Chuyên đề: phơng trình,bất phơng trình vô tỉ,hệ phơng trình và hệ bất phơng trình Biên soạn :trịnh xuân tình Phần I: Phơng trình vô tỉ Ph ơng pháp 1:Ph ơng pháp giải dạng cơ bản: 1/ ( ) ( ) f x g x= ( ) ( ) ( ) 2 g x 0 f x g x = 2/ ( ) ( ) ( ) f x g x h x+ = Bình phơng hai vế 1-(ĐHQGHN KD-1997) 16x 17 8x 23+ = 2-(ĐH Cảnh sát -1999) 2 2 x x 11 31+ + = 3-(HVNHHCM-1999) 2 x 4x 2 2x + + = 4-(ĐH Thơng mại-1999) Giải và biện luận pt: 2 m x 3x 2 x + = 5-(ĐHCĐ KB-2006) Tìm m để pt sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2 x mx 2 2x 1+ + = + 6-(ĐGKTQD-2000) 5x 1 3x 2 x 1 0 = 7-(ĐHSP 2 HN) ( ) ( ) 2 x x 1 x x 2 2 x + + = 8-(HVHCQ-1999) x 3 2x 1 3x 2+ = 9-(HVNH-1998) 3x 4 2x 1 x 3+ + = + 10-(ĐH Ngoại thơng-1999) 2 2 3 x x 2 x x 1 + + = Ph ơng pháp 2: ph ơng pháp đặt ẩn phụ: I-Đặt ẩn phụ đ a pt về pt theo ần phụ: Dạng 1: Pt dạng: 2 2 ax bx c px qx r+ + = + + trong đó a b p q = Cách giải: Đặt 2 t px qx r= + + ĐK t 0 1-(ĐH Ngoại thơng-2000) ( ) ( ) 2 x 5 2 x 3 x 3x+ = + 2-(ĐH Ngoại ngữ -1998) ( ) ( ) 2 x 4 x 1 3 x 5x 2 6+ + + + = 3-(ĐH Cần thơ-1999) 2 (x 1)(2 x) 1 2x 2x+ = + 4- 2 2 4x 10x 9 5 2x 5x 3+ + = + + 5- 3 2 2 18x 18x 5 3 9x 9x 2 + = + 1 6- 2 2 3x 21x 18 2 x 7x 7 2+ + + + + = D¹ng 2: Pt D¹ng: P(x) Q(x) P(x).Q(x) 0α +β + γ = ( ) 0 αβγ ≠ C¸ch gi¶i: * NÕu ( ) P x 0 = ( ) ( ) P x 0 pt Q x 0 =   ⇒ ⇔  =   * NÕu ( ) P x 0 ≠ chia hai vÕ cho ( ) P x sau ®ã ®Æt ( ) ( ) Q x t P x = t 0≥ 1-(§HC§ KA-2007) T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm: 4 2 3 x 1 m x 1 2 x 1− + + = − 2- ( ) 2 3 2 x 3x 2 3 x 8− + = + 3- ( ) 2 3 2 x 2 5 x 1+ = + D¹ng 3: Pt D¹ng : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 P x Q x P x Q x 2 P x .Q x 0 0 α + +β ± ± α + γ = α +β ≠ C¸ch gi¶i: §Æt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 t P x Q x t P x Q x 2 P x .Q x= ± ⇒ = + ± 1-(§HQGHN-2000) 2 2 1 x x x 1 x 3 + − = + − 2-(HVKTQS-1999) 2 3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2− + − = − + − + 3-(Bé quèc phßng-2002) 2 2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16+ + + = + + + − 4- 2 4x 3 2x 1 6x 8x 10x 3 16+ + + = + + + − 5-(C§SPHN-2001) 2 x 2 x 2 2 x 4 2x 2 − − + = − − + D¹ng 4: Pt D¹ng: ( ) ( ) a cx b cx d a cx b cx n+ + − + + − = Trong ®ã a,b,c,d,n lµ c¸c h»ng sè , c 0,d 0> ≠ C¸ch gi¶i: §Æt ( ) t a cx b cx( a b t 2 a b= + + − + ≤ ≤ + 1-(§H Má-2001) 2 2 x 4 x 2 3x 4 x+ − = + − 2- ( ) ( ) 3 x 6 x 3 x 6 x 3+ + − − + − = 3-(§HSP Vinh-2000) Cho pt: 2 ( ) ( ) x 1 3 x x 1 3 x m+ + + = a/ Giải pt khi m 2= b/Tìm các gt của m để pt có nghiệm 4-(ĐHKTQD-1998) Cho pt 1 x 8 x (1 x)(8 x) a+ + + + = a/Gpt khi a 3= b/Tìm các gt của a để pt có nghiệm 5-TT ĐT Y tế tphcm-1999) Tìm các gt của m để pt có nghiệm x 1 3 x (x 1)(3 x) m + + = 6-(ĐH Ngoại ngữ-2001) x 1 4 x (x 1)(4 x) 5+ + + + = Dạng 5: Pt dạng: 2 2 x a b 2a x b x a b 2a x b cx m+ + + + = + Trong đó a,b,c, m là hằng số a 0 Cách giải : Đặt t x b= ĐK: t 0 đa pt về dạng: 2 t a t a c(t b) m+ + = + + 1-(ĐHSP Vinh-2000) x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 1 + = 2-(HV BCVT-2000) x 2 x 1 x 2 x 1 2+ = 3-(ĐHCĐ KD-2005) 2 x 2 2 x 1 x 1 4+ + + + = 4-(ĐH Thuỷ sản -2001) x 5 x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 2 + + + + + + + = 5- x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2 + + + = 6- Xét pt: x m x 6 x 9 x 6 x 9 6 + + + = a/ Giải pt khi m 23= b/ Tìm các gt của m để pt có nghiệm II-Sử dụng ẩn phụ đ a pt về ẩn phụ đó ,còn ẩn ban đầu coi là tham số: 1- ( ) 2 2 6x 10x 5 4x 1 6x 6x 5 0 + + = 2-(ĐH Dợc-1999) ( ) 2 2 x 3 10 x x x 12+ = 3-(ĐH Dợc-1997) ( ) 2 2 2 1 x x 2x 1 x 2x 1 + = 4- ( ) 2 2 4x 1 x 1 2x 2x 1 + = + + 5- ( ) 2 2 2 1 x x x 1 x 3x 1 + + = 3 6-(ĐHQG-HVNH KA-2001) 2 2 x 3x 1 (x 3) x 1+ + = + + III-Sử dụng ẩn phụ đ a về hệ pt: Dạng 1: Pt Dạng: n n x a b bx a+ = Cách giải: Đặt n y bx a= khi đó ta có hệ: n n x by a 0 y bx a 0 + = + = 1-(ĐHXD-DH Huế-1998) 2 x 1 x 1 = + 2- 2 x x 5 5+ + = 3- 2 x 2002 2002x 2001 2001 0 + = 4- (ĐH Dợc-1996) 3 3 x 1 2 2x 1+ = Dạng 2: Pt Dạng: ( ) 2 ax b r ux v dx e+ = + + + trong đó a,u, r 0 Và u ar d, v br e= + = + Cách giải: Đặt uy v ax b+ = + khi đó ta có hệ: ( ) ( ) 2 2 uy v r ux v dx e ax b uy v + = + + + + = + 1-(ĐHCĐ KD-2006) 2 2x 1 x 3x 1 0 + + = 2- 2 2x 15 32x 32x 20+ = + 3- 2 3x 1 4x 13x 5+ = + 4- 2 x 5 x 4x 3+ = 5- 2 x 2 x 2= + 6- 2 x 1 3 x x = + Dạng 3: PT Dạng: ( ) ( ) n m a f x b f x c + + = Cách giải: Đặt ( ) ( ) n m u a f x , v b f x= = + khi đó ta có hệ: n m u v c u v a b + = + = + 1-(ĐHTCKT-2000) 3 2 x 1 x 1 = 2- 3 3 x 34 x 3 1+ = 3- 3 x 2 x 1 3 + + = 4- 4 4 97 x x 5 + = 5- 4 4 18 x x 1 3 + = Ph ơng pháp 3: Nhân l ợng liên hợp: Dạng 1: Pt Dạng: ( ) ( ) f x a f x b+ = Cách giải: Nhân lợng liên hợp của vế trái khi đó ta có hệ: ( ) ( ) ( ) ( ) f x a f x b f x a f x a b + = + = m 4 1- 2 2 4x 5x 1 4x 5x 7 3+ + + + + = 2- 2 2 3x 5x 1 3x 5x 7 2+ + − + − = 3- 3- (§H Ngo¹i th¬ng-1999 ) 2 2 3 x x 2 x x 1− + − + − = 4-(§H Th¬ng m¹i-1998) 2 2 x 3x 3 x 3x 6 3− + + − + = 5-(HVKTQS-2001) 1 1 1 x 4 x 2 x 2 x + = + + + + + D¹ng 2: Pt D¹ng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x m f x g x± = − 1-(HVBCVT-2001) x 3 4x 1 3x 2 5 + + − − = 2-(HVKTQS-2001) 3(2 x 2) 2x x 6+ − = + + Ph ¬ng ph¸p 4:Ph ¬ng ph¸p ®¸nh gi¸: 1- 2 x 2 4 x x 6x 11− + − = − + 2- 2 2 2 x x 1 x x 1 x x 2 + − + − + = − + 3-(§HQGHN-Ng©n hµng KD-2000) 2 4x 1 4x 1 1− + − = 4-(§H N«ng nghiÖp-1999) 2 x 2x 5 x 1 2− + + − = Ph ¬ng ph¸p 5:Ph ¬ng ph¸p ®k cÇn vµ ®ñ: 1-T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm duy nhÊt: x 2 x m+ − = 2- T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm duy nhÊt x 5 9 x m− + − = 3- T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm duy nhÊt 4 4 x 1 x x 1 x m+ − + + − = Ph ¬ng ph¸p 6: Ph ¬ng ph¸p hµm sè (Sö dông ®¹o hµm) 1-(§HC§ KB-2004) - T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm : ( ) 2 2 4 2 2 m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x+ − − + = − + + − − 2- - T×m m ®Ó c¸c pt sau cã nghiÖm : 1*/ 2 4 x mx m 2− = − + 2*/ x 1 x 1 5 x 18 3x 2m 1+ + − − − − − = + 3 (§HC§ KA-2007) T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm: 4 2 3 x 1 m x 1 2 x 1 − + + = − 4-(§HC§KB-2007) CMR m 0∀ > pt sau cã 2nghiÖm pb: 2 x 2x 8 m(x 2)+ − = − 5- 1*/ x x 5 x 7 x 16 14+ − + + + + = 2*/ 3 x 1 x 4x 5− = − − + 3*/ 2 2x 1 x 3 4 x− + + = − 6-(HVAn ninh KA-1997)T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm: 2 2 x 2x 4 x 2x 4 m+ + − − + = 5 Phần II: BấT Phơng trình vô tỉ Phơng pháp 1: Ph ơng pháp giải dạng cơ bản: 1/ 2 g(x) 0 f (x) 0 f (x) g(x) g(x) 0 f (x) g (x) < > > 2/ 2 g(x) 0 f (x) g(x) f (x) 0 f (x) g (x) < < < 3/ f (x) g(x) h(x) Bình phơng hai vế bpt 1-(ĐHQG-1997) 2 x 6x 5 8 2x + > 2-(ĐHTCKT Tphcm-1999) 2x 1 8 x 3-(ĐH Luật 1998) 2 x 2x 1 1 x + > 4-(ĐH Mỏ-2000) (x 1)(4 x) x 2+ > 5-(ĐH Ngoại ngữ) x 5 x 4 x 3+ + > + 6-(ĐHCĐKA-2005) 5x 1 x 1 2x 4 > 7-(ĐH Ngoai thơng-2000) x 3 2x 8 7 x+ + 8-(ĐH Thuỷ lợi -2000) x 2 3 x 5 2x+ < 9-(ĐH An ninh -1999) 5x 1 4x 1 3 x 10-(ĐHBK -1999) x 1 3 x 4+ > + 11-(ĐHCĐ KA-2004) 2 2(x 16) 7 x x 3 x 3 x 3 + > Ph ơng pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi t ơng đ ơng 1/ f (x) 0 f (x) 0 g(x) 0 g(x) > > > hoặc f (x) 0 g(x) 0 < < 2/ f (x) 0 f (x) 0 g(x) 0 g(x) > < < hoặc f (x) 0 g(x) 0 < > 6 Lu ý: 1*/ 2 B 0 A 1 B A B > > > 2*/ B 0 A 1 A 0 B < < hay 2 B 0 A 0 A B > < 1-(ĐHTCKT-1998) 2 51 2x x 1 1 x < 2-(ĐHXD) 2 3x x 4 2 2 x + + + < 3-(ĐH Ngoại ngữ -1998) 2 1 1 4x 3 x < 4-(ĐHSP) 2 x 4x 3 2 x + Ph ơng pháp 2:Nhân biểu thức liên hợp: 1-(ĐHSP Vinh-2001) ( ) 2 2 x x 4 1 1 x > + + 2-(ĐH Mỏ-1999) ( ) 2 2x x 21 3 9 2x 2 < + + 3- 2 2 4(x 1) (2x 10)(1 3 2x) + < + + Ph ơng pháp 3:Xác định nhân tử chung của hai vế: 1-(ĐH An ninh -1998) 2 2 2 x x 2 x 2x 3 x 4x 5+ + + + 2-(ĐHBK-2000) 2 2 2 x 3x 2 x 6x 5 2x 9x 7+ + + + + + + 3-(ĐH Dợc -2000) 2 2 2 x 8x 15 x 2x 15 4x 18x 18 + + + + 4-(ĐH Kiến trúc -2001) 2 2 x 4x 3 2x 3x 1 x 1 + + Ph ơng pháp 4: Đặt ẩn phụ: 1-(ĐH Văn hoá) 2 2 5x 10x 1 7 x 2x+ + 2-(ĐH Dân lập phơng đông -2000) 2 2 2x 4x 3 3 2x x 1+ + > 3-(HV Quan hệ qt-2000) 2 (x 1)(x 4) 5 x 5x 28+ + < + + 4-(ĐH Y-2001) 2 2 2x x 5x 6 10x 15+ > + 5-(HVNH HCM-1999) 2 2 x(x 4) x 4x (x 2) 2 + + < 6-ĐH Thái nguyên -2000) 3 1 3 x 2x 7 2x 2 x + < + 7 7-(ĐH Thuỷ lợi) 2 1 4 x 2x 2 2x x + < + + 8-(HV Ngân hàng 1999) x 2 x 1 x 2 x 1 3 2+ + > 9- Cho bpt: 2 4 (4 x)(2 x) x 2x a 18 + + a/ Giải bpt khi a 6= b/Tìm a để bpt nghiệm đúng [ ] x 2;4 10-Xác định m để bpt sau thoả mãn trên đoạn đã chỉ ra : 2 (4 x)(6 x) x 2x m+ + trên [ ] 4;6 Ph ơng pháp 5: Ph ơng pháp hàm số: 1-(ĐH An ninh-2000) 2 7x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x+ + + + < 2- 2 x x 7 2 x 7x 35 2x+ + + + < 3- 2 x 2 x 5 2 x 7x 10 5 2x+ + + + + + < 4- Xác định m để bpt sau có nghiệm: a/ 4x 2 16 4x m + b/ 2 2x 1 m x + Phần III: Hệ Phơng trình A- một số hệ pt bậc hai cơ bản I-hệ pt đối xứng loại 1 1*/ Đ ịnh nghĩa: f (x; y) 0 g(x; y) 0 = = Trong đó f (x; y) f (y;x),g(x; y) g(y;x)= = 2*/ Cách giải: Đặt S x y, P xy= + = ĐK: 2 S 4P Dạng 1: Giải ph ơng trình 1-(ĐHQG-2000) 2 2 x y xy 11 x y 3(x y) 28 + + = + + + = 2- x y y x 30 x x y y 35 + = + = 3-(ĐHGTVT-2000) 2 2 x y xy 11 x y y x 30 + + = + = 4-(ĐHSP-2000) 2 2 4 4 2 2 x y xy 7 x y x y 21 + + = + + = 8 5- (§H Ngo¹i th¬ng-1997) 2 2 2 2 1 1 x y 5 x y 1 1 x y 9 x y  + + + =     + + + =   6-(§H Ngo¹i th¬ng -1998) 2 2 4 2 2 4 x y 5 x x y y 13  + =   − + =   7-(§HC§KA-2006) x y xy 3 x 1 y 1 4  + − =   + + + =   D¹ng 2: T×m §K ®Ó hÖ cã nghiÖm: 1-(§HC§KD-2004) T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm: x y 1 x x y y 1 3m  + =   + = −   2- T×m a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm: 2 2 x y xy a x y a + + =   + =  3-Cho hÖ pt: 2 2 x y x y 8 xy(x 1)(y 1) m  + + + =  + + =  a/ Gi¶i hÖ khi m 12= b/ T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm 4-Cho hÖ pt: 2 2 x xy y m 1 x y y x m + + = +   + =  a/ Gi¶i hÖ khi m=-2 b/ T×m m ®Ó hÖ cã Ýt nhÊt mét nghiÖm ( ) x; y tho¶ m·n x 0, y 0> > 5- T×m m ®Ó hÖ cã ®óng hai nghiÖm: ( ) 2 2 2 x y 2(1 m) x y 4  + = +   + =   6-(§HC§KD-2007) T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm: 3 3 3 3 1 1 x y 5 x y 1 1 x y 15m 10 x y  + + + =     + + + = −   D¹ng 3: T×m §K ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. 9 1-(HHVKTQS-2000) Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất 2 2 x y xy m 2 x y y x m 1 + + = + + = + 2-(ĐHQGHN-1999) Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: 2 x xy y 2m 1 xy(x y) m m + + = + + = + 3- Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: 2 2 x y y x 2(m 1) 2xy x y 2(m 2) + = + + + = + Dạng 4: Hệ pt đối xứng ba ẩn số : Nếu ba số x, y,z thoả mãn x y z p, xy yz zx q, xyz r+ + = + + = = thì chúng là nghiệm của pt: 3 2 t pt qt r 0 + = 1-Giải các hệ pt sau : a/ 3 3 3 x y z 1 xy yz zx 4 x y z 1 + + = + + = + + = b/ 2 2 2 3 3 3 x y z 1 x y z 1 x y z 1 + + = + + = + + = c/ x y z 9 xy yz zx 27 1 1 1 1 x y z + + = + + = + + = 2- Cho hệ pt: 2 2 2 x y z 8 xy yz zx 4 + + = + + = Giả sử hệ có nghiệm duy nhất CMR: 8 8 x, y,z 3 3 II-Hệ ph ơng trình đối xứng loại 2 1*/ Định nghĩa f (x; y) 0 g(x; y) 0 = = trong đó : f (x; y) g(y; x),f (y;x) g(x; y)= = 2*/ Cách giải: Hệ pt f (x; y) g(x; y) 0 (x y)h(x; y) 0 f (x; y) 0 f (x; y) 0 = = = = x y 0 f (x; y) 0 = = hay h(x; y) 0 f (x; y) 0 = = Dạng 1: Giải ph ơng trình: 10 [...]... + y = m(x 1) x 2 + y = axy + 1 3- Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất: 2 y + x = axy + 1 III - Hệ phơng trình đẳng cấp: */ Hệ pt đợc gọi là đẳng cấp nếu mỗi pt trong hệ có dạng */ Cách giải: Đặt x = ty 11 ax 2 + bxy + cy 2 = d */ Lu ý: Nếu (a; b) là nghiệm của hệ thì Dạng 1: Giải phơng trình: (b;a) cũng là nghiệm của pt 2x 2 + 3xy + y 2 = 12 1-(ĐHPĐ-2000) 2-(ĐHSP Tphcm-2000) 2 2 x xy + 3y... x 2 x y 7 + = +1 y x 3-(ĐH Hàng hải-1999) xy (x > 0, y > 0) x xy + y xy = 78 x +1 + y +1 = 3 4-(ĐH Thuỷ sản-2000) x y + 1 + y x + 1 + y + 1 + x + 1 = 6 Phần:IV A- Hệ bpt một ẩn số: Hệ Bất Phơng trình f1 ( x ) > 0(1) (I) Gọi S1 ,S2 Lần lợt là tập nghiệm của (1)&(2) f 2 (x) > 0(2) S là tập nghiệm của (I) S = S1 S2 Tìm m để hệ sau có nghiệm: Cho hệ: 13 x 2 (m + 2)x + 2m < 0 1-(HVQH Quốc... Thơng mại-1997) 3- 2 2 2 x (2m + 1)x + m + m 0 x (m + 3)x + 3m 0 x 2 2mx < 0 4-(ĐH Thuỷ lợi-1998) x 1 + m 2m x 2 3x + 4 0 5-(ĐH Thơng mại-1998) 3 2 x 3x x m 15m 0 m để hệ sau vô nghiệm: x 2 1 0 x 2 6x + 5 0 x 2 + 7x 8 < 0 1- 2- 3- 2 2 2 2 (m x )(x + m) < 0 x 2(m + 1)x + m + 1 0 m x + 1 > 3 + (3m 2)x Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: x 2 3x + 2 0 . Chuyên đề: phơng trình, bất phơng trình vô tỉ ,hệ phơng trình và hệ bất phơng trình Biên soạn :trịnh xuân tình Phần I: Phơng trình vô tỉ Ph ơng pháp 1:Ph ơng pháp. + III - Hệ ph ơng trình đẳng cấp: */ Hệ pt đợc gọi là đẳng cấp nếu mỗi pt trong hệ có dạng 2 2 ax bxy cy d+ + = */ Cách giải: Đặt x ty= 11 */ Lu ý: Nếu (a;b) là nghiệm của hệ thì (b;a) . sản-2000) x 1 y 1 3 x y 1 y x 1 y 1 x 1 6 + + + = + + + + + + + = Phần:IV Hệ Bất Phơng trình A- Hệ bpt một ẩn số: Cho hệ: ( ) 1 2 f x 0(1) f (x) 0(2) > > (I) Gọi 1 2 S ,S Lần lợt