Khái niệm về ánh xạ tuyến tính 1. Định nghĩa: Cho V và V’ là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Ánh xạ gọi là 1 ánh xạ tuyến tính (linear transformations) hay đồng cấu tuyến tính (homomorphism) nếu f thỏa mãn hai tính chất sau đây: (L1): (tính bảo toàn phép cộng) (L2) (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng) Một ánh xạ tuyến tính đi từ V vào chính nó còn gọi là phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V. - Nhận xét: Từ hai điều kiện trên, dễ dàng nhận thấy rằng: là ánh xạ tuyến tính 2. Tính chất: Cho là ánh xạ tuyến tính, V, W là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Khi đó: 1. 2. Chứng minh: 1. Ta có: Suy ra: (*) Mặt khác: (**) Do đó, từ (*), (**) ta có: 2. Ta có: 3. Các ví dụ: 3.1: Ánh xạ hằng giá trị không: là một ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ không. 3.2: Ánh xạ đồng nhất , là một phép biến đổi tuyến tính trên V và gọi là phép biến đổi đồng nhất (hay toán tử đồng nhất) trên V. 3.3 Phép lấy đạo hàm là một phép biến đổi tuyến tính trên không gian R[x] các đa thức thực một biến x. 3.4 Phép lấy tích phân xác định: là một ánh xạ tuyến tính từ không gian C[a,b] các hàm số thực liên tục trên [a,b] đến không gian R. 3.5: Cho điểm . Phép lấy đối xứng qua trục Oy là một phép biến đổi tuyến tính. Nghĩa là: là một phép biến đổi tuyến tính. 4. Tính chất: 4.1 Ánh xạ tích của 2 ánh xạ tuyến tính và lại là 1 ánh xạ tuyến tính. 4.2 Qua một ánh xạ tuyến tính, một hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính lại biến thành 1 hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính. Nghĩa là: là 1 ánh xạ tuyến tính và là 1 hệ n vec-tơ phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ cũng là hệ phụ thuộc tuyến tính trong W. Ngược lại, nếu hệ là hệ độc lập tuyến tính trong W thì hệ độc lập tuyến tính trong V. Chứng minh: Do phụ thuộc tuyến tính nên: tồn tại ít nhất một sao cho: Suy ra: Hay: (*) Vậy tồn tại ít nhất một sao cho (*) xảy ra nên hệ phụ thuộc tuyến tính. Chú ý: Ánh xạ tuyến tính có thể biến 1 hệ độc lập tuyến tính thành một hệ phụ thuộc tuyến tính. 5.Định lý cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính: 5.1 Ví dụ mở đầu: Cho là một ánh xạ tuyến tính với: L(1,1) = (-1,1,2,3) L(-1,1)=(2,0,2,3) Tìm f(5,3)? Tổng quát, hãy xác định công thức f(x,y)? Giải: Ta biểu thị tuyến tính vec-tơ (5,3) theo hai vec-tơ (1,1) và (-1,1). Ta có: (5, 3) = 4(1, 1) – 1.(-1, 1) Khi đó, do L là ánh xạ tuyến tính nên: L(5, 3) = L(4.(1, 1) – 1.(-1, 1)) = 4L(1, 1) – L(-1,1) Vậy: L(5, 3) = 4.(-1, 1, 2, 3) – (2, 0, 2, 3) = (-6, 4, 6, 9) Tương tự: Từ đó, dễ dàng tìm được công thức của L(x,y). Nhận xét: ta chỉ có thể biểu thị tuyến tính mọi vec-tơ (x,y) theo 2 vec-tơ (1, 1) và (-1, 1) nếu hệ {(1, 1) , (-1, 1)} là cơ sở của 5.2 Định lý: Cho một cơ sở của không gian vec-tơ n chiều V và là n vec-tơ tùy ý của không gian vec-tơ W. Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính sao cho Ta bảo: ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở. Chứng minh: - Sự tồn tại: Giả sử x là 1 vec-tơ bất kỳ của V. Khi đó: Ta đặt: Vậy: f là 1 ánh xạ đi từ V vào W và hiển nhiên Ta cần chứng minh: f là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy vơi mọi vec-tơ x, y thuộc V. Ta có: . Ta cần chứng minh: Thật vậy, ta có: Do đó: Vậy f là ánh xạ tuyến tinh. - Sự duy nhất: Giả sử còn tồn tại ánh xạ tuyến tính mà Khi đó: với mọi ta có: Vậy f = g, hay f duy nhất.◊ 5.3 Các ví dụ: 5.3.1 Trong xét cơ sở chính tắc và trong cho 3 vec-tơ v1= (1, 1) ; v2 = (2, 3) ; v3 = (4, 5). Hãy xác định ánh xạ tuyến tính sao cho: 5.3.2 Trong không gian cho hai hệ vec-tơ: Hỏi có tồn tại duy nhất hay không toán tử tuyến tính f (g) trên sao cho ( ). Nếu có, hãy xác định f (g)? 6. Nhân (Kernel) và ảnh (Image) của ánh xạ tuyến tính: 6.1 Định nghĩa: Cho là ánh xạ tuyến tính. Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp: Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp: Số chiều của Imf và kerf tương ứng gọi là hạng và số khuyết của f, ký hiệu lần lượt là rank(f) và def(f). (nghĩa la dim(imf) ≡ rank(f); dim(kerf) ≡ def(f) ) 6.2 Ví dụ: Cho phép biến đổi tuyến tính: Xác định kerf và imf? . phép biến đổi tuyến tính. Nghĩa là: là một phép biến đổi tuyến tính. 4. Tính chất: 4.1 Ánh xạ tích của 2 ánh xạ tuyến tính và lại là 1 ánh xạ tuyến tính. 4.2 Qua một ánh xạ tuyến tính, một hệ. Nhân (Kernel) và ảnh (Image) của ánh xạ tuyến tính: 6.1 Định nghĩa: Cho là ánh xạ tuyến tính. Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp: Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp: Số chiều. nên hệ phụ thuộc tuyến tính. Chú ý: Ánh xạ tuyến tính có thể biến 1 hệ độc lập tuyến tính thành một hệ phụ thuộc tuyến tính. 5.Định lý cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính: 5.1 Ví dụ mở