Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 1 PHẦN MỞ ĐẦU Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 2 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Có thể nói trong chương trình toán ở bậc trung học phổ thông th ì phần kiến thức về bất đẳng thức l à khá khó. Nói về bất đẳng thức thì có rất nhiều bất đẳng thức được các nhà Toán học nổi tiếng tìm ra và chứng minh. Đối với phần kiến thức này thì có hai dạng bài tập là chứng minh bất đẳng thức v à vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán có liên quan. Là một sinh viên ngành toán tôi không ph ủ nhận cái khó của bất đẳng thức v à muốn tìm hiểu thêm về các úng dụng của bất đẳng thức để phục vụ cho việc giảng dạy toán sau này. Do đó tôi chọn đề tài “Vận dụng bất đẳng thức để t ìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất v à giải phương trình” để tìm hiểu thêm. Khi vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán dạng này thì có rất nhiều bất đẳng thức để chúng ta vận dụng. Ở đây tôi chỉ giới hạn trong ba bất đẳng thức l à bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski và bất đẳng thức vectơ. Trong đề tài này tôi trình bày cách v ận dụng ba bất đẳng thức trên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất v à giải phương trình để rèn luyện khả năng vận dụng bất đẳng thức để giải toán v à qua đó có thể tích lũy được kinh nghiệm trong giải toán để giảng dạy sau n ày. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục tiêu chính của đề tài này là tổng hợp các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và giải phương trình bằng bất đẳng thức chủ yếu vận dụng ba bất đẳng thức nói trên. Qua đây tôi hi vọng sẽ đưa ra đầy đủ các dạng vận của các bất đẳng thức nói trên. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng của đề tài là ba bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski v à bất đẳng thức vectơ cùng với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất v à các phương trình. Đề tài này chủ yếu xoay quanh ba đối t ượng trên bên cạnh đó tôi cũng giới thiệu v à chứng minh một số bất đẳng thức thông d ụng khác. IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Phạm vi của đề tài này chỉ xoay chủ yếu vào ba bất đẳng thức đã nêu trên để giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất v à giải phương trình. VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C ỨU Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và bài tập giải minh họa, tham khảo ý kiến của cán bộ h ướng dẫn Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 3 PHẦN NỘI DUNG Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 4 Phần 1: SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1. Định nghĩa bất đẳng thức Cho hai số thực ba, bất kỳ, ta định nghĩa: 0 baba 1.2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức  cbcaba   bacbca   bcacba   ba  dc  fdbeca  fe   ba  và mbmam  0  ba  và mbmam  0  0 ba 0 dc bdac   0 ba nn ba  n ba  1.3. Một số bất đẳng thức c ơ bản 1.3.1. Bất đẳng thức chứa trị tuyệt đối baba  dấu “=” xảy ra 0 ab baba  nn aaaaaa  2121 1.3.2. Bất đẳng thức Côsi Cho hai số dương a, b ta có: abba 2 Dấu “=” xảy ra ba  Tổng quát: cho n số không âm   1 2 , , , 2 n a a a n  , ta luôn có: 1 2 1 2 . n n n a a a n a a a n     Dấu “=” xảy ra 1 2 n a a a    Mở rộng: Cho n số dương   1 2 , , , 2 n a a a n  và n số 1 2 , , , n    dương có: 1 2 1 n       . Thì: 1 2 1 2 1 1 2 2 . n n n n a a a a a a          Dấu “=” xảy ra 1 2 n a a a    Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 5 1.3.3. Bất đẳng thức Bunhiacopski Bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho hai bộ số a, b và c, d ta có:      2222 2 dcbabdac  Dấu “=” xảy ra d b c a  Tổng quát: Cho n số 1 2 1 2 , , , và , , , n n a a a b b b tùy ý ta có:       2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 n n n n a b a b a b a a a b b b          Dấu “=” xảy ra 1 2 1 2 n n a a a b b b     Mở rộng: Cho m bộ số, mỗi bộ gồm n số không âm:     , , 1,2, , i i i a b c i m Khi đó ta có:         1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 m m m m m m m m m m m m m m m m a a a bb b c c c a b c a b c a b c              Dấu “=” xảy ra 1 1 1 2 2 2 : : : : : : : : : n n n a b c a b c a b c    1.3.4. Bất đẳng thức Bernuolli Cho 1a và Nr :  Nếu 1n thì   naa n  11 dấu “=” xảy ra 0 a hoặc 1n  Nếu 1 na thì   naa n  11 1.3.5. Bất đẳng thức vectơ  vuvu   vuvu   vuvu   wvuwvuwvu  Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 6 Phần 2: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ HOẶC BIỂU THỨC 2.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 2.1.1. Định nghĩa Cho biểu thức 1 2 P( , , , ) n x x x ( hàm số 1 2 ( , , , ) n f x x x ), xác định trên D - Nếu 1 2 P( , , , ) M n x x x  (hoặc 1 2 ( , , , ) M n f x x x  ) 1 2 ( , , , ) D n x x x  và 1 2 ( , , , ) D n x x x  sao cho: 1 2 P( , , , ) M n x x x  thì M gọi là giá trị lớn nhất của 1 2 P( , , , ) n x x x (hoặc 1 2 ( , , , ) n f x x x ). Kí hiệu là maxP hoặc P max ( 1 2 max ( , , , ) n f x x x hoặc 1 2 max ( , , , ) n f x x x ). - Nếu 1 2 P( , , , ) m n x x x  ( hoặc 1 2 ( , , , ) m n f x x x  ) thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của 1 2 P( , , , ) n x x x ( hàm số 1 2 ( , , , ) n f x x x ). Kí hiệu là minP hoặc P min (min 1 2 ( , , , ) n f x x x hoặc 1 2 min ( , , , ) n f x x x ). 2.1.2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức (h àm số) bằng phương pháp vận dụng bất đẳng thức Đối với việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức (hàm số) thì có thể kể đến các phương pháp sau: phương pháp kh ảo sát, phương pháp đánh giá thông thường và phương pháp sử dụng bất đẳng thức. Trong các ph ương pháp nêu trên thì phương pháp sử dụng các bất đẳng thức có thể coi là một trong những phương pháp thông dụng và hiệu quả nhất để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức và hàm số. Đối với phương pháp này, ta sử dụng các bất đẳng thức thông dụng như: bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, Schwartz, Bernouli, bất đẳng thức vectơ… để đánh giá biểu thức P (h oặc hàm số 1 2 ( , , , ) n f x x x ), từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cần t ìm. Phương pháp này, như tên g ọi của nó, dựa trực tiếp v ào định nghĩa của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức v à hàm số. Lược đồ chung của ph ương pháp này có thể miêu tả như sau: - Trước hết chứng minh một bất đẳng thức có dạng 1 2 P ( , , , ) D n x x x   với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc 1 2 P ( , , , ) D n x x x   đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất), ở đây P là biểu thức hoặc hàm số xác định trên D. - Sau đó chỉ ra một phần tử 01 02 0 ( , , , ) D n x x x  sao cho 01 02 0 P( , , , ) n x x x  . Tùy theo dạng của bài toán cụ thể mà ta chọn một bất đẳng thức thích hợp để áp dụng vào việc tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất. Do phạm vi của đề tài, ở đây chỉ giới thiệu phương pháp sử dụng ba bất đẳng thức là: Côsi, Bunhiacopski và phương pháp b ất đẳng thức vectơ. Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 3 2 ( )f x x x   ( 0x  ) Giải: Ta có: 3 2 2 2 2 5 3 3 6 5 1 1 1 1 1 1 1 5 ( ) 5 3 3 3 3 27 f x x x x x x x x              ( BĐT Côsi) Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 7 Dấu “ =” xảy ra 2 5 5 3 1 1 3 3 3 x x x x       Vậy Min   f x = 5 5 27 tại 5 3x  2.2. BÀI TẬP 2.2.1. Sử dụng bất đẳng thức Côsi Lưu ý: Để biết được bài toán nào sử dụng bất đẳng Côsi ta cần chú ý đến các thành phần của hàm số hoặc biểu thức. Nếu nó có dạng tích hoặc l à tổng của hai phần không âm và đặc biệt sau khi vận dụng bất đẳng thức Côsi th ì xuất hiện biểu thức của giả thiết ban đầu và đưa được về hằng số thì ta có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi để đánh giá để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 1: Cho ba số thực dương cba ,, . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:                    a c c b b a 111P Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: b a b a 21  c b c b 21  a c a c 21  Suy ra 88111                    abc abc a c c b b a Hay 8P  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 cba Vậy 8P min  Bài 2: Cho ba số thực 0,, cba thỏa 2 1 1 1 1 1 1       cba . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M abc Giải: Ta có: 2 1 1 1 1 1 1       cba cba       1 1 1 1 2 1 1 c c b b acba                         111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 8 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:    cb bc c c b b      11 2 11     1 2 1 1 1 bc a b c      (1) Tương tự, ta có:    ca ac b    11 2 1 1 (2)    ba ab c    11 2 1 1 (3) Từ (1) , (2) và (3) nhân vế với vế ta được:       2 2 2 2 2 2 1 1 1 8 1 1 1 1 1 1 a b c a b c a b c                                1 8 1 1 1 1 1 1 abc a b c a b c         Suy ra: 1 8 M abc  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1 1 1 1 1 2 a b c a b c          (thỏa điều kiện ban đầu) Vậy 1 8 M max  tại 1 2 a b c   Cách khác: Từ giả thiết ta có:                   1 1 1 1 1 1 2 1 1 1b c a c a b a b c                    2 3 2 1 1 1a b c ab bc ac a b c           1 2abc ab bc ac     (1) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 3 3 3 4 2 4 2abc ab bc ac a b c    (2) Từ (1) và (2) ta được: 3 3 3 4 1 4 2 1 8a b c abc   hay 1 M 8 abc  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 2 abc ab bc ac a b c       Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 9 Vậy M max = 1 8 tại 1 2 a b c   Bài toán tổng quát: Cho 1 2 , , , 0 n a a a  thỏa mãn : 1 1 1 1 n i i n a     Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 M . n a a a Lập luận như trên ta được M max 2 n  tại 1 2 1 1 n a a a n      Bài 3: Cho hàm số 2 4 4 4 ( ) 1 1 1f x x x x      xác định trên   D R : 1 1x x     . Tìm giá trị lớn nhất của ( )f x trên D. Giải: Áp dụng bất thức Côsi ta có: 2 4 4 4 1 1 1 1 . 1 2 x x x x x         (1) 4 4 1 1 1 1 .1 2 x x x       (2) 4 4 1 1 1 1 .1 2 x x x       (3) Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta đ ược: D( ) 1 1 1 xf x x x       (4) Nhận thấy (4) xảy ra khi v à chỉ khi (1), (2) và (3) đồng thời xảy ra khi v à chỉ khi 0x  . Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:   1 1 1 1 .1 2 x x x       (5)   1 1 1 1 .1 2 x x x       (6) Từ (5), (6) đưa đến: 1 1 2 1 1 1 3x x x x          (7) Dấu “=” ở (7) xảy ra khi v à chỉ khi ở (5) và (6) đồng thời xảy ra khi v à chỉ khi 0x  . Từ (4) và (7) suy ra ( ) 3 Df x x   . Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 10 Ta lại có à 0 D(0) 3, vf  . Do đó: max ( )f x = 3. Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thực sau: 1 1 ( ) 1 f x x x    với 0 1x  Giải: Ta có: 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 x x x x f x x x x x x x x x                           1 2 1 x x x x      Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: 2 1 1 ( ) 2 . 2 4 1 1 x x x x f x x x x x           Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1 2 x x x x x      Vậy min ( ) 4f x  tại 1 2 x  Bài 5: Cho ba số thực dương , ,a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b c b c c a a b       Giải: Đặt: , ,x b c y c a z a b        1 2 a b c x y z      Và , , 2 2 2 y z x z x y x y z a b c          (*) Từ đó ta có: 1 P 3 2 2 2 2 y z x z x y x y z y z z x x y x y z x y z                       1 3 2 y x z x z y x y x z y z                                [...]... 1 1 và 1 x , 1 y , 1 z , , 1 x 1 y 1 z Trang 27 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình Phần 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC Nói về phương trình thì có rất nhiều loại phương trình như phương rình bậc hai, bậc ba… ,phương trình vô tỉ, phương trình mũ, phương trình logarit….Mỗi phương trình có thể có nhiều phương pháp giải. .. số các phương pháp giải của các phương trình thì phương pháp sử dụng bất đẳng thức có thể coi l à phương pháp độc đáo và sáng tạo đòi hỏi người giải toán phải linh hoạt Sử dụng phương pháp này ta có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức khác nhau, có thể vận dụng riêng lẻ hoặc kết hợp nhiều bất đẳng thức Sau đây là một số bài toán giải phương trình bằng phương pháp vận dụng bất đẳng thức mà bất đẳng thức được... www.daihoc.com.vn xn an Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình 2.2.2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Lưu ý: Để áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopski thì hàm số hoặc biểu thức hoặc các biểu thức giả thiết phải có dạng tích của hai biểu thức hoặc tổng của các biểu thức mà chúng là tích của hai thừa số Và sau khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski thì phải có phần đưa về biểu thức giả thiết... Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 1; x 7 3.2 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Lưu ý: Để áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopski t hì phương trình phải có dạng tích của hai biểu thức hoặc tổng của các biểu thức m à chúng là tích của hai thừa số Và sau khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski th ì phải có phần đưa về Trang 32 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và. .. đẳng thức mà bất đẳng thức được sử dụng chủ yếu là bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski v à bất đẳng thức vectơ 3.1 Vận dụng bất đẳng thức Côsi Lưu ý: Để áp dụng được bất đẳng thức Côsi để giải thì: một trong hai vế của phương trình sau khi áp dụng bất đẳng thức Côsi phải lớn h ơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) vế còn lại, hoặc sau khi áp dụng bất đẳng thức th ì được một đẳng thức ước lượng được nhỏ hơn (lớn... 2 và x 4 là nghiệm của phương trình 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 2 và x Trang 29 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn 4 0 x x 2 4 Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình 1 x Bài 4: Giải phương trình sau: 8 x 2 5 2 Giải: Điều kiện: x 0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: 1 1 1 1 1 8x 2 8x 2 x 4 x 4 x 1 1 4 x 1 1 4 x 1 1 1 1 1 23 1 5 5.5 8 x 2 2 4 4 x x x x 2 x 2 Dấu đẳng. .. www.daihoc.com.vn x Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình 1 Vậy nghiệm của phương trình là x x2 Bài 6: Giải phương trình sau: Giải: x2 4x 9 5 2 x2 4x 9 0 x 2 2 4x 9 6 5 0 x 2 x2 4x 9 0 x 2 5 0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số d ương, ta có: Điều kiện: x2 x2 4x 9 x2 2 9 4x x Dấu “=” xảy ra, do đó: 2 x2 x4 2x2 4x 9 2 2 4 R 4 x 9 x 2 81 2 81 4x 9 2.3 6 0 x 0 2x 0 Vậy nghiệm của phương trình. .. www.daihoc.com.vn 2 4 8 Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình x 0 0 x 1 1 x 0 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski và Bunhiacopski mở rộng ta có: 1 x 1 1 x 1 1 x 1 x 2 Điều kiện: 1.4 x 1.4 1 x 4 1 1 1 1 1 1 x 1 x 4 8 4 x 41 x x 1 x 2 48 Dấu “=” trong đẳng thức xảy ra khi v à chỉ khi: x 1 x 1 (thỏa điều kiện) x 4 4 2 x 1 x Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x 3x 2 1 Bài 8: Giải phương trình sau:... www.daihoc.com.vn 2 4x 1 x2 x 1 0 (1) Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình Kết hợp điều kiện ban đầu ta có nghiệm l à x 5 x2 4x 5 2 1 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x Bài 5: Giải phương trình 1 5 2 2x 3 5 4 Giải: Điều kiện: 5 x 2 4 x 0 1 x 5 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 1 2 x 2 1 5 x 2 4 x 1 4 1 x 2 4x 4 5 x2 4x 5 x2 4x 2x 3 5 4 Dấu đẳng thức xảy ra trong (2) 2 5 x2 x... 0 Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình Ta có: 3 25 x 2 x 2 3 9 3 x 4x2 4x 25 x 4 2 x 2 9 3.3 25 x 4 2 x 2 3 5x 2 9 5x 2 2x2 9 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số d ương: 5 x 2 ; 5 x 2 ; 2 x 2 9 có: (*) 5 x 2 5 x 2 2 x 2 9 3.3 25 x 4 2 x 2 9 Dấu “=” đẳng thức (*) xảy ra khi v à chỉ khi: 5x 2 2x 2 9 3x 2 9 x2 3 x 3 Thử lại: x 3 là nghiệm của phương trình đã cho 3 Vậy phương trình . www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 1 PHẦN MỞ ĐẦU Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 2 I Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 3 PHẦN NỘI DUNG Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 4 Phần. www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 15 2.2.2. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Lưu ý: Để áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopski thì hàm số hoặc biểu thức