Phụ lục về Tam thức bậc hai & Phương trình bậc 2, 3 I) Phương trình ax 2 +bx+c = 0 (1) : 1) Công thức nghiệm: Tính  = b 2  4ac @  < 0: Phương trình vô nghiệm. @  = 0: Phương trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = a2 b  @  > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 1,2 = a2 b  * Chú ý : @ Nếu b chẵn thì đặt b’= 2 b và tính ’ = b’ 2  ac o ’ < 0: Phương trình vô nghiệm. o ’= 0: Phương trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = a 'b  o ’ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 1,2 = a ''b  @ Nếu a, c trái dấu thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt. @ Nếu phương trình ax 2 +bx+c = 0 (a0) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thì: ax 2 + bx + c = a(xx 1 )(xx 2 ). @ Nếu a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x=1 V x= a c . @ Nếu a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x = 1, x =  a c 2) Định lý Viet : Nếu phương trình ax 2 +bx+c= 0 (1) (a  0) có 2 nghiệm x 1 , x 2 (điều kiện   0 ) thì tổng và tích các nghiệm là: S= x 1 + x 2 = a b  và P = x 1 . x 2 = a c 3) Định lý đảo Viet: Nếu hai số x và y nghiệm đúng hệ thống x+y=S và xy=P (S 2 4P0) thì x, y là nghiệm của phương trình bậc hai dạng:X 2 – SX + P = 0 (phương trình tổng tích) 4) Xét dấu các nghiệm x 1 , x 2 của phương trình (1): @ x 1. x 2 < 0  P < 0 @ 0 < x 1  x 2    0 và S > 0 và P > 0 @ x 1  x 2 < 0   0 và S < 0 và P > 0 @ x 1 . x 2 > 0    0 và P > 0. Với  = b 2 -4ac ; S = a b  và P = a c Các biểu thức đối xứng thường gặp: P2Sxx 22 2 2 1  ; PS 3Sxx 33 2 3 1  ; P S x 1 x 1 21  5) Dấu của tam thức bậc 2: a) Dấu của tam thức bậc 2 : f(x) = ax 2 +bx+c (a0):Tính  = b 2 -4ac. Ta có:   < 0 : f(x) vô nghiệm af(x) > 0 , x|R   = 0 : f(x) có nghiệm kép x 1 = x 2 = a2 b   af(x) > 0, x|R\ a2 b     > 0 : f(x) có 2 nghiệm phân biệt : x 1,2 = a 2 b  (giả thiết x 1 < x 2 ) b) Điều kiện cho f(x) = ax 2 +bx+c ( a  0 ):  f(x) > 0  x  R       0 0a  f(x)  0  x  R       0 0a f(x) < 0  x  R       0 0a  f(x)  0  x  R       0 0a c) Định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2: f(x) = ax 2 +bx+c (a  0): Nếu có số  làm cho af() < 0 thì phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x 2 (x 1 < x 2 ) và x 1 <  < x 2 d) So sánh số  với các nghiệm của f(x)= ax 2 +bx+c = 0 (a  0) : Tính af();  = b 2 -4ac và  a2 b 2 S . 1. x 1 <  < x 2  af() < 0 2.  < x 1 < x 2  0 2 S 0)(af 0     Với a2 b 2 S  3.              a2 b 2 s 0)(af 0 xx 21 4. f() = 0  x 1 =  V x 2 =  a b 5.Từ 4 trường hợp cơ bản này ta có thể so sánh các số  và  với các nghiệm của phương trình f(x) = ax 2 +bx+c = 0. Lưu ý : Nếu có af() < 0 thì không cần điều kiện  > 0. Trường hợp Điều kiện  < x 1 <  < x 2 af() > 0 và af() < 0 x 1 <  <  < x 2 af() < 0 và af() < 0 x 1 <  < x 2 <  af() < 0 và af() > 0 ( ; ) có chứa 1 nghiệm và nghiệm kia ngoài đoạn [ ; ]      0)(f).(f 0a  < x 1 < x 2 <   > 0 và af() > 0 và af() > 0 và  < 2 S <  II. Phương trình bậc 3: ax 3 +bx 2 +cx+d=0 (a  0) (2): 1. Giải và biện luận: Phương trình (2)(x)(ax 2 +b 1 x+c 1 )=0x= V ax 2 +b 1 x+c 1 =0 (2’) Biện luận: @ Phương trình (2’) nghiệm . @ Phương trình (2’) có nghiệm kép. @ Phương trình (2’) có 1 nghiệm x=. @ Phương trình (2’) có 2 nghiệm nghiệm phân biệt khác x= 2. Hệ thức Viet: Giả sử phương trình (1) có ba nghiệm x 1 ; x 2 và x 3 thì: x 1 + x 2 + x 3 = a b  ; x 1 .x 2 .x 3 = a d  ; x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = a c . Phụ lục về Tam thức bậc hai & Phương trình bậc 2, 3 I) Phương trình ax 2 +bx+c = 0 (1) : 1) Công thức nghiệm: Tính  = b 2  4ac @  < 0: Phương trình vô nghiệm. @  = 0: Phương trình.      0)(f).(f 0a  < x 1 < x 2 <   > 0 và af() > 0 và af() > 0 và  < 2 S <  II. Phương trình bậc 3: ax 3 +bx 2 +cx+d=0 (a  0) (2): 1. Giải và biện luận: Phương trình. , x 2 của phương trình (1): @ x 1. x 2 < 0  P < 0 @ 0 < x 1  x 2    0 và S > 0 và P > 0 @ x 1  x 2 < 0   0 và S < 0 và P > 0 @ x 1 . x 2 > 0 