115 Chơng 5 - Dao động cảng do tác động sóng di 5.1 Giới thiệu Cảng l một vùng nớc nửa kín thông với biển qua một hoặc một số cửa. Các cảng bình thờng đợc xây dựng dọc bờ biển, nơi phần nớc khuất của cảng l các vũng lõm tự nhiên hoặc đợc tạo ra bởi các đê chắn sóng nhô từ bờ ra phía biển (hình 1.1a1.1c). Cảng nhân tạo có thể cách biệt xa đất liền, ví dụ cảng ngoi khơi cho các trạm phát điện ở Đại Tây Dơng do Công ty điện khí công cộng New Jersey một thời đã xây dựng. Cảng ny bao quanh hai nh máy điện hạt nhân nổi bằng hai đê chắn sóng khổng lồ (hình 1.1d). Ngoi ra còn một số cảng nằm trên đảo nhỏ ngoi khơi, những cảng ny có thể gần hoặc xa đất liền, nh hình 1.1e. Mặc dù các dao động trong cảng có thể do rất nhiều ngoại lực gâ y nên, nhng nguyên nhân đợc nghiên cứu nhiều nhất l các sóng sóng thần (tsunami), chu kỳ từ vi phút đến một giờ v có xuất xứ từ các trận động đất xa. Nếu tổng thời gian diễn ra sóng thần đủ di, thì dao động trong cảng có thể tiếp diễn nhiều ngy, lm đứt dây neo, hỏng đệm bảo vệ tầu, gây nguy hiểm khi neo, bốc dỡ hng hoặc ra vo cảng Nhiều khi các tu sắp cập cảng phải neo lại bên ngoi, đợi đến khi ngừng dao động, gây trậm chễ rất tốn kém. Để hiểu sơ bộ về cơ chế vật lý của những dao động ny, ta xét một cảng có cửa dọc theo đờng bờ di v thẳng. Các sóng tới bờ một phần phản xạ v một phần bị hấp thụ ở bờ biển. Tuy nhiên, một phần nhỏ bị nhiễu xạ qua cửa vo cảng v bị phản xạ một lần nữa tại các biên bên trong cảng. Một phần năng lợng sóng phản xạ thoát ra khỏi cảng v lại phát xạ ra biển, trong khi một phần năng lợng lu lại bên trong cảng. Nếu chuỗi sóng kéo di v tần số sóng tới gần bằng tần số sóng đứng trong thủy vực kín, thì sự cộng hởng trong cảng sẽ xuất hiện, vậy một sóng tới tơng đối yếu có thể gây nên phản ứng khá lớn trong cảng. Hình 1.1 Sự đa dạng của cấu hình cảng Biên độ cộng hởng lớn nhất có thể bị giới hạn bởi một số cơ chế sau đây: 1) Suy giảm phát xạ do năng lợng thoát ra biển qua cửa. 2) Mất mát do ma sát gần biên v cửa cảng. 3) Mất mát do sóng đổ trên các bãi nông. 4) Hiệu ứng vận chuyển năng lợng biên độ hữu hạn sang các hi tần cao hơn. Trong số những cơ chế ny, sự suy giảm phát xạ l dễ hiểu nhất về mặt lý thuyết v đã đợc xử lý lần đầu tiên trong một 116 bi báo của Miles v Munk (1961) đối với một hải cảng hình chữ nhật. Mất mát do ma sát xảy ra ở biên cảng v gần đỉnh đê chắn sóng tại cửa cảng; lợng mất mát ny khó ớc lợng v biến thiên nhiều tuỳ tính chất của biên. Muốn ớc lợng tin cậy thì cần đến những thông tin thực nghiệm khó có thể thu đợc bằng mô hình bởi lý do các hiệu ứng tỉ lệ kích thớc. Sóng đổ l hiện tợng chủ yếu liên quan với sóng gió ở trên những bãi thoải v cho đến nay thì không theo một lý thuyết no. Rất may, đối với các sóng rất di nh sóng thần thì hiện tợng sóng đổ thờng l không quan trọng. ở chơng ny, ta sẽ bỏ qua các mất mát do ma sát v do sóng đổ, chỉ xét các hiệu ứng suy giảm phát xạ. Sau phần đặt vấn đề, ta sẽ thảo luận riêng rẽ ba yếu tố của bi toán cảng: sóng đứng trong vịnh, khái niệm suy giảm phát xạ v nhiễu xạ ở khe. Tiếp nữa, đối với các sóng đầu vo hình sin v độ sâu không đổi, ta sẽ nghiên cứu bi toán đầy đủ gồm biển v các cảng với hình dạng đơn giản khác nhau. Sẽ xét các sóng ngắn đối với một vịnh hẹp. ở cuối chơng phơng pháp phần tử-ghép tổng quát ở mục 4.11 sẽ đợc cải biên áp dụng cho các cảng độ sâu v hình dạng bất kỳ. 5.2 Thiết lập các bi toán dao động cảng Để đơn giản, ta giả thiết nh sau về chuyển động chất lỏng: chất lỏng không nhớt, dòng chảy không xoáy, biên độ sóng nhỏ vô hạn, bớc sóng rất di so với độ sâu v các đờng biên bên có tính phản xạ hon ton v thẳng đứng. Các phơng trình đã rút ra ở mục 4.1 có thể áp dụng đợc. Để tiện dùng, ta sẽ nhắc lại dới đây. Đối với dao động ngắn, li độ thoả mãn phơng trình 2 2 t hg = )( (2.1) với điều kiện không có thông lợng 0= n h (2.2) tại các vách bên. Đối với chuyển động điều ho đơn, biên độ không gian của li độ mặt tự do sẽ thoả mãn phơng trình 0 2 = + g h )( (2.3) v chịu điều kiện không thông lợng 0= n h (2.4) tại các vách bên. Đối với độ sâu không đổi, phơng trình (2.1) rút gọn thnh phơng trình sóng cổ điển, trong khi phơng trình (2.3) thnh phơng trình Helmholtz 0 22 =+ k , (2.5) trong đó kgh 21/ )( = . Điều kiện phát xạ đối với chuyển động hình sin có thể viết ra một cách tờng minh nếu địa hình ở phía xa cảng có tính đơn giản. Xét một cảng nằm trên đờng bờ biển phản xạ hon ton. Giả sử l vùng gồm cảng v ton bộ miền lân cận, v l phần còn lại của biển nơi có const=h v đờng bờ biển B thẳng (xem hình 2.1). Sóng tới phẳng có thể diễn tả bằng )],sincos([exp II I yxikA += (2.6) trong đó kA , v hớng I cho trớc. Hệ thống sóng hon chỉnh trong đại dơng có thể đợc chia thnh SII ++= ' (2.7) trong đó 'I chỉ sóng phản xạ do bờ biển thẳng không tính đến địa hình địa phơng gần cảng, S chỉ sóng phân tán do tác động của địa hình địa phơng v bị lan toả do tác động dồn đẩy tại cửa cảng. Giả sử trục y trùng với đoạn bờ thẳng B ; sóng phản 117 xạ l )]sincos([exp ' II I yxikA += (2.8) do đó trên B có 0=+ )( 'II x . (2.9) Khi đó sóng phát xạ/ phân tán sẽ không thể có thông lợng pháp tuyến dọc theo bờ biển thẳng: 0= S x trên B . (2.10) Hơn nữa, S phải hớng ra ngoi tại những khoảng cách lớn 0 21 S ik r kr / )( , kr . (2.11) Hình 2.1 Sơ đồ định nghĩa Trong trờng hợp cảng khơi cách xa bờ một khoảng bằng nhiều lần bớc sóng, ngời ta có thể đơn thuần bỏ qua sóng phản xạ 'I trong phơng trình (2.7). Đối với các địa hình bờ biển loại khác, hoặc độ sâu ở vùng không phải hằng số, thì việc diễn tả tờng minh I v 'I l một vấn đề khó khăn. Khi độ sâu không đổi ở mọi nơi trong v v tất cả các biên đều thẳng đứng, thì thế vận tốc ba chiều đối với kh tuỳ ý có thể diễn tả bằng phơng trình kh hzkig zyx ch ch )( ),,( + = . Từ mục 3.5, ta đã biết rằng cũng thoả mãn phơng trình Helmholtz trừ việc v k liên quan với nhau bằng phơng trình khgk th 2 = . Do các vách thẳng đứng, nên vectơ pháp tuyến nằm trong mặt phẳng ngang, v điều kiện biên l 0= n/ tại vách bên. Nh vậy, các bi toán giá trị biên đối với các sóng ngắn v sóng di về hình thức l một. Sự đồng dạng toán học ny cho phép ngời ta thực hiện các thí nghiệm cảng ở vùng nớc sâu để có thể dễ dng tránh các hiệu ứng phi tuyến. 5.3 Các hi tự nhiên trong vịnh kín hình dạng đơn giản v độ sâu không đổi Trớc hết nên bn về những tính chất điển hình của các sóng đứng trong vịnh kín. Để đơn giản, ta giả thiết độ sâu không đổi. Bi toán giá trị biên đối với bây giờ có thể coi l bi toán thực, đợc xác định bằng các phơng trình thuần nhất (2.5) v (2.4), v có các nghiệm không tầm thờng chỉ khi k bằng các giá trị riêng nhất định. Các giá trị tơng ứng của đợc gọi l các tần số tự nhiên (hay tần số riêng) v các giá trị tơng ứng của l các hi dao động tự nhiên (hay hi riêng). Dới đây sẽ xét hai thí dụ đơn giản. 5.3.1 Thủy vực hình chữ nhật Giả sử các biên bên của l ax 0,= v by 0,= . Các nghiệm riêng của phơng trình (2.5) đợc tìm bằng cách tách các biến 118 b ym a xn A nm = coscos , (3.1) với 3 2 1 0 ,,,, =mn Các giá trị riêng tơng ứng l 21 2 2 / + == b m a n kk mn . (3.2) Các chu kỳ tự nhiên l mnmn T 2 = / , (3.3) trong đó mn liên hệ với mn k bằng mối quan hệ tản mạn 2 2 mnmn kgh= . (3.4) Nếu ba > , thì hi thấp nhất ( 0 1 == mn , ) có tần số thấp nhất v chu kỳ di nhất, nó đợc gọi l hi cơ bản. Chuyển động tơng ứng l chuyển động một chiều. Nếu tỷ số giữa hai phía l một số hữu tỉ, tức pLa = , qLb = ( qp, l những số nguyên) Lb n p m kk mn + == 21 2 2 / , thì sẽ có hơn một tập hợp ( mn , ) tơng ứng với cùng một tần số riêng. Tình huống ny gọi l sự suy thoái. Hình 3.1 Các đờng đồng mức mặt tự do của hi tự nhiên )/(cos)/(cos byax trong thủy vực hình chữ nhật Ta sẽ minh hoạ cấu trúc không gian của hi ),(),( 1 1 =mn , tức b y a x A = coscos 1111 . Tại các biên ax 0,= v by 0,= biên độ bằng cực đại. Mặt khác, biên độ sẽ bằng không dọc theo các đờng nút 2/ax = hoặc 2/by = , những đờng ny chia thủy vực thnh bốn hình chữ nhật. Tại một thời điểm nhất định hai hình chữ nhật kề nhau sẽ đối nhau về pha. Vậy nếu hai vùng nằm cao trên mực nớc trung bình thì hai vùng kia sẽ nằm thấp dới v ngợc lại. Trên hình 3.1 biểu diễn các đờng đồng mức. Đối với các hi ),( mn cao hơn, mặt tự do cũng bị chia bởi n tuyến nút dọc = )( ,,,/ ` 2 1 2 3 2 1 nax v đồng thời m tuyến nút dọc = )( ,,,/ ` 2 1 2 3 2 1 mby . 5.3.2 Thủy vực hình tròn Giả sử bán kính của thủy vực l a ; ta sẽ chọn toạ độ cực ),( r sao cho điểm gốc nằm ở giữa. Phơng trình Helmholtz có thể đợc viết dới dạng phơng trình (9.10) trong chơng 4. Tại vách, a r = thnh phần vận tốc pháp tuyến theo bán kính triệt tiêu. Do đó 0 = r . (3.5) Bằng cách tách biến, nghiệm của phơng trình Helmholtz l )sincos()( += mBmAkrJ mmm (3.6) trong đó m A v m B l các hằng số tuỳ ý. Để thoả mãn điều kiện biên, ta cần có 0== = )()( '' kaJkrJ marm . (3.7) Bây giờ )( ' zJ m l hm dao động của z có một số lợng vô hạn giá trị không. Ký hiệu số không thứ n của ' m J bằng ' nm j : 119 0 =)( '' nmm jJ , ta có các giá trị riêng: ,,, ,,,,, 3 2 1 3 2 1 ' n === mn a j k m nm (3.8) Các nghiệm riêng tơng ứng hay các hi tự nhiên l )sincos()( += mBmArkJ nmnmnmmnm . (3.9) Bảng 3.1 Các giá trị của mn j sao cho 0= )( mnm jJ m n 0 1 2 3 4 5 1 0 1,84118 3,05424 4,20119 5,31755 6,41562 2 3,83171 5,33144 6,70713 8,01524 9,28240 10,51986 3 7,01559 8,53632 9,96947 11,34592 12,18190 13,98719 4 10,17346 11,70600 13,17037 14,58525 15,96411 17,31284 Để minh hoạ cấu trúc của một hi cụ thể, ta sẽ xét sự biến thiên của mặt tự do đối với = mrkJ nmmmn cos)( với mn, cố định. Rõ rng rằng 1=mcos khi = mm 2 4 2 0 ,,, v bằng 1 khi = 3 ,m , )( , 12 5 m . Vì vậy, mmm /,/,/, = 3 2 0 l các tuyến bụng (antinode), tại đó li độ của mặt l lớn nhất trên đờng tròn bán kính r cho trớc. Mặt khác, mmm /,/,/ = 5 23 2 l các tuyến nút, tại đó li độ bằng 0. Đối với một cố định, đờng cong )( rkJ nmm cắt tuyến không đúng 1n lần trong khoảng a r < , do đó có 1n vòng nút; hiện tợng ny l hệ quả của định lý dao động Sturm tổng quát trong lý thuyết các phơng trình vi phân thờng. Các phần mặt tự do nằm trên v dới bề mực trung bình đợc minh hoạ trên hình 3.2. Các giá trị của các điểm không ny có trong Abramowitz v Stegun (1972) v đợc liệt kê trong bảng 3.1. Theo thứ tự tăng dần, các chỉ số ),( mn của các điểm không l ),( 1 0 , (1, 1), (2, 1), (0, 2), (3, 1), (4, 1), (1, 2), Để bảo ton khối lợng, thì hi (0, 0) không thể tồn tại trong thủy vực kín hon ton. Hình 3.2 Các đờng đồng mức của hai hi tự nhiên cos)( rkJ 111 v 2 212 cos)( rkJ trong vịnh tròn 5.4 Khái niệm suy giảm phát xạ: một ví dụ về mô hình Một thuộc tính quan trọng của nhiễu xạ sóng môi trờng vô hạn l những dao động bắt nguồn từ một vùng hữu hạn cũng sẽ bị suy giảm ngay cả khi môi trờng l bảo ton. Sự suy giảm ny l do năng lợng đợc các sóng mang đi ra tới vô cùng v đợc gọi l hiện tợng suy giảm phát xạ. Để có đợc một số khái niệm về hiện tợng ny, ta xét một ví dụ mô hình có tính chất giáo học thuần tuý của Carrier (1970), mô hình ny có đặc điểm vật lý điển hình của một hệ thống dao động kết hợp với các sóng lan truyền. Xét một kênh bán vô hạn với độ sâu h v chiều rộng b (hình 4.1). Tại 0=x có một cổng với khối lợng M có thể trợt dọc kênh không bị ma sát. Cổng khối lợng M đợc trợ giúp 120 bằng một lò xo có độ đn hồi K . Để đơn giản ta giả sử rằng không có rò rỉ tại 0=x , ta sẽ tìm li độ ti eX của cổng khi có một sóng nớc nông tới với biên độ A v tần số từ phía x ~ + . Hình 4.1 Hệ lò so vật nặng chống lại các sóng nớc Mặt nớc có thể biểu diễn bằng tiikxikxikxtiikxikxt eeReeAeeReAe ++=+== 1 ])([)( . (4.1) Trong ngoặc vuông cuối ở phơng trình trên, số hạng thứ hai đại diện cho sóng phản xạ khi cổng cố định v số hạng thứ ba l sóng phát xạ do chuyển động cảm ứng của cổng. Phơng trình chuyển động của cổng l pbhKXXM = 2 , (4.2) trong đó p l áp suất thuỷ động lực trên một diện tích đơn vị tại 0=x : )( RgAgp + = = 1 . (4.3) Các phơng trình (4.2) v (4.3) có thể kết hợp thnh X gbh MK RA =+ 2 1 )( . (4.4) Tại điểm 0=x , vận tốc chất lỏng )()/()( 0 0 x igu = phải bằng vận tốc của cổng Xi , vậy )()( R gkA Xiu + == 10 . (4.5) Dễ dng rút ra nghiệm từ các phơng trình (4.4) v (4.5) )()( / bhghiMK gbh bh k iMK gbh A X ++ = ++ = 212 2 2 2 . (4.6) Biên độ sóng phát xạ l A X g h iR 2 21 21 / = . Phơng trình (4.6) có thể so sánh với hệ thống vật lò xo giảm sóc thông dụng. Ngoại trừ tỉ lệ không đổi, mẫu số trong phơng trình (4.6) có thể đợc gọi l một trở kháng. Phần ảo (tỷ lệ với bh ) của trở kháng đóng vai trò lm suy giảm. Để xem xét vấn đề ny ta xét một hệ thống không chịu lực. Dao động tự do không tầm thờng có thể vẫn đợc diễn tả bằng phơng trình (4.6) với 0= A nếu ta đòi hỏi mẫu số triệt tiêu, nghĩa l 0 212 =++ )()( / bhghiMK , (4.7) đây l điều kiện giá trị riêng với các nghiệm phức của : M bhghi M bhgh 2 2 21 21 2 21 2 0 = / / / )()( , trong đó MK /= 0 . Chèn nghiệm vo nhân tử thời gian )exp( ti , ta thấy dao động giảm theo hm mũ với tốc độ tỉ lệ với M bhgh 2 21 / )( . (4.8) Để xem xét nguồn gốc vật lý của hiện tợng suy giảm ny, ta sẽ tính tốc độ của công do sóng phát xạ thực hiện, lấy trung bình trong một chu kỳ 121 [] () 2 212 2 1 2 3 2 1 2 1 0 2 1 1 XghbhX k XiRgAbh bhupE x radrad / * * )( )()(Re Re = = = = = sau khi đã sử dụng phơng trình (4.5) v kgh 21/ )(= . Đại lợng xác định dơng ny rõ rng chỉ liên quan với số hạng suy giảm sao cho sự suy giảm l do tốc độ công đợc các sóng phát xạ phát tán vo chất lỏng. Do đó, ta xem thnh phần ảo trong phơng trình (4.6) nh l thnh phần suy giảm phát xạ. Phản ứng (4.6) còn có thể đợc viết nh l hm của : 1 2 2 + = M bhik Mgh K k M gbh A X . (4.9) hay l hm của k : 1 2 2 + = M bhik Mgh K k M b A X . (4.10) Trên mặt phẳng k phức có hai cực đặt tại kik ~ + (4.11) với 21 2 2 0 4 1 / ~ = Kh Mg M bh kk , 21 21 21 0 0 1 / / / )()( gh M K gh k , (4.12) v 0 2 < = M bh k . (4.13) Phơng trình (4.10) khi đó trở thnh 11 2 + = ) ~ () ~ ( kikkkikk M b A X . (4.14) Khi sự suy giảm nhỏ, hai cực chỉ nằm phía dới trục thực một chút. Trong bi toán vật lý, v k đều l hai số thực dơng; cực duy nhât có ý nghĩa vật lý l kik ~ + . Tại lân cận nó, X lớn v phơng trình (4.14) có thể đợc xấp xỉ bằng 1 2 1 2 ) ~ ( ~ kikk k M b A X . (4.15) Cực đại của 2 2AX / bằng 2 0 2 2 2 = )() ~ ( max hkhk A X đạt đợc ở lân cận kk ~ . Khi kkk ~ = , giá trị bình phơng của phản ứng sẽ giảm xuống bằng một nửa của giá trị đỉnh, do đó k l thớc đo độ rộng của đờng cong phản ứng ( 2 2AX / theo k ). Giống nh trong lý thuyết dòng điện, ta có thể định nghĩa nhân tử chất lợng Q bằng Q 21 21 2 /' / )( ~ gh K M M bh k k = . (4.16) Khi yếu tố suy giảm phát xạ k giảm, thì Q giảm; độ rộng đỉnh của đờng cong phản ứng giảm, do đó dạng đờng cong nhọn hơn. Nh đã thấy từ phơng trình (4.8), tích Q cũng tơng ứng với tốc độ suy giảm của các dao động tự do. 5.5 Hiện tợng nhiễu xạ ở khe hẹp Cửa cảng thờng l một cửa mở dọc theo một đê chắn sóng di v mảnh no đó. Sự truyền sóng qua cửa cảng rõ rng rất đáng quan tâm. Để đơn giản hoá phân tích, ta giả thiết đê chắn sóng mảnh, thẳng đứng v có tính phản xạ hon ton, v độ sâu không đổi sao cho bi toán giống nh bi toán tơng tự về âm thanh. Theo hình 5.1, ta xét sóng tới thẳng góc từ phía 0>x . Tại 122 phía sóng tới, 0>x , ton bộ hệ thống sóng bao gồm sóng tới, sóng phản xạ từ vách cứng v các nhiễu động do chuyển động chất lỏng dọc theo khe hổng. ở phía truyền sóng, 0<x , chỉ có các nhiễu động do chuyển động dọc theo khe. Khe hoạt động nh một cái piston trong vách ngăn v phát xạ sóng ra ngoi vô cùng từ cả hai phía. Bi toán giá trị biên có thể giải cho độ rộng tuỳ ý của khe hổng bằng phơng pháp phơng trình tích phân, ta sẽ áp dụng phơng pháp khai triển tiệm cận xứng hợp, phơng pháp ny đặc biệt thuận tiện đối với những khe hổng có độ rộng nhỏ hơn nhiều so với bớc sóng (Buchwald, 1971). Về mặt trực giác, khái niệm về phơng pháp ny đã đợc giải thích ở mục 4.2.2. Một cách ngắn gọn, khi các phần khác nhau của vùng vật lý đợc quy định bằng các kích thớc khác nhau, ta sẽ xấp xỉ các phơng trình v các điều kiện biên tuân theo các kích thớc địa phơng v tìm các nghiệm thích hợp ở các vùng riêng biệt ny. Nghiệm ở trong một vùng thờng không thoả mãn điều kiện biên ở vùng khác, dẫn đến một sự không xác định. Bằng cách yêu cầu chúng phù hợp ở một số vùng trung gian, hiện tợng không xác định sẽ bị xoá bỏ v ta tìm đợc nghiệm theo trật tự mong muốn. Hình 5.1 Khe hẹp giữa hai đê chắn sóng Định nghĩa vùng xa (far field) l vùng ở cách xa khe một vi bớc sóng )(1Okr = (vùng xa). (5.1) Rõ rng, k/1 l kích thớc hợp lý v tất cả các số hạng trong phơng trình Helmholtz quan trọng nh nhau. Tại khoảng cách rất xa từ khe hổng, các sóng phát xạ phải thoả mãn phơng trình Helmholtz v điều kiện phát xạ. Tuy nhiên, đối với ngời quan sát ở vùng xa, thì khe hổng l một vùng rất nhỏ ở lân cận của gốc. Sóng phát xạ có thể đợc diễn tả bằng cách cộng chồng các nghiệm đơn tại gốc toạ độ v không gây ra thông lợng dọc theo trục y: 0 22 I 1 I 0 ><+ + = xkrH g krH g Q R ,sin)()( )()( . (5.2) Các nghiệm tổng cộng cho vùng xa ở cả hai phía của khe hổng l 0 2 >+= ++ xkxA R ,cos , v 0 <= x R , . (5.3) Từ số hạng thứ nhất trong chuỗi của phơng trình (5.2), thông lợng đi ra từ nửa vòng tròn có bán kính nhỏ quanh gốc toạ độ bằng, đối với x hoặc lớn hơn không, hoặc nhỏ hơn không 0><x : thông lợng = = QkrH rg Q -ig r r )(lim )(I 0 0 2 . Do đó số hạng đầu của phơng trình (5.2) biểu diễn nguồn có thông lợng Q đi vo nửa mặt phẳng ( 0><x ). Các số hạng tiếp theo l cực đôi, cực bốn Gần điểm nối, kích thớc độ di l độ rộng khe; do đó, chúng ta có thể định nghĩa vùng gần (near field) nơi )(1O a r = . (5.4) 123 Trong vùng ny 2 2 2 )(kaO k = do đó dòng chảy đợc mô tả chủ yếu bằng phơng trình Laplace 0 2 = với sai số tơng đối có bậc 2 )(kaO . Điều kiện không có thông lợng cần phải đợc thoả mãn tại các vách cứng. Điều kiện phát xạ sẽ không còn thích ứng nữa v cần loại bỏ. Bây giờ phơng trình (5.5) v điều kiện không thông lợng sẽ xác định một bi toán dòng thế thông thờng với một tham số duy nhất l thời gian. Vì l hm điều ho, nên có thể coi l phần thực của hm giải tích W của biến phức jy x z += , nghĩa l )(Re zW j = , (5.6) trong đó j Re l phần thực theo j , với i đợc xem l một số thực. Giải các phơng trình (5.5) v (2.4) sẽ quy về tìm một hm )(zW giải tích trong mặt phẳng z với cứng tờng các ntrê const=)(Im zW j . (5.7) Đối với những thủy vực hình dạng đơn giản, nghiệm chủ yếu sẽ đợc tìm một cách dễ nhất bằng phơng pháp ánh xạ thích hợp. Trong ví dụ ny, ta sẽ dụng phép biến đổi Joukovski trong lý thuyết cánh máy bay += 1 2 ja z (5.8) để ánh xạ mặt phẳng z bên ngoi hai đê chắn sóng lên nửa mặt phẳng trên của (xem hình 5.2). Cụ thể, ảnh của vách cứng A BD l thực âm trên trục v ảnh của ''' D B A l thực dơng trên trục . Để thoả mãn điều kiện 0=W j Im trên ''' D B A v const=W j Im trên A BD , ta chấp nhận nghiệm ln)( +++++++++= 2 2 1 1 2 21 CCCCMCzW (5.9) trong đó các hệ số l thực đối với j nhng có thể l phức đối với i . Các hệ số Q v trong phơng trình (5.2) cũng nh C , M v 1 C , 1 C sẽ tìm đợc khi ghép vùng gần v vùng xa. Chúng ta thử cho rằng trong một vùng trung gian tỏ ra l gần điểm gốc theo ngời quan sát vùng xa ( 1<<kr ) nhng trong khi đó lại l xa ngời quan sát vùng gần ( >>ar / ), các nghiệm vùng xa v vùng gần có thể đợc ghép lại. Đối với 1<<kr , khai triển bên trong của vùng xa l krkrO rg kri g Qi A ln)( sinln 2 1 22 1 2 2 + + += + + + , 0>x (5.10) krkrO rg kri g Qi ln)( sinln 2 1 22 1 2 + + += , 0<x (5.11) trong đó ln l hằng số Euler = 0,5772157 Để xấp xỉ nghiệm vùng gần đối với 1>>ar / , ta cần phân biệt hai phía 0<x v 0>x . Trên phía 0>x , vùng 1>>az / tơng ứng với 1>> trong mặt phẳng sao cho += 2 1 2 a r O a zj (5.12) từ phơng trình (5.8). Nếu thế biểu thức ny vo phơng trình (5.6), thì khai triển bên ngoi của vùng gần sẽ nhận đợc bằng + ++ ++ lnReRe jz a C a jz C a jz MCW jj 2 22 11 124 sin ln + ++ += r a C a y C a r MC 2 2 2 11 (5.13) ở phía 0<x , vùng 1>>az / tơng ứng với gốc trong mặt phẳng . Do đó, từ phơng trình (5.8) += 2 1 2 a z O jz a , (5.14) v khai triển bên ngoi của vùng gần l + ++ ++ lnReRe a jz C jz a C jz a MCW jj 2 22 11 sinln + + = a y C r a C a r MC 2 2 2 11 (5.15) Hình 5.2 ánh xạ vùng gần từ mặt phẳng z lên nửa trên của mặt phẳng Bây giờ ta cho bằng nhau các phơng trình (5.10) v (5.13) để xứng hợp + . Từ các hệ số của các số hạng giống nhau, ta tìm đợc một số biểu thức đại số: a MC ki g Qi A 2 2 1 2 2 const lnln:)( += + + + (5.16 a) M g Qi r = + :)(ln (5.16 b) 0 1 =Cy :)( (5.16 c) ga C r 1 1 1 + = :sin . (5.16 d) Xứng hợp bằng cách cho bằng nhau các phơng trình (5.11) v (5.15), ta có: a MC ki g Qi 2 2 1 2 const lnln:)( = + (5.17 a) M g Qi r = :)(ln (5.17 b) 0 1 = Cy :)( (5.17 c) ga C r 1 1 1 = :sin . (5.17 d) Nhận thấy ngay rằng 0 11 == CC , (5.18 a) 0== + . (5.18 b) Có thể chỉ ra rằng các cực bậc cao hơn gần bằng 0 do đó chỉ có yếu tố nguồn tại bậc dẫn đầu l quan trọng. Vậy n C , 2=n , 3 cũng bằng 0 v để đạt độ chính xác hiện tại không cần phải có các luỹ thừa khác không của trong nghiệm bên trong. Thực tế ny sẽ đợc sử dụng tiếp trong các phân tích sau m không cần kiểm tra nữa. Bây giờ chỉ còn bốn ẩn: Q , M v C có thể đợc giải v cho kết quả l: )/ln()/( 41 2 1 kai A g Qi g Qi + = += + , (5.19 a) [...]... 4I 2 (7 .3 3) Cực tiểu của mẫu xảy ra tại 1 c p = 1 + 2 I 4I c cos (m / L )( x L) Yn ( y ) X n Yn ( y )Yn ( y ' ) Yn ( y ' ) cos m 1 c I Nh vậy, số sóng cộng hởng hơi lớn hơn giá trị tự nhiên kn m , (7 .3 0) trong đó I (k n m ) [I (k )] k = k n m (7 .32 a) trong đó (7 .2 9) Phơng trình (7 .2 5) cho phản ứng cảng bằng c cos (m / L )( x L) Yn ( y ) 2A , H i / 2 + c / I (k n m ) cos m Yn ( y ' ) cos... = m M f () cos md , (8 .12 a) 2 Dm = m M f () sin md , (8 .12 b) 2 0 2, Theo độ dốc bề mặt F () , từ các phơng trình (8 . 6) v (8 . 7), ta có 0 = 0 + a m m H m (kr ) 2 m cos cos mM duF (u ) cos mu kaH m (ka) 2 + sin 2 m sin m M duF (u ) sin mu , 2 r>a (8 . 15 ) v từ phơng trình (8 . 8) có J m (kr ) H = a m cos mM duF (u ) cos mu m 2 ka J m ( ka ) [ ] + sin mM duF (u ) sin mu , r> 1 (1 1. 2) t trong đó * trong đó A0 () = A0 () cho giá trị thực I Hệ sóng tới v sóng 2 2 B 1 / 2 2 1 0 it Re exp H ( x, )e d 2 hay một cách tơng đơng l H = B 1 / 2 2 1 k k0 ik Re exp H ( x, k )e dk , 2K K (1 1. 7) trong đó (k , k 0 , K ) = (, 0 , )( gh) 1 / 2 Phơng trình (1 1. 6). .. cho sóng tới, ta có thể định hớng cửa cảng 0 sao cho áp lực l nhỏ Ta định nghĩa Am = N m J 0 (m) J m (ka) D 2 kaJ m (ka ) (8 .2 8) 14 2 l hệ số khuếch đại cho các hi với sự phụ thuộc góc cos m( 0 ) Gần giá trị không của J m (ka) , nghĩa l ka j ' ms , s = 1, 2 , Am l lớn v dạng sóng ứng (m, s ) đợc cộng hởng Từ mục 5. 3, một số giá trị ban đầu của jms l 0 (0 , 1) , 1, 8 411 8 (1 , 1) , 3, 054 24 (2 , 1) , 3,8 317 0... I g g 2 (7 .17 ) (7 .18 ) (7 .19 ) (7 .2 0) Tơng tự, khi ghép các phơng trình (7 .3 b) v (7 .18 ) ở phía cảng x < 0 ( x1 > 0 ), ta có C + M ln (7 .2 2) 1 , (7 .2 3) trong đó v M =i QH g Bốn phơng trình đại số (7 .19 )( 7 .2 2) có thể giải dễ dng đối với các ẩn số C , Q0 , Q H , M Kết quả thấy ngay l Q0 = Q H , (7 .16 ) Bây giờ ta có thể tiến hnh phép xứng hợp ở phía đại dơng, các số hạng không đổi v các đại lợng ln... điều kiện (8 . 9) đợc sử dụng để xứng hợp li độ bề mặt cho tất cả các điểm tại cửa cảng r = a , 0 , dẫn đến một phơng trình tích phân cho F () : 14 0 1 M duF (u ) K ( u ) = a 0 (a, ), 0 , (7 .17 a) trong đó nhân K bằng J m (ka) (cos m cos mu + sin m sin mu ) K ( u ) = K (u ) = m m 2 ka J m ( ka ) m m H m (ka ) ka Hm (ka) m m ì cos 2 cos m cos mu + sin 2 sin m sin mu 2 2 (8 .17 b) Ta nhận... chứng minh đợc trình by ở Phụ lục 5. C) 1 1 J [F () ] = M F () K ( u ) ddu M 0 (a, ) F () d (8 .19 ) a 2 Mặc dù nguyên lý biến thiên ny có thể đợc sử dụng nh l cơ sở của phép xấp xỉ phần tử hữu hạn, ta áp dụng phép tiếp cận số ít hơn v giả thiết F có một dạng nhất định với một tham số nhân f 0 , có nghĩa l F () = f 0 f () với f () cho trớc; khi đó f 02 f0 0 M f () K ( u ) f (u ) d du a M (a, ) f () d... ứng cảng trung bình đối với 2 = 10 (a) 0 = 0 , o o o o o I = 0 ; (b) 0 = 0 , I = 45 ; (c) 0 = 45 , I = 0 ; (d) 0 = 45 , I = 45 ; (e) 0 = 45 , I = 45 Hình 8.4 (tiếp) 14 4 2 2 1/ 2 1 ~ 1 1 1 , kn m kn m + c + + 2I I 2 I I k =k nm So sánh các hình 8.4b ( ối với 0 = 0, I = 45 o ) v 8.4c ( 0 = 45 o , I = 0) , ta nhận thấy rằng các dạng có m = 0, 2 , cụ thể (0 , 1) , . trình (5 .11 ) v (5 . 15 ), ta có: a MC ki g Qi 2 2 1 2 const lnln: )( = + (5 .17 a) M g Qi r = : )( ln (5 .17 b) 0 1 = Cy : )( (5 .17 c) ga C r 1 1 1 = :sin . (5 .17 d) Nhận. . (3 . 9) Bảng 3 .1 Các giá trị của mn j sao cho 0= )( mnm jJ m n 0 1 2 3 4 5 1 0 1, 8 411 8 3, 054 24 4,2 011 9 5, 317 55 6, 4 15 62 2 3,8 317 1 5, 3 314 4 6,70 713 8, 0 15 24 9,28240 10 , 51 9 86 3 7, 0 15 59. (5 .19 a) 12 5 g Qi g Qi M = += + , (5 .19 b) AC = . (5 .19 c) Kết hợp hai phơng trình (5 .19 a) với (5 . 2), cuối cùng ta có )/ (ln) /( )( )( 4 1 2 1 I 0 2 1 kai krAHi R + . (5 .2 0) Khai triển