Đang tải... (xem toàn văn)
BẤT ĐẲNG THỨC §1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I. BẤT ĐẲNG THỨC: 1. Khái niệm bất đẳng thức: Các mệnh đề dạng “A>B”, “A0, y>0 và x 2 + y2 x + y Chứng minh: x+3y 2+ 5 Dng 3: Phng phỏp dựng du ca tam thc bc hai: Cơ sở của ph ơng pháp là biến đổi bất đẳng thức ở giả thiết về dạng chứa: f(x)=ax 2 + bx + c (a 0) Để xét dấu tam thức bậc hai f(x), ta th ờng viết nó d ới dạng: Cơ sở của ph ơng pháp là biến đổi bất đẳng thức ở giả thiết về dạng chứa: f(x)=ax 2 + bx + c (a 0) Để xét dấu tam thức bậc... pháp tọa độ I Kiến thức cần nhớ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy hay trong không gian Oxyz, ta chọn tọa độ các vectơ (hay tọa độ của điểm) sao cho thích hợp với đề đã cho rồi áp dụng công thức sau đây: r r r r 1) a b a + b r r Đẳng thức xảy ra a, b cùng ph ơng r r r r r r 2) a b c a + b + c rr r r 3) a.b a b r r Đẳng thức xảy ra khi a, b cùng ph ơng rr r r 4) a.b a b r r Đẳng thức xảy ra khi a,... [0; ] Mặt khác, khi x=0 thì y=0 và khi x= thì y= nên 3 3 3 1 miny=0; maxy= 3 Bài tập tự luyện: 32 Bài 1 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= x 2 xy + y 2 , x, y R x 2 + xy + y 2 Bài 2 : Cho hai số thực x 0, y 0 thỏa mãn x 2 + y 2 = x 2 y + y 2 x Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 2 1 biểu thức A= + x y Bi 3: Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s y= 4 sinx cosx (HQG... 1 = 3, b c a b c a b a c a b c a b a b c + + 3 3 = 3 T ơng tự, + + 3 (Do BĐT Cauchy)) b c a b c a b c a Đẳng thức xảy ra x=y=z=1 Vậy minP=2 hoặc Bài tập tự luyện: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy: Bài 1 : Cho ba số d ơng a, b, c thỏa mãn điều kiện abc=1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: bc ac ab P= 2 + 2 + 2 2 2 a b + a c b a + b c c a + c2 b (ĐH Nông nghiệp I Khối A - Năm 2000) 36 ... Khối A - Năm 2000) Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi x, y >0 ta có: 2 9 y (1+x) 1+ ữ 1 + ữ 256 yữ x Đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề Dự bị Khối A-Năm 2005) 3 Bài 6 : Cho a, b, c là ba số d ơng thỏa mãn: a+b+c= Chứng minh rằng : 4 3 3 3 a+3b + b + 3c + c + 3a 3 Khi nào đẳng thức xảy ra? (Đề Dự bị 1 Khối B-Năm 2005) 1 Bài 7 : Chứng minh rằng nếu 0 y x 1 thì x y y x 4 Đẳng thức xảy ra khi nào?... 2x-4y=2(t-1), thay vào (3) ta đ ợc: 2 2 2 6 9 9 A=t + (2 t + 3) = 5t +12 t + 9 = 5 t + ữ + 5 5 5 6 9 min A = A ữ = R 5 5 2 2 2 Bài tập tự luyện: Bài 1 : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: x f(x)= + sin 2 x trên đoạn 2 - 2 ; 2 (H Kinh t Quc dõn Khi A Nm 2000) Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên tập R: f(x)=2sin 2 x + 4 s inxcosx+ 5 (Hc vin Cụng ngh BCVT Nm 1999) Bài 3 : Tìm... a b c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC đều (2) Chú ý: Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng BĐT Cauchy hoặc dùng phơng pháp đạo hàm kết hợp với BĐT Jensen Bài tập tự luyện: Bài 1 : Chứng minh: a-1 + b 1 + c 1 c(ab + 1), với mọi số thực d ơng a, b, c 1 Bài 2 : Cho x, y, z>0 Chứng minh: xyz(x+y+z+ x 2 + y2 + z 2 ) 3+ 3 2 2 2 2 2 2 2 (x + y + z )[(x + y + z) (x + y + z )] 18 Bài 3... 4a 2a 4a Dấu của biệt thức 0 Phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm x1 < Dấu của f(x) af(x)>0, x R b b ; f(- )=0 2a 2a af(x)0, x - af(x)>0, x (-; x1 ) (x 2 ; +) 17 x2 Tóm lại, việc sử dụng các định lý thuận và đảo của tam thức bậc hai, xử lý điều kiện tồn tại nghiệm của biệt thức , tỏ ra tiện lợi khi chứng minh một bất đẳng thức mà nó đã đợc nhận dạng ở đây... trong hai đẳng thức đã cho nên ta cũng có: 4 4 4 4 - b và - c 3 3 3 3 Bài tập tự luyện: Bài 1 : Chứng minh: (x+y)2 2x 5 5y 2 + 4y 5 6, x,y R Bài 2 : Chứng minh rằng nếu a, b, c là các độ dài ba cạnh của một tam giác thì ta luôn có: 1 a 2 b2 + b2 c2 + c 2a 2 > (a 4 + b 4 + c 4 ) 2 Bài 3 : Chứng minh rằng với mọi x R, ta đều có: 4sin3x+5 4cos2x+5sinx Dạng 4: Phơng pháp đạo hàm I Kiến thức cần . BẤT ĐẲNG THỨC §1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I. BẤT ĐẲNG THỨC: 1. Khái niệm bất đẳng thức: Các mệnh đề dạng “A>B”, “A<B”, “A≥B”, “A≤B” được gọi là bất đẳng thức, với A. chất cơ bản, để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức đúng hay một tính chất đúng hoặc có thể sử dụng bất đẳng thức đúng biến đổi dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh). Ví. bất đẳng thức ở giả thiết về dạng chứa: f(x)=ax bx c (a 0) Để xét dấu tam thức bậc hai f(x), ta th ờng viết nó d ới dạng: + + 2 Cơ sở của ph ơng pháp là biến đổi bất đẳng thức ở giả thiết về