SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Phần I - Một số kiến thức cần nhớ: 1) Điểm thuộc hay không thuộc đồ thò: Cho hàm số y = f(x) (1) có đồ thò là (C). M(x M ;y M )  (C)  y M = f(x M ) M(x M ;y M ) (C)  y M ≠ f(x M ) 2) Giao điểm của 2 đồ thò: Cho 2 hàm số: y = f(x) và y = g(x) có đồ thò là (C), (C’)  Toạ độ giao điểm chung của (C) và (C’) là nghiệm của hệ:      y f(x) y g(x) (*)  Hoành độ giao điểm chung của (C) và (C’) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (**) 3) Phương pháp xác đònh số giao diểm của (C) và (C’): Dùng hệ phương trình (*) hay phương trình (**)  Nếu (*) hay (**) có bao nhiêu nghiệm thì (C), (C’) có bấy nhiêu giao điểm.  Nếu (*) hay (**) vô nghiệm thì (C)  (C’) =  4) Tiếp điểm của 2 đồ thò:  (C), (C’) tiếp xúc  hệ phương trình sau có nghiệm      f(x) g(x) f '(x) g'(x) (Hệ phương trình hoành độ tiếp điểm) 5) Biện luận số nghiệm của phương trình:  Phương trình bậc 1: ax + b = 0 (1)  Có 1 nghiệm duy nhất  a ≠ 0  Có vô số nghiệm       a 0 b 0  Vô nghiệm       a 0 b 0  Phương trình bậc 2: ax 2 + bx + c = 0 (2)  (2) có 2 nghiệm phân biệt        a 0 0  (2) có 1 nghiệm             a 0 a 0 hay b 0 0  (2) vô nghiệm                a 0 a 0 b 0 hay 0 c 0  Phương trình bậc 3 có dạng tích: (x – x 0 )(ax 2 + bx + c) = 0 (3) (a ≠ 0) Ta có: (x – x 0 )(ax 2 + bx + c) = 0         0 2 x x ax bx c 0 (*) Số nghiệm của phương trình (3) phụ thuộc vào số nghiệm của pt (*):  Pt (3) có 3 nghiệm phân biệt  pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác x 0             2 0 0 a 0 0 ax bx c 0  Pt (3) có 2 nghiệm  pt (*) có 1 nghiệm (kép) khác x0 hay pt (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm là x 0 .  Pt (3) có 1 nghiệm  pt (*) có 1 nghiệm (kép) là x 0 hay pt (*) vô nghiệm.  Đặc biệt: Phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) (4) có đònh lí Viet:                   1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 b x x x a c x x x x x x a d x x x a và có:  PT (4) có 3 nghiệm x 1 ; x 2 ; x 3 lập thành một cấp số cộng  x 2 - x 1 = x 3 – x 2  x 1 + x 3 = 2x 2  Phương trình (4) có 3 nghiệm phân biệt khi: Hàm số y = f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d có CĐ, CT và y cđ và y ct trái dấu.  Phương trình (4) có 3 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ; x 3 thỏa mãn  < x 1 < x 2 < x 3  f(x)= ax 3 + bx 2 + cx + d sao cho              hàm số có CĐ , CTtại x' ,x''và x' x' ' hai giá trò ycđ và yct trái dấu af ( ) 0  Phương trình trùng phương: ax 4 + bx 2 + c = 0 (5)          2 2 t x 0 at bt c 0 (6) Chú ý:  Mỗi nghiệm t > 0 của (6) có 2 nghiệm đối nhau x =  t của (5)  Mỗi nghiệm t = 0 của (6) có1 nghiệm x = 0 của (5)  Mỗi nghiệm t < 0 của (6) không có nghiệm của (5) Kết luận: * (5) có 4 nghiệm khi (6) có 2 nghiệm dương phân biệt. * (5) có 3 nghiệm khi (6) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm t = 0. * (5) có 2 nghiệm khi (6) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm âm hay (6) có 1 nghiệm kép dương. * (5) có 1nghiệm khi (6) có 1 nghiệm t = 0 và 1 nghiệm âm hay có 1 nghiệm kép t = 0. * (5) vô nghiệm khi (6) có 2 nghiệm âm phân biệt hay pt (6) có 1 nghiệm kép âm hay (6) vô nghiệm. Đặc biệt: Pt (5) có 4 nghiệm x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 lập thành 1 cấp số cộng         1 2 2 1 pt (6) có 2 nghiệm dương phân biệt t t t 9t Phần II – Bài tập B) Một số bài tập cơ bản: Bài 1) Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thò hàm số: a) y = f(x) = x 3 + x 2 – x + 2; y = f(x) = 4x – 1 b) y = g(x) = 1 12   x x ; y = g(x) = -3x 2 – 9x – 1 Bài 2: a) Tìm a;b để cho (C):y =  1 a x và (C’):y= bx – 2 cắt nhau tại 2 điểm có hoành độ bằng –1 và 1 2 . b) Chứng tỏ rằng (C): y = x 2 – 2(k – 1)x + k 2 cắt (C’): y = 2x + 1 tại 2 điểm phân biệt với mọi k. c) Tìm k để (C): y = kx + 1 cắt (C’):     2 x 4x 3 y x 2 tại 2 điểm phân biệt. Bài 3) a) Tìm k để (C):y = -x + k; (C’): y =   2x 1 x 2 cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B với đoạn AB có độ dài ngắn nhất. b) Tìm k để (G): y = k cắt (G’): y =  2 x x 1 tại 2 điểm M và N với MN = 5 c) Tìm k để(C): y = kx + 2 cắt (C’):     2 x x 1 y x 1 tại 2 điểm thuộc 2 nhánh khác nhau của (C’). C) Các bài toán khác: Bài 4) Biện luận số giao điểm của (d): y = 3x + m và đồ thò (C) của hàm số:     2 x 3x 3 y 1 x Bài 5) Cho đường thẳng (d) qua A(-1;-2) có hệ số góc k. Biên luận theo k số giao điểm của (d) và đồ thò (C) của hàm số: y = x 3 – 3x 2 + 2 . Bài 6) Tìm m để đồ thò hsố sau cắt Ox ít nhất tại 1 điểm:                   2 2 2 2 2 x x f(x) (m 1) 3m 4m 1 x 1 x Bài 7) CMR khi k > 1 thì (d): y = kx + m luôn cắt đồ thò (C): của hsố:     2 x 2 x 2 y x 1 Bài 8) Tìm k để (C): y = k(x 2 – 1) cắt (C’): y = -2x 3 +x+1 tại 3 điểm phân biệt. Bài 9) Tìm k theo m để (D): y = k(x + 1) + 1 cắt đồ thò (C): y = -x 3 + mx 2 – m tại 3 điểm phân biệt. Bài 10) Tìm m để đồ thò các hàm số sau cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ dương: a) y = x 3 – 3mx 2 + 3(m 2 – 1)x – (m 2 – 1) b) y = x 3 – x 2 + 18mx – 2m Bài 11) Tìm m để đồ thò các hàm số sau: a) y = 2x 3 – 3(m + 3)x 2 + 18mx – 8; cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lớn hơn –1. b) y = x 3 – 3(m + 1)x 2 + 2(m 2 + 4m + 1)x – 4m(m + 1) cắt trục Ox tại 3 điểm ph/biệt có hoành độ lớn hơn 1 Bài 12) Tìm m để đồ thò các hàm số cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành một cấp số cộng: a) y = x 3 – 3x 2 – 9x + m b) y = x 3 – 3mx 2 + 2m(m – 4)x + 9m 2 – m Bài 13) Tìm m để đồ thò các hàm số cắt Ox tại 4 điểm cách đều nhau: a) y = x 4 – 2(m + 1)x 2 + 2m + 1 b) y = x 4 – (3m + 4)x 2 + m 2 Bài 14) Cho hàm số y = x 4 + ax 2 + b (1). Giả sử đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ tạo thành 1 cấp số cộng. CMR: 9a 2 – 100b = 0 Bài 15) Cho hàm số      2 x x a y x a với a là tham số Xác đònh a để đồ thò hàm số cắt đường thẳng y = x – 1 tại 2 điểm phân biệt. Khi đó gọi y 1 , y 2 là tung độ 2 giao điểm. Hãy tìm các hệ thức liên hệ giữa y 1 và y 2 không phụ thuộc a. Bài 16) Cho hàm số     2 x 2x 2 y x 1 có đồ thò (C) a) Tìm trên (C) điểm M(x;y) thoả điều kiện  y 2 x b) Tìm k sao cho trên (C) có 2 điểm khác nhau P và Q thoả mãn các điều kiện:          P P Q Q x y k x y k CMR khi đó P và Q cùng thuộc 1 nhánh của (C). Bài 17) Cho hàm số      2 x (m 2)x m y x 1 (1) . Xác đònh m để đường thẳng y = -(x + 4) cắt đường cong (1) tại 2 điểm đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Bài 18) Tìm 2 điểm trên đồ thò (H):     2 x 2x 2 y x 1 đối xứng nhau qua đường thẳng (D): y = x + 3. Bài 19) Cho đường cong (C): y = f(x) và (d): y = ax + b (a ≠ 0). CMR điều kiện cần và đủ để (C) nhận (d) làm trục đối xứng là:                2 2 2 2 (a 1)f(x) 2ax 2b (1 a ) 2a.f(x) 2ab f a 1 a 1 D) Bài tổng hợp: Bài 1) Cho hàm số     2 x 2mx m y x m (1) a) Khảo sát hàm số khi m = 2. Gọi đồ thò là (C). b) Viết pttt của (C) biết tt có hệ số góc âm và tạo với Ox một góc 45 0 . c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm CĐ & CT của đồ thò hàm số (1). d) Với giá trò nào của m, hàm số có giá trò cực đại và cực tiểu trái dấu, cùng dấu. Bài 2) a) Khảo sát hàm số: y = x 3 + 6x 2 + 9x + 1 b) Biện luận theo m số nghiệm cuả phương trình:  f(x) m với –3  x  1 . Chú ý:  M i nghiệm t > 0 của (6) có 2 nghiệm đ i nhau x =  t của (5)  M i nghiệm t = 0 của (6) có1 nghiệm x = 0 của (5)  M i nghiệm t < 0 của (6) không có nghiệm của (5) Kết. Giao i m của 2 đồ thò: Cho 2 hàm số: y = f(x) và y = g(x) có đồ thò là (C), (C’)  Toạ độ giao i m chung của (C) và (C’) là nghiệm của hệ:      y f(x) y g(x) (*)  Hoành độ giao i m. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Phần I - Một số kiến thức cần nhớ: 1) i m thuộc hay không thuộc đồ thò: Cho hàm số y = f(x) (1) có đồ thò là (C). M(x M ;y M ) 