Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 01 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P1 Thầy Đặng Việt Hùng I TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN 1) Góc hai véc tơ  AB = u  Giả sử ta có   u; v = AB; AC = BAC , với 0o ≤ BAC ≤ 180o →  AC = v  2) Tích vơ hướng hai véc tơ  AB = u  Giả sử ta có   u.v = AB AC = AB AC cos AB AC →  AC = v  Nhận xét: u = +) Khi   u.v = → v =  ( ) ( ) ( ( ) +) Khi u ↑↓ v  ( u; v ) = 180 → ) +) Khi u ↑↑ v  u; v = 00 → +) Khi u ⊥ v ← u.v = → Ví dụ Cho tứ diện ABCD cạnh a ( ) a) Tính góc hai véc tơ AB; BC ( ) b) Gọi I trung điểm AB Tính góc hai véc tơ CI ; AC Hướng dẫn giải: a) Sử dụng cơng thức tính góc hai véc tơ ta AB BC AB BC AB BC cos AB; BC = = = , (1) AB.BC a2 AB BC ( ) ( ) Xét AB BC = AB BA + AC = AB.BA + AB AC ( ) AB.BA = AB.BA.cos AB.BA = a.a.cos1800 = −a Mà ( ) AB AC = AB AC.cos AB AC = a.a.cos 600 = a2 a2 a2 =− 2 a − → (1) ⇔ cos AB; BC = = −  AB; BC = 1200 a Vậy AB; BC = 120o  AB BC = −a + → ( ( ) ) ( ( ) b) Ta có cos CI ; AC = CI AC CI AC = ) CI AC CI AC Tứ diện ABCD cạnh a, CI trung tuyến tam giác ABC nên CI = ( ) ( ) a CI AC  cos CI ; AC = → , ( 2) a Ta có CI AC = CI AI + IC = CI AI + CI IC Do ∆ABC nên CI ⊥ AI ⇔ CI AI = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng ( Facebook: LyHung95 ) a a 3a 3a 3a cos1800 = −  CI AC = − → =− 2 4 3a −  CI ; AC = 1500 → Thay vào (2) ta ( ) ⇔ cos CI ; AC = = − a Vậy CI ; AC = 150 Đồng thời, CI IC = CI IC cos CI ; IC = ( ( ) ( ) ) Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đơi vng góc SA = SB = SC = a Gọi M trung điểm AB a) Biểu diễn véc tơ SM BC theo véc tơ SA; SB; SC ( ) b) Tính góc SM ; BC Hướng dẫn giải: a) Sử dụng quy tắc trung tuyến quy tắc trừ hai véc tơ ta    SA + SB = 2SM  SM = SA + SB  ←  →  BC = BS + SC  BC = SC − SB   ( ( ) b) cos SM ; BC = SM BC SM BC = ) SM BC , (1) SM BC  SA.SB =   Mà SA, SB, SC đơi vng góc nên  SA.SC =   SB.SC =  Tam giác SAB SBC vuông S nên theo định lý Pitago ta  BC = a  AB = BC = a   → a  SM = AB =  2  1 a2 Theo câu a, SM BC = SA + SB SC − SB =  SA.SC − SA.SB + SB.SC − SB.SB  = − SB = − 2 2 0  a2 − SM BC Thay vào (1) ta cos SM ; BC = = = −  SM ; BC = 1200 → SM BC a 2 a 2 ( )( ( ) ) ( ) II GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1) Khái niệm véc tơ phương đường thẳng Một véc tơ u ≠ mà có phương song song trùng với d gọi véc tơ phương đường thẳng d 2) Góc hai đường thẳng Khái niệm: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a′; b′ song song với a; b Kí hiệu ( a;b ) a// a ′ Từ định nghĩa ta có sơ đồ   ( a;b ) = ( a ′;b′ ) →  b// b′ Nhận xét: ( ) + Giả sử a, b có véc tơ phương tương ứng u; v u; v = φ Khi đó, ( a; b ) = φ ; 0o ≤ φ ≤ 90o ( a; b ) = 180o − φ ; 90o < φ ≤ 180o + Nếu a // b a ≡ b ( a; b ) = 0o Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Toán Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Các xác định góc hai đường thẳng: Phương án (sử dụng định nghĩa) a ′// a Tạo đường   ( a, b ) = ( a ′, b′ ) →  b′// b Phương án - Lấy điểm O thuộc a - Qua O, dựng đường ∆ // b  ( a, b ) = ( a, ∆ ) → Chú ý: Các phương pháp tính tốn góc hai đường thẳng: Nếu góc thuộc tam giác vng dùng cơng thức tính tốn tam giác vng: sin, cosin, tan, cot Nếu góc thuộc tam giác thường sử dụng định lý hàm số cosin tam giác ABC: a = b + c − 2bc cos A  cos A = → b2 + c − a 2bc Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAB, SAD, SAC tam giác vuông A Biết SA = a 3; AB = a; AD = 3a Tính góc đường thẳng sau: a) SD BC b) SB CD c) SC BD Hướng dẫn giải: a) Tính góc SD BC Để xác định góc hai đường thẳng SD BC ta sử dụng phương án 2, tìm đường thẳng song song với hai đường thẳng SD, BC song song với đường lại Ta dễ nhận thấy AD // BC SDA Khi ( SD; BC ) = ( SD; AD ) =  180o − SDA  Xét ∆SAD: tan SDA = SA =  SDA = 30o → AD Vậy ( SD; BC ) = 30o b) Tính góc SB CD SBA Tương tự, CD//AB  ( SB;CD ) = ( SB;AB ) =  → 180o − SBA  SA Xét ∆SAB: tanSBA = =  SDA = 60o → AB Vậy ( SB;CD ) = 60o c) Tính góc SC BD Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD, I trung điểm SA  IOB Trong ∆SAC có OI // SC  ( SC; BD ) = ( OI; BD ) =  → 180o − IOB  a 3 a Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI: IB = IA + AB =    +a =    2 ABCD hình chữ nhật nên BD = AB2 + AD = a + 9a = a 10  OB = → a 10 = OA 2  a   a 10  a 13 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO: IO = IA + AO =    +  =        2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 13a 10a 7a + − OI + OB − IB 4 = Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được: cos IOB = = 2.OI.OB a 13 a 10 130 2    IOB = arccos  →  = ( SC;BD )  130  2   Vậy ( SC;BD ) = arccos    130  Ví dụ Cho tứ diện ABCD, gọi M, N trung điểm BC, AD Biết AB = CD = 2a , MN = a Tính góc hai đường thẳng AB CD Hướng dẫn giải: Do AB CD cạnh tứ diện nên chúng chéo nhau, để xác định góc hai đường thẳng AB CD ta tạo đường thẳng tương ứng song song với AB, CD chúng cắt Gọi P trung điểm AC, MP // AB, NP // CD  MPN  ( AB,CD ) = ( MP, NP ) =  → 180o − MPN  Do MP, NP đường trung bình nên ta có MP = NP = a Áp dụng định lý hàm số cosin ∆MPN ta MP + NP − MN 2a − 3a cos MPN = = =− 2MP.NP 2.a.a  MPN = 120o ⇔ ( MP, NP ) = 60o → Vậy ( AB,CD ) = 60o Nhận xét: Ngoài việc khởi tạo P ta lấy điểm P trung điểm BD, cách giải tương tự Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A D, AD = DC = a, AB = 2a SA vng góc với 3a AB AD, SA = Tính góc đường thẳng a) DC SB b) SD BC Hướng dẫn giải: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 a) Do DC // AB  ( DC,SB ) = ( AB,SB ) = α → 2a SA = =  α = 30o → Tam giác SAB vuông A nên α góc nhọn, tan α = AB 2a Vậy góc hai đường thẳng DC SB 30o b) Gọi I trung điểm AB, AI = a Tứ giác ADCI hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên hình thoi Lại có góc A, D vng nên ADCI hình vng cạnh a  DI = a → mặt khác, tứ giác BIDC hình bình hành (do cặp cạnh DC BI song song nhau) nên BC // DI Khi đó, ( SD, BC ) = ( SD, DI ) = β  2a  7a 2 Tam giác SAI vuông A nên SI = SA + AI =   +a =     2 2  2a  7a 2 Tam giác SAD vuông A nên SD = SA + AD =   +a =     2 Áp dụng định lý hàm số cosin tam giác SDI ta cosSDI = SD + DI − SI2 = 2SD.DI 2a = a 21 42 .a   Do cosSDI > nên góc SDI góc nhọn  β = SDI = arccos  →   42  BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Cho tứ diện ABCD cạnh a, gọi I trung điểm cạnh AD Tính góc hai đường thẳng AB CI  3 Đ/s: ( AB; CI ) = arccos       Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P trung điểm BC, AD AC Biết AB = 2a, CD = 2a 2, MN = a Tính góc hai đường thẳng AB CD ( ) Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a BC = a Tính góc SC , AB , từ suy góc SC AB III HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Hai đường thẳng a, b gọi vng góc với ( a; b ) = 90o ← a ⊥ b → Chú ý: Các phương pháp chứng minh a ⊥ b: Chứng minh ( a; b ) = 90o Chứng minh hai véc tơ phương hai đường thẳng vng góc với nhau, u.v = Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, Ví dụ Cho tứ diện ABCD AB = AC = AD = a, BAC = 60o , BAD = 60o , CAD = 90o Gọi I J trung điểm AB CD a) Chứng minh IJ vng góc với hai đường AB CD b) Tính độ dài IJ Hướng dẫn giải: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy tam giác ABC, ABD đều, ∆ACD vuông cân A Từ BC = BD = a,CD = a →∆BCD vuông cân B Chứng minh IJ vng góc với AB Do ∆ACD, ∆BCD vng cân A, B nên  AJ = CD   AJ = BJ ⇔ IJ ⊥ AB →  BJ = CD   Chứng minh IJ vng góc với CD Do ∆ACD, ∆BCD nên CI = DI → IJ ⊥CD b) Áp dụng định lý Pitago cho ∆AIJ vuông I ta  a  a2 a IJ = AJ − AI =    − =2    Vậy IJ = a/2 2 Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC ASB = BSC = CSA Chứng minh SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB Hướng dẫn giải: Chứng minh: SA ⊥ BC Xét SA.BC = SA SC − SB = SA.SC − SA.SB ( ) ( ) SA.SB = SA.SB.cos( SA;SB )  SA.SC = SA.SB ⇔ SA.SC − SA.SB = ← SA.BC = ⇔ SA ⊥ BC → → SA.SC = SA.SC.cos SA;SC Mà SA = SB = SC ASB = BSC = CSA Chứng minh tương tự ta SB ⊥ AC, SC ⊥ AB Ví dụ Cho tứ diện ABCD, cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD a) Chứng minh AO vng góc với CD b) Gọi M trung điểm CD Tính góc BC AM AC BM Hướng dẫn giải: a) Sử dụng phương pháp dùng tích vơ hướng Gọi M trung điểm CD Ta có ( ) AO.CD = AM + MO CD = AM.CD + MO.CD Do ABCD tứ diện nên AM ⊥ CD O tâm đáy (hay O giao điểm ba đường cao) Khi  AM ⊥ CD AM.CD = ⇔  AO.CD = ⇔ AO ⊥ CD →  MO ⊥ CD MO.CD =  b) Xác định góc BC AM; AC BM Xác định góc BC AM: Gọi I trung điểm BD → MI // BC  AMI Từ ( BC;AM ) = ( MI; AM ) =  180 − AMI  Áp dụng định lý hàm số cosin ∆AMI ta AM + MI − AI2 cos AMI = , (1) 2.AM.MI Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Các ∆ABD, ∆ACD đều, có cạnh a nên AI = AM = Facebook: LyHung95 a MI đường trung bình nên MI = a/2 2 a 3a 3a + − 4 =  AMI = arccos   ⇔ ( BC; AM ) = arccos   Từ (1) ⇔ cos AMI = →     a a 3 2 3 2 3 2 Xác định góc BC AM: Gọi J trung điểm AD → MJ // AC  BMJ Khi ( AC;BM ) = ( MJ; BM ) =  180 − BMJ  a Các tam giác ABD, BCD tam giác cạnh a, nên trung tuyến tương ứng BJ = BM =   → Do đó, ∆AIM = ∆BJM  AMI = BMJ = arccos   2 3   Vậy ( AC;BM ) = arccos   2 3 Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a Đặt AB = a, AD = b, AA′ = c a) Tính góc đường thẳng: ( AB,B′C′ ); ( AC,B′C′ ); ( A′C′,B′C ) b) Gọi O tâm hình vuông ABCD I điểm cho OI = OA + OA′ + OB + OB′ + + OC + OC′ + OD + OD′ Tính khoảng cách từ O đến I theo a c) Phân tích hai véc tơ AC′, BD theo ba véc tơ a, b, c Từ đó, chứng tỏ AC′ BD vng góc với ′ d) Trên cạnh DC BB′ lấy hai điểm tương ứng M, N cho DM = BN = x (với < x < a) ′ Chứng minh AC′ vng góc với MN ′ Hướng dẫn giải: Nhận xét: Để làm tốt tốn liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ số tính chất hình lập phương: Tất đường chéo mặt hình lập phương a (nếu hình lập phương cạnh a) Các đoạn thẳng tạo kích thước hình lập phương ln vng góc với (dài, rộng, cao) a) Tính góc giữa: ( AB,B′C′ ); ( AC,B′C′ ); ( A′C′,B′C ) Tính ( AB, B′C′ ) : Do B′C′//BC  ( AB, B′C′ ) = ( AB, BC ) = 90o → Tính ( AC, B′C′ ) :  ACB Do B′C′//BC  ( AC, B′C′ ) = ( AC,BC ) =  → 180o − ACB  ABCD hình vng nên ∆ABC tam giác vuông cân B  ACB = 45o ⇔ ( AC, B′C′ ) = 45o → Tính ( A′C′, B′C ) :  ACB′ Do A′C′//AC  ( A′C′, B′C ) = ( AC, B′C ) =  → 180o − ACB′  Xét tam giác ACB′ có AC = B′C = AB′ (do đường chéo mặt hình vng hình lập phương) Do ∆ACB′  ACB′ = 60o ⇔ ( A′C′, B′C ) = 60o → Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 b) Tính độ dài OI theo a OA + OC =  Với O tâm hình vng ABCD   OA + OC + OB + OD = → OB + OD =  Khi OI = OA′ + OB′ + OC′ + OD′ OA′ + OC′ = 2OO′  Gọi O′ tâm đáy A′B′C′D′, theo quy tắc trung tuyến ta có   OI = 4OO′ → OB′ + OD′ = 2OO′  Khoảng cách từ O đến I độ dài véc tơ OI, từ ta OI = 4OO′ = 4a c) Phân tích hai véc tơ AC′, BD theo ba véc tơ a, b, c a.b =   Theo tính chất hình lập phương ta dễ dàng có a.c =  b.c =  AC′ = AB + BC + CC′ = a + b + c Phân tích: BD = BA + AD = b − a Chứng minh AC′ vng góc với BD ( )( ) 2 2 Xét AC′.BD = a + b + c b − a = a.b + b + c.b − a − a.b − c.a = b − a = AD2 − AB2 = ⇔ AC′.BD ⇔ AC′ ⊥ BD 0 0 d) Chứng minh AC′ vng góc với MN MN = MC + CB + BN Ta có phân tích: AC′ = AB + BC + CC′      MN.AC′ = MC + CB + BN AB + BC + CC′ =  MC.AB + MC.BC + MC.CC′  +  CB.AB + CB.BC + CB.CC′  + → 0       +  BN.AB + BN.BC + BN.CC′  = MC.AB + CB.BC + BN.CC′   ( )( ) MC.AB = MC.AB.cos0o = ( a − x ) a Mà CB.BC = CB.BC.cos180o = −a  MN.AC′ = ( a − x ) a − a + ax = ⇔ MN ⊥ AC′ → BN.CC′ = BN.CC′.cos0o = ax BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật với AB = a; AD = a , SA = 2a vng góc với đáy Tính góc đường thẳng sau: a) SB CD b) SD BC c) SB AC d) SC BD Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, hình chiếu vng góc S xuống mặt đáy trung điểm H AB, biết SH = a Gọi I trung điểm SD Tính góc đường thẳng: a) SC AB b) SD BC c) CI AB d) BD CI Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A, B với AB = 3a, AD = 2a, DC = a Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng (ABCD) H thuộc AB với AH = 2HB, biết SH = 2a Tính góc a) SB CD b) SB AC Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Toán Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, hình chiếu vng góc đỉnh S xuống (ABCD) điểm H thuộc cạnh AB với AH = HB Biết AB = 2a; AD = a 3; SH = a Tính góc a) (SD; BC) b) (SB; CD) c) (SA; HC) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 01 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P2 Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B Biết SA vng góc với (ABCD), AB = BC = a; AD = 2a, SA = a Tính góc a) (SB; CD) b) (SC; AB) c) (SD; BC) d) (SB; CK), với K điểm thuộc đoạn AB cho BK = 2KA Ví dụ 2.1 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông ABC B, AB = a; BC = 2a I trung điểm BC, hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm AI Biết S SAI = a 2 Tính góc a) (SA; BC) b) (AI; SB) BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, SA vng góc với đáy Biết SA = a; AB = a; BC = a Gọi I trung điểm BC a) Tính góc hai đường thẳng (AI; SC) b) Gọi J trung điểm SB, N điểm đoạn AB cho AN = 2NB Tính góc hai đường AC JN Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a; AD = a Hình chiếu vng góc đỉnh S xuống (ABCD) trung điểm H OD, biết SH = 2a Tính góc a) (SB; CD) b) (AC; SD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc đỉnh S xuống (ABCD) điểm H thuộc cạnh AB với AH = AB; SH = a Tính góc a) (SD; BC) b) (SB; AC) c) (SA; BD) d) (SC; BD) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tìm m để đường thẳng y = 2x cắt đồ thị hàm số cho điểm phân biệt, có hai điểm có hồnh độ dương Bài 5: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 – 3x – 2, có đồ thị (C) Gọi A điểm thuộc đồ thị có hồnh độ xA = 0, (d) đường thẳng qua A có hệ số góc k a) Xác định k để d cắt (C) điểm phân biệt b) Xác định k để d (C) cắt ba điểm phân biệt có hai điểm có hồnh độ nhỏ Bài 6: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + mx2 – x – m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt hoành độ giao điểm lập thành cấp số cộng Bài 7: [ĐVH] Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 – 1, có đồ thị (C) Gọi (dk) đường thẳng qua A(0; –1) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) a) điểm phân biệt b) điểm phân biệt, hai điểm có hồnh độ dương Bài 8: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 – (2m + 1)x2 – 9x Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 04 TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA – P3 Thầy Đặng Việt Hùng DẠNG CÁC BÀI TỐN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ Loại 2: Các toán tọa độ giao điểm Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = −2 x3 + x + đường thẳng d : y = mx + Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C cho B trung điểm đoạn thẳng AC Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − x + Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B, C cho x A = BC = 2 Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + 2mx + 3(m − 1) x + có đồ thị (Cm) (với m tham số) Cho đường thẳng d : y = − x + điểm K(3; 1) Tìm giá trị m để (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 2), B, C cho tam giác KBC có diện tích 2 Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số y = (2 − m) x3 − 6mx + 9(2 − m) x − có đồ thị (Cm) Tìm m để đường thẳng d : y = −2 cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; −2) , B C cho diện tích tam giác OBC BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 5x + x + (1) Gọi ∆ đường thẳng qua A(−1; 0) có hệ số góc k Tìm k để ∆ cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A, B, C cho tam giác OBC có trọng tâm G(2; 2) (với O gốc toạ độ) Bài 2: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 6mx + có đồ thị (C) Tìm giá trị m để đường thẳng d : y = − x + cắt đồ thị (C) điểm A(0; 1), B, C phân biệt cho B, C đối xứng qua đường phân giác thứ Bài 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C) Gọi dk đường thẳng qua điểm A(−1; 0) với hệ số góc k Tìm k để dk cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A, B, C giao điểm B, C với gốc toạ độ O tạo thành tam giác có diện tích Bài 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x − x − 3x + 3 Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hồnh cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB cân O (O gốc toạ độ) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bài 5: [ĐVH] Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C) Viết phương trình đường thẳng d qua A(1; 0) cắt (C) ba điểm A, B, C phân biệt cho diện tích tam giác OBC Bài 6: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − x + x Tìm m để đường thẳng y = mx cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt O(0; 0), A, B Chứng tỏ m thay đổi, trung điểm I đoạn thẳng AB nằm đường thẳng song song với Oy Bài 7: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + 2mx + 3(m − 1) x + có đồ thị Cm Cho điểm M(3; 1) đường thẳng d: x + y – = Tìm giá trị m để đường thẳng (d) cắt đồ thị điểm A(0; 2); B, C cho tam giác MBC có diện tích Bài 8: [ĐVH] Cho hàm số : y = x − x + 3x − 3 Tìm m để đường thẳng ∆ : y = mx − cắt (C) ba điểm phân biệt A , B , C cho A cố định diện tích tam giác OBC gấp hai lần diện tích tam giác OAB Bài 9: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + 3mx + m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox hai điểm phân biệt Bài 10: [ĐVH] Cho hàm số y = − x3 + x − x + 3m đường thẳng d : y = Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d điểm Bài 11: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + mx − 2m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox ba điểm phân biệt Bài 12: [ĐVH] Cho hàm số y = − x3 + mx + m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ dương Bài 13: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + (2 − m) x + mx − Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 ; x3 thỏa mãn 2 a) x12 + x2 + x3 ≤ b) A, B, C giao điểm (A cố định) BC = 10 Bài 14: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + (m + 2) x + 2mx − 3m + Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox ba điểm phân biệt A, B, C (với A cố định) cho BC = Bài 15: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − (m + 2) x + 2mx + 3m + Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox ba điểm phân biệt A, B, C (với A cố định) cho a) AC = 3AB, (với A nằm B, C) b) BC = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 05 TƯƠNG GIAO HÀM PHÂN THỨC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng ax + b  ( C ) : y = cx + d Xét tương giao hàm phân thức bậc  ( d ) : y = mx + n  ax + b = mx + n ⇔ Ax + Bx + C = ⇔ g ( x) = 0, (1) cx + d Trong g(x) = phương trình bậc hai d Số giao điểm hai đồ thị số nghiệm x ≠ − phương trình (1) c Ta có phương trình hồnh độ giao điểm DẠNG BÀI TỐN TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ Ví dụ: [ĐVH] Cho hàm số y = x+3 đường thẳng d : y = − x + m 2x −1 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt DẠNG BÀI TỐN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ Loại : Các toán hồnh độ giao điểm Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = 2x + đường thẳng d : y = − mx + x −1 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt có hồnh độ dương Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y = −3 x + đường thẳng d : y = x + m x −1 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x+2 đường thẳng d : y = 3mx + x −1 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác đồ thị Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x −3 x +1 Viết phươn trình đường d qua I (−1;1) cho d cắt (C) M, N I trung điểm MN Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hàm số y = 2mx + đường thẳng d : y = x − Tìm m để đồ thị cắt đường thẳng x+m hai điểm phân biệt A, B có hoành độ thoả mãn x12 − x1 = x2 Đ/s : m = 4; m = −5 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Cho hàm số y = − mx + đường thẳng d : y = (m + 1) x + x+3 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt có hồnh độ âm Bài 2: [ĐVH] Cho hai đồ thị hàm số ( d ) : y = −2 x + m, ( C ) : y = x+2 Tìm giá trị tham số m để 2x −1 a) hai đồ thị không cắt b) hai đồ thị cắt điểm phân biệt thuộc nhánh đồ thị Bài 3: [ĐVH] Cho hai đồ thị hàm số ( C ) : y = 3x + ; ( d ) : y = x + 2m Tìm giá trị tham số m để x−4 a) hai đồ thị không cắt b) hai đồ thị cắt điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Bài 4: [ĐVH] Cho hai đồ thị hàm số ( C ) : y = 4x −1 ; ( d ) : y = − x + m Tìm giá trị tham số m để hai đồ 2− x thị hàm số cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn x12 + x2 = 37 Bài 5: [ĐVH] Cho hàm số y = x −1 đường thẳng d : y = − x + m 2x Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho ABmin Bài 6: [ĐVH] Cho hàm số y = 2x − đường thẳng d : y = x + m x +1 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB = Bài 7: [ĐVH] Cho hàm số y = x+2 đường thẳng d : y = x + m 2x − Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho OA2 + OB = 37 , với O gốc tọa độ Bài 8: [ĐVH] Cho hàm số y = 2x −1 đường thẳng d : y = x + m x −1 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O, với O gốc tọa độ Bài 9: [ĐVH] (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2010) Cho hàm số y = 2x +1 đường thẳng d : y = −2 x + m x +1 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho S∆OAB = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 05 TƯƠNG GIAO HÀM PHÂN THỨC – P2 Thầy Đặng Việt Hùng ax + b  ( C ) : y = cx + d Xét tương giao hàm phân thức bậc  ( d ) : y = mx + n  ax + b = mx + n ⇔ Ax + Bx + C = ⇔ g ( x) = 0, (1) cx + d Trong g(x) = phương trình bậc hai d Số giao điểm hai đồ thị số nghiệm x ≠ − phương trình (1) c Ta có phương trình hồnh độ giao điểm DẠNG BÀI TỐN TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ DẠNG BÀI TỐN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ Loại : Các tốn hồnh độ giao điểm Loại : Các toán tọa độ giao điểm Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = 2x + Tìm giá trị tham số k cho đường thẳng x +1 d : y = kx + 2k + cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B cho khoảng cách từ A B đến trục hồnh 2x −1 (C) x −1 Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho ∆OAB vng O 2x +1 Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x −1 Tìm giá trị m cho đường thẳng (d): y = x + m cắt (C) điểm phân biệt M, N cho diện tích tam giác IMN (I tâm đối xứng (C)) −x + m Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số y = có đồ thị (Cm) (m tham số) x+2 Tìm giá trị m để đường thẳng d : x + y − = cắt (Cm) hai điểm A B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) 3x + Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hàm số y = (C) Đường thẳng y = x cắt (C) hai điểm A, B Tìm m để x+2 đường thẳng d : y = x + m cắt (C) hai điểm C, D cho ABCD hình bình hành x +3 Ví dụ 6: [ĐVH] Cho hàm số y = Tìm m để đường thẳng d : y = x + 3m cắt (C) hai điểm phân biệt x+2 Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y = A, B cho OA.OB = −4 với O gốc toạ độ BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Cho hàm số y = 2x Tìm m để đường thẳng d : y = mx − m + cắt (C) hai điểm phân biệt x −1 A, B cho độ dài AB ngắn Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x −1 (1).Tìm giá trị tham số m cho đường thẳng (d): y = x + x+m Bài 2: [ĐVH] Cho hàm số y = cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A B cho AB = 2 Bài 3: [ĐVH] Cho hàm số y = 2x −1 (1).Tìm giá trị tham số m cho đường thẳng (d): y = x + m x+2 cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A B cho AB = 2 2x +1 Tìm giá trị m cho đường thẳng (d): y = x + m cắt (C) x −1 Bài 4: [ĐVH] Cho hàm số y = điểm phân biệt M, N cho diện tích tam giác IMN (với I tâm đối xứng (C)) Bài 5: [ĐVH] Cho hàm số y = 2x +1 có đồ thị (C) Tìm giá trị m để đường thẳng ∆ : y = −3 x + m cắt x −1 (C) A B cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng d : x − y − = (với O gốc tọa độ) Bài 6: [ĐVH] Cho hàm số y = 2x +1 có đồ thị (C) điểm A( −2;5) Viết phương trình đường thẳng (d) x −1 cắt (C) điểm phân biệt B, C cho tam giác ABC Bài 7: [ĐVH] Gọi (d) đường thẳng qua A(1;0) có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt đồ thị y = x+2 x −1 điểm phân biệt B, C thuộc nhánh khác đồ thị AB = 2AC Bài 8: [ĐVH] Cho hàm số y = 2x − m ( C ) Chứng minh với m ≠ đồ thị hàm số (C) cắt (d) : mx + y = x − 2m điểm phân biệt A,B Đường thẳng (d) cắt trục Ox, Oy M,N Tìm m để SOAB = 3SOMN Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 05 TƯƠNG GIAO HÀM PHÂN THỨC – P3 Thầy Đặng Việt Hùng 2x −1 Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O cắt (C) hai x −1 điểm phân biệt A, B cho O trung điểm AB Bài 1: [ĐVH] Cho hs y = Bài 2: [ĐVH] Cho hàm số y = x Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt x −1 A B cho tam giác OAB có bán kính đường trịn ngoại tiếp 2 x có đồ thị (C) Tìm giá trị m để đường thẳng y = −x + m cắt x −1 Bài 3: [ĐVH] Cho hàm số y = đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B cho góc hai đường thẳng OA OB 600 (với O gốc tọa độ) Bài 4: [ĐVH] Cho hàm số y = 2x + có đồ thị (C) Xác định m để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị (C) x−2 hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (với O gốc tọa độ) Bài 5: [ĐVH] Cho hàm số y = 3x + có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d : y = − x + m + cắt (C) hai x+2 điểm phân biệt A, B cho góc AOB tù x +1 Gọi (d) đường thẳng qua M(2; 0) có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt x−2 Bài 6: [ĐVH] Cho hàm số y = (C) hai điểm phân biệt A, B cho MA = −2MB Bài 7: [ĐVH] Cho hàm số y = x +1 , (C ) đường thẳng d : y = x + m Tìm m để d cắt (C) hai điểm −2( x − 1) phân biệt A, B cho khoảng cách từ A đên Ox khoảng cách từ B đến Oy 2x đường thẳng d : y = x + m Tìm m để d cắt (C) hai điểm phân x −1 biệt A, B cho trung điểm AB nằm Oy Bài 8: [ĐVH] Cho hàm số y = 3x + đường thẳng d : y = ax + 2b − Tìm a, b để d cắt (C) hai điểm x+2 phân biệt A, B cho A, B đối xứng qua gốc tọa độ O Bài 9: [ĐVH] Cho hàm số y = Bài 10: [ĐVH] Cho hàm số y = x−2 2 4 đường thẳng d qua A  ;  Viết d cho d cắt (C) hai x −1 3 3 điểm phân biệt M, N AN = 2AM Bài 11: [ĐVH] Cho hàm số y = x đường thẳng d : y = − x + m Tìm m để d cắt (C) hai điểm phân x −1 biệt A, B cho bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB 73  3 với I  3;   2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Bài 12: [ĐVH] Cho hàm số y = Facebook: LyHung95 x đường thẳng d : y = − x + m Tìm m để d cắt (C) hai điểm phân x −1  3 biệt A, B cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB tiếp xúc với đường thẳng ∆ : y = x + 10 , với I  3;   2 Bài 13: [ĐVH] Cho hàm số y = x  3 , điểm I  3;  đường thẳng d : y = − x + m Tìm m để d cắt (C) x −1  2 hai điểm phân biệt A, B cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB tiếp xúc với 11   (T ) : ( x + 1)2 +  y −  = 2  x + 16 , điểm A ( −6;5) đường thẳng d : y = x − Lập phương trình x+4 đường thẳng ∆ qua A, cắt (C) B cắt d C cho AB.AC = 48 Bài 14: [ĐVH] Cho hàm số y = Bài 15: [ĐVH] Cho hàm số y = x −1 (C ) điểm P, Q thuộc đường thẳng d: y = x + Viết phương trình x+2 đường thẳng ∆ cắt (C) điểm phân biệt M, N cho MNPQ hình chữ nhật có đường chéo Bài 16: [ĐVH] Cho hàm số y = x −3 , (C ) ∆ : y = x + m Tìm m để ∆ cắt (C) điểm phân biệt A, B x−2 Điểm M thuộc nhánh bên trái (C) Tìm m cho tam giác MAB cân M có AMB = 1200 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Luyện thi Đại học mơn Tốn 2014 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN ĐẶC SẮC (Thầy Đặng Việt Hùng) Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 2a; AD = a 3, hình chiếu vng góc đỉnh A ' xuống mặt phẳng (ABCD) trọng tâm H tam giác ACD Biết góc dường thẳng BC’ mặt phẳng (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ khoảng cách hai đường thẳng AC A ' D theo a Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh 3a , BAD = 60o Hình chiếu S lên đáy ( ABCD ) trọng tâm H ∆ABD SH = a Tính thể tích khối chóp khoảng cách AB SE biết E trung điểm CD Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SO ⊥ ( ABCD ) Gọi E,F trung điểm SC AD Góc EF mặt phẳng ( ABCD ) 60o Tính góc EF mặt phẳng ( SBD ) biết cạnh đáy a Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có mặt bên hình vng cạnh a Gọi D,E,F trung điểm cạnh BC, A’C’, C’B’.Tính khoảng cách cặp đường thẳng sau: a) DE AB’ b) A’B B’C’ Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD, biết tam giác ABC vng A có AB = a, AC = a Ngoài ra, DA = DB = DC tam giác DBC vng Tính thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách hai đường thẳng AM CD, với M trung điểm BC Lời giải: +) Thể tích Vì DA = DB = DC MA = MB = MC (do ∆ ABC vuông A, D M trung điểm BC) suy D, M thuộc trục ∆ ABC Do DM ⊥ (ABC).Tính BC = 2a ∆DBC vng cân D nên DM = BC = a a3 Thể tích tứ diện ABCD:V = DM S(∆ABC) = +) d(AM; CD) Gọi N trung điểm BD Chứng minh CD // (AMN) Do d(CD; AM) = d(CD; (AMN)) = d(C; (AMN)) Xét tứ diện ACMN Thể tích tứ diện 1 V(ACMN) = d(C;(ANM)).S(∆AMN) = d(N; (ACM)).S(∆ACM) 3 d ( N ;( ACM )).S( ∆ACM ) Suy d(C; (AMN)) = (1) S( ∆AMN ) N K A B H M C Gọi H trung điểm BM Khi đó, NH // DM suy NH ⊥ (ACM) nên 1 (2) NH = d(N; (ACM)) = DM = a 2 Học trực tuyến: www.moon.vn Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95 Luyện thi Đại học mơn Tốn 2014 – MoonTV S(∆ACM) = a2 S(∆ABC) = Áp dụng công thức trung tuyến: AN2 = Thầy Đặng Việt Hùng (3) 1 (AB2 + AD2 – DB2) = a2 Suy AN = a 2 BC = a nên ∆ AMN cân A Gọi K trung điểm MN AK ⊥ MN CD a a 14 = Từ tam giác vng AKM, tính AK = Ta có MN = 2 a2 (4) Suy S(∆AMN) = AK.MN = a 21 Từ (1), (2), (3), (4) suy d(C; (AMN)) hay d(CD; AM) = Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính Lại có AM = AD = 2a, SA ⊥ (ABCD), SA = a , H hình chiếu vng góc A SB Tìm thể tích khối chóp H.SCD tính khoảng cách hai đường thẳng AD SC Lời giải: SH SA2 SA2 6a = = = = Trong tam giác vuông SAB có SA = SH SB ⇒ SB SB SA2 + AB 7a 6 6 VHSDC = VB.SCD = VS.BCD = SA.S BCD = a 6.S BCD 7 7 S A H K E D C B K hình chiếu B AD ta có: BK.AD = AB.BD suy 9a3 AB.BD a a2 , suy ra: VHSDC = = ⇒ SBCD = BK.BC = AD 2 14 Do AD//(SBC) nên d( AD,SC ) = d( AD ,( SBC )) = d( A,( SBC ) ) BK = Dựng hình bình hành ADBE Do AB ⊥ BD nên AB ⊥ DE 1 1 1 1 1 Đặt d ( A,( SBC ) ) = h ta có = + + = 2+ + = 2+ 2+ = 2 2 h SA AB AE SA AB BD 6a a 3a 6a a Suy d ( AD , SC ) = h = Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC tam giác SBC cân Biết BC = a, AC = AB = 2a, góc tạo hai mặt phẳng (ABC) (SBC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA, BC theo a Lời giải: Học trực tuyến: www.moon.vn Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95 Luyện thi Đại học mơn Tốn 2014 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng a2 VABC A' B'C ' = S∆ABC CC '; S∆ABC = CA.CB = 2 (ABC ') ∩ (ABC) = AB Từ giả thiết có Kẻ CH ⊥ AB = H ⇒ AB ⊥ (CC 'H) ⇒ 600 = ((ABC '), (ABC)) = (CH, HC ') = CHC ' Xét tam giác vng ABC có CH chiều cao nên CH = CA + CB2 = 3a + a2 = 3a ⇒ CH = 3a a 3a a 3 tam giác vuông CHC’ có CC ' = HC tan 60 = ⇒ VABC.A'B'C' = = 2 Gọi N trung điểm AC AM//C’N nên AM//(BC’N); d AM,BC' = d AM,(BC' N) = d a , Xét ( N trung điểm AC nên d ) ( ) ( A,(BC N) ) ' ( A,(BC N) ) = d( C,(BC N) ) , kẻ CK vng góc với BC’ ' ' ⇒ BC ' ⊥ (NCK) (vì AC ⊥ BC ⇒ AC ⊥ (BCC ' B') ⇒ (CNK) ⊥ (BNC ') = NK ) Kẻ CI vng góc với NK I, d C,(BC' N) = CI ( Ta có CI = CN + CK = CN + ) CB + CC ' == a + 3a + 9a = 43 9a ⇒d ( C,(BC N) ) ' = 3a 43 Ví dụ 8: Cho hình lăng trụ ABC A / B / C / có cạnh bên a, góc cạnh bên mặt đáy 60 Hình chiếu vng góc B / lên (ABC) trung điểm H AB Tam giác ABC có BC = 2a, góc ACB 30 Tính thể tích lăng trụ ABC A / B / C / khoảng cách B / H BC Lời giải: / Từ giả thiết suy B H chiều cao lăng trụ a Góc cạnh bên mặt đáy góc B ' BH = 600 ⇒ BH = ⇒ AB = a AB BC Áp dụng định lý hàm sin tam giác ABC, ta có = ⇒ sin A = ⇒ A = 90 sin C sin A Vậy tam giác ABC vng A, ta tính AC = a a2 a AB AC = ; Đường cao hình chóp B / H = 2 a Suy thể tích khối lăng trụ ABC A / B / C / V ABC A/ B / C / = B / H S ABC = Diện tích đáy S ABC = Ví dụ 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC A' B 'C ' có tam giác ABC vng C M trung điểm A 'C' ( ) Biết AC = a , BC = a ; mặt phẳng ABC' hợp với mặt phẳng ( ABC ) góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A' B 'C ' khoảng cách AM BC ' theo a Lời giải: Học trực tuyến: www.moon.vn Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95 Luyện thi Đại học môn Toán 2014 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng A' M C' B' N A C H B a2 VABC A' B'C ' = S∆ABC CC '; S∆ABC = CA.CB = 2 (ABC ') ∩ (ABC) = AB Từ giả thiết có Kẻ CH ⊥ AB = H ⇒ AB ⊥ (CC ' H ) ⇒ 600 = (( ABC '), ( ABC )) = (CH , HC ') = CHC ' Xét tam giác vuông ABC có CH chiều cao nên CH = CA + CB2 = 3a + a2 = 3a ⇒ CH = a 3a a 3a a 3 Xét tam giác vng CHC’ có CC ' = HC tan 60 = ⇒ VABC.A'B'C' = = ( đvtt) 2 Gọi N trung điểm AC AM//C’N nên AM // (BC’N) d AM,BC' = d AM,(BC' N) = d A,(BC' N) N trung điểm AC nên d A,(BC' N) = d C,(BC' N) ( ) ( d = ( + ) + ( = + + = 43 ) ( ) 3a CN CB CC ' a 3a 9a 9a ( ) 43 ( đvdd) ( C , BC ' N ) HI vng góc với BC ( I trung điểm BK), HI đoạn vng góc chung B/H BC a Khoảng cách cần tính HI = Ta có ) ⇒ d C ,( BC ' N ) = Ví dụ 10: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, BC = 2a, ABC = 600 , hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC góc AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp A’.ABC khoảng cách từ G đến mặt phẳng (A’BC) Lời giải: ' ' Từ A G ⊥ ( ABC ) ⇒ AG hình chiếu AA lên (ABC ) Gọi M trung điểm BC Từ giả thiết ta có: 2a 2a BC = 2a, AG = AI = ; A ' AG = 600 ⇒ A ' G = AG.tan600 = 3 2 2 Vì AC = AB + BC − AB.BC cos 60 = 3a ⇒ AC = a Mặt khác AB + AC = a + 3a = 4a = BC ⇒ ∆ABC vuông A Và A ' G ⊥ ( ABC ) nên A ' G chiều cao khối chóp A ' ABC Thể tích khối chóp A ' ABC tính bởi: 1 1 2a a VA/ ABC = S ABC A ' G = AB AC A ' G = a.a = (đvtt) 3 3 Kẻ AK ⊥ BC K GI ⊥ BC I ⇒ GI // AK GI MG 1 AB AC a.a a ⇒ = = ⇒ GI = AK = = = Kẻ GH ⊥ A’I H (1) AK MA 3 BC 2a Học trực tuyến: www.moon.vn Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95 Luyện thi Đại học mơn Tốn 2014 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng A' BC ⊥ GI  Do:  ⇒ BC ⊥ GH (2) BC ⊥ A ' G  Từ (1) (2) ⇒ GH ⊥ (A’BC) ⇒ d [G , ( A ' BC )] = GH Ta có ∆A ' GI vng G có GH đường cao nên : d [G , ( A ' BC )] = GH C' B' N A H C 2a a G M A ' G.GI = 2a = 2a 51 I = = K 51 51 12a 3a A ' G + GI B + 36 Ví dụ 11: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có cạnh đáy a Gọi M, N, I lầnlượt trung điểm đoạn thẳng AA’, AB, BC Biết góc hai mặt phẳng (C’AI) và(ABC) 600 Tính theo a thể tích khối chóp NAC’I khoảng cách hai đường thẳng MN, AC’ Lời giải: A' C' CC ' ⊥ ( ABC ), CI ⊥ AI ⇒ C ' I ⊥ AI ⇒ goc C ' IC = 600 B' ⇒ CC ' = CI tan 600 = a O M VN AC ' I = VC ' ANI C A I N B 1 a3 = VC ' ABC = CC '.S ABC = 12 32  MO / / AC   MO = AC    NI / / AC  suy NI / / MO , NI = MO  NI = AC   suy MOIN hình bình hành ⇒ MN / / OI ⇒ MN / /( AC ' I ) ⇒ d ( MN , AC ') = d ( MN ,( AC ' I )) = d ( N ,( AC ' I )) = h a2 S AIC 3V a a2 a VN AC ' I = , S AIC ' = = = ⇒ h = N AC ' I = 32 cos 60 S AIC ' Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Gọi M trung điểm AD, H giao điểm AC BM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD nằm mặt đáy Tính thể tích khối chóp cho khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCM) theo a Lời giải: Ta dễ dàng tính a a a 10 ⇒ OH = ⇒ SH = 10 + OA = OS = +V= 2a + Ta dễ dàng chứng minh HM ⊥ HC ⇒ HM = Học trực tuyến: www.moon.vn a ⇒ d ( H ; SCM ) = Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95 Luyện thi Đại học mơn Tốn 2014 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O AB = 4a, hình chiếu vng góc đỉnh S lên (ABCD) trùng với trung điểm I đoạn thẳng OA Biết khoảng cách từ I đến (SAB) SI Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Lời giải: K D I H B Trong (ABCD) từ điểm I kẻ IH song song BC với H thuộc AB Do BC ⊥ AB => IH ⊥ AB Mà SI ⊥ (ABCD) => SI ⊥ AB Hay AB ⊥ (SHI) Từ I mặt phẳng (SHI) kẻ IK ⊥ SH K ⇒ IK = d ( I ; ( SAB) ) = SI (1) IH AI BC Ta có = = => IH = =a BC AC Mà 1 + = (2) (Do tam giác SIH vuông I đường cao IK) 2 IS IH IK 1 − = => SI = IH = a SI SI IH 1 16a Suy ra, thể tích khối chóp S.ABCD V = SI S ABCD = SI AB = (đvtt) 3 Từ (1) (2) => Học trực tuyến: www.moon.vn Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95 ... Facebook: LyHung95 a) Từ giả thi? ??t ta dễ dàng suy tam giác ABC, ABD đều, ∆ACD vng cân A Từ BC = BD = a,CD = a →∆BCD vuông cân B Chứng minh IJ vng góc với AB Do ∆ACD, ∆BCD vuông cân A, B nên  AJ... đó, ( SD, BC ) = ( SD, DI ) = β  2a  7a 2 Tam giác SAI vuông A nên SI = SA + AI =   +a =     2 2  2a  7a 2 Tam giác SAD vuông A nên SD = SA + AD =   +a =     2 Áp dụng định lý... giác vuông ABI: IB = IA + AB =    +a =    2 ABCD hình chữ nhật nên BD = AB2 + AD = a + 9a = a 10  OB = → a 10 = OA 2  a   a 10  a 13 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO: