CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA Cho 2 số nguyên a và b trong đó b  0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao cho: a = bq + r Với 0  r  b Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư. Khi a chia cho b có thể xẩy ra  b số dư r  {0; 1; 2; …;  b} Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a. Ký hiệu: ab hay b\ a Vậy: a  b  Có số nguyên q sao cho a = bq II. CÁC TÍNH CHẤT 1. Với  a  0  a  a 2. Nếu a  b và b  c  a  c 3. Với  a  0  0  a 4. Nếu a, b > 0 và a  b ; b  a  a = b 5. Nếu a  b và c bất kỳ  ac  b 6. Nếu a  b  (a)  (b) 7. Với  a  a  (1) 8. Nếu a  b và c  b  a  c  b 9. Nếu a  b và cb  a  c  b 10. Nếu a + b  c và a  c  b  c 11. Nếu a  b và n > 0  a n  b n 12. Nếu ac  b và (a, b) =1  c  b 13. Nếu a  b, c  b và m, n bất kỳ am + cn  b 14. Nếu a  b và c  d  ac  bd 15. Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! III. MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT Gọi N =  n n 1 1 0 a a a a 1. Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho 2  chữ số tận cùng của nó là chữ số chẵn.  N  2  a 0  2  a 0 {0; 2; 4; 6; 8} 2. Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho 5  chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5.  N  5  a 0  5  a 0 {0; 5} 3. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25: Một số chia hết cho 4 (hoặc 25)  số tạo bởi 2 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 4 hoặc 25.  N  4 (hoặc 25)  01 aa  4 (hoặc 25) 4. Dấu hiệu chia hết cho 8 và 125: Một số chia hết cho 8 (hoặc 125)  số tạo bởi 3 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8 hoặc 125.  N  8 (hoặc 125)  01 aaa 2  8 (hoặc 125) 5. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9)  tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9).  N  3 (hoặc 9)  a 0 +a 1 +…+a n  3 (hoặc 9) * Chú ý: một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu. 6. Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11  hiệu giữa tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn tính từ trái sang phải chia hết cho  N  11  [(a 0 +a 1 +…) - (a 1 +a 3 +…)]  11 7. Một số dấu hiệu khác:  N  101  [( 01 aa + 45 aa +…) - ( 23 aa + 67 aa +…)]101  N  7 (hoặc 13)  [( 01 aaa 2 + 67 aaa 8 +…) - [( 34 aaa 5 + 910 aaa 11 +…) 11 (hoặc 13)  N  37  ( 01 aaa 2 + 34 aaa 5 +…)  37  N  19  ( a 0 +2a n-1 +2 2 a n-2 +…+ 2 n a 0 )  19 IV. ĐỒNG DƯ THỨC a. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương. Nếu hai số nguyên a và b cho cùng số dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m. Ký hiệu: a  b (modun) Vậy: a  b (modun)  a - b  m b. Các tính chất 1. Với  a  a  a (modun) 2. Nếu a  b (modun)  b  a (modun) 3. Nếu a  b (modun), b  c (modun)  a  c (modun) 4. Nếu a  b (modun) và c  d (modun)  a+c  b+d (modun) 5. Nếu a  b (modun) và c  d (modun)  ac  bd (modun) 6. Nếu a  b (modun), d  Uc (a, b) và (d, m) =1  d b d a  (modun) 7. Nếu a  b (modun), d > 0 và d  Uc (a, b, m)  d b d a  (modun d m ) V. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ 1. Định lý Euler Nếu m là 1 số nguyên dương  (m) là số các số nguyên dương nhỏ hơn m và nguyên tố cùng nhau với m, (a, m) = 1 Thì a  (m)  1 (modun) Công thức tính  (m) Phân tích m ra thừa số nguyên tố m = p 1 1 p 2 2 … p k k với p i  p;  i  N * Thì  (m) = m(1 - `1 1 p )(1 - 2 1 p ) … (1 - k p 1 ) 2. Định lý Fermat Nếu t là số nguyên tố và a không chia hết cho p thì a p-1  1 (modp) 3. Định lý Wilson Nếu p là số nguyên tố thì ( P - 1)! + 1  0 (modp) . CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA Cho 2 số nguyên a và b trong đó b  0 ta luôn. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9)  tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9).  N  3 (hoặc 9)  a 0 +a 1 +…+a n  3 (hoặc 9) * Chú ý: một số chia hết cho. 8} 2. Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho 5  chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5.  N  5  a 0  5  a 0 {0; 5} 3. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25: Một số chia hết cho 4 (hoặc