Bài tập chương 1 Bài 1.1. Cho A =  2 1 −1 0 1 −4  , B =  −2 1 0 −3 2 2  . Tính 3A ± 2B; A  A; A A  . Bài 1.2. Tìm x, y, z và w biết rằng 3  x y z w  =  x 6 −1 2w  +  4 x + y z + w 3  . Bài 1.3. Tính các tích a)   1 −3 2 3 −4 1 2 −5 3     2 5 6 1 2 5 1 3 2   ; b)   5 0 2 3 4 1 5 3 3 1 −1 2       6 −2 7 4     ; Bài 1.4. Tính AB − BA nếu a) A =  1 2 4 −1  , B =  2 −3 −4 1  ; b) A =   1 1 1 0 1 1 0 0 1   , B =   7 5 3 0 7 5 0 0 7   . Bài 1.5. Tính A  A và AA  với (a) A =  1 2 1 3 4 −1 5 −1  ; (b)A =   −1 −2 3 1 0 −1 −1 −2 2 −1 3 −2   ; 1 Bài 1.6. Cho A =   0 1 0 0 0 1 0 0 0   , tính A 2 và A 3 . Bài 1.7. Tìm tất cả các ma trận cấp 2 giao hoán với A =  1 2 0 1  . Bài 1.8. Tìm tất cả các ma trận cấp 3 giao hoán với A =   1 0 1 0 1 −2 0 0 2   . Bài 1.9. Hãy xác định f(A) trong các trường hợp sau: a) A =  2 −1 3 −2  ; f(x) = 2x 3 + 3x 2 − 7x + 5. b) A =  1 3 2 4  ; f(x) = 3x 3 − 2x 2 − x + 2. c) A =   0 1 1 1 0 1 1 1 0   ; f(x) = 4x 2 − 3x + 4. d) A =   1 −1 0 0 1 −1 −1 0 1   ; f(x) = x 2 + 4x − 5. Bài 1.10. Tính A k , k ∈ N biết rằng: a) A =  2 −1 3 −2  ; b) A =  1 α 0 1  ; 2 c) A =  α β 0 α  ; d) A =   1 1 1 1 1 1 1 1 1   ; e) A =   1 1 1 0 1 1 0 0 1   ; f) A =   1 1 0 0 1 1 0 0 1   . Bài 1.11. * Cho A ∈ M n (K) có tất cả các phần tử đều bằng α (α ∈ K). Hãy tính A k , k ∈ N. Bài 1.12. Xác định hạng của các ma trận sau: a)   3 5 7 1 2 3 1 3 5   ; b)   1 1 3 2 1 4 1 2 5   ; c)   1 1 −3 −1 0 2 −3 5 0   ; d)   1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12   ; e)   4 3 2 2 0 2 1 1 0 0 3 3   ; f)   1 2 3 6 2 3 1 6 3 1 2 6   ; g)     1 −1 5 −1 1 1 −2 3 3 −1 8 1 1 3 −9 7     ; h)     1 3 −2 −1 2 5 −2 1 1 1 6 13 −2 −6 8 10     . Bài 1.13. Tìm và biện luận hạng của các ma trận sau theo tham số m, n ∈ K: a)   1 1 −3 2 1 m 1 m 3   ; b)   m 5m −m 2m m 10m −m −2m −3m   ; c)     3 1 1 4 m 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 1     ; d*)     m 0 0 n n m 0 0 0 n m 0 0 0 n m     . Bài 1.14. Dùng Thuật toán Gauss hoặc Gauss-Jordan, giải các hệ phương trình sau: 3 a)    2x 1 + x 2 − 2x 3 = 10; 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 1; 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 4. b)    x 1 − 2x 2 + x 3 = 7; 2x 1 − x 2 + 4x 3 = 17; 3x 1 − 2x 2 + 2x 3 = 14. c)    x 1 + 2x 2 − x 3 = 3; 2x 1 + 5x 2 − 4x 3 = 5; 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 = 12. d)    2x 1 + x 2 − 3x 3 = 1; 5x 1 + 2x 2 − 6x 3 = 5; 3x 1 − x 2 − 4x 3 = 7. e)    2x 1 + x 2 − 2x 3 = 8; 3x 1 + 2x 2 − 4x 3 = 15; 5x 1 + 4x 2 − x 3 = 1. f)    x 1 + 2x 2 − 3x 3 = 1; 2x 1 + 5x 2 − 8x 3 = 4; 3x 1 + 8x 2 − 13x 3 = 7. g)    x 1 + 2x 2 − 2x 3 = −1; 3x 1 − x 2 + 2x 3 = 7; 5x 1 + 3x 2 − 4x 3 = 2. h)    2x 1 − 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 4; 3x 1 − 7x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 9; 5x 1 − 10x 2 − 5x 3 + 7x 4 = 22. i)    x 1 + 2x 2 − 3x 3 + 4x 4 = 2; 2x 1 + 5x 2 − 2x 3 + x 4 = 1; 5x 1 + 12x 2 − 7x 3 + 6x 4 = 7. j)        x 1 + x 2 = 7; x 2 − x 3 + x 4 = 5; x 1 − x 2 + x 3 + x 4 = 6; x 2 − x 4 = 10. 4 k)            x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 14; 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 10; x 1 + x 2 + x 3 = 6; 2x 1 + 3x 2 − x 3 = 5; x 1 + x 2 = 3. Bài 1.15. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau: a)    x 1 + 2x 2 + x 3 = 0; 2x 1 + 5x 2 − x 3 = 0; 3x 1 − 2x 2 − x 3 = 0. b)    x 1 + x 2 − 2x 3 + 3x 4 = 0; 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 − x 4 = 0; 5x 1 + 7x 2 + 4x 3 + x 4 = 0. c)    2x 1 − 2x 2 + x 3 = 0; 3x 1 + x 2 − x 3 = 0; x 1 − 3x 2 + 2x 3 = 0. d)        3x 1 − 2x 2 − 5x 3 + x 4 = 0; 2x 1 − 3x 2 + x 3 + 5x 4 = 0; x 1 + 2x 2 − 4x 4 = 0; x 1 − x 2 − 4x 3 + 9x 4 = 0. e)        x 1 + x 2 − 3x 3 + 2x 4 = 0; x 1 − 2x 2 − x 4 = 0; x 2 + x 3 + 3x 4 = 0; 2x 1 − 3x 2 − 2x 3 = 0. f)        x 1 + 3x 2 − 2x 3 + x 4 = 0; x 1 − x 2 + x 3 + x 4 = 0; 4x 1 − x 2 − x 3 − x 4 = 0; 4x 1 + 3x 2 − 4x 3 − x 4 = 0. g)        6x 1 − 5x 2 + 7x 3 + 8x 4 = 0; 6x 1 + 11x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 0; 6x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 0; x 1 + x 2 + x 3 = 0. 5 h)        x 1 + 2x 2 + x 3 = 0; x 2 + 3x 3 + x 4 = 0; 4x 1 + x 3 + x 4 = 0; x 1 + x 2 + 5x 4 = 0. Bài 1.16. Giải các phương trình sau: a)        x 1 + 2x 2 + 3x 3 − 2x 4 = 1; 2x 1 − x 2 − 2x 3 − 3x 4 = 2; 3x 1 + 2x 2 − x 3 + 2x 4 = −5; 2x 1 − 3x 2 + 2x 3 + x 4 = 11, b)        x 1 − x 2 + 2x 3 − 3x 4 = 1; x 1 + 4x 2 − x 3 − 2x 4 = −2; x 1 − 4x 2 + 3x 3 − 2x 4 = −2; x 1 − 8x 2 + 5x 3 − 2x 4 = −2, c)        2x 1 − 5x 2 + 3x 3 + x 4 = 5; 3x 1 − 7x 2 + 3x 3 − x 4 = −1; 5x 1 − 9x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 7; 4x 1 − 6x 2 + 3x 3 − x 4 = 8, d)        2x 1 − 2x 2 + x 3 − x 4 + x 5 = 1; x 1 + 2x 2 − x 3 + x 4 − 2x 5 = 1; 4x 1 − 10x 2 + 5x 3 − 5x 4 + 7x 5 = 1; 2x 1 − 14x 2 + 7x 3 − 7x 4 + 11x 5 = −1. Bài 1.17. Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo các tham số m ∈ R: a)    x 1 − 2x 2 + x 3 + 2x 4 = m; x 1 + x 2 − x 3 + x 4 = 2m + 1; x 1 + 7x 2 − 5x 3 − x 4 = −m, b)        3x 1 + 4x 2 + 4x 3 − 17x 4 = 11m + 7; 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 − 12x 4 = 8m + 5; 5x 1 + 6x 2 + 8x 3 − 27x 4 = 18m + 10; 3x 1 + 5x 2 + 2x 3 + (m − 20)x 4 = 13m + 8, c)        x 1 + 2x 2 − 3x 3 + 4x 4 = 1; 2x 1 + 4x 2 − 7x 3 + 9x 4 = 2; 5x 1 + 10x 2 − 17x 3 + 23x 4 = 1; 3x 1 + 6x 2 − 10x 3 + mx 4 = 13 − m, 6 d)        x 1 − 2x 2 + x 3 − x 4 + x 5 = m; 2x 1 + x 2 − x 3 + 2x 4 − 2x 5 = 3m; 3x 1 − 2x 2 − x 3 + x 4 − x 5 = m + 1; 2x 1 − 5x 2 + x 3 − 2x 4 + 2x 5 = m − 1. Bài 1.18. Cho hệ phương trình    x 1 + x 2 − x 3 = 1; 2x 1 + 3x 2 + kx 3 = 3; x 1 + kx 2 + 3x 3 = 2. Xác định trị số k ∈ K sao cho: a) hệ có một nghiệm duy nhất; b) hệ không có nghiệm; c) hệ có vô số nghiệm. Bài 1.19. Cho hệ phương trình    kx 1 + x 2 + x 3 = 1; x 1 + kx 2 + x 3 = 1; x 1 + x 2 + kx 3 = 1. Xác định trị số k ∈ K sao cho: a) hệ có một nghiệm duy nhất; b) hệ không có nghiệm; c) hệ có vô số nghiệm. Bài 1.20. Cho hệ phương trình        5x 1 − 3x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 3; 4x 1 − 2x 2 + 3x 3 + 7x 4 = 1; 8x 1 − 6x 2 − x 3 − 5x 4 = 9; 7x 1 − 3x 2 + 7x 3 + 17x 4 = λ. Xác định tham số λ ∈ K sao cho: a) hệ vô nghiệm; b) hệ tương thích và giải tìm nghiệm. 7 Bài 1.21. Cho hệ phương trình        3x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 4x 4 = 3; 2x 1 + 3x 2 + 6x 3 + 8x 4 = 5; x 1 − 6x 2 − 9x 3 − 20x 4 = −11; 4x 1 + x 2 + 4x 3 + λx 4 = 2. Xác định tham số λ ∈ K sao cho: a) hệ vô nghiệm; b) hệ tương thích và giải tìm nghiệm. Bài 1.22. Bằng phương pháp Gauss-Jordan, hãy tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau (nếu có): a) A =  3 5 2 3  ; b) A =   1 0 2 2 −1 3 4 1 8   ; c) B =   1 −2 2 2 −3 6 1 1 7   ; d) A =   1 2 −4 −1 −1 5 2 7 −3   ; e) B =   1 3 −4 1 5 −1 3 13 −6   ; f) A =   2 5 7 6 3 4 5 −2 −3   ; g) A =   3 2 2 1 3 1 5 3 4   ; h) A =   5 3 −2 −1 2 4 7 3 6   ; i) A =   13 −8 −12 12 −7 −12 6 −4 −5   ; j) A =   3 1 0 −1 −1 2 1 1 1   ; k) A =     0 0 1 −1 0 3 1 4 2 7 6 −1 1 2 2 −1     ; l) A =     1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 0 0 0 0 1 −1     ; m) A =     0 0 1 −1 0 3 1 4 1 −1 0 0 0 0 1 1     ; n) A =     1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1     ; 8 o) A =     1 1 1 −3 0 1 0 0 1 1 2 −3 2 2 4 −5     ; p) A =  sin α cos α − cos α sin α  . Bài 1.23. Cho A =  1 1 0 1  , B =  2 1 3 2  . Hãy tính (B −1 AB) k , k ∈ N. Bài 1.24. Cho A =  5 4 −4 −3  ∈ M 2 (R). a) Chứng minh A 2 − 2A + I 2 = 0. Suy ra A khả nghịch và tìm A −1 . b) Với mỗi n ∈ N, đặt B = I 2 + A + A 2 + · · · + A n . Tính A n và B theo A; I 2 và n. Bài 1.25. Giải các phương trình ma trận a)  1 2 3 4  X =  3 5 5 9  ; b) X  3 −2 5 −4  =  −1 2 −5 6  ; c)  3 −1 5 −2  X  5 6 7 8  =  14 16 9 10  ; d)   1 2 −3 3 2 −4 2 −1 0   X =   1 −3 0 10 2 7 10 7 8   ; e)   1 2 −2 3 2 −4 2 −1 0   X =   7 3 0 6 8 4 1 0 5   ; f) X   13 −8 −12 12 −7 −12 6 −4 −5   =   1 2 3 4 5 6 7 8 9   ; 9 g)   3 1 0 −1 −1 2 1 1 1   X   1 1 1 1 1 −1 1 −1 −1   =   0 0 1 1 1 0 0 1 −1   . Bài 1.26. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận nghịch đảo: a)    x 1 + x 2 − 3x 3 = −2; x 1 + 2x 2 − 3x 3 = 6; 2x 1 + 4x 2 − 5x 3 = −6. b)        x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1; x 1 + x 2 − x 3 − x 4 = 1; x 1 − x 2 = −1; x 3 − x 4 = −1. c)        x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = −1; x 1 + x 2 − x 3 − x 4 = 1; x 1 − x 2 + x 3 − x 4 = −1; x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 1. 10 . 1     ; m) A =     0 0 1 1 0 3 1 4 1 1 0 0 0 0 1 1     ; n) A =     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1     ; 8 o) A =     1 1 1 −3 0 1 0 0 1 1 2 −3 2 2 4 −5     ;. =   13 −8 12 12 −7 12 6 −4 −5   ; j) A =   3 1 0 1 1 2 1 1 1   ; k) A =     0 0 1 1 0 3 1 4 2 7 6 1 1 2 2 1     ; l) A =     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1     ; m). =   1 1 1 1 1 1 1 1 1   ; e) A =   1 1 1 0 1 1 0 0 1   ; f) A =   1 1 0 0 1 1 0 0 1   . Bài 1. 11. * Cho A ∈ M n (K) có tất cả các phần tử đều bằng α (α ∈ K). Hãy tính A k , k ∈ N. Bài 1. 12.