SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRUNG NGẠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC Môn: TOÁN Tác giả: Nguyễn Thành Giáp Giáo viên môn Toán NĂM HỌC 2013 - 2014 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Chương I. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3 I. BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC I.1. Bài toán cực trị hình học I.2. Một số dạng Toán cực trị hình học thường gặp 3 I.3. Một số phương pháp giải toán cực trị hình học 5 II. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC II.1 Kỹ năng II.2 Một số khó khăn và sai lầm khi giải toán cực trị hình học 5 CHƯƠNG II. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC 8 I. HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH CÓ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC I.1. Mục tiêu I.2. Hệ thống các bài toán điển hình I.2.1 Một số bài toán cực trị trong hình học không gian tổng hợp 8 I.2.2. Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích 17 I.2.3. Một số bài toán cực trị hình học có ứng dụng thực tiễn 24 II. KHẢ NĂNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HS LỚP 12 THÔNG QUA DẠY GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC 29 III. KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM 33 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Chương trình Giải tích THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm giữ vai trò chủ đạo. Thực trạng dạy và học toán ở trường THPT cho thấy: Do vai trò chủ đạo của đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong chương trình toán nên phần lớn giáo viên và học sinh rất chú trọng. Bên cạnh đó có nhiều sách tham khảo viết về ứng dụng của đạo hàm để giải toán nói chung. Tuy nhiên về bài toán cực trị hình học và việc ứng dụng của đạo hàm giải loại toán này thì đa số học sinh đối với cả học sinh còn chưa được rèn luyện, thậm chí ít được tiếp cận. Trên thực tế có rất ít tài liệu tham khảo viết có hệ thống về loại toán này. Vấn đề cực trị hình học khó đối với học sinh vì nó đòi hỏi kiến thức tổng hợp về hình học, đại số, giải tích và nó đòi hỏi học sinh phải có thói quen ứng dụng tổng hợp kiến thức. Nếu rèn luyện được kỹ năng giải loại toán này thì không chỉ học sinh nắm được hệ thống tri thức toán mà còn góp phần rèn luyện năng lực giải toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán vào thực tiễn, phát triển tư duy toán học cho học sinh. Vì vậy việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học là một nhu cầu thiết yếu đối với học sinh, đặc biệt là học sinh khá, giỏi lớp 12. Vì lẽ đó tôi chọn đề tài: Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học 2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu lí luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán và một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT - Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị của hàm số - Tìm hiểu thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm trong giải toán cực trị hình học - Tìm hiểu bài toán cực trị hình học và nêu quy tắc giải bài toán cực trị hình học có ứng dụng của đạo hàm - Xây dựng hệ thống các bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học cho học sinh khá, giỏi lớp 12 1 - Bước đầu thử nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài. 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu một số giáo trình phương pháp dạy học môn toán, SGK phổ thông, Sách bồi dưỡng giáo viên THPT, các sách tham khảo, các tạp chí về giáo dục. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, qua trao đổi kinh nghiệm với một số giáo viên giỏi bộ môn Toán ở trường THPT. Từ đó xây dựng được hệ thống các bài tập điển hình và những gợi ý dạy học nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm trong giải toán cực trị hình học. - Phương pháp quan sát, điều tra: Quan sát và điều tra thực trạng dạy học giải toán cực trị hình học đối với học sinh lớp 12, qua đó nắm bắt được nhu cầu của việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm cho học sinh khá, giỏi lớp 12. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thử nghiệm việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học thông qua chuyên đề tự chọn môn toán lớp 12. Bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của nội dung đã được xây dựng trong đề tài. 4. ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu đề tài là học sinh lớp 12 trường THPT Nguyễn Trung Ngạn, năm học 2013 - 2014 5. BỐ CỤC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Mở đầu Chương I. Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương II. Rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học Kết luận Tài liệu tham khảo 2 CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN I. BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC I.1. Bài toán cực trị hình học Trong chương trình THPT hầu như các bài toán cực trị hình học có dạng chung là: Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm hình mà một đại lượng nào đó (độ dài, khoảng cách, số đo góc, số đo diện tích, số đo thể tích, ) có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất. Giả sử hình H thay đổi trên miền D mà vị trí hay hình dạng của nó thay đổi theo một đại lượng cho bởi biểu thức f ứng với sự biến thiên của tập các biến số X trên tập xác định D. Khi tìm vị trí hay hình dạng của hình H trên miền D sao cho f đạt giá trị lớn nhất ta phải xác định được hai điều kiện sau: 1. Với mọi vị trí hay dạng của hình H trên miền D thì f ≥ M (là hằng số) 2. Tồn tại vị trí hay dạng của hình H trên miền D sao cho f = M Khi tìm vị trí hay hình dạng của hình H trên miền D sao cho f đạt giá trị nhỏ nhất ta phải xác định được hai điều kiện sau: 1. Với mọi vị trí hay dạng của hình H trên miền D thì f ≤ m (là hằng số) 2. Tồn tại vị trí hay dạng của hình H trên miền D sao cho f = m. I.2. Một số dạng Toán cực trị hình học thường gặp Dạng 1: Xác định khoảng cách (độ dài đoạn thẳng) lớn nhất hay nhỏ nhất. Dạng 2: Các bài toán xác định diện tích đa giác, diện tích hình tròn lớn nhất, nhỏ nhất. Dạng 3: Các bài toán xác định thể tích đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Dạng 4: Các bài toán xác định và tính góc lớn nhất hay nhỏ nhất. Một số kỹ năng cơ bản 3 - Biết cách dựng đường vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng đặc biệt là đường vuông góc tới mặt phẳng. - Biết vận dụng kiến thức hình học vào việc chứng minh: song song, vuông góc, chéo nhau, - Biết cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. - Biết cách so sánh, đặt tương ứng khoảng cách cần tìm với khoảng cách nào đó để tiện cho việc tính khoảng cách. - Biết cách vận dụng thành thạo các công thức liên quan đến tính khoảng cách, tính độ dài của đoạn thẳng - Kỹ năng vẽ hình không gian - Kỹ năng nhận dạng các hình đăc biệt như: tam giác(tam giác vuông, cân, đều), Tứ giác có hai đường chéo vuông góc, hình bình hành, hình thoi, chữ nhật - Kỹ năng nhận dạng các đa diện đặc biệt như: đa diện đều, hình chóp đều, lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp, hộp chữ nhật, lập phương - Biết vận dụng linh hoạt các công thức vào tính toán - Kỹ năng nhận dạng các khối đa diện đặc biệt - Kỹ năng xác định chiều cao của hình chóp, lăng trụ, hình trụ, hình nón - Kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức tính thể tích, công thức về tỉ số các thể tích của các khối chóp tam giác. - Kỹ năng dựng góc giữa hai đường thẳng trong không gian, góc giữa đ- ường thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng. - Biết cách thiết lập tương ứng sự thay đổi độ lớn của đoạn thẳng (góc, diện tích, thể tích ) với các đại lượng (biến số) hay hàm số của một hay nhiều biến số - Biết vận dụng các phương pháp tìm cực trị, GTLN, GTNN. 4 I.3. Một số phương pháp giải toán cực trị hình học Ph ương pháp 1: Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên. Phư ơng pháp 2: Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc, các bất đẳng thức trong tam giác. Ph ương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức trong đường tròn. Phư ơng pháp 4: Sử dụng một số phép dời hình. Ph ương pháp 5: Sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản. Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp hàm số. II. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC II.1 Kỹ năng 1. Các kỹ năng chung giải toán cực trị hình học: Vẽ hình, chứng minh, nhận dạng, áp dụng công thức, tính toán và biến đổi linh hoạt, so sánh, 2. Các kỹ năng giải toán cực trị, tìm GTLN, GTNN của hàm số: Kỹ năng tính đạo hàm, xét dấu của đạo hàm, kỹ năng vận dụng các quy tắc tìm cực trị, tìm GTLN, GTNN của hàm số 3. Kỹ năng vận dụng quy trình 4 bước để giải toán cực trị hình học bằng phương pháp hàm số có ứng dụng của đạo hàm II.2 Một số khó khăn và sai lầm khi giải toán cực trị hình học Khi giải toán hình học nói chung, giải toán cực trị hình học đặc biệt là hình học không gian, học sinh lớp 12 kể cả học sinh khá, giỏi môn Toán đã và có thể mắc những khó khăn và sai lầm sau: 1. Trong vẽ hình không gian: khó khăn do hình vẽ phức tạp, phương tiện hỗ trợ còn thô sơ (thước kẻ và compa), quy tắc vẽ hình không gian đơn giản song để vẽ đúng hình trong các trường hợp cụ thể còn gặp khó khăn như xác định hình chiếu, đường vuông góc, thiết diện,…. dẫn đến vẽ hình sai. 5 2. Khó khăn trong việc áp dụng các định lý, đặc biệt là cách xác định góc, khoảng, cách dẫn đến xác định sai góc, và khoảng cách. 3. Sai lầm khi không xét bài toán ở trường hợp đặc biệt, trường hợp không tồn tại theo giả thiết. 4. Khó khăn và sai lầm trong việc vận dụng các phương pháp giải toán cực trị hình học: so sánh các đại lượng, áp dụng bất đẳng thức, sử dụng phương pháp hàm số. Ví dụ 1. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Đường chéo BC’ hợp với mặt bên BAA’B’ một góc α . Tính thể tích hình lăng trụ. Nối BA’. Góc α = ∠ C’BA’ từ đó tính toán được: V = 2 sin41 2 sin8 3 2 3 α α − a (?) Sai lầm chính của lời giải là việc xác định góc giữa BC’ với mp(BAA’B’) Lẽ ra theo định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta phải tìm góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó lên mp. Do tam giác A’B’C’ đều nên gọi I là trung điểm của A’B’ ⇒ C’I ⊥ A’B’ và C’I ⊥ (A’B’BA) vì lăng trụ cho là đều. Từ đó suy ra α = ∠ C’BI, sau khi tính toán ta được kết quả đúng là V = α α 2 3 sin43 sin8 3 − a . Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Lấy hai điểm M và N theo thứ tự trên AC và A’B sao cho AM = A’N = t (0 ≤ t ≤ a 2 ). Tìm GTNN của M khi M, N lần lượt chuyển động trên AC, A’B. A’ C’ C B A B’ A’ C’ A C B I B’ 6 Bài giải Lập hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz sao cho O trùng B’,trục Ox chứa A’, trục Oy chứa C’ trục Oz chứa B Ta có: A(a; 0; a), C(0; a; a), A’(a; 0; 0), B(0; 0; a), M(a- a tt ; 2 ; 2 ), N(a- 2 ;0; 2 tt ) nên )0;;( aaAC −= );0;(' aaBA −= ,       −−= a tt MN 2 ; 2 ;0 Do MN nhỏ nhất khi và chỉ khi MN là đoạn vuông góc chung của AC và A’B nên        =       − =− ⇔      = = 0 2 0 2 0'. 0. a t a at BAMN ACMN hệ này vô nghiệm. Vậy giá trị nhỏ nhất không tồn tại! Lời giải sai lầm ở chỗ vì MN nhỏ nhất trong bài toán này có thể xảy ra mà MN không là đoạn vuông góc chung. Lời giải đúng là: Từ (!) thay là:MN 2 = 22 22       −+       a tt =t 2 - 2 at +a 2 = f(t), (0 ≤ t ≤ a 2 ). Ta có f’(t) = 2t - 2 a = 0 ⇔ t = 2 2a ⇔ M, N lần lượt là trung điểm AC, A’B Khi đó MN nhỏ nhất bằng 2 2a . 7 B’ B A’ D D’ C C’ A z y N M x CHƯƠNG II. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC I. HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH CÓ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC I.1. Mục tiêu 1. Giúp giáo viên có được hệ thống các bài toán ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi 2. Giúp học sinh củng cố, nắm vững kiến thức cơ bản, và có kỹ năng giải toán cực trị hình học dựa trên kiến thức và kỹ năng giải toán cực trị của hàm số. 3. Phát huy tính tự giác,tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh thông qua việc tự rèn luyện kỹ năng giải toán dạng này 4. Rèn luyện kỹ năng ứng dụng tri thức Toán học vào nội bộ môn Toán, tăng cường khả năng ứng dụng tri thức Toán học vào thực tế cho học sinh qua đó học sinh thấy được vai trò của công cụ Toán học. I.2. Hệ thống các bài toán điển hình I.2.1 Một số bài toán cực trị trong hình học không gian tổng hợp Bài toán 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Điểm M chạy trên đoạn AA’, điểm N chạy trên BC sao cho AM = BN = x (0 < x < 1). P là trung điểm của C’D’. Dựng thiết diện tạo bởi mp(MNP) của hình lập phương. Tìm x để chu vi thiết diện đạt GTNN. Bài giải Gọi Q là trung điểm của AB, Suy ra mặt phẳng (MNP) đi qua Q. Thật vậy: Gọi I là trung điểm của MN 8 A’ B’ M M’ I N A Q B S D’ P C’ T D C [...]... các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất III KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM III.1 Kết quả chung Đề tài đã đạt được mục tiêu của như đã đề ra Đặc biệt qua chuyên đề này học sinh được: củng cố kỹ năng giải toán nói chung theo quy trình ; không còn gặp trở ngại lớn đối với loại toán cực trị hình học trong không gian; có kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học; học sinh có hứng... LỚP 12 THÔNG QUA DẠY GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC Rèn luyện kỹ năng giải toán cực trị hình học có nhiều cơ hội phát triển tư duy sáng tạo cho HS vì thông qua đó HS được rèn luyện các hoạt động trí tuệ: Dự đoán, bác bỏ, khái quát hoá, tương tự hoá, vv Vận dụng nhuần nhiễn các thao tác trí tuệ và phối hợp các hoạt động, nhanh chóng phát hiện vấn đề, liên tưởng tốt Chọn được nhiều giải pháp, xét nhiều phương... = −1 + s  z = 2+s  I.2.3 Một số bài toán cực trị hình học có ứng dụng thực tiễn Bài toán 16 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại như hình dưới để được cái hộp không 24 nắp Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất Bài giải a x a 2 Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt, điều kiện 0 < x < Thể... 4 Giải bài toán tổng quát nhưng dùng phương pháp đặc trưng của hình học giải tích là: Viết phương trình của (d) dưới dạng tham số t, ta có toạ độ của M thuộc (d) theo tham số t Tính khoảng cách AM, BM theo biểu thức toạ độ, khi đó tổng AM + BM là giá trị của hàm số f biến t, khảo sát hàm số này suy ra t để hàm số đó đạt GTNN từ đó suy ra M 32 5 Cũng giải bài toán bằng phương pháp hình học giải tích... lại bài toán cũ để tìm ra hướng giải mới hay hơn, hiệu quả hơn cách giải quen thuộc: Qua các hướng tiếp cận của bài toán này ta có thể giải bài toán sau theo hướng mới: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AC và A’B ( có thể tiếp cận bằng phương pháp toạ độ) Qua những cách giải bài toán trên giúp HS có thể tìm tòi 31 hướng giải bài toán dưới... chiều cao của nó bằng 2R 3 Khi đó, thể tích của hình trụ là 4πR 3 3 3 I.2.2 Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích Bài toán 9 Trong hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho Parabol (P): y = x 2 và điểm A(-3; 0) Tìm M thuộc (P) sao cho đoạn AM nhỏ nhất, tìm giá trị đó Bài giải Cách 1 M ∈ (P) ⇒ M(a; a2) Ta có AM2 = (a+3)2 + a4 = a4+a2 + 6a + 9 Xét hàm số f(a) = a4+a2 + 6a + 9, a ∈ R f’(a) = 4a3+2a+6... trên song vì hàm f(t) có dạng a 2 + b 2 + c 2 + d 2 Nên ta có thể lựa chọn khéo léo để dùng được bất đẳng thức đã biết đối với HS khá, giỏi: Dùng bất đẳng thức: 2 2 2 2 a 2 + b 2 + c + d ≥ (a − c) + (b − d ) Khai thác hướng giải 4 của bài toán ta có thể khái quát hoá cách giải cho các bài toán tìm cực trị hình học liên quan đến sự biến thiên của điểm thuộc đường thẳng cho trước BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1... của hình hộp là x = 10 cm Bài toán 19 26 Cắt bỏ hình quạt tròn AOB (hình dưới) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình nón Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu (H1.3), 0 < x < 2 π a) Hãy biểu diễn bán kính r của hình tròn đáy và đường cao h của hình nón theo R và x Tính thể tích hình. .. trong kinh nghiệm giải toán đã gặp bài toán tìm đoạn vuông góc chung của AC, A’C thì sẽ bác bỏ ngay dự đoán này thể hiện tính linh hoạt của tư duy 2 Có thể tính MN theo a và t rồi tìm x để MN đạt GTNN sau đó dùng phương pháp đại số hay giải tích để tìm GTNN HD: áp dụng định lý Cosin trong tam giác và hệ quả đối với các tam giác A’BM; BMN để tìm được MN theo a và t 3 Tiếp cận bài toán bằng phương pháp... Tiếp cận bài toán bằng phương pháp toạ độ trong không gian Chuyển bài toán hình học tổng hợp sang bài toán hình học giải tích: Lập hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz sao cho O trùng B’,trục Ox chứa A’ , trục Oy chứa C’ trục Oz chứa B Từ đó tìm được toạ độ điểm M, N theo a, t Dùng công thức tính khoảng cách để tính MN 4 Tiếp cận bài toán bằng phương pháp véctơ hãy biểu diễn véctơ MN theo các véctơ . giải toán cho học sinh THPT - Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị của hàm số - Tìm hiểu thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm trong giải toán cực trị hình. THỐNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC I. HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH CÓ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC I.1. Mục tiêu. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC II.1 Kỹ năng 1. Các kỹ năng chung giải toán cực trị hình học: Vẽ hình, chứng minh, nhận dạng, áp dụng công thức, tính toán và