PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN $1. MẶT PHẲNG =================== Dạng 1. Bài tập cơ bản Bài 1. Cho 3 điểm A(0;-1;1), B(1;0;0) và C(-1;2;0) 1) Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. 2) Tìm chu vi và diện tích ∆ABC 3) Tìm tọa độ trung điểm các cạnh và tọa độ trọng tâm ∆ABC Bài 2. Cho 3 điểm A(1;0;1), B(-1;-1,0) và C(2;1;1) 1) Chứng minh rằng 3 vectơ OCOBOA ,, không đồng phẳng 2) Tính thể tích hình chóp OABC. 3) Tìm trên mặt phẳng Oyz các điểm cách đều A, B, C. Dạng 2. Phương trình mặt phẳng Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn 1) đi qua điểm A(1;-1;3) và có véc tơ pháp tuyến (1;0;-3) 2) đi qua điểm B(2;0;1) và có cặp véc tơ chỉ phương là (1;-1;0), (-2;1;2) 3) đi qua các hình chiếu của M(1;-1;3) trên các trục tọa độ. Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1;-1;3) và thỏa mãn 1) vuông góc với trục tung 2) song song với mặt phẳng (Oxz) 3) song song với mặt phẳng (P): 2x + 3y – z + 3 = 0 4) vuông góc với các mặt phẳng (Q): x – y + 1 = 0 và (R): -4x + 2y + 4z – 1 = 0 5) chứa trục Ox 6) chắn ra trên các trục tọa độ các đoạn thẳng bằng nhau và khác 0. 7) vuông góc với (Q): 2x – y + z - 1 = 0 và song song với trục tung Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB, với A(3;5;-2), B(-1;1;4). Bài 4. Cho 4 điểm A(-1;2;0), B(1;0,3), C(0;0;5) và D(-2;3;1) 1) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện. 2) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). 3) Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện. 4) Tính thể tích của tứ diện. 5) Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD. 6) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với CD. Từ đó tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng CD. Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(2;-3;1), B(-1;0;2) và: 1) song song với trục hoành. 2) vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – y + 3z + 1 = 0. Bài 6. Cho ∆OAB đều trong mp(Oxy) có cạnh bằng a, đường thẳng AB // Oy, điểm A ∈ góc phần tư thứ nhất của mp(Oxy). Xét điểm S(0;0;a/3) 1) Xác định tọa độ các điểm A, B và trung điểm E của đoạn OA. Sau đó viết phương trình mặt phẳng (P) chứa SE và song song với Ox. 2) Tính khoảng cách từ O đến mp(P), từ đó suy ra khoảng cách từ Ox đến SE. 1 Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;4;3) và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Bài 8. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(-4;-9;12) và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(2;0;0), B, C sao cho OB = 1 + OC (B, C ≠ O) Dạng 3. Ph.trình chùm mặt phẳng Bài 1. Cho các mặt phẳng (P): x – 2y + z – 1 = 0 (Q): 3x + y + m.z + 2 = 0 (R): 2x + 2y – z = 0. 1) Tìm m để (P) ⊥ (Q). 2) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), đồng thời ⊥ (R), với m tìm được ở trên. Bài 2. Cho phương trình đường thẳng d:    =++ =−− 0323 012 zx yx và (P): 2x + 5y + 3z + 5 = 0 1) Chứng minh rằng d // (P). 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và // mp(P). Bài 3. Cho phương trình đường thẳng d 1 :    =++ =++ 033 03 zy yx và d 2 :      +−= = += tz ty tx 2 5 21 1) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d 1 và ⊥ d 2 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d 1 và // d 2 . Bài 4. Cho A(-1;0;2) và đường thẳng d: 2 2 21 1 − + == − zyx 1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng d 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và cách A một khoảng bằng 1. Bài 5. Cho phương trình đường thẳng d:    =− =−+− 02 0323 zx zyx và mp(P): 3x + 4y - 6 = 0. 1) Tìm góc tạo bởi đường thẳng d và mp(P). 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P). 3) Viết phương trình mặt phẳng đi qua đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) một góc 60 0 . 6.ĐHA’02. Cho các đường thẳng ∆ 1 :    =+−+ =−+− 0422 042 zyx zyx và ∆ 2 :      += += += tz ty tx 21 2 1 1) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng ∆ 1 và // đường thẳng ∆ 2 . 2) Cho điểm M(2;1;4). Tìm H ∈ ∆ 2 sao cho MH có độ dài nhỏ nhất. 7.ĐHD’05. Cho d 1 : 2 1 1 2 3 1 + = − + = − zyx và d 2 :    =−+ =−−+ 0123 02 yx zyx 1) Chứng minh rằng d 1 // d 2 . Viết phương trình mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng trên. 2) Mặt phẳng (xOz) cắt d 1 và d 2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích ∆OAB. 2 $2. ĐƯỜNG THẲNG =================== Dạng 1. Phương trình đường thẳng Bài 1. Viết phương trình đường thẳng biết rằng 1) đường thẳng đi qua A(-1;2;4) và song song với d: 2 1 2 3 3 + = − − = zyx 2) đường thẳng đi qua A(-1;2;4) và // với d:    =++ =−+− 0 012 zyx zyx 3) đường thẳng đi qua B(-2;1;1) và vuông góc (P): 2x – y + z – 3 = 0. Bài 2. Cho điểm M(0;3;1) và N(-3;2;-2). 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M, N. 2) Tìm điểm P trên đường thẳng MN sao cho đoạn PQ nhỏ nhất, trong đó Q(-1;1;-1). Bài 3. Cho điểm A(2;-3;1) và mặt phẳng (P): x – 3y + z = 0. 1) Tìm hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (P). 2) Tìm điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng (P). Bài 4. Cho điểm A(2;-3;1), mặt phẳng (P): x – 2y + 3z +2 = 0 và đường thẳng d: 2 5 11 2 − == − + zyx . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, //(P) và ⊥ d. Bài 5. Cho A(1;-3;-2), các mặt phẳng (P): x – 2y +3z +2 = 0 và (Q): 4x–3z = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và song song với (P), (Q). Bài 6. Cho điểm A(1;-2;3), đường thẳng d: 2 5 11 2 − == − + zyx , ∆:      = += −= tz ty tx 3 2 21 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, ⊥ với d và ⊥ ∆ . Bài 7. Cho điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mp(P): 3x – 8y + 7z – 1 = 0 1) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng đi qua A, B với mp(P). 2) Tìm tọa độ điểm C trên mp(P) sao cho ∆ABC là tam giác đều. Bài 8. Cho 3 điểm A(0;-1;1), B(3;1;0), C(-2;2;-1) 1) Tìm tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách đều A, B, C. 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua trọng tâm ∆ABC và ⊥ (ABC). Dạng 2.Điểm, đường thẳng,mặt phẳng Bài 1. Cho phương trình đường thẳng d: 3 1 12 3 − = − = − zyx và (P): x + y + z = 0 1) Xác định giao điểm A của d và (P) 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với d và nằm trong (P). Bài 2. Cho phương trình đường thẳng d 1 : 3 3 1 1 2 + = + = − zyx , d 2 :      +−= −= += tz ty tx 32 3 21 và mp(P): x – 2y + z – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mp(P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d 1 và d 2 . 3 Bài 3. Cho điểm A(1;-2;2) và phương trình đường thẳng d 1 :    =+++ =−+− 01 01 zyx zyx và d 2 : 11 1 3 1 zyx = − = − + 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, đồng thời cắt cả hai đường thẳng d 1 và d 2 . 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với d 1 và cắt đường thẳng d 2 . 3) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng d 1 và d 2 . 4) Tính góc tạo bởi d 1 và d 2 . Bài 4. Cho phương trình đường thẳng d: 3 3 1 1 2 + = + = − zyx và mp(P): x – 2y + z – 1 = 0. 1) Tìm giao điểm của d và mp(P). 2) Tìm góc tạo bởi d và mp(P). 3) Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu vuông góc của d lên mp(P). Bài 5. Cho phương trình đường thẳng d 1 :    =+−− =−− 05 0112 zyx yx và d 2 : 3 6 1 2 2 5 − = − = − zyx 1) Chứng minh rằng d 1 và d 2 cùng thuộc một mặt phẳng. 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa d 1 và d 2 . 3) Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu song song của d 1 lên mặt phẳng (P): 3x – 2y - 2z -1 = 0 theo phương d 2 . Bài 6. Cho điểm A(1;2;1), B(2;1;3) và mp(P): x – 3y + 2z – 6 = 0. 1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B đồng thời vuông góc với mp(P). 2) Tìm điểm H trên mp(P) sao cho khoảng cách AH ngắn nhất. 3) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mp(P). 4) Tìm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. 5) Tìm M trên mặt phẳng (P) sao cho MBMA + nhỏ nhất. Bài 7. Cho phương trình đường thẳng d:      = −= += tz ty tx 3 2 21 và (P): x – 2y + z – 1 = 0. 1) Tìm điểm M trên d sao cho khoảng cách từ nó đến (P) bằng 1. 2) Tìm điểm đối xứng của điểm I(2;- 1;3) qua đường thẳng d. 3) Tìm m để góc tạo bởi d và mp(Q): 2x – y + m.z – 1 = 0 bằng 45 0 . Bài 8. Cho tứ diện có bốn đỉnh là A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8) và gốc tọa độ O. 1) Chứng minh rằng SB ⊥ OA. 2) Chứng minh rằng hình chiếu của SB lên mp(OAB) là đường thẳng ⊥ OA. Gọi K là giao điểm của hình chiếu đó với OA. Xác định tọa độ K ? 3) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SO và AB. Tìm M trên đường thẳng SB sao cho đường thẳng PQ và KM cắt nhau. 4 9.ĐHD’02. Cho mp(P): 2x – y + 2 = 0 và d m :    =++++ =−+−++ 024)12( 01)1()12( mzmmx mymxm Xác định m để đường thẳng d m // mp(P). 10.ĐHB’03. Cho A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao cho AC =(0;6;0). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. 11.ĐHD’03. Cho (P): x – y – 2z + 5 = 0 và d m :    =++− =+−+ 01 023 zymx zmyx Xác định m để đường thẳng d m ⊥ (P). 12.ĐHB’04. Cho A(-4;-2;4) và d:      +−= −= +−= tz ty tx 41 1 23 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt và vuông góc với d. 13.ĐHA’05. Cho mp(P): 2x + y – 2z + 9 = 0 và đường thẳng d: 1 3 2 3 1 1 − = + = − − zyx 1) Tìm tọa độ điểm I trên d sao cho khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2. 2) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mp(P). Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mp(P), biết ∆ đi qua A và ⊥ d. Dạng 3. Hai đường thẳng Bài 1. Cho phương trình đường thẳng d 1 :    =+− =+− 0753 0954 zx yx và d 2 : 3 2 2 1 4 1 − = + = − zyx 1) Chứng minh rằng hai đường thẳng cắt nhau. 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó. Bài 2. Cho phương trình đường thẳng d 1 :      −= −−= +−= tz ty tx 2 23 31 và d 2 :    =−+ =−− 01225 0823 zx yx 1) Chứng minh rằng hai đường thẳng trên là chéo nhau. 2) Tính khoảng cách giữa chúng. 3) Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng. Bài 3. Cho phương trình đường thẳng d 1 :      = −= += tz ty tx 2 1 2 và d 2 :      = = −= tz y tx 3 22 1) Chứng minh rằng hai đường thẳng trên là chéo nhau. 2) Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng. 3) Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều d 1 và d 2 . 4.ĐHD’05. Cho các đường thẳng d 1 : 2 1 1 2 3 1 + = − + = − zyx và d 2 :    =−+ =−−+ 0123 02 yx zyx 1) cmr d 1 // d 2 . Viết phương trình mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng trên. 2) mp (xOz) cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích ∆OAB. 5 $3. MẶT CẦU ================ Dạng 1. Phương trình mặt cầu Bài 1. Cho điểm I(2;-1;3) và mặt phẳng (P): x – 3y + z + 2 = 0. 1) Viết phương trình mặt cầu có tâm là I và tiếp xúc với mp(P). 2) Xác định tọa độ tiếp điểm. Bài 2. Cho mp(P): 5x – 4y + z – 6 = 0 , mp(Q): 2x – y + z + 7 = 0 và đường thẳng d:    =++− =−+− 03 032 zyx zyx 1) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và mp(P). 2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I và (S) cắt mp(Q) theo thiết diện là hình tròn có diện tích 20π. Bài 3. Cho điểm I(1;-2;-1) và đường thẳng d: 2 2 31 1 + = − = − zyx Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I và (S) cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB = 4. Bài 4. Cho A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3) và D(-2;1;1) 1) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. 2) Chứng minh rằng tứ diện đó có các cặp cạnh đối vuông góc nhau. 3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bài 5. Cho mặt cầu có phương trình (S): x 2 + y 2 + z 2 – 2x – 4y – 4z = 0 1) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu. 2) Cọi A, B, C lần lượt là các giao điểm ( khác gốc tọa độ) của (S) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 3) Xác định tọa độ chân đường vuông góc hạ từ tâm mặt cầu xuống mp(ABC). Bài 6. ( Phương trình đường tròn trong không gian) Cho mp(P): x + z + 1 = 0 và mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 – 2x – 4y – 4z = 0 1) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu. 2) Viết phương trình đường tròn (C) là giao tuyến của (S) và mp(P). Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của (C). 7.ĐHD’04. Cho A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mp(P): x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm trên mp(P). Dạng 2. Bài toán tiếp xúc Bài 1. Cho phương trình mặt phẳng (P): (8 + m)x – (11+m)y + 2(4–m)z – 30 = 0 và (S): x 2 + y 2 + z 2 –2x–6y + 4z – 15 = 0 Tìm m để (P) tiếp xúc với (S). Bài 2. Cho (S): (x+1) 2 + y 2 + (z–2) 2 = 2 và d: m zyx 1 2 1 1 + = − − = , (m ≠ 0) Tìm m để d tiếp xúc với (S). 3.TN’05. Cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 d 1 : 111 1 − == − − zyx và d 2 :    =− =−+ 02 022 zx yx 1) Chứng minh rằng d 1 và d 2 chéo nhau. 2) Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó // với d 1 và d 2 . 4.TN’06. Cho A(1;0;-1), B(1;2;1), C(0;2;0). Gọi G là trọng tâm ∆ABC. 1) Viết phương trình đường thẳng OG. 2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC. 3) Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với OG và tiếp xúc với (S). 4) Viết pt mặt cầu đường kính OG. 6 $4. GIẢI TOÁN HHKG BẰNG CÁCH CHỌN HỆ TỌA ĐỘ ================ Bài 1. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a, OB = b, OC = c. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng mp(OMN) ⊥ mp(OMP) khi và chỉ khi 222 111 abc += . Bài 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’ = c. Từ A’ và B hạ các đường A’P và BQ vuông góc và cắt đường chéo AC’. Tính độ dài PQ theo a, b, c. Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD. Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới các mặt của tứ diện = hằng số k 2 cho trước. 4.ĐHA’02. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích ∆AMN, biết rằng mp(AMN) ⊥ mp(SBC). 5.ĐHB’02. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a. 1) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D. 2) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N. 6.ĐHD’02. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD ⊥ mp(ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD). 7.ĐHA’03. 1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo góc phẳng nhị diện [B,A’C,D]. 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc O, B(a;0;0), D(0;a;0), A’(0;0;b), a > 0, b > 0. Gọi M là trung điểm CC’. a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b. b) Tìm tỉ số a/b để (A’BD) ⊥ (MBD). 8.ĐHD’03. Cho hai mp(P) và mp(Q) vuông góc nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆. Trên ∆ lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mp(P) lấy điểm C, trong mp(Q) lấy điểm D sao cho AC và BD cùng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) theo a. 9.ĐHA’04. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, AC cắt BD tại O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 2 ). Gọi M là trung điểm SC. 1) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM 2) Gs mp(ABM) cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. 10.ĐHD’04. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60 0 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm AA’ và CC’. Chứng minh rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc 1 mp. Tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông. 11.ĐHD’04. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Biết A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B’(-a;0;b), a > 0, b > 0. 1) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’C. 2) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thỏa mãn a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’C là lớn nhất. 7 8 . gốc tọa độ) của (S) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 3) Xác định tọa độ chân đường vuông góc hạ từ tâm mặt cầu xuống mp(ABC). Bài 6. ( Phương trình đường tròn trong không. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN $1. MẶT PHẲNG =================== Dạng 1. Bài tập cơ bản Bài 1. Cho 3 điểm A(0;-1;1), B(1;0;0) và C(-1;2;0) 1). mp(P) sao cho ∆ABC là tam giác đều. Bài 8. Cho 3 điểm A(0;-1;1), B(3;1;0), C(-2;2;-1) 1) Tìm tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách đều A, B, C. 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua trọng