PHẦN I LÝ THUYẾT ĐẠO HÀM RIÊNG ĐẠO HÀM HỢP ĐẠO HÀM ẨN ĐẠO HÀM RIÊNG Coi hàm z=z(x,y)xác định liên tục M0(x0,y0)nếu cho biến y=y0 không đổi,lúc hàm z(x,y) hàm biến theo x ta lấy đạo hàm biến (đã biết) theo biến x lim z ( x  x, y0 )  z ( x0 , y0 ) x x  Và ta kí hiệu ' zx  z x '  z x ( x0 , y0 ) đạo hàm riêng theo biến x Tương tự ta định nghĩa đạo hàm riêng theo biến y: z 'y  Ví dụ z y ' z  xy  y  z x  y , z 'y  xy  ĐẠO HÀM RIÊNG BẬC CAO a-đạo hàm hỗn hợp Lấy đạo hàm theo biến x hàm z 'y ( x, y ) ta biến y trước tới biến x sau.Vậy z ''yx ( x, y ) đạo hàm lần theo '' z xy ( x, y ) z ''yx ( x, y ) có khác không? Định lý (Schwarz) ' '' Giả sử zx' , z y , z xy tồn lien tục có Ví dụ '' z ''yx z xy  z ''yx '' '' f  x y  f xy  12 x y , f yx  12 x y b-tương tự ta lấy đạo hàm cấp n theo biến x,cấp m theo biến y kí hiệu  n  m ! cách biểu diễn f n m f xn m có tất y x y n m n !m ! n m ĐẠO HÀM HỢP t  (t1 , , tm )  R m , x  ( x1 , , xm )  R m , z  z ( x)  z ( x1 , , xn )  R R m  t  x  x (t )  g (t )  R n ta có đạo hàm hợp z0g(t) sau: ' ' ' zt'1  z x1 ( x1 )'t1  z x2 ( x2 )'t1   z xn ( xn )t'1 ' ' ' zt'2  z x1 ( x1 )t'  z x2 ( x2 )t'   zxn ( xn )'t2 ' ' ' zt'm  z x1 ( x1 )t' m  z x2 ( x2 )t' m   zxn ( xn )'tm Ta viết đạo hàm hợp z0g(t)dưới dạng ma trận sau: M 1m  ( z0 g )  ( z )  ( g )  M1n  M nm  M 1m  zt'1  zt'2 '  zt'n    z x1   ' z x2  ( x1 )t'1  ' ( x ) '  z xn   t1     ( xn )t'  ( x1 )t'1 ( x2 )t'  ( xn )t'  ( x1 )t' m    ( x2 )t' m       ( xn )t' m   Ví dụ z  z ( x )  z ( x1 , x2 )  x12  x2 , ( x1 , x2 )  (3t1  t2 , t12  t2 ) Tính zt'1 , zt'2  zt'1  ' zt'2    z x1    ( x1 )t'1 ' z x2    ( x )'  t1  ( x1 )t'     x1 ( x2 )'t2     3 x2    2t  2t2  4t2   ' ' 2 zt'1  z x1 ( x1 )'t1  z x2 ( x2 )'t1  x1   (3x2 )  2t1  18t1  6t2  6(t12  t2 )2 ' ' zt'2  z x1 ( x1 )'t2  z x2 ( x2 )'t2  x1  2t2  (3x2 )  4t2  4(3t1  t2 )t2  12(t12  t2 )2 t2 Chú ý: '' ''' Các công thức đạo hàm bậc cao hỗn hợp zuv , zv2u , khó biễu diễn cơng thức tổng qt ,nhưng tốn cụ thể ta chuyển biến x,y biến u,v sau lấy đạo hàm theo biến u,v Câu 1: Tìm vi phân cấp hàm z=x2+4y ' zx  x ' z y  y ln  dz  xdx  y ln 4dy Câu 2:Tìm vi phân cấp hàm z  ln( x  y ) 2( x  y ) 1 z 'y  2( x  y ) dx  dy 1  dz  dx  dy  2( x  y ) 2( x  y ) 2( x  y ) ' zx  Câu 10:tìm vi phân cấp d2z hàm hai biến z=x2+xcos2y ' '' z x  x  cos y, z x2  z 'y   x sin y, z ''y  2 x cos y ' z xy   sin y  d z  2dx  2sin ydxdy  x cos ydy Câu 11:Tìm vi phân cấp hàm hai biến:z=x2y3 ' '' z x  xy , z x2  y '' z 'y  3x y , z y  x y ' z xy  xy dz  y dx  12 xy dxdy  x ydy Câu 41 Tìm cực trị hàm z  x ( y  1)  3x  với điều kiện x-y+1=0 L  x ( y  1)  3x    ( x  y  1)  x   y2  L'x  x ( y  1)           '  Ly  x        x  1  '  y   L  x  y        M (1, 0), M (1, 2) Tại M1(-1,0) L''x2  2, L''y  0, L''xy  2  dz  2dx  4dxdy Mà : x  y 1   dx  dy  dz  2dx  4dxdx  6dx  Vậy M1(-1,0) hàm số đạt cực đại Tại M2(1,2) L''x2  0, L''y  0, L''xy   dz  4dxdy Mà : x  y 1   dx  dy  dz  4dxdx  4dx  Vậy M2(1,2)hàm số đạt cực tiểu Câu 42:Tìm cực trị hàm z  x  y  y  với điều kiện  x  y   L  x  y  y    ( x  y  1)   x  L  x      ' 1   Ly  y       y   '  L   x  y        ' x 1  M( ; ) 3 Ta có: L''x2  4, L''y2  2, L''xy   dz  4dx  2dy Mà x  y    dx  dy  dz  4dx  2dx  6dx  1 ) hàm số đạt cực tiểu 3 Vậy M ( ; PHẦN II TÍCH PHÂN BỘI Câu 50:Xác định cận tích phân I   f ( x, y )dxdy D miền giới hạn bỡi D đường y  x  2, y  x Phương trình hồnh độ giao điểm x  x   3x   x  Trong đoạn [1;2] ta có y=3x > y=x2+2 đó: I   f ( x, y )dxdy   dx D 3x  f ( x, y )dy x2  Câu 51 Xác định cận tích phân I   f ( x, y )dxdy D miền giới hạn bỡi D đường x=3;x=5;3x-2y+4=0;3x-2y+1=0 Ta có 3x  3x  , y2  2 3x  x  y1  y2    1.5   y1  y2 2 y1  3x4 Do I   f ( x, y )dxdy   dx D f ( x, y )dy  x 1 Câu 52:Xác định cận tích phân I   f ( x, y )dxdy D miền giới hạn bỡi D 2 đường D : x  y  1, x  0, y  Ta có: y    x x  0, y  nên I   f ( x, y )dxdy   dx D 1 x  f ( x, y )dy x2 Câu 60 Đổi thứ tự tích phân I   dx  f ( x, y )dy 1 Ta có x   y1   x1   y1   & &   2  x2   y2  x  y2  x   x  y  x2 y Vậy I   dx  f ( x, y )dy   dy  f ( x, y )dx 1 1 4 x Câu 61 Đổi thứ tự tích phân I   dx  f ( x, y )dy Ta có  x1   y1   y1   x1   & &   x2   y2   x  y2   x2   y 4 x 4 y Vậy I   dx  f ( x, y )dy   dy  f ( x, y )dx 1 x3 Câu 62:Đổi thứ tự tích phân I   dx  f ( x, y )dy 0 Ta có  x1   y1   y   x1   & &    x2   y2  x  y2   x2  y  x3 y Vậy I   dx  f ( x, y )dy   dy  f ( x, y )dx 0 0 y2 Câu 80:Tính tích phân I   dy  y e xy dx y2 y2 xy xy 0    (3 y e y  y )dx  e y  y I   dy  y e dx   y e 0  e2 2x Câu 81 Tính tích phân I   dx  3( x  y )dy 2x 1 I   dx  3( x  y )dy  3 ( xy  0 0  y2 )dx  3 x dx  x  x Câu 82 Tính tích phân I   dx  x sin ydy   x x  3 I   dx  x sin ydy   x cos y dx    (3x cos x  3x )dx   I1 0 0    Tính I1 I1   x cos xdx  3 x s inx   3sin xdx  6 0 3 I 6 x y Câu 90 Tính tích phân I   ln ydxdy D hình chữ nhật  x  2,1  y  e D e I   D e x ln y ln ydxdy   xdx  dy  x ln y  y y Câu 91 Tính tích phân I   sin x cos10 ydxdy D là hình chữ nhật D   x  2 ;  y   2 I   sin x cos10 ydxdy  D 2 10  (1  cos x) sin xdx  cos ydy 0 2 Vì tích phân  (1  cos x) sin xdx =0 nên I=0 Câu 92 Tính tích phân I   e x  y dxdy D hình vng  x  1;  y  D 1 I   e D x y dxdy   e 1 dx   (e x1  e x )dx   e x 1  e x   e2  e  e   (e  1) x y 0 Câu 100 tính tích phân I    x  y dxdy D miền giới hạn bỡi đường D x=-1,x=0,y=0,y=2 2 0  y2  I    x  y dxdy    ( x  y )dxdy    xy   dx   (2 x  2)dx  0 D 1 1  1 Câu 101 Tính tích phân I   dxdy D miền định bỡi D:  x  a;  y  x D a x a I   dxdy   dx  dy   D 0 a 3 xdx  x  a 3 y x Câu 102 tính tích phân I   dxdy D miền định bỡi D:  x  4; x  y  x D 2x I   D 2x 4 y y  y2  3 dxdy    dxdy     dx   xdx  x  x x x x 2 x 2 y Câu 110 Tính tích phân I   e x dxdy D tam giác giới hạn bỡi đường D x=1,y=0,y=x x x  y e 1 I   e dxdy    e dxdy   x  e x  dx    xe  x  dx  0 0  D y x y x Câu 111 Tính tích phân I   xdxdy D tam giác với đỉnh D O(0;0);A(1;0);B(1;0) 1 x I   xdxdy   D  0 1  x2 x3  xdxdy   x(1  x )dx      với y=1-x phương trình AB  0 Câu 112 tính tích phân I   xydxdy D miền giới hạn bỡi đường thẳng y=x D parabol y  x  x1   x2  Phương trình hồnh độ giao điểm x  x   Mặt khác đoạn [0;1] đường y  x nằm đường y  x nên ta có tích phân: x I   xydxdy    D x x 1  y2  x  x2 xydxdy   x   dx   x( )dx    x  x3 dx  12  x 0 Câu 120 Tính tích phân I   dx Vì tích phân giới hạn bỡi 1 y  ( x  y )dy đường trịn thuộc góc phần tư thư nên ta đặt  x  rcos   J  r ,  r  1,      y  r sin   1 y I   dx  0 ( x  y )dy   d  r 2rdr   Câu 121 Tính tích phân bội I   x  y dxdy D phần hình trịn D 2 x  y  thuộc góc phần tư thứ  x  r cos    J  r ;  r  2;     y  r sin  Đặt:    2 r  4 I   x  y dxdy   d  rrdr     d  0 0 0 D Câu 122 Tính tích phân I   dx 4 x2 dy   4 x Tích phân giới hạn bỡi đường tròn x  y  nên đặt :  x  r cos     J  r ;  r  2;    2  y  r sin   4 x2 I   dx   4 x 2 dy   d  rdr  2  Câu 130 Tính diện tích miền giới hạn bỡi đường y  x  x  1; x  y   Hoành độ giao điểm  x1  1   x2  Dựa vào đồ thị ta có 10 Câu 132 Tính diện tích hình Phẳng giới hạn bỡi đường y  e x  x; y  e  x  x; x   x1   x2  Hoành độ giao điểm  Dựa vào đồ thị ta có S   dx ex  x  e x  x dy    e x  e  x dx  e   e TÍCH PHÂN BỘI Câu 140 Xác định cận tích phân  f ( x, y, z )dxdydz Ω miền giới hạn bỡi  mặt x=1;y=2;z=1;z=2;x=0;y=0 2 I   f ( x, y , z )dxdydz   dx  dy  f ( x, y, z )dz  0 12 Câu 142 xét tích phân bội ba  f ( x, y, z )dxdydz Ω miền không gian  giới hạn bỡi mặt x  0; x  1; y  0; y  1; z  0; z  x  y x2  y2 I   f ( x, y , z )dxdydz   dx  dy  Câu 150 tính tích phân bội f ( x, y , z )dz  0  x sin ydxdydz Ω miền:   x  1;  y   ;0  z    2 2 I   x sin ydxdydz   dx  dy  x sin ydz   xdx  2sin ydy   0 0 Câu 151 Tính tích phân bội ba  xye z dxdydz Ω miền:   x  1;  y  2;  z  ln ln I   xye z dxdydz   xdx  ydy  e z dz   0 Câu 160 Tính tích phân I   xy cos zdxdydz Ω hình hộp   x  1;  y  2;  z    2   x   y2  I   xy cos zdxdydz   xdx  ydy  cos zdz       sin z  02   0 0  0 Câu 161:Tính tích phân I   x( y  1)tgzdxdydz miền Ω  1  x  1;  y  2;0  z    2   x   y3  I   x( y  1)tgzdxdydz   xdx   y  1  tgzdz       y   ln(cos z )     1  0  1 0 13 Câu 170 Cho Ω phần hình trụ x  y  1;1  z  Đặt: I   f ( x, y, z )dxdydz Chuyển sang tọa độ trụ xác định cận tích phân   x  r cos   Đặt:  y  r sin      2 ;  r  1;1  z  z  z  2 I   f ( x, y , z )dxdydz    d  rdr  f (rcos , r sin  , z )dz 0 Câu 171 Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ xác định cận tích phân I   f ( x, y, z )dxdydz Ω miền giới hạn bỡi mặt  x  y  x, z  x  y , z   x  r cos      J  r;    ;  r  2cos ;  z  r Đặt:  y  r sin  2 z  z  x2  y  r2   I   f ( x, y , z )dxdydz   cos  d   r2 rdr  f (rcos , r sin  , z )dz 0 Câu 172 Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ xác định cận tích phân I   f ( x  y , z )dxdydz ; Ω phần chung cua hai hình cầu  2 x  y  z  R , x2  y   z  R   R Ta có z1  R  ( x  y ) z2  R  ( x  y )  R Dựa vào đồ thị ta tính 14 r  R2  R2  R Đặt:  x  r cos   R; R  r  z  R  R  r  y  r sin   J  r ;    2 ;  r  z  z  2 2 I   f ( x  y , z )dxdydz   R  d  0 R2 r rdr  f (r , z )dz R  R2  r2 Câu 180 Gọi V thể tích miền Ω phần nằm mặt nón z  x  y giới hạn bỡi mặt cầu x  y  z  a  x   sin  cos z   Đặt  y   sin  sin   J   sin  ;    2 ;    arc cos  ;    a   z   cos    2 V  a  d  sin  d   d  0 Câu 181 gọi V thể tích miền Ω giới hạn bỡi mặt x  y  z  a ; x  y  z  b (0  a  b); z  x  y  x   sin  cos z    y   sin  sin   J   sin  ;    2 ;    arc cos  ; a    b   z   cos   15  2 V  b  d  sin  d   d  a Câu 182 Tính thể tích V vật thể Ω:  x  1;  y  x;  z  y 2x y 2x 2x 1  y2   x3  V   dx  dy  dz   dx  ydy     dx     0  0 0 0 0 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Câu 190 Tính tích phân đường I   ( x  y )dl C có phương trình x+y=1,  x  C ds   y '2 ( x)dx   (1)  2dx I   ( x  y )dl   ( x  (1  x)) 2dx  C Câu 192 Tính tích phân đường I   x y dl C có phương trình y=x,  x  a C ds   y '2 ( x )dx  2dx a I   x y dl   x5 x 2dx  C a Câu 201 Tính tích phân đường I   (2 x  y )dl C đoạn thẳng nối điểm C A(0,0) B(1,1) Phương trình AB:y=x ds   y '2 ( x )dx  2dx I   (2 x  y )dl   (2 x  3x ) 2dx  2 C 16 Câu 212 Tính tích phân đường I   xydl L đường biên tam giác với L đỉnh A(-1,0),B(0,1) C(1,0) I   xydl   L xydl  AB  xydl  BC 1 1  xydl  1 x(1  x)dx   x(1  x)dx        0 AC Câu 220:Tính khối lượng M đoạn thẳng AB với A(-2,0);B(0,-2) tỉ số tuyến tính  ( x, y )  ( x  y ) Phương trình AB y=-x-2   ( x, y)ds   ( x  ( x  2)) 2dx  M AB 2 Câu 221: Tính khối lượng M đoạn thẳng AB AB phần đường thẳng x+y=a(a>0) giới hạn bỡi trục tọa độ có tỉ khối tuyến tính  ( x, y )  a M   ( x, y)ds   AB x y 2dx  xa x Câu 222 Cho điểm A(0,1) B(1,1) tính tích phân đường I  (2 xy  x  1)dx  (2 xy  y  1)dy AB Lấy theo đường y=1 từ điểm A đển B y=1 nên dy=0dx I  AB (2 xy  x3  1)dx  (2 xy  y  1)dy   (2 x  x  1)dx  Câu 230 Tính tích phân đường loại I   x(4 y  1)dx  2( x  1)dy OA cung OA parabol y  Ta có dy  x2 từ O(0,0) đến A(2,1) xdx 17 I  OA x (4 y  1)dx  2( x  1)dy   x(4 Câu 232 Tính I   x( x x2 xdx  1)dx  2( x  1) 0  y )dx  2( x  y )dy lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0,0) đến OA A(2,1) Phương trình OA: y  x dx  dy  2 2 x x dx x  I   x( x  y )dx  2( x  y )dy   x ( x  )dx  2( x  )   (4 x  3x  )dx  2 2 OA 2 Câu 240 Tính tích phân đường I   ydx  xdy lấy theo đường y  x  từ A(0,1) đến AB B(1,3) Ta có dy  xdx I  AB ydx  xdy   (2 x  1)dx  x dx   (6 x  1)dx  0 Câu 241 Cho I   ( x  y )dx  ( x  y )2 dy ,trong C biên hình trịn D  C P  ( x  y )  Py'  y Q  ( x  y )2  Qx'  2( x  y ) Áp dụng cơng thức GREEN ta có ' I   ( x  y )dx  ( x  y )2 dy   (Qx  Py' )dxdy   xdxdy  C Câu 250 cho C elip D D x2  y  tính tích phân đường loại hai: 16 I   (3 y  cos x)dx  (4 x  5cos y )dy  C P=3y-4cosx;Q=4x+5cosy 18 I   (3 y  cos x)dx  (4 x  5cos y )dy   (Qx'  Py' )dxdy   dxdy  C C C  x  4r cos   J  4r ;0  r  1,  2  y  r sin  Đặt  2 I  d  4rdr  4 0 Câu 251 cho C hình trịn ( x  1)2  ( y  2)2  Tính tích phân đường loại hai I   e y dx  x (2  e y )dy  C P  e y , Q  x(2  e y ) '  I   (Qx  Py' )dxdy   2dxdy C C  x   r cos  ;     ,  r  2, J  r  y   r sin  Đặt    I   d  rdr  4 0 (2,3) Câu 262 Tính tích phân đường I   ydx  xdy ( 1,2) x Phương trình AB y   (2,3) I x dx 2 ydx  xdy   (  )dx  x   ( x  )dx   3 1 3 ( 1,2) 1 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I Câu 280 Tính tích phân mặt loại I   ds S mặt z  x,  x  1,  y  s 19 I    1  z ' x 0 ' y    z  dxdy    5dxdy  0 Câu 282 Tính tích phân mặt loại I   ( xy  y  yz )ds s mặt S x  y  z  1,  y  1,  x  2 2 ' ' I    ( xy  y  y (1  x  y ))   z x    z y  dxdy    ydxdy  0 0 Câu 290 Tính I   (3 x  y  z)ds s mặt x  y  z   0; x  y  S I   (3x  y  (3  3x  y ) 26dxdy s  x  r cos      2 ;  r  1; J  r  y  r sin  Đặt  2  I  26  d  rdr  3 26 0 Câu 291 Tính I   xds s mặt z  x  0, x  y  1, x  0; y  S 1 x I   xds   S 3 xdxdy  0 2 Câu 300 Tính tích phân mặt loại 1: I   xyzds s mặt hình lập phương s [0,1]  [0,1]  [0,1] 1 I   xyzds    xydxdy  s 0 Câu 302 Tính tích phân mặt loại 1: I   ( x  y  z)ds S mặt S x  y  z  2,  x  1,  y  20 1 I   ( x  y  z )ds    ( x  y  (2  x  y )) 3dxdy  0 S Câu 310 Tính diện tích S mặt x  y  z  1,  x  1,  y  2 S      4dxdy  0 Câu 312 Tính diện tích S mặt x  y  x ,z=2  2cos  S  d   rdr   Câu 320 Tính diện tích s mặt x  y  0, x  y  1, x  0, y  x S  dxdy  1 x Câu 321 Tính diện tích S mặt x  y  z  1; 2 S x2 y2  1 16  d  12r   4dr  36 Câu 322 Tính diện tích S mặt x  y  z  1, x  y  1, x  0, y  1 x S    1dxdy  1 x Câu 331 Tính tích phân mặt I   dxdy S mặt mặt x  y  ,z=4 S   Vì cos(n, z )  cos   2 Nên ta có I   dxdy  S   rdr 2 0 Câu 340 Tính tích phân mặt I   dxdy S mặt mặt s 21 y2 x   1, z    Vì cos(n, z )  cos   nên 2 I   dxdy    d  3rdr   3 S 0 Câu 341 Tính tích phân mặt I   dxdy S mặt mặt S 2 x  y  z  4, z  2   cos(n, z )  cos   nên I   dxdy   d  rdr  4 S 0 Câu 350 Tính tích phân mặt I   ( zdxdy  xdydz  ydzdx ) S mặt biên ngồi S hình hộp  :  x  1,  y  2,  z  Ta có Rz  z, Px  x, Qy  y ' Vậy I   ( zdxdy 2 xdydz  ydzdx)   ( Px'  Qy  Rz' )dxdydz   dx  dy  (2   1)dz  24 S S 0 Câu 351 Tính tích phân mặt I   ( zdxdy 3xdydz  ydzdx ) s mặt biên ngồi S 2 hình trụ  : x  y  4,  z  Ta có Rz  z, Px  3x, Qy  3 y 2 ' I   ( zdxdy 3 xdydz  ydzdx)   ( Px'  Qy  Rz' )dxdydz  S S  d  rdr  dz  16 0 Câu 360 Tính I   (3 xdxdy 2 xdydz  ydzdx) S mặt biên ellipsoid S  : x2  y2 z2  1 Ta có Rz  3x, Px  x, Qy   y 22 2 ' x ' y ' z I   (3 xdxdy  xdydz  ydzdx)   ( P  Q  R )dxdydz  S S   d  d  2.3.r 0 sin  dr  8 Câu 361 Tính I   (4 zdxdy 3 ydydz  ydzdx) s mặt biên ngồi ellipsoid S  : x2  y z  1 Ta có Rz  z, Px  y , Qy   y 2  ' I   (4 zdxdy 3 ydydz  ydzdx)   ( Px'  Qy  Rz' )dxdydz   d  d  2.3.r sin  dr  24 S S 0 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Câu 370 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân 2xydx+dy=0 2xydx  dy  dy dy  xdx     xdx    y y  x  ln y  C Câu 381 Chọn cách đổi biến đúng,thích hợp để giải phương trình vi phân y '  x2  y (1) y  xy x y  y x ' Chia tử mẫu (1) cho xy (1) trở thành y  y 1 x u  u3 Đặt y=ux , y '  u  xu '  u  u'  u 1 x (u  u ) Câu 382 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y'  y y2  x x2 Đặt y=ux 23 du du dx  u      dx u x x   ln x  C  y  u C  ln x  y '  u  xu '  u  u  x Câu 390 Tìm nghiệm tổng qt phương trình vi phân tồn  x   phần  x   dy  ( y  ln y )dx  y u =P(x,y)  y  lny  u   ( y  ln y )dx  yx  x ln y  C ( y ) x u x x  x  C ' ( y )  Q ( x, y )  x   C ' ( y )   y y y  C ( y )   x ln y  C  u  yx  x ln y  x ln y  C  yx  x ln y  C Câu 392 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '  y 0 x Đặt y=ux du du dx  3u     dx x 3u C   ln u  ln x  ln C  ln x u  ln C  y  x y '  u  xu '  2u  x Câu 400 tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân (1+sinx)y’+ycosx=0(1) (1)trở thành y '  A( x )  e   p ( x ) dx Q ( x)   y  cos x y0  s inx cos x dx  e  1sinx   1  s inx C  s inx Câu 410 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân xy’+2y=3x 24 xy’  2y  3x  y '  A( x )  e   p ( x ) dx B( x)   3e  dx x e   dx x y 3 x  x2 dx  x  C  y  ( x3  C ) x2 Câu 411 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ''  y '  y  Phương trình đặc trưng K  2k   Phương trình có nghiệm phức k   2i Vậy nghiệm tổng quát Phương trình y  e x  C1cos2 x  C sin x  Câu 412 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ''  y  Phương trình đặc trưng k   phương trình có nghiệm phức k  2i Vậy nghiệm tổng quát phương trình y  C1cos2 x  C2 sin x Câu 451 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ''  y '  y  Phương trình đặc trưng k  3k    k  1, k  Vậy nghiệm tổng quát phương trình y  C1e x  C2e x Câu 452 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ''  18 y '  27 y  Phương trình đặc trưng 3k  18k  27   3(k  3)2  k  3 Vậy nghiệm tổng quát phương trình y  C1e 3 x  C2 xe3 x Câu 460 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ''  x (1) Phương trình đặc trưng k   k  Vậy nghiệm phương trình tương ứng y  C1  xC2 Nghiệm riêng phương trình có dạng y1  ax Lấy đạo hàm vế thay vào phương trình (1)a6x=6x nghiệm riêng y1=x3 25 Vậy nghiệm phương trình y  y1  y  x  C1  xC2 26 ... Các công thức đạo hàm bậc cao hỗn hợp zuv , zv2u , khó biễu diễn cơng thức tổng qt ,nhưng tốn cụ thể ta chuyển biến x,y biến u,v sau lấy đạo hàm theo biến u,v Câu 1: Tìm vi phân cấp hàm z=x2+4y...ĐẠO HÀM HỢP t  (t1 , , tm )  R m , x  ( x1 , , xm )  R m , z  z ( x)  z ( x1 , , xn )  R R m  t  x  x (t )  g (t )  R n ta có đạo hàm hợp z0g(t) sau: '' '' '' zt''1... Vậy nghiệm phương trình tương ứng y  C1  xC2 Nghiệm riêng phương trình có dạng y1  ax Lấy đạo hàm vế thay vào phương trình (1)a6x=6x nghiệm riêng y1=x3 25 Vậy nghiệm phương trình y  y1  y 