 2 y x m ′′ = − , 2 0 0 2 x y x m = ′ = ⇔ = • Xét các trường hợp sau: 1). Nếu 0 m = thì 0 0 y x ′ = ⇔ = và ( ) 0 0 y ′′ = nên trường hợp này hàm số không có cực trị. 2). Nếu 0 m < thì 0 0 y x ′ = ⇔ = và ( ) 0 2 0 y m ′′ = − > nên trường hợp này hàm số ñạt cực tiểu tại 0 x = . 3). Nếu 0 m > thì 0 0 2 x y x m = ′ = ⇔ = ± , 3 Chuyên ñề hàm số, ôn thi ñại học năm 2010. Soạn: ðỗ Cao Long 5 6 Ta có ( ) 0 2 0 y m ′′ = − < , nên hàm số ñạt cực ñại tại 0 x = .Vậy trường hợp này không thỏa ycbt. • Tóm lại: Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực ñại khi 0 m < . ♣ Bài tập tự luyện : Bài 1: (ðH, Cð Khối B, 2005) Cho hàm số ( ) 2 1 1 1 x m x m y x + + + + = + , (m là tham số). Chứng minh rằng với m bất kỳ, ñồ thị hàm số luôn có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai ñiểm ñó bằng 20 . Bài 2: (ðH, Cð Khối A 2005) Cho hàm số 1 y mx x = + có ñồ thị là ( ) m C , (m là tham số). Tìm m ñể hàm số có cực trị và khoảng cách từ ñiểm cực tiểu của ( ) m C ñến tiệm cận xiên của ( ) m C bằng 1 2 . Bài 3: (ðH, Cð Khối A 2007) Cho hàm số ( ) 2 2 2 1 4 2 x m x m m y x + + + + = + (1), m là tham số. Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại, cực tiểu ñồng thời các ñiểm cực trị của ñồ thị cùng với gốc tọa ñộ O tạo thành một tam giác vuông tại O. Bài 4: (ðH, Cð Khối B 2007) Cho hàm số ( ) 3 2 2 2 3 3 1 3 1 y x x m x m = − + + − − − (1) , m là tham số. Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại, cực tiểu ñồng thời các ñiểm cực trị của ñồ thị cách ñều gốc tọa ñộ O. Bài 5: Cho hàm số 4 2 4 y x mx x m = − + + (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi 0 m = . 2. Tìm các giá trị của m ñể ñồ thị của hàm số (1) có 3 ñiểm cực trị sao cho tam giác có 3 ñỉnh là các ñiểm cực trị ñó nhận gốc tọa ñộ O làm trọng tâm. Bài 6: (Dự bị 2, khối A – 2007) Cho hàm số 2 m y x m x = + + − , có ñồ thị là ( ) m C . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số với 1 m = . 2. Tìm m ñể ( ) m C có cực trị tại các ñiểm A, B sao cho ñường thẳng AB ñi qua gốc tọa ñộ O. Bài 7: (Dự bị 2, khối B – 2007) Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 2 2 2 y x m x m x m = + − + − + + (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi 2 m = . 2. Tìm các giá trị của m ñể hàm số (1) có ñiểm cực ñại, cực tiểu ñồng thời hoành ñộ ñiểm cực tiểu nhỏ hơn 1. 3. Tiếp tuyến, tiệm cận của ñồ thị hàm số Bài 1: (ðH, Cð khối D năm 2005) Gọi ( ) m C là ñồ thị của hàm số 3 2 1 1 3 2 3 m y x x = − + Gọi M là ñiểm thuộc ( ) m C có hoành ñộ bằng 1 − . Tìm m ñể tiếp tuyến của ( ) m C tại ñiểm M song song với ñường thẳng ( ) :5 0 d x y − = . Bài 2: (ðH, Cð khối B năm 2006) Cho hàm số 2 1 2 x x y x + − = + có ñồ thị ( ) C . Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị ( ) C , biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên của ( ) C . Bài 3: (ðH, Cð khối B năm 2008) Cho hàm số 3 2 4 6 1 y x x = − + (1). Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến ñó ñi qua ñiểm ( ) 1; 9 M − − . 4 Chuyên ñề hàm số, ôn thi ñại học năm 2010. Soạn: ðỗ Cao Long 7 8 Bài 4: (Dự bị 1, khối D – 2007) Cho hàm số 1 2 1 x y x − + = + . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( ) C của hàm số . 2. Viết phương trình tiếp tuyến ( ) d với ( ) C , biết rằng ( ) d ñi qua giao ñiểm của trục Ox với ñường tiệm cận của ( ) C . Bài 5: (Dự bị 2, khối D – 2007) Cho hàm số 1 x y x = − . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( ) C của hàm số . 2. Viết phương trình tiếp tuyến ( ) d với ( ) C sao cho ( ) d và hai ñường tiệm cận của ( ) C cắt nhau tạo thành tam giác cân. Bài 6: (Dự bị 2, khối A – 2006) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( ) C của hàm số ( ) 4 2 1 2 1 2 y x x = − − 2. Viết phương trình các ñường thẳng ñi qua ñiểm ( ) 0;2 A và tiếp xúc với ñồ thị ( ) C 4. Tìm trên ñồ thị những ñiểm có tính chất cho trước. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Bài 1: (ðH, Cð khối B năm 2007) Cho hàm số 2 1 x y x = + có ñồ thị ( ) C . Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc ( ) C , biết tiếp tuyến của ( ) C tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1 4 . Bài 2: Cho hàm số 2 3 6 2 x x y x + + = + . Tìm tất cả những ñiểm trên ñồ thị hàm số cóa tọa ñộ là số nguyên. Bài 3: Cho hàm số 2 2 2 1 x x y x + + = + . Tìm trên ñồ thị hàm số những ñiểm có khoảng cách từ ñiểm ñó ñến trục Ox bằng 2 lần khoảng cách từ ñiểm ñó ñến trục Oy. Bài 4: Cho hàm số 4 2 2 3 2 1 y x x x = − + + . Tìm ñiểm M thuộc ñồ thị hàm số sao cho hoảng cách từ M ñến ñường thẳng 3 6 0 y x = + = là nhỏ nhất. Bài 5: Cho hàm số 2 1 1 x y x + = + . Tìm trên ñồ thị hàm số những ñiểm có tổng khoảng cách ñến 2 tiệm cận có giá trị nhỏ nhất. 5. Tương giao giữa hai ñồ thị Bài 1: (ðH, Cð khối A năm 2006) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số 3 2 2 9 12 4 y x x x = − + − . 2. Tìm m ñể phương trình 3 2 2 9 12 x x x m − + = có 6 nghiệm phân biệt. Bài 2: (ðH, Cð khối D năm 2006) Cho hàm số 3 3 2 y x x = − + có ñồ thị ( ) C . Gọi d là ñường thẳng ñi qua ñiểm ( ) 3;20 A và có hệ số góc là m. Tìm m ñể ñường thẳng d cắt ñồ thị ( ) C tại 3 ñiểm phân biệt. Bài 3: (ðH, Cð khối D năm 2008) Cho hàm số 3 2 3 4 y x x = − + (1). Chứng minh rằng mọi ñường thẳng ñi qua ñiểm ( ) 1;2 I với hệ số góc k ( ) 3 k > − ñều cắt 5 Chuyên ñề hàm số, ôn thi ñại học năm 2010. Soạn: ðỗ Cao Long 9 10 ñồ thị của hàm số (1) tại 3 ñiểm phân biệt I, A, B ñồng thời I là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB. Bài 4: Cho hàm số 3 2 4 y x ax = − + − (1), (a là tham số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số khi 3 a = . 2. Tìm a ñể phương trình 3 2 4 0 x ax m − + + = có 3 nghiệm phân biệt với mọi m thỏa mãn ñiều kiện 4 0 m − < < . Bài 5: (Dự bị 01 khối D – 2006) Cho hàm số 3 2 11 3 3 3 x y x x = − + + − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( ) C của hàm số ñã cho. 2. Tìm trên ( ) C hai ñiểm phân biệt ñối xứng nhau qua trục tung. . 1 Chuyên ñề hàm số, ôn thi ñại học năm 2010. Soạn: ðỗ Cao Long 1 2 ÔN THI ðẠI HỌC NĂM 2009 Chương I: Hàm số Cấu trúc ñề thi của Bộ GD&ðT: Câu Nội dung. sát, vẽ ñồ thị của hàm số. • Các bài toán liên quan ñến ứng dụng của ñạo hàm và ñồ thị của hàm số: Chiều biến thi n của hàm số. Cực trị. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tiếp tuyến,. 3 Chuyên ñề hàm số, ôn thi ñại học năm 2010. Soạn: ðỗ Cao Long 5 6 Ta có ( ) 0 2 0 y m ′′ = − < , nên hàm số ñạt cực ñại tại 0 x = .Vậy trường hợp này không thỏa ycbt. • Tóm lại: Hàm