Một số toán phơng trình bậc hai định lý viéte (Chuyên đề Bồi d ỡng kiến thức cho giáo viên giảng dạy toán THcs bồi dỡng học sinh kh¸, giái líp 9) A- Lý ln chung: I- Lý chọn đề tài: 1, Lý lý luận: Từ xa đến Đảng, Nhà nớc nhân dân ta luôn nhận thức đầy đủ, sâu sắc vị trí vai trò giáo dục đào tạo công phát triển kinh tế xà hội thực công nghiệp hoá, đại hoá đa đất nớc lên thực Dân giàu, nớc mạnh, xà hội công văn minh Đảng, Nhà nớc ta đà khẳng định : Giáo dục - đào tạo động lực, điều kiện đảm bảo việc thực mục tiêu kinh tế - xà hội xây dựng bảo vệ tổ quốc Giáo dục - đào tạo chìa khoá để mở cửa tiến vào tơng lai Đầu t cho giáo dục đào tạo đầu t cho ph¸t triĨn ThËt sù coi träng gi¸o dơc - đào tạo quốc sách hàng đầu Giáo dục - đào tạo với nhiệm vụ nâng cao dân trí đào tạo nhân lực, bồi dỡng nhân tài Ba nhiệm vụ luôn có quan hệ hữu với đan xen trình phát triển chung ngành Song song với việc nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực nhiệm vụ bồi dỡng nhân tài đóng vai trò quan trọng Bởi lẽ nhân tài vốn quý đất nớc phận đầu tầu thúc đẩy trình công nghiệp hoá, đại hoá đất nớc Bộ phận không đông, song cần phải phát hiện, tuyển chọn, đào tạo, bồi dỡng, sử dụng, đÃi ngộ cách thoả đáng, trí tuệ phận nhân tài trí tuệ cộng đồng rÊt lín sù cèng hiÕn cđa hä cho ®Êt níc có giá trị gấp nhiều lần so với giá trị mà nhân dân, đất nớc đÃi ngộ họ Chính vậy, nhiệm vụ bồi dỡng nhân tài có liên quan tới tất cấp học, bậc học nớc quan tâm toàn xà hội không thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy Cho nên việc bồi dỡng nâng cao trình độ kiến thức cho giáo viên giảng dạy môn Toán nhà trờng đồng thời việc phát hiện, tuyển chọn, đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi đợc đặt cho bậc học ngày đợc đề cao trọng, không nhiệm vụ trờng chuyên, trờng trọng điểm chất lợng cao mà nhiệm vụ chung tất trờng học Bậc THCS đà xác định rõ nhhiệm vụ ngày hàng năm dới đạo Sở Giáo dục - đào tạo Bắc Giang, Phòng giáo dục Tân Yên đà đạo cụ thể, sát xao thờng xuyên có t mới, sáng tạo phù hợp tình hình cụ thể việc nâng cao trình độ cho giáo viên bồi dỡng học sinh giỏi huyện Cho nên phong trào giáo viên giỏi, học sinh giỏi ngày đợc nâng lên số lợng chất lợng Thành tích Phòng Giáo dục Tân Yên phong trào học sinh giỏi, giáo viên giỏi có đóng góp đáng kể thầy giáo, cô giáo giảng dạy môn Toán toàn huyện, đặc biệt thầy giáo, cô giáo dạy giỏi môn Hàng năm thi học sinh giỏi bậc học bậc THCS để có học sinh giải nhất, nhì tỉnh môn Toán đặc biệt môn Toán 9, câu hỏi mà phải quan tâm để tìm câu trả lời 2, Lý thực tiễn: Qua trình giảng dạy Toán lớp với việc hàng năm có ôn luyện cho em thi vào lớp 10 nh thi vào trờng khiếu bậc THPT năm trớc, với cơng vị đạo dạy học nhà trờng thấy phần kiến thức phơng trình bậc hai, định lý Viéte giáo viên cần thiết học sinh lĩnh hội nhiều hạn chế Trong kiến thức phần đóng vai trò quan trọng chơng trình Toán tảng thiếu đợc cho việc học đại số sơ cấp em từ lớp 10 trở lên Một câu hỏi đặt phải khuôn khổ sách giáo khoa Toán viết vấn đề hạn hẹp số đồng chí cha đợc dạy toán liên tục thời gian để sâu Theo nghĩ mà thầy giáo, cô giáo cha quan tâm nhiều tới sách tham khảo, sách toán nâng cao, ôn luyện thi vào lớp 10 THPT, khiếu, tạp chí toán học kể các sách giáo khoa lớp viết vấn đề Tôi xét thấy việc cần thiết phải trang bị cho giáo viên giảng dạy môn Toán hiểu thật sâu, thật đa dạng dạng tập phơng trình bậc hai, định lý viéte đồng thời giáo viên sử dụng tài liệu để bồi dỡng học sinh khá, giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 cho em II- Nhiệm vụ đề tài: 1, Cung cấp, trang bị cho giáo viên giảng dạy môn Toán học sinh khá, giỏi lớp chuyên đề : Phơng trình bậc hai, định lý viéte để nâng cao trình độ kiến thức cho giáo viên bồi dỡng cho học sinh khá, giỏi trờng 2, Phân loại dạng tập, đa phơng pháp giải dạng có lời giải tập mẫu kèm theo tập tơng tự III- Đối tợng, địa điểm, phạm vi nghiên cứu: 1, Đối tợng : - Giáo viên giảng dạy môn Toán - Học sinh khá, giỏi lớp - Phụ huynh học sinh 2, Địa điểm : Trờng THCS Phúc Hoà 3, Phạm vi nghiên cứu: - Về kiến thức : Phơng trình bậc hai, định lý Viéte - Thời gian nghiên cứu từ năm học 2004 - 2005 đến IV- Phơng pháp nghiên cứu: 1, Đọc sách tham khảo (các ôn luyện vào lớp 10, 1001bài toán sơ cấp) đề thi vào lớp 10 tỉnh tỉnh, đề thi tuyển vào lớp 10 khiếu tỉnh Bắc Giang 2, Tham gia giảng dạy trực tiếp cho học sinh khá, giỏi lớp làm chuyên đề kiến thức cho giáo viên Toán trờng B- Nội dung : Một toán phơng trình bËc hai cã chøa tham sè cã thÓ chØ cã yêu cầu có nhiều yêu cầu khác (Tức có nhiều phần) Song yêu cầu kể đến nh sau: 1, Không giải phơng trình hÃy tính giá trị biểu thức liên hệ hai nghiệm x1x2 * Phơng pháp : +Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm; + Biến đổi biểu thức đà cho dạng sử dụng đợc x1+x2, x1 x2, thay x1 + x2 = −b , a x1 x2 = vµo biĨu thøc råi tÝnh 2, Chøng minh mét phơng trình có nghiệm vô nghiệm * Phơng pháp : + TÝnh ∆ (hc ∆’) + ChØ ∆ (hoặc 0) yêu cầu chứng minh phơng trình có nghiệm + Chỉ < (hoặc < 0) yêu cầu chứng minh phơng trình vô nghiệm 3, Chứng minh hai (hay nhiều) phơng trình có nghiệm * Phơng pháp : + Tính tổng (hoặc tổng ) + Chứng minh tổng không âm 4, Tìm giá trị tham số để phơng trình có nghiệm (hoặc vô nghiệm) * Phơng pháp : Tìm giá trị tham số qua bất phơng trình (hoặc < 0) 5, Tìm giá trị tham số để hai nghiệm phơng trình thoả mÃn đẳng thức (hoặc bất đẳng thức) nghiệm phơng trình * Phơng pháp : Giá trị tham số cần tìm phải thoả mÃn hệ phơng trình: x1 + x2 = p x1 x2 = s Đẳng thức nghiệm ( bất đẳng thức hai nghiệm) 6, Tìm giá trị lớn (hoặc giá trị nhá nhÊt) cđa mét biĨu thøc cã g¾n víi hai nghiệm phơng trình * Phơng pháp : + Biến đổi biểu thức dạng chứa tổng tích gi÷a hai nghiƯm + Thay x1 + x2 = s, x1 x2 = p vào biểu thức biến đổi biểu thức dạng không âm (hoặc không dơng) Từ tìm cực trị biểu thức 7, Chứng minh nghiệm phơng trình thoả mÃn đẳng thức (hoặc bất đẳng thức) * Phơng pháp : + Chứng minh phơng trình có nghiƯm: x1, x2 + BiÕn ®ỉi biĨu thøc ®· cho dạng sử dụng đợc x1+x2, x1 x2 + Thay x1+x2 = s, x1 x2 = p vµo biĨu thøc biến đổi trên, chứng minh theo yêu cầu cho 8, Viết hệ thức hai nghiệm không chứa tham số * Phơng pháp : + Chứng minh (hoặc 0) để cã x1 x2 + TÝnh x1 + x2 , x1x2 + Biến đổi tổng, tích hai nghiệm để cộng trừ theo vế triệt tiêu đợc tham số 9, Lập phơng trình bậc hai * Phơng ph¸p : + TÝnh tỉng hai nghiƯm x1 + x2 = s, tÝnh tÝch hai nghiÖm x1x2 = p + Thay s,p vào phơng trình :X2 - SX + P = 10, Tìm giá trị tham số để hai (hoặc nhiều phơng trình) có nghiệm chung tơng đơng 11, Các toán thuộc dạng khác (nh chøng minh sù chia hÕt, chøng minh mét biÓu thøc không phụ thuộc tham số) * Sau số tập điển hình dạng : Bài 1: Không giải phơng trình: 3x2 + 17x - 14 = (1) HÃy tính giá trị biểu thøc : 3x12 + x1 x2 + 3x2 S= x1x2 + x2 x12 Gi¶i: Ta cã : 2 3x12 + x2 + x1 x2 3( x12 + x2 ) + x1 x2 S= = x1 x2 + x12 x2 x1x2 ( x1 + x2 ) =  ( x1 + x2 )2 − x1 x2  + x1 x2   x1 x2 ( x1 + x2 ) Thay x1 + x2 = 3( x1 + x2 ) − x1 x2 = x1 x2 ( x1 + x2 ) −17 −14 909 ; x1 x = vào S, ta đợc S = 3 952 Bài 2: Cho phơng trình: x2 - ax + a - = (1) a, Không giải phơng trình hÃy tính giá trị biểu thøc : 3x12 + 3x2 − M= 2 x1 x2 + x1 x2 b, Tìm giá trị a để tổng bình phơng nghiệm đạt giá trị nhỏ Giải : a, Ta có = (-a)2 - (a - 1) = a2 - 4a + = (a - 2)2 ≥ Víi ∀ a phơng trình luôn có nghiệm Từ M = 2 3x12 + 3x2 − 3( x12 + x2 ) − = x12 x2 + x1 x2 x1 x2 ( x1 + x2 ) M= ( x1 + x2 ) − x1 x2  −   x1 x2 ( x1 + x2 ) 3( x1 + x2 ) − x1 x2 − = x1 x2 ( x1 + x2 ) Theo định lý Viéte : x1 + x2 = a (*) x1 x2 = a − Thay (*) vào M ta đợc : M= 3.a − 6(a − 1) − 3a − 6a + − = (a − 1).a a( a − 1) = 3a − 6a + 3( a − 2a + 1) = a( a − 1) a( a − 1) 3( a − 1) 3(a − 1) = = a (a − 1) a b, Giá trị a cần tìm phải thoả mÃn hÖ : x1 + x2 = a x1 x2 = a - A= x12 +x22 đạt GTNN Ta cã : A = x12 + x2 = ( x1 + x2 ) − x x2 Hay : A = a − 2(a − 1) = a − 2a + = a2 - 2a + + = (a - 1)2 + GTNN A 1, dầu xảy a = Thông qua 1, giúp cho ta thành thạo biến đổi sử dụng tổng, tích nghiệm Bài 3: Chứng minh phơng trình : (x - a) (x - b) + (x - b) (x - c) + (x - c) (x - a) = lu«n lu«n cã nghiƯm với a, b, c Giải: Ta biến đổi phơng tr×nh: (x - a) (x - b) + (x - b) (x - c) + (x - c) (x - a) = ⇔ x2 - (a + b) x + ab + x2 - (b + c) x + bc + x2 - (a + c) x + ac = ⇔ 3x2 - 2(a + b + c) x + ab + bc + ac = Ta cã : ∆’ = [ −( a + b + c) ] − 3(ab + bc + ac) = (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca - 3ab - 3bc - 3ca = a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca 2∆’ = 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ca + a2) = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ víi ∀ a, b, c Vậy phơng trình đà cho luôn cã nghiƯm 1 Bµi 4: Cho + = CMR hai phơng trình sau ph¶i cã a b nghiƯm : x2 + ax + b = (1) x2 + bx + a = (2) Gi¶i : Ta cã ∆1 = a2 - 4b ∆2 = b2 - 4a XÐt ∆1 + ∆2 = a2 + b2 - (a + b) Tõ (*) 1 + = ⇔ 2(a + b) = ab a b (**) Thay (**) vµo (*) : ∆1 + ∆2 = a2 + b2 - 2ab = (a - b)2 (đpcm) Bài 5: Cho phơng trình : x2 + ax + b - = (1) x2 + bx + c - = (2) x2 + cx + a - = (3) Chøng minh r»ng ba phơng trình có phơng trình có nghiƯm: Gi¶i : Ta cã : ∆1 = a2 - (b - 1) = a2 - 4b + ∆2 = b2 - (c - 1) = b2 - 4c + ∆3 = c2 - (a - 1) = c2 - 4a + XÐt : ∆1+ ∆2 + ∆3 = (a2 - 4a + 4) + (b2 - 4b + 4) + (c2 - 4c + 4) = (a - 2)2 + (b - 2) + (c - 2)2 ≥ ⇒ (®pcm) Bài 6: Cho phơng trình : x2 + ax + b = x2 - cx - d = (1) (2) Cã c¸c hƯ sè a, b, c, d tho¶ m·n: a(a - c) + c (c - a) + (d - b) > Chøng minh hai phơng trình đà cho có hai nghiệm phân biệt : Giải : Phơng trình (1) có : = a2 - 4b Phơng trình (2) cã : ∆2 = c2 + 4d XÐt ∆1 + ∆2 = a2 + c2 + 4d - 4b ⇒ (∆1 + ∆2) = 2(a2 + c2 + 4d - 4b) = 2(a2 + c2) + (d - b) Tõ gi¶ thiÕt : a(a - c) + c(c - a) + ( d - b) > ⇒ (d - b) > ac - a2 - c2 ⇒ 2(∆1 + ∆2) = (a2 + c2) + 8(d - b) > a2 + c2 + 2ac = (a + c)2 > ⇒ 2(∆1 + ∆2) > ⇒ ∆1 + ∆2 > ⇒ Ýt nhÊt mét hai biÓu thøc thøc ∆1, dơng (đpcm) Bài 7: Cho phơng trình (ẩn x) x2 - 2(m + 1)x + m - = (1) a, Chøng minh (1) cã nghiÖm víi ∀ m b, m = ? th× (1) cã nghiệm trái dấu c, Giả sử x1, x2 nghiƯm cđa (1) Chøng minh r»ng M = (1 - x2)x1 + (1 - x1)x2 kh«ng phơ thc m d, Tìm hệ thức nghiệm độc lập m 1 e, Lập phơng trình bậc cã nghiƯm lµ vµ (x1, x2 lµ hai nghiƯm x1 x2 (1)) Giải: a, Trớc làm yêu cầu học sinh xác định hệ số : a = 1, b = -2 (m + 1) b’ = - (m + 1) ; c = m - ∆ ' = [ −(m + 1) ] − (m − 4) = (m + 1) − (m − 4) = m + 2m + − m + Ta cã : = m + m + = m + 2.m + + 19 4 19 = (m + ) + ≥ ⇒ (dpcm) b, (1) cã nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ ac < m- 4 phơng trình có nghiệm phân biệt m 4 c, Ta cã : A = x13 + x23 = (x1 + x2)3 - 3x1x2(x1 + x2) (*) Vì phơng trình (1) có nghiệm x1, x2 ∀ m, nÕu theo ViÐte: x1 + x2 = 2(m + 1) x1 x2 = m − thay vµo (*) Ta cã : A = [ 2(m + 1) ] − 3( m − 2)2(m + 1) = 8(m + 1)3 - 6(m2 - 2m + m - 2) = 8(m3 + 3m2 + 3m + 1) - 6m2 + 6m + 12 = 8m3 + 24m2 + 24m + - 6m2 + 6m + 12 = 8m3 + 18m2 + 30m + 20 = (8m3 + 16m2 + 28m + 20) + 2m2 + 2m = 4(2m3 + 4m2 + 7m + 5) + 2m (m + 1) Do 4(2m3 + 4m2 + 7m + 5) M4 víi ∀m ∈ z Vµ 2m (m + 1) lần tích số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho A M (đpcm) * Một số tập t ơng tự : Bài 1: Chứng minh phơng trình (x + 1) (x + 3) + m (x + 2) (x + 4) = lu«n lu«n cã nghiƯm sè thùc víi ∀ giá trị m 16 (1) Bài 2: Cho phơng trình : ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) Víi ∀ a, b, c ≠ Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét ba phơng trình phải có nghiệm Bài 3: Chøng minh r»ng : NÕu a + b ≥ hai phơng trình sau có nghiÖm: x2 + 2ax + b = (1) x2 + 2bx + a = (2) Bµi 4: Cho phơng trình : x2 - 4x - (m2 + 3m) = a, Chứng minh phơng trình luôn cã hai nghiƯm x1, x2 víi mäi m b, X¸c ®Þnh m ®Ĩ : x12 + x22 = 4(x1 + x2) c, Lập phơng trình bậc ẩn y có nghiƯm y1, y2 tho¶ m·n : y1 + y2 = x1 + x2 y1 y + =3 y2 y1 Bài 5: Cho phơng trình : 2x2 + (2m - 1)x + m - = a, Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với m b, Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm c, Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt x1, x2 tho¶ m·n : -1 < x1 < x2 < d, Trong trờng hợp phơng trình có nghiệm phân biệt x1, x2 hÃy lập hệ thức x1, x2 m Bài 6: Cho phơng trình : x2 - (k + 1)x + k = (1) a, Chứng minh phơng trình luôn có nghiƯm víi ∀ k b, Gäi x1, x2 lµ nghiệm (1) hÃy tìm k để A = x x22 + x12 x2 + 2007 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị 17 Bài 7: Cho phơng trình : x2 + ax + bc = x2 +bx + ac = (1) (2) (a, b, c đôi khác khác 0) Cho biết (1) (2) có nghiệm chung chứng minh hai nghiệm lại phơng trình (1) (2) nghiệm phơng trình x2 + cx + ab = Bài 8: Biết : Phơng tr×nh : x2 + ax + = cã nghiệm x1 = m (1) Phơng trình : x2 + bx + = cã nghiÖm x2 = m (2) Phơng trình : x2 + cx + = cã nghiÖm x3 = m.n (3) Chøng minh r»ng : (a2 + b2 + c2 + abc) chia hÕt cho Bài 9: Cho phơng trình : x2 + mx + n = (1) a, T×m m, n biết phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả m·n x1 - x2 = x13 - x23 = b, Cho biÕt n = m - T×m m, n để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài 10: Có hai phơng trình : x2 + mx + = (1) x + 2x + m = (2) a, Tìm m để hai phơng trình có nghiệm chung b, Tìm m để hai phơng trình tơng đơng c, Xác định m để phơng trình : (x2 + mx + 2) (x2 + 2x + m) = Cã nghiÖm phân biệt C - kết nghiên cứu: Chuyên đề : Phơng trình bậc hai, định lý Viéte đà trình bày trao đổi với nhóm toán trờng từ năm học 2004 2005 giảng dạy cho học sinh lớp hàng năm (sau em học xong chơng IV - Đại số 9) Sau thời gian gần năm học nhận thấy kết chuyên đề đà có hiệu đáng ghi nhận Các đồng chí nhóm toán rói đà đợc hiểu sâu thêm vấn đề đó, học sinh sau học xong giải đợc tập tơng tự tỏ rát thông thạo, tự tin 18 Với cách làm tơng tự với nhiều chuyên đề khác mà tổ toán đà trao đổi, học tập lẫn Chẳng hạn nh chuyên đề : Tỷ lệ thức, dạng tỷ số băng (ở lớp 7), đa thức phơng pháp chứng minh bất đẳng thức (lớp 8), tổng dÃy phân số viÕt theo quy lt (líp 6) Song song víi viƯc trang bị kiến thức cho giáo viên thờng xuyên dự (kể dự đột xuất) thấy kiến thức đồng chí nhóm toán ngày lên rõ rệt Thêm vào hàng năm thi học sinh giỏi Toán cấp huyện, cấp tỉnh trờng đà có nhiều em đạt giải gần có em giải huyện, giải khuyến khích tỉnh Toán với cách làm tơng tự môn văn hoá khác trình độ giáo viên đợc nâng lên hàng năm thi học sinh giỏi trờng xếp thứ hạng tốp đầu huyện D - triển vọng đề tài: Kết thu đợc đề tài đà đem lại cho giáo viên giảng dạy vững vàng kiến thức, đem lại cho học sinh cách phơng pháp t toán quan trọng tiếp thu lĩnh hội mảng kiến thức khác Chính triển vọng đề tài bổ ích có chiều sâu cho ngời dạy ngêi häc E - KÕ luËn : Chóng ta biết rõ : Dạy học môn Toán dạy cách t t sáng tạo Chuyên đề Phơng trình bậc hai, định lý Viéte mảng kiến thức nhỏ bé kho tàng kiến thức Toán học nói chung kiến thức môn Toán THCS nói riêng Tôi tin tởng thầy giáo, cô giáo luôn ý không ngừng nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ s phạm nhiệm vụ trồng ngời thành công Do khuôn khổ nội dung đề tài với lực cá nhân, xin đợc chia sẻ với bạn đồng nghiệp Nếu viết có sơ xuất mong đợc đóng góp bạn đồng nghiệp Xin trân thành cảm ơn ! Phúc Hoà, ngày 19 tháng năm 2007 Ngời viết sáng kiến 19 Giáp Thị Minh 20 ... phơng trình có nghiệm chung b, Tìm m để hai phơng trình tơng đơng c, Xác định m để phơng trình : (x2 + mx + 2) (x2 + 2x + m) = Cã nghiƯm ph©n biƯt C - kết nghiên cứu: Chuyên đề : Phơng trình bậc hai,. .. 2), (3) hai phơng trình lu«n cã nghiƯm m ≥ 0,víi∀ n (*) áp dụng định lý Viéte ta có : S1 = 2m + n   P = −3m vµ  S2 = m + 3n   P2 = 13 Để phơng trình (1) tơng đơng phơng trình (2) phải có... cấp, trang bị cho giáo viên giảng dạy môn Toán học sinh khá, giỏi lớp chuyên đề : Phơng trình bậc hai, định lý viéte để nâng cao trình độ kiến thức cho giáo viên bồi dỡng cho học sinh khá, giỏi trờng