Ch Ch ương ương 2 2 : BI : BI Ế Ế N Đ N Đ Ổ Ổ I I Z V Z V À À Ứ Ứ NG D NG D Ụ Ụ NG V NG V À À O O H H Ệ Ệ TH TH Ố Ố NG LTI R NG LTI R Ờ Ờ I R I R Ạ Ạ C C 2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC 2.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA • Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**) • Ký hiệu: x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)} X(z) x(n) hay x(n) = Z -1 {X(z)} 2.1 BI 2.1 BI Ế Ế N N Đ Đ Ổ Ổ I I Z Z 2.1.1 2.1.1 Đ Đ Ị Ị NH NGH NH NGH Ĩ Ĩ A BI A BI Ế Ế N Đ N Đ Ổ Ổ I I Z: Z:      0n n znxzX )()(  Z   1 Z  Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía • Biến đổi Z của dãy x(n): Biến đổi Z 1 phía dãy x(n): (*) (**) Trong đó Z – biến số phức      n n znxzX )()( • Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence) là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho X(z) hội tụ. 5.1.2 MI 5.1.2 MI Ề Ề N H N H Ộ Ộ I T I T Ụ Ụ C C Ủ Ủ A BI A BI Ế Ế N Đ N Đ Ổ Ổ I Z (ROC) I Z (ROC)     )2()1()0()( 0 xxxnx n 1)(lim 1   n n nx 0 0 Im(Z) Re(z) R x+ R x- ROC • Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng tiêu chuẩn Cauchy • Tiêu chuẩn Cauchy: Một chuỗi có dạng: hội tụ nếu: V V í í d d ụ ụ 5.1.1 5.1.1 : : Tìm biến đổi Z & ROC của: Gi Gi ả ả i: i:   n n az      0 1 1 1 1 )(    az zX azaz n n n          1lim 1 1      n n znxzX )()(        n nn znua )(      0 . n nn za )()( nuanx n  0 ROC ROC Im(z) Re(z) /a/ Theo tiêu chuẩn Cauchy, X(z) sẽ hội tụ: Nếu: Vậy: a az zX     Z:ROC; 1 1 )( 1 )1()(  nuanx n   m m za      1 1 az  1lim 1 1          n n n za      n n znxzX )()(        n nn znua )1(      1 . n nn za   1 0 1      m m za   1)( 0 1      n m zazX 1 1 1    az 0 ROC ROC Im(z) Re(z) /a/ V V í í d d ụ ụ 5.1.1 5.1.1 : : Tìm biến đổi Z & ROC của: Gi Gi ả ả i: i: Theo tiêu chuẩn Cauchy, X(z) sẽ hội tụ: Nếu: 5.2 C 5.2 C Á Á C T C T Í Í NH CH NH CH Ấ Ấ T BI T BI Ế Ế N Đ N Đ Ổ Ổ I Z I Z a) Tuyến tính RROC : )()( 222  zXnx Z RROC : )()( 111  zXnx Z )()()()( 22112211 zXazXanxanxa Z  )1()()(  nubnuanx nn ba  Gi Gi ả ả i: i: • Nếu: • Thì: V V í í d d ụ ụ 5.2.1 5.2.1 : : Tìm biến đổi Z & ROC của: với ROC chứa R 1  R 2 Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: 1 1 1 )(    az nua Z n 1 1 1 )1(    bz nub Z n bzR  : 2  Z nn nubnua )1()( 11 1 1 1 1     bz az 0 ROC ROC Im(z) Re(z) /a/ 0 ROC ROC Im(z) Re(z) /b/ azR  : 1 bzaRRR     : 21 0 ROC ROC Im(z) Re(z) /b/ /a/ Theo v Theo v í í d d ụ ụ 5.1.1 v 5.1.1 v à à 5.1.2, ta c 5.1.2, ta c ó ó : : b) Dịch theo thời gian a az nua Z n     z:ROC; 1 1 )( 1 )1()(  nuanx n )1()(  nuanx n )1(. 1   nuaa n az az az Z      : 1 1 1 RROC : )()(  zXnx Z R'ROC : )()( 0 0   zXZnnx n Z R R R'     trừ giá trị z=0, khi n 0 >0 trừ giá trị z=∞, khi n 0 <0 V V í í d d ụ ụ 5.2.2 5.2.2 : : Tìm biến đổi Z & ROC của: Nếu: Thì: Với: Gi Gi ả ả i: i: Theo ví dụ 5.1.1: Vậy: c) Nhân với hàm mũ a n )()( 1 nuanx n  aR' az azXnuanxa Z nn      z:; 1 1 1 1 )()()( RROC : )()(  zXnx Z RROC : )()( 1 azaXnxa Z n   )()( 2 nunx  1 )()()()(      znuzXnunx n Z Gi Gi ả ả i: i: Nếu: Thì: V V í í d d ụ ụ 5.2.3 5.2.3 : : X X é é t t biến đổi Z & ROC của: và 1:; 1 1 1     zR z d) Đạo hàm X(z) theo z )()( nunang n  a az zXnuanx Z n     z:ROC; 1 1 )()()( 1 RROC : )()(  zXnx Z RROC : )(  dz dX(z) znxn Z dz zdX zzGnnxng Z )( )()()(  az az az      : )1( 21 1 Gi Gi ả ả i: i: Theo ví dụ 5.1.1: Nếu: Thì: V V í í d d ụ ụ 5.2.4 5.2.4 : : T T ì ì m m biến đổi Z & ROC của: [...]... 1 r 2 z3  5 z 2  4 z ROC : z  2 Ví dụ: 5.3.6: Tìm x(n) biết: X ( z )  2 ( z  2) ( z  1) Giải: K1 K2 K3 X ( z) 2 z2  5z  4     2 2 ( z  1) z ( z  2) ( z  1) ( z  2) ( z  2) Với các hệ số được tính bởi: 1 d ( 2 1)  X ( z ) d  2z 2  5z  4  2   1 K1  ( z  2)   ( 2 1)  ( 2  1)! dz  z  Z 2 dz  ( z  1)  Z 2 1 d ( 2 2 )  X ( z ) 2 z 2  5z  4  2 K2  ( z  2) 2 ... -> ∞) x1(n)*x2(n) X1(z)X2(z) Chứa R1  R2 R’ R R Chứa R1  R2 BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG x(n) X(z) ROC (n) 1 z u(n) 1 1 1 z /z/ >1 1 1  az 1 /z/ > /a/ az 1 (1  az 1 ) 2 /z/ > /a/ -u(-n-1) an u(n) -an u(-n-1) nan u(n) -nan u(-n-1) /z/ 1 sin(on)u(n) /z/ >1 (z-1sino)/( 1 -2 z-1coso+z -2 ) 2. 3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 2. 3.1 CÔNG...  n  2 Suy ra: x(n)  {1 , -2 , 4 , -2 ,3}  1 : z 2 Ví dụ: 5.3.3: Tìm x(n) biết: X ( z )  1 1  2z Giải: Do ROC của X(z) là /z/ >2, nên x(n) sẽ là dãy nhân quả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:  X ( z )   an z n  a0  a1 z 1  a2 z 2   n 0 (*) Để có dạng (*), thực hiện phép chia đa thức dưới đây: 1 1 - 2z -1 1  2 z 1 1  2 z 1  22 z 2   2 z 1  2 z 1 - 2 2 z -2 2 -2 2 z ... (1  2 z ) Z-1 1 1 4 1   ; ROC : 0,5  z  2 1 1 3 (1  0.5 z ) 3 (1  2 z ) 1 4 n n y (n)  x(n) * h(n)   (0.5) u (n)  2 u ( n  1) 3 3 TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z x(n) a1x1(n)+a2x2(n) x(n-n0) an x(n) nx(n) X(z) a1X1(z)+a2X2(z) Z-n0 X(z) X(a-1z) -z dX(z)/dz R x(-n) x*(n) X(z -1 ) X*(z*) 1/R R x1(n)x2(n) 1 z X 1 (v ) X 2  v 1 dv 2 j C v R1  R2 x(n) nhân quả x(0)=lim X(z -> ∞)... z ) 2 z 2  5z  4  2 K2  ( z  2) 2   ( 2 2 )  ( z  1) Z  2 (2  2) ! dz  z  Z 2 X ( z) 2 z 2  5z  4 1 K3  ( z  1)  2 ( z  2) z Z 1 Z 1 Vậy X(z)/z có biểu thức là: X ( z) 1 2 1    2 z ( z  2) ( z  2) ( z  1) 1 2 z 1 1  X ( z)    (1  2 z 1 ) (1  2 z 1 ) 2 (1  z 1 )  x ( n)  2 n u (n)  n 2 n u (n)  u (n) ROC : z  2 c) Xét X(z)/z có cặp điểm cực Zc1 và Z*c1 phức...  2) z ( z  2) z m Re(z) 0 C Zc1 =2 đơn, Zc2=0 bội m     1 1 1  ( z  2)   m Với: Zc1 =2 Res  m m  ( z  2) z  Z 2  ( z  2) z  Z 2 2 Với: Zc2=0 bội m:   1 1 d m1  1 m Res   z  m m 1  m  ( z  2) z  Z 0 (m  1)! dz  ( z  2) z  Z 0 1  (m  1)!( 1) m1  1     m m (m  1)!  ( 2) 2  Vậy, với n . D Ụ Ụ NG NG (z -1 sin o )/( 1 -2 z -1 cos o +z -2 ) /z/ >1 sin( o n)u(n) /z/ >1 (1-z -1 cos o )/( 1 -2 z -1 cos o +z -2 )cos( o n)u(n) /z/ < /a/-na n u(-n-1) /z/ > /a/na n u(n) /z/ < /a/-a n. R 1  R 2 X 1 (z)X 2 (z)x 1 (n)*x 2 (n) x(0)=lim X(z -& gt;∞)x(n) nhân quả R 1  R 2 x 1 (n)x 2 (n) RX*(z*)x*(n) 1/RX(z -1 )x(-n) R-z dX(z)/dznx(n) RX(a -1 z)a n x(n) R’Z -n0 X(z)x(n-n 0 ) Chứa. đơn Z c1 =2 Thặng dư tại Z c1 =2: 2 )2( Res         Z n z z 2 )2( )2(           Z n z z z n 2  • n<0: n n zz zzX     )2( 1 )( 1 Z c1 =2 đơn, Z c2 =0 bội m m zz )2( 1   Với: