CHUYÊN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỊNH LÝ VIET VÀ ỨNG DỤNG A.Kiến thức cần ghi nhớ Để biện luận cú nghiệm phương trỡnh : ax2 + bx + c = (1) đú a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xột trường hợp a)Nếu a= đú ta tỡm vài giỏ trị đú m ,thay giỏ trị đú vào (1).Phương trỡnh (1) trở thành phương trỡnh bậc nờn cú thể : - Cú nghiệm - vụ nghiệm - vụ số nghiệm b)Nếu a  Lập biệt số = b2 – 4ac / = b/2 – ac *  < ( / < ) thỡ phương trỡnh (1) vụ nghiệm *  = ( / = ) : phương trỡnh (1) cú nghiệm kộp x1,2 = - (hoặc x1,2 = - b 2a b/ ) a *  > ( / > ) : phương trỡnh (1) cú nghiệm phõn biệt: b  2a x1 = (hoặc x1 = ; x2 = b  2a  b /  / a ; x2 =  b /  / ) a Định lý Viột Nếu x1 , x2 nghiệm phương trỡnh ax2 + bx + c = (a  0) thỡ S = x1 + x2 = - p = x1x2 = b a c a Đảo lại: Nếu cú hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p thỡ hai số nghiệm (nếu có ) phương trình bậc 2: x2 – S x + p = Dấu nghiệm số phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a  0) Gọi x1 ,x2 nghiệm phương trình Ta có kết sau: x1 x2 trái dấu( x1 < < x2 )  p <   Hai nghiệm dương( x1 > x2 > )   p   S     Hai nghiệm âm (x1 < x2 < 0)   p   S      Một nghiệm nghiệm dương( x2 > x1 = 0)   p  S      Một nghiệm nghiệm âm (x1 < x2 = 0)   p  S   Vài toán ứng dụng định lý Viét a)Tính nhẩm nghiệm Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a  0)  Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm x1 = , x2 = c a  Nếu a – b + c = phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - c a  Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn   phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n x1 = n , x2 = m b) Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ,x2 Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2 - Lập tích p = x1x2 - Phương trình cần tìm : x2 – S x + p = c)Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp cách biến đổi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 *) x  x2 S 1   = p x1 x x1 x *) x1 x x1  x S2  2p =   p x x1 x1 x 2 *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 *) x  x  2a 1 S  2a    x1  a x  a ( x1  a)( x  a) p  aS  a (Chú ý : giá trị tham số rút từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện   ) d)Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trước Tìm nghiệm thứ Cách giải:  Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc cho có nghiệm:   (hoặc /  ) (*) - Thay x = x1 vào phương trình cho ,tìm giá trị tham số - Đối chiếu giá trị vừa tìm tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện   (hoặc /  ) mà ta thay x = x1 vào phương trình cho, tìm giá trị tham số - Sau thay giá trị tìm tham số vào phương trình giải phương trình Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phương trình cho mà phương trình bậc hai có  < kết luận khơng có giá trị tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước  Đê tìm nghiệm thứ ta có cách làm +) Cách 1: Thay giá trị tham số tìm vào phương trình giải phương trình (như cách trình bầy trên) +) Cách :Thay giá trị tham số tìm vào cơng thức tổng nghiệm tìm nghiệm thứ +) Cách 3: thay giá trị tham số tìm vào cơng thức tích hai nghiệm ,từ tìm nghiệm thứ B BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Giải biện luận phương trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = Giải Ta có / = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – + Nếu / >  m2 – >  m < - m > Phương trình cho có nghiệm phân biệt: x1 = m + - m  x2 = m + + m  + Nếu / =  m =  - Với m =3 phương trình có nghiệm x1.2 = - Với m = -3 phương trình có nghiệm x1.2 = -2 + Nếu / <  -3 < m < phương trình vơ nghiệm Kết kuận:  Với m = phương trình có nghiệm x =  Với m = - phương trình có nghiệm x = -2  Với m < - m > phương trình có nghiệm phân biệt x1 = m + - m  x2 = m + + m   Với -3< m < phương trình vơ nghiệm Bài 2: Giải biện luận phương trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – = Hướng dẫn  Nếu m – =  m = phương trình cho có dạng - 6x – =  x=- * Nếu m –   m  Phương trình cho phương trình bậc hai có biệt số / = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18 - Nếu / =  9m – 18 =  m = phương trình có nghiệm kép b/ x1 = x2 = -  =-2 a 3 - Nếu / >  m >2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = m3 m2 m3 - Nếu / <  m < Phương trình vơ nghiệm Kết luận: Với m = phương trình có nghiệm x = - Với m = phương trình có nghiệm x1 = x2 = -2 Với m > m  phương trình có nghiệm x1,2 = m3 m2 m3 Với m < phương trình vơ nghiệm Bài 3: Giải phương trình sau cách nhẩm nhanh a) 2x2 + 2007x – 2009 = b) 17x2 + 221x + 204 = c) x2 + (  )x - 15 = d) x2 –(3 - )x - = Giải a) 2x2 + 2007x – 2009 = có a + b + c = + 2007 +(-2009) = Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = , x2 = c  2009  a b) 17x2 + 221x + 204 = có a – b + c = 17 – 221 + 204 = Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 , x2 = - c 204  = - 12 a 17 c) x2 + (  )x - 15 = có: ac = - 15 < Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có : x1 + x2 = -(  ) = - + x1x2 = - 15 = (- ) Vậy phương trình có nghiệm x1 = - , x2= (hoặc x1 = , x2 = - ) d ) x2 –(3 - )x - = có : ac = - < Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viét ,ta có x  x  -   x x  -  3(-2 )  Vậy phương trình có nghiệm x1 = , x2 = - Bài : Giải phương trình sau cánh nhẩm nhanh (m tham số) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = Hướng dẫn : a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = có a + b + c = + 3m – – 3m + = Suy : x1 = Hoặc x2 = m 1 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = (*) * m- =  m = (*) trở thành – 4x – =  x = -  x1  1 * m –   m  (*)    x  2m   m3  Bài 5: Gọi x1 , x2 nghịêm phương trình : x2 – 3x – = a) Tính: A = x12 + x22 C= 1  x1  x  B = x1  x D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) b) lập phương trình bậc có nghiệm 1 x1  x2  Giải ; Phương trình bâc hai x2 – 3x – = có tích ac = - < , suy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x1 + x2 = p = x1x2 = -7 a)Ta có + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => +C= B = x1  x = S  p  37 (x  x )  1 S 2  =   x1  x  ( x1  1)( x  1) p  S  + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 = 10x1x2 + (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - b)Ta có : S= 1    (theo câu a) x1  x  p= 1   ( x1  1)( x  1) p  S  Vậy 1 nghiệm hương trình : x1  x2  X2 – SX + p =  X2 + 1 X - =  9X2 + X - = 9 Bài : Cho phương trình : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k tham số) Chứng minh phương trình (1 ) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị k Tìm giá trị k để phương trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 nghệm phương trình (1) Tìm k để : x13 + x23 > Giải Phương trình (1) phương trình bậc hai có: 2 2  = (k -1) – 4(- k + k – 2) = 5k – 6k + = 5(k - = 5(k2 – k + k+ ) 5 36 36 + ) = 5(k - ) + > với giá trị 25 25 5 k Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu  p < 1 2 + )  (k – 1)[(2k - 87 ) + ] 16 87 ) + ] >0 16  k – > ( (2k - 87 ) + > với k) 16 k > Vậy k > giá trị cần tìm Bài 7: Cho phương trình : x2 – 2( m + 1) x + m – = (1) (m tham số) Giải phương trình (1) với m = -5 Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với m Tìm m để x1  x đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 hao nghiệm phương trình (1) nói phần 2.) Giải Với m = - phương trình (1) trở thành x2 + 8x – = có nghiệm x1 = , x2 = - Có / = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m + = m2 + 2.m 1 19 19 + + = (m + )2 + > với m 4 Vậy phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 Vì phương trình có nghiệm với m ,theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 2( m + 1) x1x2 = m – Ta có (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4) = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + => x1  x = (m  )  19 2 19 = 19 m + Vậy x1  x đạt giá trị nhỏ 19 m = - 19 ) + ] 1 = m= 2 Bài : Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = (m tham số) 1) Giải phương trình m = - 2) Chứng minh phương trình cho có nghiệm với m 3) Tìm tất giá trị m cho phương trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm Giải: 1) Thay m = - vào phương trình cho thu gọn ta 5x2 - 20 x + 15 = phương trình có hai nghiệm x1 = , x2= 2) + Nếu: m + = => m = - phương trình cho trở thành; 5x – =  x = + Nếu : m +  => m  - Khi phương trình cho phương trình bậc hai có biệt số : 2  = (1 – 2m) - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m – 4(m - m – 6) = 25 > Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 2m   2m  = 1 2(m  2) 2m  x2 = 2m   2(m  3) m    2(m  2) 2(m  2) m  Tóm lại phương trình cho ln có nghiệm với m 3)Theo câu ta có m  - phương trình cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm gấp lần nghiệm ta sét trường hợp Trường hợp : 3x1 = x2  = m 3 giải ta m = - (đã giải m2 câu 1) Trường hợp 2: x1 = 3x2  1= (thoả mãn điều kiện m  - 2) m 3 11  m + = 3m –  m = m2 Kiểm tra lại: Thay m = 11 vào phương trình cho ta phương trình : 15x2 – 20x + = phương trình có hai nghiệm x1 = , x2 = = (thoả mãn đầu bài) 15 Bài 9: Cho phương trình : mx2 – 2(m-2)x + m – = (1) với m tham số Biện luận theo m có nghiệm phương trình (1) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Giải 1.+ Nếu m = thay vào (1) ta có : 4x – =  x = + Nếu m  Lập biệt số / = (m – 2)2 – m(m-3) = m2- 4m + – m2 + 3m =-m+4 / <  - m + <  m > : (1) vô nghiệm / =  - m + =  m = : (1) có nghiệm kép x1 = x2 = - b/ m      a m 2 / >  - m + >  m < 4: (1) có nghiệm phân biệt x1 = m2 m4 m ; x2 = m2 m4 m Vậy : m > : phương trình (1) vơ nghiệm m = : phương trình (1) Có nghiệm kép x =  m < : phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 = m2 m4 m ; x2 = m2 m4 m m = : Phương trình (1) có nghiệm đơn x = (1) có nghiệm trái dấu   m    m    m     m   c m3 )  k1 =   33   33 ; k2 = 2 Vậy có giá trị k1 =   33 k2 =   33 phương trình (1) Có nghiệm kép 2.Có cách giải Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: /   k + 5k –  (*) Ta có x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 Theo ta có (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x1 + x2 = - b  - 2k x1x2 = – 5k a Vậy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10  2k2 + 5k – = (Có a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = - Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay k1 , k2 vào / = k2 + 5k – + k1 = => / = + – = > ; thoả mãn + k2 = - 49 35 49  70  29 => / =  2  không thoả mãn 4 Vậy k = giá trị cần tìm Cách : Khơng cần lập điều kiện /  Cách giải là: Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm k1 = ; k2 = - (cách tìm trên) Thay k1 , k2 vào phương trình (1) + Với k1 = : (1) => x2 + 2x – = có x1 = , x2 = + Với k2 = - 39 (1) => x2- 7x + = (có  = 49 -78 = - 29 < ) Phương 2 trình vơ nghiệm Vậy k = giá trị cần tìm ...   Vài toán ứng dụng định lý Viét a)Tính nhẩm nghiệm Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a  0)  Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm x1 = , x2 = c a  Nếu a – b + c = phương trình. .. vào phương trình cho, tìm giá trị tham số - Sau thay giá trị tìm tham số vào phương trình giải phương trình Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phương trình cho mà phương trình bậc hai có ... số nghiệm (nếu có ) phương trình bậc 2: x2 – S x + p = Dấu nghiệm số phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a  0) Gọi x1 ,x2 nghiệm phương trình Ta có kết sau: x1 x2