22 Chơng II Phân tích tần suất Nh đã phân tích ở chơng 1, chúng ta coi chuỗi thuỷ văn là ngẫu nhiên, độc lập và đồng nhất và có thể áp dụng lý thuyết xác suất thống kê trong phân tích tần suất. Kiểm định chặt chẽ hơn các giả thiết này sẽ đợc đề cập trong chơng 3 và 5. 2.1. Đờng tần suất kinh nghiệm Đờng tần suất kinh nghiệm là đờng cong tần suất vẽ theo các điểm kinh nghiệm biểu thị quan hệ giữa tần suất và giá trị quan trắc thực. Để vẽ đợc đờng tần suất kinh nghiệm phải tính đợc tần suất kinh nghiệm. 2.1.1.Công thức tính tần suất kinh nghiệm Ban đầu ngời ta sử dụng công thức (1.2), nhng sau đó thấy rằng ứng với số hạng cuối (khi m=n) nó luôn luôn cho tần suất không đổi là 100%, dù là chuỗi ngắn hay dài. Đây là điều không hợp lý. Vì vậy các nhà chuyên môn đã đề xuất các công thức khác để khắc phục nhợc điểm này. Sau đây là một số công thức tính tần suất kinh nghiệm thờng dùng hiện nay trong thuỷ văn. a. Công thức số trung bình (Hazen) %. , 100 50 1 n m P (2.1) b. Công thức số giữa (Tsegođaev) %100. 4,0 3,0 2 n m P (2.2) c. Công thức số kỳ vọng %.100 1 3 n m P (2.3) Ví dụ 2.1: Theo 3 công thức trên tính toán cho chuỗi số liệu dòng chảy năm trạm Hoà Bình trên sông Đà (1956-2002) đợc kết quả nh bảng 2.1 So sánh thấy rằng: Với P<50% (dòng chảy lớn) thì cùng giá trị X cho P 3 >P 2 >P 1 và P 3 an toàn hơn. Với P>50% (dòng chảy nhỏ) cùng một giá trị X cho P 3 <P 2 <P 1 và P 3 an toàn hơn. Bảng 2.1: Tính tần suất kinh nghiệm chuỗi dòng chảy năm trạm Hoà Bình-sông Đà TT Năm Q i Q i Tần suất kinh nghiệm (%) 23 đã sắp xếp P 1 P 2 P 3 1 1956 1800 2240 1,06 1,48 2,08 2 1957 1420 2180 3.19 3,59 4,17 3 1958 1550 2160 5,31 5,70 6,25 4 1959 1810 2120 7,45 7,81 8,33 5 1960 1590 2110 9,57 9,92 10,42 43 1998 1950 1360 90,42 90,08 89,58 44 1999 2240 1330 92,55 92,19 91,67 45 2000 1850 1260 94,68 94,30 93,75 46 2001 2120 1240 96,81 96,41 95,83 47 2002 2160 1230 98,94 98,52 97,92 Bảng 2.2: Tính tần suất kinh nghiệm dòng chảy lớn nhất năm trạm Dừa-sông Cả TT Năm Q i Q i đã sắp xếp Tần suất kinh nghiệm (%) 1 1959 1830 2489 1,19 2 1960 1959 2460 3,57 3 1961 2017 2366 5,95 4 1962 2284 2357 8,86 5 1963 2341 2341 10,71 38 1986 2313 1816 89,29 39 1987 1867 1753 91,67 40 1988 1619 1693 94,03 41 1989 1826 1672 96,43 42 1990 2076 1619 98,81 2.1.2. Phơng pháp vẽ đờng tần suất kinh nghiệm Bớc đầu, để vẽ đờng tần suất kinh nghiệm ta phải thực hiện các bớc sau: - Sắp xếp chuỗi số liệu theo thứ tự giảm dần - Tính P theo công thức công thức kinh nghiệm tuỳ theo từng trờng hợp. - Trên giấy kẻ ô, chấm các điểm quan hệ (thờng chọn trục hoành X là giá trị P, trục tung Y là giá trị dòng chảy (hoặc hệ số môđun). - Vạch một đờng cong trơn đi qua các nhóm điểm, đợc một đờng có xu thế cong 2 chiều, có dạng nh hình 2.1a,b. Ví dụ 2.2: Tính và vẽ tần suất kinh nghiệm cho chuỗi dòng chảy lớn nhất năm (1959-1990) trạm Dừa-sông Cả (bảng 2.2). 24 Tổng số năm là n=42. Tính tần suất kinh nghiệm theo công thức số giữa (2.2) (bảng 2.2). Sau đó chấm các điểm kinh nghiệm lên giấy kẻ ô vuông (hệ toạ độ Đêcac) đợc hình 2.1a. Dạng khái quát chung nh hình 2.1b. Hình 2.1a: Đờng tần suất kinh nghiệm Qmax trạm Dừa sông Cả (giấy ô vuông) Hình 2.1b: Đờng tần suất khái quát (giấy ô vuông) Tuy nhiên trong tính toán thuỷ văn thiết kế thì tần suất quy định thờng ra khỏi phạm vi khống chế của chuỗi quan trắc và đờng kinh nghiệm (P<10% hoặc P>90%), trong khi dạng đờng này lại có 2 hớng cong ở 2 đầu nên rất khó cho phân tích và ngoại suy. Vì vậy ngời ta tìm một đờng cong toán học phù hợp với dạng đờng kinh nghiệm trong phạm vi khống chế của chuỗi quan trắc để mô phỏng. Đờng này gọi là đờng tần suất lí luận, đợc xác định dựa trên một số đặc trng thống kê cơ bản. Đồng thời cũng sử dụng loại giấy đặc biệt có lới xác suất để uốn thẳng các đờng tần suất. 2.2.Giấy xác suất (giấy tần suất) Trên giấy tần suất có lới xác suất nhằm mục đích chuyển hoá các trục theo các thang tỷ lệ khác nhau để đờng tần suất trở thành đờng thẳng, tạo cho việc ngoại suy đợc dễ dàng. 2.2.1. Giấy tần suất theo luật phân bố chuẩn (giấy Hazen) 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 0 20 40 60 80 100 P K S e rie s1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 P(%) 25 Sử dụng đờng tần suất của hệ số môđun K có phân bố chuẩn với các thông số là: K =1, C v =1 và C s =0. Đờng vẽ trên hệ trục toạ độ vuông góc nẳm ở bên trái hình 2.2. Tiến hành chuyển hoá thang tỷ lệ trục hoành (tần suất) qua đờng thẳng nằm bên phải hình 2.2. Thang độ của trục tung đợc giữ nguyên. Góc nghiêng của đờng thẳng bên phải hình trên cho ta phạm vi và tỷ lệ của thang tần suất ở trục hoành. Hình 2.2. Sơ đồ vẽ giấy tần suất Hazen Chuỗi quan trắc thuỷ văn thờng không có phân bố chuẩn nên đờng vẽ trên giấy Hazen sẽ không thẳng. Nếu C s >0 thì đờng có dạng lõm (so với trục ngang-tần suất). Nếu C s <0 thì đờng có dạng lồi. C s càng lớn thì đờng có độ cong càng lớn. Hình 2.3: Đờng tần suất kinh nghiệm Qmax trạm Dừa sông Cả (giấy tần suất) Hình 2.3: Đờng tần suất kinh nghiệm Qmax trạm Dừa sông Cả (giấy tần suất) Với C v khác nhau thì đờng tần suất trên giấy Hazen sẽ cho ta góc nghiêng khác nhau. C v càng lớn thì góc nghiêng càng lớn. Vì vậy có thể nói góc nghiêng của đờng thẳng biểu thị phân bố chuẩn sẽ xác định hệ số biến đổi. Nếu C v >0,3 thì đờng tần suất vẽ trên giấy Hazen có một phần đi xuống dới giá trị âm (<0), mâu thuẫn với bản chất vật lý của hiện tợng thuỷ văn, nên những giá trị âm không đợc phản ảnh trên giấy tần suất. Trên giấy Hazen ta xác định đợc đờng tần suất kinh nghiệm Q max trạm Dừa, sông Cả nh hình 2.3. 2.2.2. Giấy tần suất theo phân bố nhị thức P.III (giấy Brokovich) 26 Chuỗi thuỷ văn thờng có C s 0, khi đó đờng tần suất trên giấy Hazen có dạng cong, nên ngời ta muốn uốn thẳng đờng này, trong đó chú ý đến trờng hợp C s =2C v , khi mà đờng Pearson III trùng với đờng Kritski-Menkel. Chọn dạng phân bố P.III với các thông số: K =1, C v =1 và C s =2C v . Xuất phát từ giấy Hazen, tức là trục hoành (P) giữ thang tỷ lệ theo Hazen, còn trục tung (trục K) đợc chia lại theo tỷ lệ để đờng tần suất trở thành đờng thẳng (cho C s = 2C v ). Đờng tần suất với các thông số đã chọn đợc vẽ trên giấy Hazen, chỉ ra ở phía dới của hình 2.4. Góc nghiêng của đờng thẳng chuyển hoá, chỉ ra ở phía trên của hình 2.4, xác định tỷ lệ thang tung độ. Trên cơ sở này Brokovich thiết lập các loại giấy tần suất ứng với các tỷ số C s = 1,0C v ; C s = 1,5C v ; C s = 3,0C v ; C s = mC v . Giá trị m càng lớn thì góc nghiêng của đờng càng lớn. 2.2.3. Giấy tần suất theo luật phân bố log-chuẩn Loại giấy tần suất này có thể nhận đợc từ lới xác suất theo quy luật phân bố chuẩn nhng trục tung đợc chia theo logarit của K. Lới này thờng sử dụng khi chuỗi có phân bố rất không đối xứng, tơng ứng với hệ thức C s = 3,0C v +C v 3 . Hình 2.4. Sơ đồ vẽ giấy tần suất Brokovich 2.2.4. Giấy tần suất theo luật phân bố Goodrich Có thể nhận đợc bằng cách chuyển hoá đờng tần suất logK trên giấy kẻ ô vuông. Đờng tần suất ban đầu có các thông số K =1, C v =1,0 và C s =2,0 (hình 2.5). Thang độ tần suất ở hoành độ có thể kết hợp với thang tung độ chia đều của logK hoặc thang tung độ logarit của K. Các bớc thực hiện nh sau: 27 Hình 2.5. Sơ đồ vẽ giấy tần suất Goodrich Vẽ đờng tần suất logK - P trên giấy kẻ ô vuông. Giữ trục logK (hoặc thang độ logarit), chuyển trục P theo thang tỷ lệ mới để có đờng thẳng. 2.2.5. Giấy tần suất theo luật phân bố Gumbel Giấy tần suất Gumbel có thể nhận đợc bằng cách chuyển hoá luật phân bố Gumbel. Sơ đồ chuyển hoá đờng cong gốc không khác các phơng pháp đã xét ở trên. Do phân bố Gumbel đợc đặc trng bởi một giá trị cố định của hệ số không đối xứng nên không cần thiết chọn lới nh khi sử dụng phân bố nhị thức (hay Kritski-Menkel) (hình 2.6)[32]. Hình 2.6. Giấy tần suất theo luật phân bố Gumbel Hiện nay ở Việt Nam thờng chỉ dùng giấy tần suất Hazen, vì thực tế để ngoại suy cho các tần suất nhỏ ngời ta sử dụng công thức tính và các bảng tra dựa trên các thông số thống kê. Đờng tần suất trên giấy chỉ để mô tả hình dạng và phân tích hiệu chỉnh. 2.3. Đờng tần suất lý luận 2.3.1. Khái niệm Là đờng cong toán học phù hợp với dạng đờng kinh nghiệm trong phạm vi của chuỗi quan trắc, cho phép ngoại suy đến các tần suất nhỏ và lớn mà chuỗi quan trắc ngắn không đủ khống chế . Đờng tần suất lý luận đợc xác định theo các dạng hàm phân bố xác suất, tức là các phơng trình biểu thị quan hệ giữa X, hoặc K với P. Mỗi đờng tần suất đợc xác định bởi một số thông số thống kê xác định, trong thuỷ văn thờng là 3 thông số chủ yếu X , C V và C S . Các thông số của hàm phân bố xác suất tơng ứng đều có thể quy về 3 thông số cơ bản trên. 2.3.2. Các đờng tần suất lí luận 28 Trớc khi xem xét các đờng tần suất lí luận chúng ta khảo sát một số hàm phân bố rời rạc, thờng áp dụng trong thuỷ văn và là cơ sở ban đầu cho sự hình thành các phân bố liên tục hay đờng tần suất sau này. a. Các phân bố rời rạc * Phân bố nhị thức Trong một số trờng hợp tập hợp các biến thuỷ văn chỉ gồm 2 loại riêng rẽ xung khắc nhau, chẳng hạn ma hay không ma, lũ vợt hay không vợt một độ lớn đã cho, một giả thuyết đúng hay sai. Xác suất xuất hiện một biến cố là p và xác suất không xuất hiện là q=1-p. Sự xuất hiện đợc coi là thành công, trái lại sự không xuất hiện đợc coi là thất bại. Dĩ nhiên ta có p+q=1. Thông thờng giả định là các kết quả thành công hình thành một chuỗi biến số độc lập và ngẫu nhiên. Mỗi biến ngẫu nhiên nh thế gọi là biến Bernoulli, và mỗi lần thực hiện là phép thử Bernoulli, tức là phép thử mà mỗi lần biến ngẫu nhiên chỉ nhận giá trị 1 hay 0 (tức là chỉ thành công hay thất bại) với các xác suất là p và q=1-p, nghĩa là xác suất p{x=1} = p và p{x=0} = q. Xác suất thành công của mỗi phép thử là p. Chúng ta tìm xác suất P(m) để trong n phép thử có m lần thành công, còn lại (n-m) lần thất bại. Xác suất đó chính là hàm mật độ: mnmmnmn m qp mnm n qpCmP )!(! ! )( (2.4) nghĩa là bằng số hạng thứ (n-m) hay số hạng chứa đại lợng p m trong khai triển của nhị thức (q+p) m .Vì vậy phân bố đợc gọi là phân bố nhị thức. Một trờng hợp đặc biệt khi mà xác suất thành công hay thất bại bằng nhau và bằng 1/2, nghĩa là p=q=1/2. khi đó (2.4) đa đến: )!(! ! )!(! ! )( mnm n qp mnm n mP n mnm 2 (2.5) - Hàm luỹ tích: Trong thực tế cũng yêu cầu xác định xác suất xuất hiện không quá r lần thành công, hay ngợc lại không quá r lần thất bại trong n phép thử, tức là ta phải xác định hàm phân bố luỹ tích của nó: r m mnmn m qpCrmP 0 )( (2.6) Nhng trong thuỷ văn thờng xác định xác suất vợt hay tần suất, do đó: )()( rmPrmP 1 (2.7) Dạng đờng phân bố nh hình (2.7). 29 Hình 2.6. Đờng phân bố nhị thức - Các thông số phân bố Nếu mỗi phép thử thứ i đợc biểu thị bằng một biến số x i thì phân bố nhị thức có những thông số thống kê sau: Số trung bình: M(x)=np; (2.8) Phơng sai: D(x)=npq; (2.9) Khoảng lệch chuẩn: npqD ; (2.10) Hệ số biến đổi: np q C V ; (2.11) Hệ số không đối xứng: q np npq pq C S 5 )( ; (2.12) Hệ số nhọn: 3 61 npq pq C e . (2.13) - Tính chất: Bị chặn bởi x=0 và x=1. Ngời ta cũng lập bảng tra cho phân bố nhị thức nh phụ lục (2.1). Phân bố nhị thức thờng đợc dùng khi xác định các sự kiện thuỷ văn hiếm nh khô hạn hay ngập lụt. Ví dụ 2.3[32]: Xác định xác suất để trong 20 năm quan trắc dòng chảy xẩy ra không quá 5 năm khô cạn. Thực tế quan trắc trên nhiều sông thấy rằng trong 20 năm thờng có 4 năm khô hạn, nh vậy p=4/20=0,2. Chúng ta có n=20; r=5; p=0,2 và q=1- p=0,8. Từ công thức (2.6) tính đợc: mmm m mnmn m CqpCmP 20 20 5 0 80205 ,,)( 0,808, và theo (2.7) đợc xác suất để trong 20 năm xẩy ra hơn 5 năm khô cạn là: )()( 515 mPmP =1-0,808=0,192, tức là xác suất khá nhỏ. n=10, p=1/4 v q=3/4 PHN bố Nhị THứC 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n=10, p=q=1/2 rnr qp rnr n rxp !! ! )( 30 * Phân bố Poisson Phân bố này biểu diễn xác suất xuất hiện các biến cố rời rạc, tức thời và độc lập trong một khoảng thời gian (hay không gian) đã cho. Phân bố Poisson đợc suy ra từ phân bố nhị thức khi n và np= hữu hạn và không đổi. Thực vậy, từ phân bố nhị thức ta có: mnmmnmmnmn m pp m mnnnn qp mnm n qpCmP )( ! )) ()(( )!(! ! )( 1 121 ( 2.14) Nhân tử và mẫu của (2.14) với n m và đổi biến np= ta có: mnm m p mn mnnnn mP )( ! )) ()(( )( 1 121 (2.15) Lại chia tử số cho n m ta đợc: m nm p p mn m nn mP )( )( ! )) ()(()( 1 11 1 2 1 1 1 (2.16) Đa từng phần của biểu thức (2.16) tới giới hạn. Ta biến đổi biểu thức: p np pn ppp 11 111 )()()( và lấy giới hạn khi 0 p : Lim p 0 p p 1 1 )( = e Tiếp tục lấy giới hạn của phần còn lại khi n và 0 p : 1 1 1 1 2 1 1 1 0 m p n p n m nn Lim )( )) ()(( Đa 2 giới hạn trên vào công thức (2.16) ta đợc hàm mật độ phân bố Poisson. - Hàm mật độ (Hình 2.3): e m mxPxf m ! )()( , (2.17) hoặc x exf )( (2.18) Hình 2.8. Phân bố Poisson 31 - Hàm luỹ tích: Là xác suất vợt (tần suất) hoặc không vợt của m biến cố trong n phép thử: m i m ipmxPP 0 )()( , (2.19) và m mi m PipmxPQ 1 1 )()( (2.20) Hàm luỹ tích có thể thu đợc từ họ đờng cong nh hình (2.8) với giá trị trung bình =np mà không cần tính toán theo các công thức ở trên. - Các thông số: Chỉ có một thông số , đợc xác định từ thực nghiệm. Các đặc trng thống kê thờng dùng trong thuỷ văn có thể suy ra từ : Kỳ vọng: m(x) = ; (2.21) Phơng sai: D(x)= 2 , do đó : ; (2.22) Hệ số biến đổi: 1 v C ; (2.23) Hệ số bất đối xứng: 1 21 / vs CC ; (2.24) Hệ số nhọn: 1 3 e C (2.25) Dạng đờng tần suất không khác nhiều với phân bố nhị thức, ngay cả khi dung lợng mẫu tơng đối nhỏ, đặc biệt khi giảm (hình 2.9). - Tính chất: Bị giới hạn dới: 0 x . - Bảng phân bố Poisson, có thể lập bảng tra sẵn ứng với và m. Bảng này có ở nhiều sách giáo khoa, ở đây đa ra bảng với số hạng của hàm ! m e m [10] (phụ lục 2.2). Cũng có thể tính theo hàm trong bảng tính Excel. - ứng dụng: Phân bố Poisson đợc dùng trong việc xác định các hiện tợng thuỷ văn hiếm, vận chuyển ô nhiễm hay quá trình xẩy ra ma. 1-Luật nhị thức p=0,2, n=25; 2- Luật nhị thức p=0,1, n=50; 3- Phân bố Poisson =5 [...]... như hình (2 .1 3) - Các thông số: 3 thông số trên có thể tính được từ các mômen sau: ( b )a ; ( ) b 1 x 2 3 Nói riêng vì lấy ( ) ( 2 b ) ( b )2 2 ( ) ( 3 b ) ( b ) 3 3 3 (2 .4 9) 1; (2 .5 0) ( ) ( 3 b ) ( b ) 2 2, (2 .5 1) x =1 nên từ (2 .4 9) ta có: a ( ) b ( b ) (2 .5 2) - Tính chất Chỉ có 1 số đông xđ; Khi Cs = 2Cv trùng với đường P.III; Khi Cs >2Cv ở vùng P lớn (> 99 %) tung... biến hình thức Với phân bố log-chuẩn : p( x ) 1 x ( y y )2 exp ; với y=logx; x>0 2 2 2 y (2 .9 0) - Hàm tần suất x P( x ) 1 F ( x ) 1 p( x ) dx x hay : x P( z ) 1 F ( z ) 1 Hàm F( x ) 1 2 e ( x x )2 exp dx 2 2 2 z2 2 1 2 e (2 .91a) dz (2 .91b) 1 p( x )dx z2 2 x dz (2 .91c) x chính là hàm Laplace và là hàm chẵn - Các thông số: Phân bố chuẩn có 2 thông số là x và ,... của phân bố Gumbel là hằng số 44 * Với phân bố EV3 (Weibull), có các thông số như sau: 1 x m a( 1 ) ; b 2 (2 .7 4) 2 2 1 a 2 ( 1 ) 1 ; b b (2 .7 5) 3 1 2 1 1 C s ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 ) 2 1 b b b b 2 2 1 (1 ) 1 b b trong đó: Bảng 2. 8: Giá trị 3 , 1 2 (2 .76a) (2 .76b) y(n ) và y (n ) của biến rút gọn y với n khác nhau n y( n ) y(n) n y( n ) y(n)... cơ số e khi nâng bậc luỹ thừa trong các công thức (2 .5 4), (2 .5 5) - Hàm mật độ: Vi phân các phương trình (2 .5 4), (2 .5 5) ta sẽ được hàm mật độ 1) Trường hợp 1:Bị chặn dưới p( x ) n dP n ( x x 0 ) n 1 e ( x x 0 ) dx (2 .5 6) 2) Trường hợp 2: p( x ) ( x x 0 ) m 1 ( x x 0 ) m dP m ( x x0 ) e dx ( x m x ) m 1 (2 .5 7) Hàm mật độ dạng (2 .5 6) chỉ ra như hình (2 .1 5) - Các thông số Các thông số của... 1 ( 1 ) x0 n n 2 1 2 1 (1 ) 2 (1 2 n n (1 Cs (2 .5 8) (2 .5 9) n 3 1 2 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 ) 2 3 ( 1 ) n n n n 2 1 2 ( 1 n ) ( 1 n ) (2 .6 0) 2 3 Alecxâyev cho rằng có quan hệ gần đúng giữa Cs và Cv của đường Goodrich như sau Cs =2, 9Cv -0 ,9 - Tính chất Bị chặn dưới: x0 < x 0 nếu Cv < 1/B; k0=1-BCv=0 nếu Cv=1/B; k0=1-BCv< nếu C v > 1/B, trong đó: (1 B 1 ) n (2 .6 1). .. 2. 1 6), và y được gọi là biến ngẫu nhiên rút gọn 43 Biến rút gọn Hình 2. 16: Hàm mật độ Gumbel 2) Phân bố EV2 p( x ) k (u e )k ( x e ) k 1 u e k exp x e (2 .6 5) 3) Phân bố EV3: P( x) b x m a a b 1 x m b exp ( ) a (2 .6 6) - Hàm tần suất 1) Phân bố EV1: xu P ( x ) exp exp( ) exp exp( y ) (2 .6 7) u e k P ( x ) exp ( ) xe (2 .6 8) x m b P ( x ) exp ( ) ... biểu thức (2 .7 7), (2 .7 8) vào (2 .8 0) và sau một vài biến đổi ta được: x x Hoặc: theo công thức: x(n) y( n ) y y( n) (2 .8 3) xP=u+ yP, (2 .8 4) trong đó: yp được xác định bằng cách logarit hoá (cơ số 1 0) liên tiếp 2 lần hàm tần suất: yP = 2, 3lg [ 2- lg(100-P) ]-0 ,834 (2 .8 5) Một số giá trị cụ thể theo (2 .8 4) cho trong bảng 2. 9 Bảng 2. 9: Giá trị khoảng lệch tính từ số đông (yp) P 0,1 0,5 1,0 3,0 5,0 10 20 30... quan hệ: * (Cs< 0)= - 100-p( C s ) Khi đó công thức (2 .36b) có dạng: P xp x * P (2 .36c) Các phương trình (2 .95a,b,c) trở thành: x p1 x 3 (2 .95d) x p 2 x 2 (2 .95e) x p3 x 1 (2 .95f) Tương ứng ta được: S * s x P1 x P 3 2 x P 2 1 3 2 2 f ( P, C s ) , x P1 x P3 1 3 (2 .9 6) Có S* sẽ suy ra Cs(< 0) Và tiếp theo có : và: x P1 x P 3 1 3 (2 .97b) (2 .98b) x x P 2 2 nghĩa là xác định... y ) F ( y, ) (2 .100a) f ( x, y )dy (2 .100b) F ( x, y ) F3 ( x / y ) F2 ( y ) F4 ( y / x ) trong đó: (2 .101a) F ( x, y ) , F1 ( x ) (2 .101b) F1(x), F2(y) là các hàm phân bố xác suất một chiều, F3(x/y), F4(y/x) là các hàm phân bố xác suất có điều kiện Khi xem xét tác động của nhiều đại lượng ngẫu nhiên, ta phải xem xét hàm phân bố xác suất đồng thời nhiều chiều Hàm này có dạng: F x1 , x 2 ,... Kritski-Menkel Đặt: x = azb Từ đường P.III ta có f ( z ) z ( ) 0z z 1 e z khi Cs=2Cv và (2 .4 5) z =1 thì 1 C VZ Chuyển đổi từ f(x) sang f(z) theo biểu thức: f(x) f(z) ta được: 38 dz dx (2 .4 6) Hình 2. 13 Đường tần suất Kritski-Menkel - Hàm mật độ f(x) 1 xb 1 a b x (2 .4 7) e a b b( ) - Hàm tần suất 1 P( x ) f ( x )dx f ( x ) x x x b 1 a b x e (2 .4 8) dx b a b ( ) Đường . hình (2 .1 3). - Các thông số: 3 thông số trên có thể tính đợc từ các mômen sau: b ab x )( )( 1 ; (2 .4 9) 1 2 2 2 )( )( ) ( b b ; (2 .5 0) 2 3 3 3 3 23 2 3 )( )( ) ( )( )( ) ( b b b b ,. của (2 .1 4) với n m và đổi biến np= ta có: mnm m p mn mnnnn mP )( ! )) () (( )( 1 121 (2 .1 5) Lại chia tử số cho n m ta đợc: m nm p p mn m nn mP )( )( ! )) () ( () ( 1 11 1 2 1 1 1 . Chow (2 .36a) ở trên và K T đợc tính theo các biểu thức gần đúng tơng ứng với phân bố log- P.III: 54 322 32 3 1 16 3 1 1 kZkkZkZZkZZK T )( ) ( )( , (2 .4 2) trong đó: 32 2 0013080189 629 04 327 8811 010 328 08 028 53051551 72 WWW WW WZ ,,, ,,, ,