§ SỐ THỰC VÀ CĂN BẬC HAI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : a+b ≥ ab bc ca ab + + ≥a+b+c a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết : a + b > a − b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 2 12 Tìm số a, b, c, d biết : a + b + c + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x − 4x + 17 So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính) : a) + 15 b) c) 23 − 19 27 17 + + d) 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn 45 nhỏ 19 Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − 1998 Hãy so sánh S 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương a số vơ tỉ 21 Cho S = 23 Cho số x y dấu Chứng minh : x y + ≥2 y x  x y2   x y  b)  + ÷−  + ÷ ≥ x  y x y a)  x y4   x y2   x y  c)  + ÷−  + ÷+  + ÷ ≥ x  y x  y x y 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 1+ b) m + với m, n số hữu tỉ, n ≠ n 25 Có hai số vô tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? 26 Cho số x y khác Chứng minh : x y x y2 + + ≥  + ÷ y x y x x y2 z x y z 27 Cho số x, y, z dương Chứng minh : + + ≥ + + y z x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh : [ x ] + [ y ] ≤ [ x + y ] x − 6x + 17 x y z 33 Tìm giá trị nhỏ : A = + + với x, y, z > y z x 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vô tỉ không : a số vô tỉ b a b) a + b số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b a) ab c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b c d + + + ≥2 b+c c+d d+a a+b 39 Chứng minh [ 2x ] [ x ] [ x ] + 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 § HẰNG ĐẲNG THỨC A2 = A 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x − B= x + 4x − C= x − 2x − D= 1− x2 − E= x+ G = 3x − − 5x − + x + x + 42 a) Chứng minh : | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M = x + 4x + + x − 6x + c) Giải phương trình : 4x + 20x + 25 + x − 8x + 16 = x + 18x + 81 43 Giải phương trình : 2x − 8x − x − 4x − = 12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : + −2x x A = x2 + x + E= B= G= 2x + + x 45 Giải phương trình : 1 − 3x C = − − 9x x + x−2 x −4 D= x − 5x + H = x − 2x − + − x 2 x − 3x =0 x −3 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x + x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B = − x + x +1 b) − 13 + n+1 − n (n số nguyên dương) 48 So sánh : a) a = + b= c) n + − n + −1 49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A = − − 6x + 9x + (3x − 1) 4−2 50 Tính : a) 11 + b) d) A = m + 8m + 16 + m − 8m + 16 51 Rút gọn biểu thức : M = c) 27 − 10 e) B = n + n − + n − n − (n ≥ 1) 41 45 + 41 + 45 − 41 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x − y) + (y − 2) + (x + y + z) = 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 25x − 20x + + 25x − 30x + 54 Giải phương trình sau : a) x − x − − x − = b) x − + = x d) x − x − 2x + = c) x − x + x + x − = e) x + 4x + + x − = h) x − 2x + + x − 6x + = g) x − + x − = −5 i) x + + − x = x − 25 k) x + − x − + x + − x − = l) 8x + + 3x − = 7x + + 2x − x + y2 ≥2 55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x−y 56 Rút gọn biểu thức : a) 13 + 30 + + b) m + m − + m − m − c) + + + + + + − + + 57 Chứng minh 2+ = 58 Rút gọn biểu thức : a) C = 6+2 ( ) d) 227 − 30 + 123 + 22 + 2 + 3+ − 6−2 ( 6− 3+ ) b) D = 9−6 − 59 So sánh : a) + 20 1+ b) 17 + 12 60 Cho biểu thức : A = x − x − 4x + a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A +1 c) 28 − 16 − 11 − 10 61 Rút gọn biểu thức sau : a) c) b) − 14 + 11 + − + + + − + 10 62 Cho a + b + c = ; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức : 63 Giải bất phương trình : 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c x − 16x + 60 < x − 64 Tìm x cho : x − + ≤ x 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A = 67 Cho biểu thức : A = x + x − 2x x − x − 2x − b) B = x − 2x − x − x − 2x x + x − 2x 16 − x + x − 8x + 2x + a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y – | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = § LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG n + n + n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 71 Trong hai số : 72 Cho biểu thức A = + + − Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : ( + + 5)( + − 5)( − + 5)( − + + 5) 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : 3+ ; − ; 2 +3 75 Hãy so sánh hai số : a = 3 − b=2 − ; 76 So sánh + +1 + − − − số 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ 77 Rút gọn biểu thức : Q = 78 Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x − y + y − x = 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A = − x + + x 81 Tìm giá trị lớn : M = ( a+ b ) với a, b > a + b ≤ 82 CMR số 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N = + + + 18 84 Cho x + y + z = xy + yz + zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n 86 Chứng minh : ( a+ b ) ≥ 2(a + b) ab (a, b ≥ 0) 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác § LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG (x + 2) − 8x x− x a +2 ≥ Khi có đẳng thức ? 89 Chứng minh với số thực a, ta có : a2 +1 ab − b a 88 Rút gọn : a) A = − b b B= b) 90 Tính : A = + + − hai cách +5 6,9 b) 2+ 2− + 92 Tính : P = + 2+ − 2− 91 So sánh : a) 13 − 12 7− x + + 2x − + x − − 2x − = 2 1.3.5 (2n − 1) < 94 Chứng minh ta ln có : Pn = ; ∀n ∈ Z+ 2.4.6 2n 2n + 93 Giải phương trình : a2 b2 a+ b≤ + b a 95 Chứng minh a, b > 96 Rút gọn biểu thức : A= x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1)   1 − ÷  x −1 x − 4(x − 1) a b +b a : =a−b (a, b > ; a ≠ b) ab a− b  14 −  a + a  a − a  15 −  b)  + = −2 c) 1 + ÷: ÷1 − ÷ = − a (a > 0) 1−  − a +  a −1   1−  97 Chứng minh đẳng thức sau : a) 98 Tính : a)  c)   − − 29 − 20 ; b) + − 13 + 48  28 − 16 ÷ + 48  99 So sánh : a) + 15 b) + 15 12 + 16 c) 18 + 19 d) 25 + 48 − 100 Cho đẳng thức : a + a2 − b a − a − b (a, b > a2 – b > 0) a± b = ± 2 Áp dụng kết để rút gọn : a) c) 2+ + 2+ 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 101 Xác định giá trị biểu thức sau : + 2− − 2− ; b) 3−2 17 − 12 − 3+ 2 17 + 12 a) A = b) B = xy − x − y − với x = xy + x − y − a + bx + a − bx a + bx − a − bx với x = 102 Cho biểu thức P(x) = 1 1 1 1  a + ÷, y =  b + ÷ 2 a 2 b (a > ; b > 1) 2am , m < b ( + m2 ) 2x − x − 3x − 4x + a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < 103 Cho biểu thức A= x+2−4 x−2 + x+2+4 x−2 4 − +1 x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số ngun 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a) − x b) x − x (x > 0) e) − − 3x c) + − x g) 2x − 2x + 105 Rút gọn biểu thức : A = h) − − x + 2x + + 10 + + − 10 + ( a + b ± a − b = a ± a2 − b 108 Rút gọn biểu thức : A = 109 Tìm x y cho : 2x − x + + 48 − 10 + c) 107 Chứng minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥ a) i) x + 2x − − x − 2x − , ba cách ? 106 Rút gọn biểu thức sau : a) b) d) x − − ) 94 − 42 − 94 + 42 b a + a2 − b a − a2 − b a± b = ± 2 b) x + 2x − + x − 2x − x+y−2 = x + y − ( a + c) + ( b + d) 110 Chứng minh bất đẳng thức : a + b2 + c2 + d ≥ 111 Cho a, b, c > Chứng minh : a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a+b 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a + + b + + c + < 3,5 113 CM : (a + c2 ) ( b2 + c2 ) + b) (a a+b + b+c + c+a ≤ + d ) ( b + d ) ≥ (a + b)(c + d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A = x + x 115 Tìm giá trị nhỏ : A = (x + a)(x + b) x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 117 Tìm giá trị lớn A = x + − x 118 Giải phương trình : x − − 5x − = 3x − 119 Giải phương trình : x + x −1 + x − x −1 = 120 Giải phương trình : 3x + 21x + 18 + x + 7x + = 121 Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x 3− 122 Chứng minh số sau số vô tỉ : 2+ ; 123 Chứng minh x − + − x ≤ 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a + b b + c ≥ b(a + c) với a, b, c > 125 Chứng minh (a + b)(c + d) ≥ ac + bd với a, b, c, d > 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác (a + b) a + b 127 Chứng minh + ≥ a b + b a với a, b ≥ a b c 128 Chứng minh + + > với a, b, c > b+c a+c a+b 129 Cho x − y + y − x = Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A = x − x −1 + x + x −1 131 Tìm GTNN, GTLN A = − x + + x 132 Tìm giá trị nhỏ A = x + + x − 2x + 133 Tìm giá trị nhỏ A = − x + 4x + 12 − − x + 2x + 134 Tìm GTNN, GTLN : a) A = 2x + − x ( b) A = x 99 + 101 − x 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn ) a b + = (a b số dương) x y 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = xy yz zx + + với x, y, z > , x + y + z = z x y x2 y2 z2 + + 138 Tìm GTNN A = biết x, y, z > , xy + yz + zx = x+y y+z z+x 137 Tìm GTNN A = 139 Tìm giá trị lớn : a) A = b) B = ( a+ b ) ( + a+ c ) ( + ( a+ b a+ d ) với a, b > , a + b ≤ ) ( + b+ c ) ( + b+ d ) ( + c+ d ) với a, b, c, d > a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = b c + với b + c ≥ a + d ; b, c > ; a, d ≥ c+d a+b 141 Tìm GTNN A = 142 Giải phương trình sau : a) x − 5x − 3x + 12 = d) x − − x + = b) x − 4x = x − e) x − x − − x − = h) x + − x − + x + − x − = k) − x − x = x − m) x + = x − x − o) x − + x + + c) 4x + − 3x + = g) x + 2x − + x − 2x − = i) x + x + − x = l) 2x + 8x + + x − = 2x + n) x + + x + 10 = x + + x + ( x − 1) ( x − 3x + ) = − 2x p) 2x + + x + + 2x + − x + = + x + q) 2x − 9x + + 2x − = 2x + 21x − 11 § BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI ( 143 Rút gọn biểu thức : A = 2 − + )( 144 Chứng minh rằng, ∀n ∈ Z+ , ta ln có : + 145 Trục thức mẫu : a) 146 Tính : a) − − 29 − 20 ( 147 Cho a = − + 148 Cho b = 1+ + 3− 2 17 − 12 − )( ( c) ( − x) − − 29 − 12 c) ) 17 + 12 ) −1 x − x + − = 5−x + x −3 ) 10 − Chứng minh a số tự nhiên 3+ 2 − x + ( x − 3) x − ( 1 + + + > n +1 −1 n b) x + x +1 b) + − 13 + 48 b có phải số tự nhiên khơng ? 149 Giải phương trình sau : a) ) 18 − 20 + 2 b) =2 150 Tính giá trị biểu thức : M = ( ) −1 x = ( ) +1 x − 3 d) x + x − = 12 − 29 + 25 + 21 − 12 + 29 − 25 − 21 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ n −1 + n 1 1 − + − + 152 Cho biểu thức : P = 2− 3− 4− 2n − 2n + 151 Rút gọn : A = a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ khơng ? 1 1 + + + + +1 + + 100 99 + 99 100 1 + + + > n 154 Chứng minh : + n 155 Cho a = 17 − Hãy tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000 156 Chứng minh : a − a − < a − − a − (a ≥ 3) 157 Chứng minh : x − x + > (x ≥ 0) 158 Tìm giá trị lớn S = x − + y − , biết x + y = 153 Tính : A = 159 Tính giá trị biểu thức sau với a = + 2a − 2a : A= + + + 2a − − 2a 160 Chứng minh đẳng thức sau : ( ) ( 10 − ) − 15 = ( + ) ( 10 − ) = d) a) + 15 c) − b) + = + 48 = 2 ( 27 + > 48 b) ( +1 ) + e) 17 − + = − 161 Chứng minh bất đẳng thức sau : a) ) 5+ 5− + − 10 < 5− 5+   +1 −  c)  + + ÷ 0, − 1,01 > ÷ −  + + + −   + −1 2− 3 3  d) + + + 3− >  ÷− 2+ 6 2− 2+  2 +2 e) h) ( 3+ −1 + 5+ −2 ) − ( − > 1,9 g) ) 3+ 5+ − i) + + 2− < 0,8 < n − n − Từ suy ra: n 1 2004 < + + + + < 2005 1006009 2+ 3+ b) 163 Trục thức mẫu : a) 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ + 3+ 3− y= 164 Cho x = Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2 3− 3+ 2002 2003 + > 2002 + 2003 165 Chứng minh bất đẳng thức sau : 2003 2002 x − 3xy + y 166 Tính giá trị biểu thức : A = với x = + y = − x+y+2 6x − = + x − x2 167 Giải phương trình : x − 1− x b) 10x − 14 ≥ c) + 2 + 2x ≥ 168 Giải bất pt : a) 3 + 5x ≥ 72 162 Chứng minh : n + − n < 169 Rút gọn biểu thức sau : a) A = − − 29 − 12 c) C = b) B = − a + a(a − 1) + a x + + x2 − a −1 a x + 5x + + x − x d) D = 2x − + x − 3x − x + (x + 2) − x 1 1 E= − + − − 1− 2− 3− 24 − 25 170 Tìm GTNN GTLN biểu thức A = − − x2 + 171 Tìm giá trị nhỏ A = với < x < 1− x x y−2 x −1 172 Tìm GTLN : a) A = x − + y − biết x + y = ; b) B = + x y 173 Cho a = 1997 − 1996 ; b = 1998 − 1997 So sánh a với b, số lớn ? 174 Tìm GTNN, GTLN : a) A = 5+2 6−x 175 Tìm giá trị lớn A = x − x 176 Tìm giá trị lớn A = | x – y | biết x2 + 4y2 = b) B = − x + 2x + 177 Tìm GTNN, GTLN A = x3 + y3 biết x, y ≥ ; x2 + y2 = 178 Tìm GTNN, GTLN A = x x + y y biết x + y = 1 − x + x − 3x + + (x − 2) 179 Giải phương trình : x −1 = x−2 § RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI 180 Giải phương trình : x + 2x − = + 4x + 2x 1 1 + + + + < 2 (n + 1) n 1 1 + + + + 182 Cho A = Hãy so sánh A 1,999 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 183 Cho số x, y x + y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y số hữu tỉ 181 CMR, ∀n ∈ Z+ , ta có : 3+ − ; b = + 2 + − CMR : a, b số hữu tỉ 3−  2+ a a −  a a + a − a −1 − 185 Rút gọn biểu thức : P =  (a > ; a ≠ 1) ÷ a + a +1 a −1  a   a +1  a −1  − + a ÷ a − 186 Chứng minh :  ÷ = 4a (a > ; a ≠ 1) a +1 a  a −1  184 Cho a = ( x + 2) − 8x 187 Rút gọn : (0 < x < 2) x− x  b − ab   a b a+b + − 188 Rút gọn :  a + ÷:  ÷ a + b   ab + b ab − a ab   5a 2 189 Giải bất phương trình : x + x + a ≤ (a ≠ 0) x2 + a2  − a a  + a a  + a ÷ − a ÷ + 190 Cho A = ( − a ) :   − a  + a    ) ( a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A với a = c) Với giá trị a | A | = A 191 Cho biểu thức : B = a) Rút gọn biểu thức B c) So sánh B với -1  192 Cho A =  a + b −1 a− b b b  + +  ÷ a + ab ab  a − ab a + ab  b) Tính giá trị B a = +  a − a−b + a+b    : 1 + ÷ ÷ a + a+b   a−b  a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm b biết | A | = -A c) Tính giá trị A a = + ; b = +  a +1  a −1  − + a ÷ a − ÷ a +1 a  a −1  193 Cho biểu thức A =  a) Rút gọn biểu thức A A= b c b+c  c c  a +b+c+d c+d c+d  + = − − − − ÷≥ ÷ c+d a+b c+d c+d a+b 2(c + d) c+d a +b Đặt a + b = x ; c + d = y với x ≥ y > 0, ta có : A≥ x+y y y x y  x y x y 1 − + = + −1+ =  + ÷− ≥ − = 2− 2y y x 2y x  2y x  2y x 2 A = − ⇔ d = , x = y , b + c ≥ a + d ; chẳng hạn a = + 1, b = − 1,c = 2,d = 142 a) (x − 3) + ( x − 3) = Đáp số : x = b) Bình phương hai vế, đưa : (x2 + 8)(x2 – 8x + 8) = Đáp số : x = + 2 c) Đáp số : x = 20 d) x − = + x + Vế phải lớn vế trái Vô nghiệm x − x − = + x − Bình phương hai vế Đáp số : x = 1 g) Bình phương hai vế Đáp số : ≤ x ≤1 h) Đặt x − = y Đưa dạng y − + y − = Chú ý đến bất đẳng thức : e) Chuyển vế : y − + − y ≥ y − + − y = Tìm ≤ y ≤ Đáp số : ≤ x ≤ 11 16 i) Chuyển vế : x + − x = − x , bình phương hai vế Đáp : x = (chú ý loại x = ‌) 25 16 k) Đáp số : ‌ 25 l) Điều kiện : x ≥ x = - Bình phương hai vế rút gọn : 2(x + 1) (x + 3)(x − 1) = x − Bình phương hai vế : 8(x + 1)2(x + 3)(x – 1) = (x + 1)2(x – 1)2 ⇔ (x + 1)2(x – 1)(7x + 25) = x=− 25 loại Nghiệm : x = ± m) Vế trái lớn x, vế phải không lớn x Phương trình vơ nghiệm n) Điều kiện : x ≥ - Bình phương hai vế, xuất điều kiện x ≤ - Nghiệm : x = - o) Do x ≥ nên vế trái lớn 2, vế phải nhỏ Suy hai vế 2, x = 1, thỏa mãn phương trình p) Đặt 2x + + x + = y ; 2x + − x + = z (1) Ta có : y − z = + x + ; y + z = + x + Suy y – z = Từ z = x + (2) Từ (1) (2) tính x Đáp số : x = (chú ý loại x = - 1) q) Đặt 2x2 – 9x + = a ≥ ; 2x – ≥ b ≥ Phương trình : a + b = a + 15b Bình phương hai vế rút gọn ta : b = b = a Đáp số : ;5 § BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI 144 Ta có : Vậy : + 2 = > = k k k + k +1 ( ( k +1 − k k +1 + k )( ) k +1 − k ) =2 ( ) k +1 − k 1 + + + > 2( − 1) + 2( − 2) + 2( − 3) + + 2( n + − n ) = n = 2( n + − 1) (đpcm) 150 Đưa biểu thức dấu dạng bình phương M = -2 151 Trục thức mẫu hạng tử Kết : A = n - 152 Ta có : a − a +1 = −( a + a + 1) ⇒ P = −( + 2n + 1) P số hữu tỉ (chứng minh phản chứng) 1 = − ⇒ A= 10 (n + 1) n + n n + n n +1 1 1 + + + + > n = n 154 + n n 155 Ta có a + = 17 Biến đổi đa thức ngoặc thành tổng lũy thừa số a + 153 Ta chứng minh : A = [(a + 1)5 – 3(a + 1)4 – 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 – 14(a + 1)]2000 = (259 17 - 225 17 - 34 17 - 1)2000 = 156 Biến đổi : a − a −1 = a + a −1 a −2 + a −3 ; a −2 − a −3 = 2 1  1  1 157 x − x + = x − x + + x − x + =  x − ÷ +  x − ÷ ≥ 4  2  2 1 Dấu “ = “ không xảy khơng thể có đồng thời : x = x = 2 158 Trước hết ta chứng minh : a + b ≤ 2(a + b ) Áp dụng (*) ta có : S = (*) (a + b ≥ 0) x − + y − ≤ 2(x − + y − 2) =  x = x −1 = y −  max S = ⇔  ⇔ x + y = y =   * Có thể tính S2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy 170 Ta phải có | A | ≤ Dễ thấy A > Ta xét biểu thức : B = = − − x Ta có : A ≤ − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ = 2+ ⇔ B = − ⇔ = − x ⇔ x = Khi max A = 2− ⇔ max B = ⇔ − x = ⇔ x = ± Khi A = 2x − x + 171 Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : B = Khi : 1− x x  2x − x = (1) 2x − x  B≥2 = 2 B = 2 ⇔ 1 − x x 1− x x 0 < x < (2)  Giải (1) : 2x2 = (1 – x)2 ⇔ | x | = | – x | Do < x < nên x = – x ⇔ = − +1 Như B = 2 ⇔ x = - ⇔ x=   2x − x  − 2x − + x  + ÷−  + + = +1 = ÷= x  1− x x 1− x x  1− x Do A = 2 + x = - Bây ta xét hiệu : A − B =  172 a) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm tổng : a+b ≥ ab Ở ta muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức : a + b ≤ 2(a + b ) A = x − + y − ≤ 2(x − + y − 3) = x − = y −  x = 1,5 max A = ⇔  ⇔  x + y =  y = 2,5 Cách khác : Xét A2 dùng bất đẳng thức Cauchy b) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội tích : Ta xem biểu thức x − , y − tích : x − = 1.(x − 1) , y − = x − 1.(x − 1) + x − 1 = ≤ = x x 2x y−2 2.(y − 2) + y − = ≤ = = y y 2y 2 x − = 1 2+ max B = + = ⇔  ⇔ y−2= 2 4  a+b 2(y − 2) ab ≤ Theo bất đẳng thức Cauchy : 173 a = x =  y = 1 ,b= Ta thấy 1997 + 1996 < 1998 + 1997 1997 + 1996 1998 + 1997 Nên a < b 174 a) A = - với x = max A = b) B = với x = ± max B = với x = ± với x = x + (1 − x ) 175 Xét – ≤ x ≤ A ≤ Xét ≤ x ≤ A = x (1 − x ) ≤ = 2 2 x = − x max A = ⇔  ⇔ x= 2 x > 2 176 A = | x – y | ≥ 0, A lớn chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki :    1 A = (x − y) = 1.x − 2y ÷ ≤ 1 + ÷(x + 4y ) =    4 2   5  2y x=−  x =  =−   5 max A = ⇔ x ⇔    x + 4y = y = y = −    10 10   177 a) Tìm giá trị lớn : Từ giả thiết : x3 ≤ x 0 ≤ x ≤  ⇔  ⇔ x + y3 ≤ x + y2 =  y ≤ y 0 ≤ y ≤  x3 = x  max A = ⇔  ⇔ x = 0, y = V x = 1, y = y = y  x+y ≤ Do : b) Tìm giá trị nhỏ : (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = ⇒ x + y ≤ ⇒ ( x + y3 ) ( x + y ) Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki : 3 x +y ≥ 2 2 2   (x + y3 )(x + y) =  x + y   x + y  ≥ x x + y y = (x2 + y2) =      ( ) ( ) ( ) ( ) ( A = 179 Đặt ) ⇔ x=y= 2 x = a ; y = b , ta có a, b ≥ 0, a + b = A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = – 3ab Do ab ≥ nên A ≤ max A = ⇔ a = b = ⇔ x = x = 1, y = Ta có ab ≤ (a + b) 1 1 = ⇒ ab ≤ ⇒ − 3ab ≥ A = ⇔ x = y = 4 4 4 180 Điều kiện : – x ≥ , – x ≥ nên x ≤ Ta có : x −1 =3 x−2 − x + (x − 1)(x − 2) − (x − 1)(x − 2) = ⇔ − x = ⇔ x = −8 − x + (x − 1)(x − 2) − x − ⇔ § RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI 181 Ta có : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > với x Vậy phương trình xác định với giá trị x Đặt x + 2x + = y ≥ 0, phương trình có dạng : y = y2 - y - 12 = ⇔ (y - )(y + 2 ) = ⇔   y = −2 (loai y ≥  x + 2x + = ⇔ x + 2x + = 18 ⇔ (x – 3)(x + 5) = ⇔ x = ; x = -5 1   1   1 = k = k − + − 182 Ta có : ÷= k  ÷ ÷ (k + 1)k (k + 1) k k +  k k +1   k k +1  k  k  1  1   − < 2 − = 1 + ÷ ÷ Do : ÷ k +1  k k +1  (k + 1) k k +1   k  1 1       + + + + < 1 − − − Vậy : ÷+  ÷ ÷+ +  (n + 1) n 2 3 n +1    n    = 1 − ÷ < (đpcm) n +1   > 183 Dùng bất đẳng thức Cauchy (a, b > ; a ≠ 0) ab a + b Do 184 Đặt x – y = a , x + y = b (1) a, b ∈ Q y ∈Q x−y a a = ⇒ x − y = ∈ Q (2) b x+ y b a) Nếu b = x = y = 0, b) Nếu b ≠ x , Từ (1) (2) : 190 Nhận xét : ( 1 a x = b + ÷ ∈ Q ; 2 b ( x2 + a2 + x ) x + x2 + a2 ≤ )( 1 a y = b − ÷ ∈ Q 2 b ) x + a − x = a Do : 5a x2 + a2 ) ( (1) ⇔ x + x + a ≤ ( x2 + a2 + x )( x2 + a2 − x ) x2 + a2 x + a + x > x + x = x + x ≥ Suy : x + a + x > , ∀x x ≤  2 2 2 Vì : (1) ⇔ x + a ≤ x + a − x ⇔ 5x ≤ x + a ⇔   x >  25x ≤ 9x + 9a  x ≤ ⇔ ⇔ x≤ a 0 < x ≤ a 4  − 2a 198 c) Trước hết tính x theo a x = Sau tính + x a(1 − a) a(1 − a) Do a ≠ nên : ( ) Đáp số : B = d) Ta có a2 + = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) Tương tự : b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 + = (c + a)(c + b) Đáp số : M = 2x + Suy điều phải chứng minh x 1 200 Ta có : a + b = - , ab = nên : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = + = 2 17 a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = − = ; a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - - = − 4 17   239 Do : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = − −  − ÷( −1) = −  64  64 199 Gọi vế trái A > Ta có A = 201 a) a = ( − 1) = − 2 = − a = ( − 1)3 = 2 − + − = − = 50 − 49 )n = A - B ; (1 + )n = A + B với A, B ∈ N Suy : A2 – 2B2 = (A + B )(A - B ) = [(1 + )(1 - )]n = (- 1)n b) Theo khai triển Newton : (1 - Nếu n chẵn A2 – 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 – 2B2 = - (2) Bây ta xét an Có hai trường hợp : * Nếu n chẵn : an = ( - 1)n = (1 - )n = A - B = A − 2B2 Điều kiện A2 – 2B2 = thỏa mãn (1) * Nếu n lẻ : an = ( - 1)n = - (1 - )n = B - A = 2B2 − A Điều kiện 2B2 – A2 = thỏa mãn (2) 202 Thay a = vào phương trình cho : 2 + 2a + b + c = ⇔ (b + 2) = -(2a + c) Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào phương trình cho : x3 + ax2 – 2x – 2a = ⇔ x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = ⇔ (x2 – 2)(x + a) = Các nghiệm phương trình cho là: ± - a 203 Đặt A = 1 + + + n a) Chứng minh A > n − : Làm giảm số hạng A : ( ) 2 = > = k +1 − k k k+ k k +1 + k Do A >  − + + − + + + − n + n +  =   = n +1 − = n +1 − 2 > n +1 − > n − ( ( ) ( ) ) ( ) b) Chứng minh A < n − : Làm trội số hạng A : ( ) 2 = < = k − k −1 k k+ k k + k −1 Do : A <  n − n − + + − + −  = n −   ( ) ( ) ( ) 204 Kí hiệu a = + + + + có n dấu Ta có : n a1 = < ; a = + a1 < + = ; a = + a < + = a100 = + a 99 < + = Hi ển nhiên a100 > > Như < a100 < 3, [ a100 ] = 205 a) Cách (tính trực tiếp) : a = (2 + )2 = + Ta có = 48 nên < < ⇒ 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + )2 x = + Xét biểu thức y = (2 - )2 y = - Suy x + y = 14 Dễ thấy < - < nên < (2- )2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13 b) Đáp số : [ a3 ] = 51 206 Đặt x – y = a ; x + y = b (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp : a) Nếu b ≠ x−y a = ⇒ x+ y b x− y= a số hữu tỉ (2) Từ (1) (2) ta có : b 1 a 1 a x =  b + ÷ số hữu tỉ ; y =  b − ÷ số hữu tỉ 2 b 2 b b) Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên x , y số hữu tỉ 207 Ta có n   1   1 = = n − + − ÷= n  ÷ ÷= (n + 1) n n(n + 1) n n +  n n +1   n n +1   n  1    = 1 + − − ÷ ÷<  ÷ Từ ta giải toán n +1  n n +1  n +1   n  208 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, hai số Khơng tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy : a1 ≥ , a2 ≥ , … a25 ≥ 25 Thế : 1 1 1 + + + ≤ + + + a1 a2 a 25 25 (1) Ta lại có : 1 1 2 + + + + = + + + +1 < 25 24 25 + 25 24 + 24 2+ 2 2 < + + + + = 25 − 24 + 24 − 23 + + − + = 24 + 24 23 + 23 2+ ( =2 ( ) 25 − + = ) (2) Từ (1) (2) suy : 1 + + + < , trái với giả thiết Vậy tồn hai số a1 a2 a 25 25 số a1 , a2 , … , a25 2+ x = a ≥ ; − x = b ≥ 209 Điều kiện : ≤ x ≤ Đặt a2 b2 + = Ta có : ab = − x , a + b = Phương trình : +a −b ⇒ a2 - a2b + b2 + ab2 = (2 - b + a - ab) ⇒ (a2 + b2 – + ab) – ab(a – b) = 2(a – b) ⇒ (2 + ab) = (a – b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4) ⇒ a – b = (do ab + ≠ 0) 2 Bình phương : a + b – 2ab = ⇒ 2ab = ⇒ ab = ⇒ − x = Tìm x = a −1 210 Điều kiện : < x ≤ , a ≥ Bình phương hai vế thu gọn : − x = a +1 a Với a ≥ 1, bình phương hai vế, cuối : x = a +1 a Điều kiện x ≤ thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy) Kết luận : Nghiệm x = Với a ≥ a +1 2 211 Nếu x = y = 0, z = Tương tự y z Nếu xyz ≠ 0, hiển nhiên x, y, z > Từ hệ phương trình cho ta có : x= 2y 2y ≤ = y 1+ y y Tương tự y ≤ z ; z ≤ x Suy x = y = z Xảy dấu “ = ” bất đẳng thức với x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) 212 a) Đặt A = (8 + )7 Để chứng minh toán, cần tìm số B cho < B < A + 107 B số tự nhiên Chọn B = (8 - )7 Dễ thấy B > > Ta có + > 10 suy : (8+3 7) < ( ⇒ 8−3 107 ) < 107 Theo khai triển Newton ta lại có : A = (8 + )7 = a + b với a, b ∈ N B = (8 - )7 = a - b Suy A + B = 2a số tự nhiên Do < B < A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu phẩy 107 Chú ý : 10- = 0,0000001 b) Giải tương tự câu a 213 Ta thấy với n số phương vơ tỉ, nên n số tự nhiên, n khác số phương n số n khơng có dạng ,5 Do ứng với số n ∈ N có số nguyên an gần * n Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … an 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta chứng minh an nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3… Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình : 1 < x < 1+ có hai nghiệm tự nhiên 2 1 − < x < + có bốn nghiệm tự nhiên 2 1− 3− 1 < x < + có sáu nghiệm tự nhiên 2 1 < x < k + có 2k nghiệm tự nhiên Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với : k2 2 1 –k+ < x < k2 + k + Rõ ràng bất phương trình có 2k nghiệm tự nhiên : k2 – k + ; k2 – 4 Tổng quát : k − k + ; … ; k2 + k Do :       1 1 1÷  1 1 1 ÷ 1 1÷ + + + =  + ÷+  + + + ÷+ +  + + + ÷ = 2.44 = 88 a1 a2 a1980  1 ÷  44 42 ÷ 2 44 44 44 { 1 4 4 ÷ số  số 88 soá      214 Giải tương tự 24 a) < an < Vậy [ an ] = b) ≤ an ≤ Vậy [ an ] = 2 c) Ta thấy : 44 = 1936 < 1996 < 2025 = 45 , 462 = 2116 a1 = 1996 = 44 < a1 < 45 Hãy chứng tỏ với n ≥ 45 < an < 46 Như với n = [ an ] = 44, với n ≥ [ an ] = 45 215 Cần tìm số tự nhiên B cho B ≤ A < B + Làm giảm làm trội A để hai số tự nhiên liên tiếp Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + < (4n + 2)2 ⇒ 4n + < 16n + 8n + < 4n + 16n + 8n + < 4n2 + 4n + < 4n2 + 8n + ⇒ 4n2 + 4n + < 4n2 + ⇒ (2n + 1)2 < 4n2 + 16n + 8n + < (2n + 2)2 Lấy bậc hai : 2n + < A < 2n + Vậy [ A ] = 2n + 216 Để chứng minh toán, ta số y thỏa mãn hai điều kiện : < y < 0,1 (1) x + y số tự nhiên có tận (2) Ta chọn y = ( 3− ) 200 − < 0,3 nên < y < 0,1 Điều kiện (1) chứng Ta có < minh Bây ta chứng minh x + y số tự nhiên có tận Ta có : x+y = ( 3+ ) 200 + ( 3− ) 200 ( = 5+2 ) 100 ( + 5−2 ) 100 Xét biểu thức tổng quát Sn = an + bn với a = + , b = - Sn = (5 + )n = (5 - )n A b có tổng 10, tích nên chúng nghiệm phương trình X2 -10X + = 0, tức : a2 = 10a – (3) ; b2 = 10b – (4) Nhân (3) với an , nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) – (an + bn), tức Sn+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2 ≡ - Sn+1 (mod 10) Do Sn+4 ≡ - Sn+2 ≡ Sn (mod 10) (5) 0 Ta có S0 = (5 + ) + (5 - ) = + = ; S1 = (5 + ) + (5 - ) = 10 Từ cơng thức (5) ta có S2 , S3 , … , Sn số tự nhiên, S0 , S4 , S8 , … , S100 có tận 2, tức tổng x + y số tự nhiên có tận Điều kiện (2) chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 217 Biến đổi ( 3+ ) 250 ( = 5+2 ) 125 Phần nguyên có chữ số tận (Giải tương tự 36) 218 Ta có : ( ) ( ) ( ) ( A =   + +   +   + +   +   + +  15  +  16  + +  24                  ) Theo cách chia nhóm trên, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số Các số thuộc nhóm 1, số thuộc nhóm 2, số thuộc nhóm 3, số thuộc nhóm Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 § CĂN BẬC BA x x (3 – x) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 x x   + +3−x ÷ x x x x số không âm , , (3 – x) ta : (3 – x) ≤  ÷ = 2 2  ÷   219 a) Xét ≤ x ≤ Viết A dạng : A = Do A ≤ (1) b) Xét x > 3, A ≤ (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận : x  = 3−x max A = ⇔  ⇔ x = x ≥  220 a) Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta : x + + − x + 3 (x + 1)(7 − x).2 = ⇔ (x + 1)(7 − x) = ⇔ x = - ; x = (thỏa) b) Điều kiện : x ≥ - (1) Đặt x − = y ; x + = z Khi x – = y2 ; x + = z2 nên z2 – y3 = Phương trình cho đưa hệ : y + z = (2)  z − y = (3) z ≥ (4)  Rút z từ (2) : z = – y Thay vào (3) : y3 – y2 + 6y – = ⇔ (y – 1)(y2 + 6) = ⇔ y = Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x = 221 a) Có, chẳng hạn : 1 + = 2 a + b = Bình phương hai vế : a + b + ab = ⇒ ab = − (a + b) b) Không Giả sử tồn số hữu tỉ dương a, b mà Bình phương vế : 4ab = + (a + b)2 – 2(a + b) ⇒ 2(a + b) Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẩn = + (a + b)2 – 4ab m m3 222 a) Giả sử số hữu tỉ (phân số tối giản) Suy = Hãy chứng minh m lẫn n n m n chia hết cho 5, trái giả thiết phân số tối giản n m b) Giả sử + số hữu tỉ (phân số tối giản) Suy : n m3 m 6m = + = + 3 = + ⇒ m = 6n + 6mn (1) ⇒ m M2 ⇒ m M2 n n n ( ) Thay m = 2k (k ∈ Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 ⇒ 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho ⇒ n3 chia hết cho ⇒ n chia hết cho Như m n chia hết cho 2, trái với giả thiết tối giản m phân số n 223 Cách : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh a+b+c ≥ abc tương đương x + y3 + z với ≥ xyz hay x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Ta có đẳng thức : x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2] (bài tập sbt) a+b+c ≥ abc Do a, b, c ≥ nên x, y, z ≥ 0, x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Như : Xảy dấu đẳng thức a = b = c Cách : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số khơng âm Ta có : a+ b+ c+d 1a+ b c+d  =  + ab + cd ≥ ab cd = abcd ÷≥ 2 2  a+b+c a+ b+c+d  Trong bất đẳng thức  ta : ÷ ≥ abcd , đặt d =   ( ) a+b+c   a+ b+c+ ÷ a+b+c a+b+c a+b+c ⇒   ÷ ≥ abc ÷ ≥ abc 3    ÷   a+b+c Chia hai vế cho số dương (trường hợp số a, b, c 0, toán chứng 3 a+b+c a+b+c minh) :  ≥ abc ÷ ≥ abc ⇔ 3   a+b+c Xảy đẳng thức : a = b = c = ⇔ a=b=c=1 b c d a + + ≤ 1− = 224 Từ giả thiết suy : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho b +1 c +1 d +1 a +1 a +1 b c d bcd ≥ + + ≥ 3 số dương : Tương tự : a +1 b +1 c +1 d +1 (b + 1)(c + 1)(d + 1) acd ≥ 3 b +1 (a + 1)(c + 1)(d + 1) abd ≥ 3 c +1 (a + 1)(b + 1)(d + 1) abc ≥ 3 d +1 (a + 1)(b + 1)(c + 1) Nhân từ bốn bất đẳng thức : ≥ 81abcd ⇒ abcd ≤ 225 Gọi A = x2 y2 z2 + + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : y2 z2 x2 81  x2 y2 z2  x y z 3A =  + + ÷(1 + + 1) ≥  + + ÷ (1) z x  y z x y x y z x y z + + ≥ 3 = Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : y z x y z x (2) x y z x y z x y z 3A  + + ÷ ≥  + + ÷ ⇒ A ≥ + + y z x y z x y z x Nhân vế (1) với (2) : 226 Đặt x = 3 + 3 ; y = 3 − 3 x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 – a3 , ta : b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 4(x + b3), ta có : b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > (vì x > y > 0) Vậy b3 > a3 , b > a 227 a) Bất đẳng thức với n = Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có : n n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1) 2.1  1 2+ + + n  + ÷ = + n + n 2! n 3! n n! n  n 1 1 < + +  + + + ÷ n!   2! 3! 1 1 1 + + + ≤ + + + = Dễ dàng chứng minh : 2! 3! n! 1.2 2.3 (n − 1)n 1 1 1 − = − < Do (1 + )n < = − + − + + 2 n −1 n n n b) Với n = 2, ta chứng minh Với n ≥ 3, ta chứng minh (2) ⇔ ( n +1 n +1 ) n(n +1) n > (1) Thật vậy, (1) ⇔ n > n +1 n + < ( n) n n(n +1) ( ) ( ) 3 > ⇔ 32 > 22 (2) Thật : n ⇔ (n + 1) < n n n n +1 (n + 1)n  1 ⇔ < n ⇔  + ÷ < n (3) n n  n  1 Theo câu a ta có  + ÷ < , mà ≤ n nên (3) chứng minh  n Do (2) chứng minh ( ) 2 228 Cách : A = x + + x + x + ≥ A = với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A ≥ (x + x + 1)(x − x + 1) = x + x + ≥ A = với x = 229 Với x < A ≥ (1) Với ≤ x ≤ 4, xét - A = x2(x – 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : x x   + +x−2÷ A x x  2x −  − = (x − 2) ≤  ÷ =  ÷ ≤ 2    ÷   230 Điều kiện : x2 ≤ - A ≤ 32 ⇒ A ≥ - 32 A = - 32 với x =  x2 x2  2  + +9−x ÷ x x A = x (9 − x ) = (9 − x ) ≤  ÷ = 4.27 2  ÷  ÷   max A = với x = ± 231 a) Tìm giá trị lớn : Cách : Với ≤ x < A = x(x2 – 6) ≤ Với x ≥ Ta có ≤ x ≤ ⇒ ≤ x2 ≤ ⇒ ≤ x2 – ≤ Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x = Cách : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ max A = với x = b) Tìm giá trị nhỏ : Cách : A = x3 – 6x = x3 + (2 )3 – 6x – (2 )3 = = (x + 2 )(x2 - 2 x + 8) – 6x - 16 = (x + 2 )(x2 - 2 x + 2) + (x + 2 ).6 – 6x - 16 = (x + 2 )(x - )2 - ≥ - A = - với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm : x3 + 2 + 2 ≥ 3 x 2.2 = 6x Suy x3 – 6x ≥ - A = - với x = 232 Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2 Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : x x x 3-2x x 3-2x  4x + − 2x + − 2x  ÷ =   x x 4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤  x x Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vng nhỏ dm 233 a) Đáp số : 24 ; - 11 b) Đặt − x = a ; x − = b Đáp số : ; ; 10 max V = ⇔ 4x = – 2x ⇔ x = c) Lập phương hai vế Đáp số : ; ± 2x − = y Giải hệ : x3 + = 2y , y3 + = 2x, (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = −1 ± ⇔ x = y Đáp số : ; x − x2 − Đáp số : x = e) Rút gọn vế trái : 3 g) Đặt − x = a ; x − = b Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, vế phải phương trình a − b a3 − b a3 − b cho Phương trình cho trở thành : = a+b 2 a − b a3 − b3 3 Do a + b = nên ⇒ (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3) = a + b a3 + b d) Đặt ( ) Do a + b ≠ nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = ; x = h) Đặt x + = a ; x − = b Ta có : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 – b3 = (2) Từ (1) (2) : a – b = Thay b = a – vào (1) ta a = Đáp số : x = i) Cách : x = - nghiệm phương trình Với x + ≠ 0, chia hai vế cho x + Đặt x +1 =a ; x+2 Cách : Đặt x+3 = b Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - Hệ vô nghiệm x+2 x + = y Chuyển vế : y3 − + y3 + = − y Lập phương hai vế ta : y3 – + y3 + + 3 y − (- y) = - y3 ⇔ y3 = y Với y = 0, có nghiệm x = - Với y ≠ 0, có y2 = 3 y6 − y − Lập phương : y6 = y6 – Vô n0 Cách : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phương trình vơ nghiệm, xem bảng : x x < -2 x > -x x +1 < -1 > -1 x+2 < > k) Đặt + x = a , – x = b Ta có : a + b = (1), mn ≤ Theo bất đẳng thức Cauchy m+n , ta có : x+3 < > Vế trái < > ab + a + b = (2) a + b 1+ a 1+ b + + = 2 1+ a 1+ b a+b = a + b +1 ≤ + +1 = +2 = 2 3= a b + a + b ≤ Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x = l) Đặt a − x = m ≥ ; b − x = n ≥ m4 + n4 = a + b – 2x Phương trình cho trở thành : m + n = m + n Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = Suy m = n = 0, cịn m, n > 2m2 + 3mn + 2n2 > Do x = a , x = b Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để thức có nghĩa Giả sử a ≤ b nghiệm phương trình cho x = a 234 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 ≠ (a b không đồng thời 0) Đặt x + x y + y x + 2x y + y − 2x y = = a = x ; b = y , ta có : A = x + xy + y x + xy + y (x = + y ) − (xy) 2 x + xy + y 2 (x = + y + xy ) ( x + y − xy ) x + y + xy 2 = x + y − xy Vậy : A = a + b − ab (với a2 + b2 ≠ 0) 235 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A = x2 − x +1 + x2 + x +1 ≥ x − x + x + x + = (x − x + 1)(x + x + 1) = = x + x + ≥ Đẳng thức xảy : x + x + = x − x +  ⇔ x =  x + x2 +1 =   Ta có A ≥ 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A = ⇔ x = 236 Vì + nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có : 3(1 + )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = Sau thực phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn : (4a + b + 42) + (2a + b + 18) = Vì a, b ∈ Z nên p = 4a + b + 42 ∈ Z q = 2a + b + 18 ∈ Z Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q = Nếu q ≠ Vậy + =- p , vơ lí Do q = từ p + q = ta suy p = q nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = :  4a + b + 42 = Suy a = - 12 ; b =   2a + b + 18 = p p p3 ( phân số tối giản ) Suy : = Hãy chứng minh p q q q q p chia hết cho 3, trái với giả thiết phân số tối giản q 237 Giả sử 3 số hữu tỉ 238 a) Ta có : Do : b) 3 1+ = (1+ ) = 1+ 2 + = + 2 ( + − 2 = + 2 − 2 = 32 − 2 ) = + − = −1 239 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : a = 20 + 14 + 20 − 14 + 3 (20 + 14 2)(20 − 14 2).a ⇔ a = 40 + 3 20 − (14 2) a ⇔ a3 – 6a – 40 = ⇔ (a – 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên ⇒ a = 240 Giải tương tự 21 241 A = + − 242 Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Từ x = 3 + Suy x3 = 12 + 3.3x ⇔ x3 – 9x – 12 = 243 Sử dụng đẳng thức (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Tính x3 Kết M = 244 a) x1 = - ; x2 = 25  u = v3 +  b) Đặt u = x - , v = x - , ta :  ⇔ u = v = - ⇒ x = v = u +  c) Đặt : x + 32 = y > Kết x = ± 245 Đưa biểu thức dạng : A = x3 + + + A = 246 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần 247 Đặt x = y x = y x + − Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | ⇔ -1 ≤ x ≤ ⇒ P = 23 x + BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I 249 Ta có : P = ( x − a) + ( x − b) = | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a < b) Dấu đẳng thức xảy (x – a)(x – b) ≥ ⇔ a ≤ x ≤ b Vậy P = b – a ⇔ a ≤ x ≤ b 250 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương (a + b − c) + (b + c − a) =b (b + c − a) + (c + a − b) (b + c − a)(c + a − b) ≤ =c (c + a − b) + (a + b − c) (c + a − b)(a + b − c) ≤ =a (a + b − c)(b + c − a) ≤ Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy : a + b – c = b + c – a = c + a – b ⇔ a = b = c (tam giác đều) 251 x − y = (x − y) = (x + y) − 4xy = + = 2 252 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - ( + + - 1) = - 2 Do : 2A = ( + 1)2 + ( - 1)2 + (-2 )2 = 14 Suy A = 253 Đưa pt dạng : ( ) ( 254 Nếu ≤ x ≤ y = 255 Đặt : ) ( x − = y ≥ M = x − ) x − −1 + y −3 −2 + ( z −5 −3 = )( ) x −1 + − x −1 256 Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x2 + y2 ≥ 2xy Nhưng x2 + y2 = (8 )2 = 128, nên xy ≤ 64 Do : max xy = 64 ⇔ x = y = 257 Với a, b ta ln có : a2 + b2 ≥ 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : c2 ≥ 2ab ⇔ 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab ⇔ 2c2 ≥ (a + b)2 ⇔ c ≥ a + b ⇔ c ≥ Dấu đẳng thức xảy a = b 258 Biến đổi ta : ( a 'b − ab ' ) +( a 'c − ac ' ) +( a+b b 'c − bc ' 259 – ≤ x ≤ - ; ≤ x ≤ -Hết - ) =0 ... 2) ab ≤ Theo bất đẳng thức Cauchy : 173 a = x =  y = 1 ,b= Ta thấy 199 7 + 199 6 < 199 8 + 199 7 199 7 + 199 6 199 8 + 199 7 Nên a < b 174 a) A = - với x = max A = b) B = với x = ± max B = với x... bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cauchy : A =x ( ) 99 99 + 101 − x ≤ x (99 + 1) (99 + 101 − x ) = x 10 200 − x < x + 200 − x < 10 = 1000 x ≤ 101  99  99 A = 1000 ⇔  = ⇔ x = ±10 Do : - 1000 < A