0 MỘT TRĂM BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9. Phần 1: 50 bài tập cơ bản. 1 Lời nói đầu: Trong quá trình ôn thi tốt nghiệp cho học sinh lớp 9,chúng ta đều nhận thấy học sinh rất ngại chứng minh hình học. Cũng do học sinh còn yếu kiến thức bộ môn.Hơn nữa giáo viên thường rất bí bài tập nhằm rèn luyện các kỹ năng, đặc biệt là luyện thi tốt nghiệp.Đồng thời do học sinh chúng ta là học sinh có hoàn cảnh gia đình còn nghèo vì vậy học sinh yếu kỹ năng vận dụng nếu chúng ta chỉ chữa một vài bài tập mà thôi. Do để học sinh có thể chủ động trong quá trình làm bài,các bài tập trong tài liệu này chỉ có tính cất gợi ý phương án chứng minh chứ chưa phải là bài giải hoàn hảo nhất. Bên cạnh đó để có bài tập riêng của từng giáo viên,người giáo viên cần biết biến đổi bài tập trong tài liệu này sao cho phù hợp với đối tượng học sinh. Tài liệu được sưu tầm trong các sách và đã được thống kê trong phần phụ lục.Cấm việc in sao,sao chép dưới bất kỳ hình thức nào mà không có sự nhất trí của tác giả. Dù có nhiều cố gắng song tài liệu chắc chắn kông thể không có sai soat.Mong được sự góp ý của bạn đọc.Thư về: 2 Bài 1: Cho ABC có các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N. 1. Chứng minh:BEDC nội tiếp. 2. Chứng minh: góc DEA=ACB. 3. Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác. 4. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA là phân giác của góc MAN. 5. Chứng tỏ: AM 2 =AE.AB. Giợi ý: y A x N E D M O B C Ta phải c/m xy//DE. Do xy là tiếp tuyến,AB là dây cung nên sđ góc xAB= 2 1 sđ cung AB. Mà sđ ACB= 2 1 sđ AB. góc xAB=ACB mà góc ACB=AED(cmt) xAB=AED hay xy//DE. 4.C/m OA là phân giác của góc MAN. Do xy//DE hay xy//MN mà OAxyOAMN.OA là đường trung trực của MN.(Đường kính vuông góc với một dây)AMN cân ở A AO là phân giác của góc MAN. 5.C/m :AM 2 =AE.AB. Do AMN cân ở A AM=AN cung AM=cung AN.góc MBA=AMN(Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau);góc MAB chung MAE  BAM MA AE AB MA   MA 2 =AE.AB.  1.C/m BEDC nội tiếp: C/m góc BEC=BDE=1v. Hia điểm D và E cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vuông. 2.C/m góc DEA=ACB. Do BECD ntDMB+DCB=2v. Mà DEB+AED=2v AED=ACB 3.Gọi tiếp tuyến tại A của (O) là đường thẳng xy (Hình 1) Hình 1 3 Bài 2: Cho(O) đ?ờg kính AC.trên đạ OC lấ để B và vẽđ?ờg tròn tâm O’, đ?ờg kính BC.Gọ M là trung để củ đạ AB.TừM vẽdây cung DE vuông góc vớ AB;DC cắ đ?ờg tròn tâm O’ tạ I. 1.Tứgiác ADBE là hình gì? 2.C/m DMBI nộ tiế. 3.C/m B;I;C thẳg hàng và MI=MD. 4.C/m MC.DB=MI.DC 5.C/m MI là tiế tuyế củ (O’) Gợ ý: D I A M O B O’ C E 3.C/m B;I;E thẳg hàng. Do AEBD là hình thoi BE//AD mà ADDC (góc nộ tiế chắ nử đ?ờg tròn)BEDC; CMDE(gt).Do góc BIC=1v BIDC.Qua 1 để B có hai đ?ờg thẳg BI và BE cùng vuông góc vớ DC B;I;E thẳg hàng. C/m MI=MD: Do M là trung để DE; EID vuông ởIMI là đ?ờg trung tuyế củ tam giác vuông DEI MI=MD. 4. C/m MC.DB=MI.DC. hãy chứg minh MCI DCB (góc C chung;BDI=IMB cùng chắ cung MI do DMBI nộ tiế) 5.C/m MI là tiế tuyế củ (O’) -Ta có O’IC Cân góc O’IC=O’CI. MBID nộ tiế MIB=MDB (cùng chắ cung MB) BDE cân ởB góc MDB=MEB .Do MECI nộ tiế góc MEB=MCI (cùng chắ cung MI) Từđ suy ra góc O’IC=MIB MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v Vậ MI O’I tạ I nằ trên đ?ờg tròn (O’) MI là tiế tuyế củ (O’).  Bài 3: Cho ABC có góc A=1v.Trên AC lấ để M sao cho AM<MC.Vẽđ?ờg tròn tâm O đ?ờg kính CM;đ?ờg thẳg BM cắ (O) tạ D;AD kéo dài cắ (O) tạ S. 1. C/m BADC nộ tiế. 1.Do MA=MB và AB  DE tạ M nên ta có DM=ME. ADBE là hình bình hành. Mà BD=BE(AB là đ?ờg trung trự củ DE) vậ ADBE ;là hình thoi. 2.C/m DMBI nộ tiế. BC là đ?ờg kính,I(O’) nên Góc BID=1v.Mà góc DMB=1v(gt) BID+DMB=2vđcm. Hình 2 4 2. BC cắ (O) ởE.Cmr:MR là phân giác củ góc AED. 3. C/m CA là phân giác củ góc BCS. Gợ ý: D S A M O B E C AEM=MED. 4.C/m CA là phân giác củ góc BCS. -Góc ACB=ADB (Cùng chắ cung AB) -Góc ADB=DMS+DSM (góc ngoài tam giác MDS) -Mà góc DSM=DCM(Cùng chắ cung MD) DMS=DCS(Cùng chắ cung DS) Góc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA. Vậ góc ADB=SCAđcm.  1.C/m ABCD nộ tiế: C/m A và D cùng làm vớ hai đ?u đạ thẳg BC mộ góc vuông 2.C/m ME là phân giác củ góc AED. Hãy c/m AMEB nộ tiế. Góc ABM=AEM( cùng chắ cung AM) Góc ABM=ACD( Cùng chắ cung MD) Góc ACD=DME( Cùng chắ cung MD) Hình 3 5 Bài 4: Cho ABC có góc A=1v.Trên cạh AC lấ để M sao cho AM>MC.Dựg đ?ờg tròn tâm O đ?ờg kính MC;đ?ờg tròn này cắ BC tạ E.Đ?ờg thẳg BM cắ (O) tạ D và đ?ờg thẳg AD cắ (O) tạ S. 1. C/m ADCB nộ tiế. 2. C/m ME là phân giác củ góc AED. 3. C/m: Góc ASM=ACD. 4. Chứg tỏME là phân giác củ góc AED. 5. C/m ba đ?ờg thẳg BA;EM;CD đ?ng quy. Gợ ý: A S D M B E C ABD=ACD (Cùng chắ cung AD) Do MECD nộ tiế nên MCD=MED (Cùng chắ cung MD) Do MC là đ?ờg kính;E(O)Góc MEC=1vMEB=1v ABEM nộ tiếGóc MEA=ABD. Góc MEA=MEDđcm 3.C/m góc ASM=ACD. Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngoài tam giác SMD) Mà góc SMD=SCD(Cùng chắ cung SD) và Góc SDM=SCM(Cùng chắ cung SM)SMD+SDM=SCD+SCM=MCD. Vậ Góc A SM=ACD. 4.C/m ME là phân giác củ góc AED (Chứg minh nhưcâu 2 bài 2) 5.Chứg minh AB;ME;CD đ?ng quy. Gọ giao để AB;CD là K.Ta chứg minh 3 để K;M;E thẳg hàng. Do CAAB(gt);BDDC(cmt) và AC cắ BD ởMM là trự tâm củ tam giác KBCKM là đ?ờg cao thứ3 nên KMBC.Mà MEBC(cmt) nên K;M;E thẳg hàng đcm.  1.C/m ADCB nộ tiế: Hãy chứg minh: Góc MDC=BDC=1v Từđ suy ra A vad D cùng làm vớ hai đ?u đạ thẳg BC mộ góc vuông… 2.C/m ME là phân giác củ góc AED. Do ABCD nộ tiế nên Hình 4 6 Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọ và AB<AC nộ tiế trong đ?ờg tròn tâm O.Kẻđ?ờg cao AD và đ?ờg kính AA’.Gọ E:F theo thứtựlà chân đ?ờg vuông góc kẻtừB và C xuốg đ?ờg kính AA’. 1. C/m AEDB nộ tiế. 2. C/m DB.A’A=AD.A’C 3. C/m:DEAC. 4. Gọ M là trung để BC.Chứg minh MD=ME=MF. Gợ ý: A N E O I B D M C F A’ 1/C/m AEDB nộ tiế.(Sửdụg hai để D;E cùng làm vớ hai đ?u đạ AB… 2/C/m: DB.A’A=AD.A’C .Chứg minh đ?ợ hai tam giác vuông DBA và A’CA đ?ng dạg. 3/ C/m DEAC. Do ABDE nộ tiế nên góc EDC=BAE(Cùng bù vớ góc BDE).Mà góc BAE=BCA’(cùng chắ cung BA’) suy ra góc CDE=DCA’. Suy ra DE//A’C. Mà góc ACA’=1v nên DEAC. 4/C/m MD=ME=MF. Gọ N là trung để AB.Nên N là tâm đ?ờg tròn ngoạ tiế tứgiác ABDE. Do M;N là trung để BC và AB MN//AC(Tính chấ đ?ờg trung bình) Do DEAC MNDE (Đ?ờg kính đ qua trung để mộ dây…MN là đ?ờg trung trự củ DE ME=MD.  Gọ I là trung để AC.MI//AB(tính chấ đ?ờg trung bình) A’BC=A’AC (Cùng chắ cung A’C). Do ADFC nộ tiế Góc FAC=FDC(Cùng chắ cung FC) Góc A’BC=FDC hay DF//BA’ Mà ABA’=1vMIDF.Đ?ờg kính MIdây cung DFMI là đ?ờg trung trự củ DFMD=MF. Vậ MD=ME=MF.  Hình 5 7 Bài 6: Cho ABC có ba góc nhọ nộ tiế trong đ?ờg tròn tâm O.Gọ M là mộ để bấ kỳtrên cung nhỏAC.Gọ E và F lầ lư?t là chân các đ?ờg vuông góc kẻtừM đ?n BC và AC.P là trung để AB;Q là trung để FE. 1/C/m MFEC nộ tiế. 2/C/m BM.EF=BA.EM 3/C/M AMPFMQ. 4/C/m góc PQM=90 o . Giả: A M F P B E C Do MFEC nộ tiế nên góc ACM=FEM(Cùng chắ cung FM). Góc ABM=FEM.(1) Ta lạ có góc AMB=ACB(Cùng chắ cung AB).Do MFEC nộ tiế nên góc FME=FCM(Cùng chắ cung FE).Góc AMB=FME.(2) Từ(1)và(2) suy ra :EFMABM đpcm. 3/C/m AMPFMQ. Ta có EFMABM (theo c/m trên) MF AM FE AB  ma AM=2AP;FE=2FQ (gt)  FM AM FQ AP MF AM FQ AP  2 2 và góc PAM=MFQ (suy ra từ EFMABM) Vậy: AMPFMQ. 4/C/m góc:PQM=90 o . Do góc AMP=FMQ PMQ=AMF PQMAFM góc MQP=AFM Mà góc AFM=1vMQP=1v(đcm).  1/C/m MFEC nộ tiế: (Sửdụg hai để E;F cung làm vớ hai đ?u đạ thẳg CM… 2/C/m BM.EF=BA.EM C/m:EFMABM: Ta có góc ABM=ACM (Vì cùng chắn cung AM) Hình 6 8 Bài 7: Cho (O) đ?ờg kính BC,để A nằ trên cung BC.Trên tia AC lấ để D sao cho AB=AD.Dựg hình vuông ABED;AE cắ (O) tạ để thứhai F;Tiế tuyế tạ B cắ đ?ờg thẳg DE tạ G. 1. C/m BGDC nộ tiế.Xác đ?nh tâm I củ đ?ờg tròn này. 2. C/m BFC vuông cân và F là tâm đ?ờg tròn ngoạ tiế BCD. 3. C/m GEFB nộ tiế. 4. Chứg tỏC;F;G thẳg hàng và G cũg nằ trên đ?ờg tròn ngoạ tiế BCD.Có nhậ xét gì vềI và F A B O C F I D G E Xét hai tam giác FEB và FED có:E F chung; Góc BE F=FED =45 o ;BE=ED(hai cạh củ hình vuông ABED).BFE=E FD BF=FDBF=FC=FD.đcm. 3/C/m GE FB nộ tiế: Do BFC vuông cân ởF Cung BF=FC=90 o . sđóc GBF= 2 1 Sđcung BF= 2 1 .90 o =45 o .(Góc giữ tiế tuyế BG và dây BF) Mà góc FED=45 o (tính chấ hình vuông)Góc FED=GBF=45 o .ta lạ có góc FED+FEG=2vGóc GBF+FEG=2v GEFB nộ tiế. 4/ C/m C;F;G thẳg hàng:Do GEFB nộ tiế Góc BFG=BEG mà BEG=1vBFG=1v.Do BFG vuông cân ởFGóc BFC=1v.Góc BFG+CFB=2vG;F;C thẳg hàng. C/m G cũg nằ trên…:Do GBC=GDC=1vtâm đ?ờg tròn ngt tứgiác BGDC là FG nằ trên đ?ờg tròn ngoạ tiế BCD. Dễdàng c/m đ?ợ I F. Bài 8: 1/C/m BGEC nộ tiế: -Sửdụg tổg hai góc đ?i… -I là trung để GC. 2/C/mBFC vuông cân: Góc BCF=FBA(Cùng chắ cung BF) mà góc FBA=45 o (tính chấ hình vuông) Góc BCF=45 o . Góc BFC=1v(góc nộ tiế chắ nử đ?ờg tròn)đcm. C/m F là tâm đ?ờg tròn ngoạ tiế BDC.ta C/m F cách đ?u các đ?nh B;C;D Do BFC vuông cân nên BC=FC. Hình 7 9 Cho ABC có 3 góc nhọ nộ tiế trong (O).Tiế tuyế tạ B và C củ đ?ờg tròn cắ nhau tạ D.TừD kẻđ?ờg thẳg song song vớ AB,đ?ờg này cắ đ?ờg tròn ởE và F,cắ AC ởI(E nằ trên cung nhỏBC). 1. C/m BDCO nộ tiế. 2. C/m: DC 2 =DE.DF. 3. C/m:DOIC nộ tiế. 4. Chứg tỏI là trung để FE. A F O I B C E D Ta có: sđóc BAC= 2 1 sđung BC(Góc nộ tiế) (1) Sđgóc BOC=sđung BC(Góc ởtâm);OB=OC;DB=DC(tính chấ hai tiế tuyế cắ nhau);OD chungBOD=CODGóc BOD=COD 2sđgócDOC=sđcung BC sđóc DOC= 2 1 sđungBC (2) Từ(1)và (2)Góc DOC=BAC. Do DF//ABgóc BAC=DIC(Đ?ng vị Góc DOC=DIC Hai để O và I cùng làm vớ hai đ?u đạ thẳg Dc nhữg góc bằg nhau…đcm 4/Chứg tỏI là trung để EF: Do DOIC nộ tiế  góc OID=OCD(cùng chắ cung OD) Mà Góc OCD=1v(tính chấ tiế tuyế)Góc OID=1v hay OIID OIFE.Bán kính OI vuông góc vớ dây cung EFI là trung đểEF.  1/C/m:BDCO nộ tiế(Dùng tổg hai góc đ?i) 2/C/m:DC 2 =DE.DF. Xét hai tam giác:DEC và DCF có góc D chung. SđócECD= 2 1 sđcung EC(Góc giữ tiế tuyế và mộ dây) Sđgóc E FC= 2 1 sđcung EC(Góc nộ tiế)góc ECD=DFC. DCE DFCđcm. 3/C/m DOIC nộ tiế: Hình 8 [...].. .Bài 9: Cho (O),dây cung AB.Từđể M bấ kỳtrên cung AB(MA và MB),kẻdây cung MN vuông góc vớ AB tạ H.Gọ MQ là đ?ờg cao củ tam giác MAN 1 C/m 4 để A;M;H;Q cùng nằ trên mộ đ?ờg tròn 2 C/m:NQ.NA=NH.NM 3 C/m Mn là phân giác củ góc BMQ 4 Hạđạ thẳg MP vuông góc vớ BN;xác đ?nh vịtrí củ M trên cung AB đ? MQ.AN+MP.BN có giác trịlớ nhấ Giả:Có 2 hình vẽcách c/m tư?ng tựSau đy chỉC/m trên hình 9- a Hình 9a A... củ nó theo a 5 C/m MFIE nộ tiế A M D F E P I N 1/C/m INCQ là hình vuông: MI//AP//BN(gt)MI=AP=BN NC=IQ=PD NIC vuông ởN có ICN=45o(Tính chấ đ?ờg chéo hình vuông)NIC vuông cân ởN INCQ là hình vuông 2/C/m:NQ//DB: Do ABCD là hình vuông DBAC Do IQCN là hình vuông NQIC 22 B Q C Hình 22 Hay NQACNQ//DB 3/C/m MFIN nộ tiế: Do MPAI(tính chấ hình vuông)MFI=1v;MIN=1v(gt) hai để F;I cùng làm vớ hai đ?u... ADHJOKHOHDKC nộ tiế   19 Bài 19: Cho nử đ?ờg tròn (O) đ?ờg kính AB,bán kính OCAB.Gọ M là 1 để trên cung BC.Kẻđ?ờg cao CH củ tam giác ACM 1 Chứg minh AOHC nộ tiế 2 Chứg tỏCHM vuông cân và OH là phân giác củ góc COM 3 Gọ giao để củ OH vớ BC là I.MI cắ (O) tạ D.Cmr:CDBM là hình thang cân 4 BM cắ OH tạ N.Chứg minh BNI và AMC đ?ng dạg,từđ suy ra: BN.MC=IN.MA C N D I M H O A Hình 19 o B 1/C/m AOHC nộ tiế:... củ góc BCAACM=MCB=45o cungAM=MB =90 o dây AM=MB có O là trung để AB OMAB hay gócBOM=BKM=1v BOMK nộ tiế H A O B I Q P K M Hình 17 2/C/m CHMK là hình vuông: Do  vuông HCM có 1 góc bằg 45o nên CHM vuông cân ởH HC=HM, tư?ng tựCK=MK Do C=H=K=1v CHMK là hình chữnhậ có hai cạh kềbằg nhau CHMK là hình vuông 3/C/m H,O,K thẳg hàng: Gọ I là giao để HK và MC;do MHCK là hình vuôngHKMC tạ trung để I củ... GI= AIG là trọg tâm củ ABC AH AG 2 2 3     Bài 31: Cho (O0 và cung AB =90 o.C là mộ để tuỳý trên cung lớ AB.Các đ?ờg cao AI;BK;CJ củ ABC cắ nhau ởH.BK cắ (O) ởN;AH cắ (O) tạ M.BM và AN gặ nhau ởD 30 1 2 3 4 5 C/m:B;K;C;J cùng nằ trên mộ đ?ờg tròn c/m: BI.KC=HI.KB C/m:MN là đ?ờg kính củ (O) C/m ACBD là hình bình hành C/m:OC//DH Bài này có hai hình vẽtuỳvào vịtrí củ C.Cách N c/m tư?ng tự 1/C/m... hay MBN=1vMN là đ?ờg kính củ (O) 5/C/m OH//DH Do MN là đ?ờg kính MAN=1v(góc nt chắ nử đròn) mà CAN =45o MAC=45 o hay cung MC =90 oMNC=45o.Góc ởtâm MOC chắ cung MC =90 oMOC =90 oOCMN Do DBNH;HADN;AH và DB cắ nhau ởMM là trự tâm củ DNH MNDHOC//DH    Bài 32: Cho hình vuông ABCD.Gọ N là mộ để bấ kỳtrên CD sao cho CN . MỘT TRĂM BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9. Phần 1: 50 bài tập cơ bản. 1 Lời nói đầu: Trong quá trình ôn thi tốt nghiệp cho học sinh lớp 9, chúng ta đều nhận thấy học sinh. gia đình còn nghèo vì vậy học sinh yếu kỹ năng vận dụng nếu chúng ta chỉ chữa một vài bài tập mà thôi. Do để học sinh có thể chủ động trong quá trình làm bài, các bài tập trong tài liệu này chỉ. hình học. Cũng do học sinh còn yếu kiến thức bộ môn.Hơn nữa giáo viên thường rất bí bài tập nhằm rèn luyện các kỹ năng, đặc biệt là luyện thi tốt nghiệp.Đồng thời do học sinh chúng ta là học