Chng 1 PHNG PHP TA TRONG MT PHNG H TA . TA CA VECT V CA IM: 1.H ta : Hai trc ta xOx v yOy vuụng gúc nhau to nờn h trc ta ờcac Oxy: O l gc ta ; xOx l trc honh v yOy l trc tung.Trong ú: i = (1; 0) v j = (0;1) l cỏc vect n v trờn cỏc trc.Ta cú: i = j =1 v i . j =0. 2.Ta ca vect : u = (x ; y) u = x. i + y. j . 3.Ta ca im : OM = (x ; y) M(x ; y) x: honh v y: tung ca im M 4.Cỏc kt qu: Trong h ta Oxy cho A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) v cỏc vect a =(a 1 ; a 2 ) v b = (b 1 ; b 2 ). Ta cú: a) a b = ( a 1 b 1 ; a 2 b 2 ). b) ak = (ka 1 ; ka 2 ) (k l s thc). c) Tớch vụ hng: a . b = a 1 b 1 + a 2 b 2. H qua: 1. | a| = 2 2 2 1 aa . 2. 2 2 2 1 2 2 2 1 2211 bb.aa b.a b. a )b,acos( 3. a b a 1 b 1 + a 2 b 2 = 0. d) a = b 22 11 ba ba e) a , b cựng phng 0baba b b a a a b a b a.kb:Rk 1221 21 21 2 2 1 1 f) Ta ca vect: AB =(x B -x A ;y B -y A ). g) Khong cỏch: 2 AB 2 AB )y-(y)x-(x | AB | AB h) im M chia AB theo t s k ( k1) MA = k. MB . Khi ú ta ca M tớnh bi: k 1 kxx x BA M v k 1 kyy y BA M M l trung im AB ta cú: 2 xx x BA M v 2 yy y BA M 5.Kin thc v tam giỏc: Cho A(x A ;y A ),B(x B ; y B ) v C(x C ; y C ). a) Trng tõm ca tam giỏc (giao cỏc ng trung tuyn): G l trng tõm ABC: 3 xxx x CBA G ; 3 yyy y CBA G b) Trc tõm ca tam giỏc (giao cỏc ng cao): CABH BCAH taõm trửùclaứ H 0CA.BH 0BC.AH c) Tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ( giao ca cỏc trung trc): I(a;b) l tõm ca (ABC) AI = BI = CI = R (bỏn kớnh ca (ABC)).Gii h AI 2 =BI 2 v BI 2 =CI 2 Ta ca I. d) Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác (giao các phân giác trong của các góc của tam giác): Tâm K của đường tròn nội tiếp  ABC tìm được khi thực hiện hai lần công thức điểm chia đoạn theo tỉ số k: Vì 1 k AC AB DC DB    nên D chia BC theo tỉ số k 1 Tọa độ của D. Vì 2 k BD BA KD KA    nên K chia AD theo tỉ số k 2  Tọa độ của K e) Diện tích tam giác:  S= a ah 2 1 = b bh 2 1 = c ch 2 1  S= Csinab 2 1 = Bsinac 2 1 = Asinbc 2 1  S= R 4 abc = pr = )cp)(bp)(ap(p   S= 2 22 )AC.AB(AC.AB 2 1   = )AC,ABdet( 2 1  , trong đó: det(  AB ,  AC ) = 21 21 b b a a =a 1 b 2 a 2 b 1 với  AB =(a 1 ; a 2 ) và  AC = (b 1 ; b 2 )  PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG: 1) Định nghĩa: Cho các vectơ  u và  n khác vectơ  0 .   u là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng  khi  u nằm trên 1 đường thẳng song song hoặc trùng với . Mọi vectơ chỉ phương của  đều có dạng k.  u ( k  0).   n là 1 vectơ pháp tuyến của đường thẳng  khi  n nằm trên 1 đường thẳng vuông góc với . Mọi vectơ pháp tuyến của  đều có dạng k.  n ( k  0).  Một đường thẳng  hoàn toàn xác định khi biết M 0  và 1 vectơ chỉ phương  u hoặc 1 vectơ pháp tuyến  n của . Trang 1 2) Phương trình tổng quát của đường thẳng: a) Định ly: Phương trình tổng quát của đường thẳng  có dạng: Ax+By+C = 0 với A 2 +B 2  0 Chú ý:  có vectơ pháp tuyến  n = (A;B) và có vectơ chỉ phương  u = (B; -A) hoặc  u = (- B; A) b) Hệ qua: Phương trình đường thẳng  đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ) và có vectơ pháp tuyến  n = (A;B) là: A(x-x 0 ) + B(y-y 0 ) = 0 với A 2 +B 2  0 3) Phương trình tham số - chính tắc của đường thẳng: a) Phương trình tham số của đường thẳng: Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ) và có vectơ chỉ phương  u =(a; b) là:        btyy atxx 0 0 với a 2 +b 2  0, tR b) Phương trình chính tắc của đường thẳng: Phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ) và có vectơ chỉ phương  u =(a; b) là: b yy a xx 00    (a 2 +b 2  0)  VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÙM ĐƯỜNG THẲNG: 1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng  1 :A 1 x+B 1 y+C 1 = 0 (1) và  2 :A 2 x+B 2 y+C 2 =0 (2) ( 2 1 2 1 BA  0 và 2 2 2 2 BA   0). Giải hệ gồm (1) và (2) ta có kết quả sau:  Hệ có duy nhất nghiệm A 1 B 2 A 2 B 1 0 1 và  2 cắt nhau.  Hệ vô nghiệm A 1 B 2 A 2 B 1 =0 và B 1 C 2 B 2 C 1 0  1 //  2 .  Hệ có vô số nghiệm A 1 B 2 A 2 B 1 =B 1 C 2 B 2 C 1 =C 1 A 2 C 2 A 1 = 0  1   2 . 2) Chùm đường thẳng : Hai hoặc nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm I, tạo nên chùm đường thẳng có tâm I. Nếu  1 :A 1 x+B 1 y+C 1 =0 và  2 :A 2 x+B 2 y+C 2 =0 cắt nhau tại I (A 1 B 2 A 2 B 1 ) thì phương trình của chùm đường thẳng tâm I là: m(A 1 x+B 1 y+C 1 )+ n(A 2 x+B 2 y+C 2 ) = 0 (với m 2 +n 2  0).  GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG  KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG: 1.Góc giữa hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng  1 :A 1 x+B 1 y+C 1 =0 và  2 :A 2 x+B 2 y+C 2 =0. Nếu gọi  (0 0    90 0 ) là góc giữa  1 và  2 thì: 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 BA.BA BBAA cos    Hệ quả:  1   2  A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: a) Công thức: Khoảng cách từ M(x 0 ;y 0 ) đến :Ax+By+C=0 là: 22 00 BA CByAx ),M(d    (A 2 +B 2 0) b) Hệ quả: Nếu  1 : A 1 x+B 1 y+C 1 =0 và  2 : A 2 x+B 2 y+C 2 = 0 cắt nhau tại I (A 1 B 2 A 2 B 1 ) thì phương trình các phân giác tạo bởi ( 1 ) và ( 2 ) là: 2 2 2 2 222 2 1 2 1 111 BA CyBxA BA CyBxA         ĐƯỜNG TRÒN: 1.Phương trình của đường tròn: a) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R có dạng: (xa) 2 +(yb) 2 =R 2 b) Phương trình đường tròn tâm O bán kính R : x 2 +y 2 = R 2 c) Phương trình x 2 +y 2 +2Ax+2By+C = 0 với A 2 +B 2 C>0 là phương trình của một đường tròn (C) có tâm I(A;B) và bán kính R= CBA 22  . 2.Phương tích của một điểm đối với một đường tròn: Cho (C) : F(x,y) = x 2 +y 2 +2Ax+2By+C = 0. Phương tích của một điểm M(x 0 ; y 0 ) đối với (C) là: P M/(C)= F(x 0 ,y 0 ) = C2By2Axyx 00 2 0 2 0  3.Trục đẳng phương của hai đường tròn khác tâm: a) Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với 2 đường tròn khác tâm (C 1 ) và (C 2 ) là một đường thẳng d vuông góc với đường thẳng nối 2 tâm I 1 và I 2 của (C 1 ) và (C 2 ) và gọi là trục đẳng phương của (C 1 ) và (C 2 ). b) Cho hai đường tròn: (C 1 ):F 1 (x,y)=x 2 +y 2 +2A 1 x+2B 1 y+C 1 =0 và (C 2 ):F 2 (x,y)=x 2 +y 2 +2A 2 x+2B 2 y+C 2 =0 khác tâm, phương trình của trục đẳng phương của (C 1 ) và(C 2 ) là: F 1 (x,y)= F 2 (x,y) 2(A 1  A 2 )x+2(B 1  B 2 )y+C 1  C 2 = 0 4. Tiếp tuyến của 1 đường tròn : Cho (C):F(x;y)=(xa) 2 +(yb) 2 R 2 =0 và điểm M(x 0 ;y 0 ), để viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M ta tìm phương tích của M đối với (C):  Nếu P M/(C) < 0 thì M nằm trong (C), qua M không kẻ được tiếp tuyến nào với (C).  Nếu P M/(C) = 0 thì M thuộc (C), qua M kẻ được một tiếp tuyến với (C) và tiếp tuyến này đi qua M có vectơ pháp tuyến  IM = (x 0 -a; y 0 -b).  Nếu P M/(C) > 0 thì M nằm ngoài (C), qua M ta kẻ được 2 tiếp tuyến với (C), phương trình các tiếp tuyến này thực hiện như sau:  Gọi  là đường thẳng qua M và có vectơ pháp tuyến  n =(A;B): A(x-x 0 )+B(y-y 0 ) = 0 (1) với A 2 +B 2 0.   tiếp xúc (C) d(I,)= 22 BA CBbAa   =R với C=-(Ax 0 +By 0 ). Bình phương 2 vế, chọn hai cặp A, B thỏa phương trình này và thay vào (1) để có hai phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M.  ElÍP: 1)Định nghĩa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF 1 +MF 2 =2a (2a không đổi và a> c> 0) là một đường elíp.  F 1 ,F 2 : cố định là hai tiêu điểm và F 1 F 2 =2c là tiêu cự của elíp.  MF 1 , MF 2 : là các bán kính qua tiêu. 2) Phương trình chính tắc của elíp: 1 b y a x 2 2 2 2  với b 2 = a 2 - c 2 . 3) Tính chất và hình dạng của elíp::  Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn); Oy (chứa trục bé).Tâm đối xứng O. 1 b y a x 2 2 2 2  (a> b > 0)  Đỉnh: A 1 (a;0), A 2 (a;0), B 1 (0;b) và B 2 (0; b). Độ dài trục lớn là 2a và độ dài trục bé là 2b.  Tiêu điểm: F 1 (c; 0), F 2 ( c; 0).  Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a và 2b với b 2 = a 2 - c 2 .  Tâm sai: a ba a c e 22   < 1  Hai đường chuẩn: x= c a e a 2   M(x;y)(E): MF 1 = a+ ex và MF 2 = aex 4) Tiếp tuyến của elíp (E): 1 b y a x 2 2 2 2  :  Tại M 0 (x 0 ;y 0 )(E) có phương trình: 1 b yy a xx 2 0 2 0   Đi qua M(x 1 ; y 1 ) là :A(xx 1 )+B(yy 1 )=0 với điều kiện:  tiếp xúc (E)A 2 a 2 +B 2 b 2 =C 2 A 2 +B 2 0,C=(Ax 1 +By 1 )0  HYPEBOL: 1.Định nghĩa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF 1  MF 2 =2a (2a không đổi và c > a> 0) là một Hypebol.  F 1 , F 2 : cố định là 2 tiêu điểm và F 1 F 2 =2c là tiêu cự.  MF 1 , MF 2 : là các bán kính qua tiêu. 2.Phương trình chính tắc của hypebol: 1 b y a x 2 2 2 2  b 2 = c 2 - a 2 . Trang 2 Tài liệu dành cho học sinh 12 – HK1 3) Tính chất và hình dạng của hypebol (H): 1 b y a x 2 2 2 2   Trục đối xứng Ox (trục thực) Oy (trục ảo). Tâm đối xứng O.  Đỉnh:A 1 (a;0),A 2 (a;0). Độ dài trục thực:2a và độ dài trục ảo:2b.  Tiêu điểm F 1 (c; 0), F 2 ( c; 0).  Hai tiệm cận: y=  a b x  Hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a, 2b với b 2 = c 2  a 2 .  Tâm sai: a ba a c e 22   > 1  Hai đường chuẩn: x= c a e a 2   Độ dài các bán kính qua tiêu của M(x;y)(H): * MF 1 = ex + a và MF 2 = exa khi x > 0. * MF 1 = exa và MF 2 =ex+ a khi x < 0. 4) Tiếp tuyến của hypebol (H): 1 b y a x 2 2 2 2   Tại M 0 (x 0 ; y 0 ) (H) có phương trình: 1 b yy a xx 2 0 2 0   Đi qua M(x 1 ; y 1 ) là : A(xx 1 )+B(yy 1 ) = 0 với điều kiện:  tiếp xúc (H)  A 2 a 2  B 2 b 2 = C 2 A 2 +B 2 0,C=(Ax 1 +By 1 )0  PARABOL: 1) Định nghĩa: Parabol là tập hợp các điểm M của mặt phẳng cách đều 1 đường thẳng  cố định và 1 điểm F cố định không thuộc  . : đường chuẩn; F: tiêu điểm và d(F, ) = p > 0 là tham số tiêu. 2) Phương trình chính tắc của Parabol: 2pxy 2  3) Hình dạng của Parabol (P) :  Trục Ox, đỉnh O.Tiêu điểm F( 2 p ; 0). 2pxy 2   Đường chuẩn : x =  2 p .  M(x;y)(P): MF = x+ 2 p với x  0 4) Tiếp tuyến của parabol (P): y 2 =2px:  Tại M 0 (x 0 ; y 0 ) (P):y 2 =2px có phương trình: y 0 y = p(x 0 +x)  Đi qua M(x 1 ; y 1 ) là : A(xx 1 )+B(yy 1 ) = 0 với điều kiện:  tiếp xúc (P)  pB 2 = 2AC A 2 +B 2 0 và C=(Ax 1 +By 1 )0 Biên soạn : Phạm Văn Luật Giáo viên THPT Đốc Binh Kiều Cai Lậy  Tiền Giang . Giải hệ gồm (1) và (2) ta có kết quả sau:  Hệ có duy nhất nghiệm A 1 B 2 A 2 B 1 0 1 và  2 cắt nhau.  Hệ vô nghiệm A 1 B 2 A 2 B 1 =0 và B 1 C 2 B 2 C 1 0  1 //  2 .  Hệ. Hệ quả: Nếu  1 : A 1 x+B 1 y+C 1 =0 và  2 : A 2 x+B 2 y+C 2 = 0 cắt nhau tại I (A 1 B 2 A 2 B 1 ) thì phương trình các phân giác tạo bởi ( 1 ) và ( 2 ) là: 2 2 2 2 222 2 1 2 1 111 BA CyBxA BA CyBxA        . = 21 21 b b a a =a 1 b 2 a 2 b 1 với  AB =(a 1 ; a 2 ) và  AC = (b 1 ; b 2 )  PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG: 1) Định nghĩa: Cho các vectơ  u và  n khác vectơ  0 .   u là 1 vectơ