14 {} {} .)( )( 0 cth cth cth cth 2 2 = + + hhkkh gk hhkkh gk Hãy khảo sát hai hi tơng ứng với hai nghiệm 2 1 v 2 2 đối với cùng một giá trị k . Chẳng hạn, khi ~h hãy chứng minh rằng gk= 2 1 v 2 1 2 2 cth < + = kh gk v tỉ số biên độ tại mặt phân cách so với mặt tự do l kh e v kh e tuần tự đối với hi thứ nhất v hi thứ hai. Vẽ tốc độ nhóm nh l hm của k cho mỗi hi. Bi tập 5.2: Các sóng mao dẫn Sức căng bề mặt tại mặt tự do sinh ra một hiệu áp suất giữa áp suất khí quyển a P ở phía trên v áp suất nớc P ở dới. Hiệu ny đợc xác định theo công thức Laplace (xem Landau v Lifshitz, 1959, tr. 237): )( yyxxa TPP + tại 0z , ở đây vế phải tỉ lệ với độ cong bề mặt v T l hệ số sức căng bề mặt. Đối với mặt phân cách nớc không khí ở 20 o C, 74=T dyn/cm trong hệ CGS. Hãy thiết lập các điều kiện biên tại mặt tự do v nghiên cứu một sóng tiến phẳng trên nền nớc sâu: )( tkxikz ee . Chứng minh rằng += 3 2 Tk gk v chứng t ỏ rằng tốc độ pha có một cực trị m C thoả mãn biểu thức += + = m mm mm k k k k C C 2 1 2 1 2 2 , trong đó 21 2 2 / = = g T k m m . Các giá trị số của m v m C đối với nớc v không khí bằng bao nhiêu? Nhận xét về sự biến thiên C , v g C theo k hoặc . Chơng 2 - Sự truyền của các sóng ngắn trong biển mở độ sâu không đổi Những nhiễu động gây bởi các xung động hữu hạn về thời gian nh động đất, trợt đất, cá c vụ nổ , sinh ra các sóng xung. Do quá trình phân tán, các sóng ny truyền trong nớc phức tạp hơn nhiều so với các loại sóng khác trong tự nhiên. Để dễ hiểu về các hệ quả vật lý của quá trình phân tán sóng, trong chơng ny, ta sẽ xem xét các mô hình đơn giản về cơ chế nguồn phát sinh, độ sâu đại dơng sao cho có thể phân tích đợc chi tiết. Trong các mục 2.1 v 2.2, ta sẽ nghiên cứu bi toán gọi l bi toán Cauchy Poisson về các sóng do một số loại nguồn có tính chất xung gây ra v đặc biệt tập trung phân tích diễn biến sóng ở miền xa nguồn. Trong các mục 2.3 v 2.4 sẽ xem xét về vai trò của sự phân tán đối với quá trình điều biến yếu các nhóm sóng. 15 2.1 Các bi toá n xung hai chiều Xét đại dơng độ sâu không đổi, không có các biên cứng. Giả sử các xung động trên mặt tự do v tại đáy không phụ thuộc y . Bi toán đợc thnh lập trong mặt phẳng z x . Vậy, thế vận tốc ),,( tzx phải thoả mãn phơng trình: 0 2 2 2 2 2 = + = z x . (1.1) Trên mặt tự do sẽ có các điều kiện sau: 0= = z zt , , (1.2a) 0 , = =+ z txP g t a ),( , (1.2b) ở đây ),( txP a l hm đợc cho trớc. Giả sử nền đáy đợc xác định theo phơng trình ),( txHhz += . Nếu chuyển động của nền đáy đợc xác định, từ tính liên tục của thnh phần vận tốc vuông góc, ta có: ),( txHhz x H x t H z += + = , . (1.3) Trong khuôn khổ bi toán tuyến tính, ta giả thiết rằng các biên độ của H , tH / v xH / l nhỏ để có thể bỏ qua các thnh phần bậc hai, do đó: hztxW t H z = ),,( . (1.4) Tiếp sau phải đa ra các điều kiện ban đầu. Để xem những dữ liệu ban đầu gì l cần thiết ở đây, ta vận dụng phơng pháp biến đổi Laplace: = 0 )()( dttfesf st , (1.5a) = dssfe i tf st )( 2 1 )( , (1.5b) ở đây l một đờng thẳng đứng nằm phía phải của các kỳ dị của )(sf trong mặt phẳng phức s . Các biến đổi của phơng trình (1.1) v (1.4) cho: 0 , 0 2 <<= zhszx ),,( , (1.6) hzsxW z == ),,( . (1.7) Từ các biến đổi Laplace của các điều kiện (1.2a, b), ta có z sx sxsx =+ ),,( ),(),( 0 0 , (1.8) =++ ),( ),(),,(),,( sxP sxgsxsx a 000 , (1.9) v có thể kế t hợp thnh 0 0 0 0 2 =+ =+ zx g s x g Ps g s z a ),,,(),( . (1.10) Từ phơng trình trên, rõ rng chúng ta chỉ cần biết trớc các dữ liệu ban đầu ),,( 00x v ),( 0x tại mặt tự do m không cần ở bất kỳ chỗ no khác, bởi vì các đạo hm thời gian chỉ xuất hiện trong các điều kiện mặt tự do. Finkelstein (1953) đã xét kỹ hơn về mặt toán học đối với vấn đề duy nhất giá trị ban đầu của bi toán loại ny. ý nghĩa vật lý của )0,0,(x l gì? Giả thiết rằng, trớc thời điểm 0=t , tất cả l yên tĩnh, nhng tại 0=t một xung áp suất )(),( tItxP a = tác động lên mặt tự do. Tích phân phơng trình Bernoulli từ = 0t đến += 0t , ta đợc = =++ + + 1 1 0000 0 0 0 0 dttdtgxx )(),,(),,( . 16 Vì 0)0 ,0 ,( = x v phải hữu hạn, ta có /)0 ,0 ,( Ix =+ . Vậy, giá trị ban đầu của diễn tả về mặt vật lý một áp suất xung tác động lên mặt tự do ở thời điểm hơi sớm hơn += 0t . Các phơng trình (1.6), (1.7), v (1.10) bây giờ xác một bi toán giá trị biên, về hình thức tơng tự nh l bi toán trờng hợp sóng đơn điều ho. Với t hữu hạn bất kỳ, ta chắc rằng sẽ không có chuyển động tại khoảng cách rất xa kể từ nguồn nhiễu động ban đầu, tức 0),( tx khi x , điều ny có nghĩa 0 khi x . Do vùng xét không liên quan đến một vật thể hữu hạn no, nên bi toán có thể đợc giải bằng cách áp dụng phép biến đổi Fourier hm mũ theo x nh sau: dkkfexfdxxfekf ikxikx == )( ~ )(,)()( ~ 2 1 . (1.11) Phép biến đổi Fourier Laplace đối với thoả mãn: 0 0 2 2 2 <<= zhk dz d , ~ ~ , (1.12) 0 2 ==+ zskF g s dz d ),,( ~ ~ , (1.13) hzW dz d == , ~ ~ , (1.14) trong đó ),,( ~ ),( ~ ),( ~ ),( 0 0 0 k g s k g skPs skF a + . (1.15) Nghiệm tổng quát của phơng trình (1.12) l )()( ~ hzkBhzkA +++= sh ch . Các hệ số A v B đợc xác định từ các điều kiện biên (1.13) v (1.14) với kết quả nh sau: ++ + = )( ~ )( ~ kzgkkzs k W hzkgF khgks kh ch sh ch th ch 1 2 2 . (1.16) Rõ rng các phần thêm thứ nhất v thứ hai trong dấu ngoặc vuông tuần tự biểu biễn các nhiễu động trên mặt v trên đáy. Nếu thực hiện các phép biến đổi ngợc Fourier v Laplace, ta có ),,( ~ ),,( szkeds i dketzx stikx = 2 1 2 1 (1.17) Để thu đợc độ cao mặt tự do, ta sử dụng phơng trình (1.2b) = = ),,(),( tx tgg P tx a 0 1 ),,( ~ sk g s e i ds edk g P stikx a 0 22 1 + = , (1.18) trong đó ~ đợc cho bằng phơng trình (1.16). Nhiệm vụ bây giờ l tách lấy thông tin từ các phơng trình (1.17) v (1.18). Hai trờng hợp đặc biệt sẽ đợc xét trong các mục dới đây. 2.1.1 Nhiễu động ngắn do một li độ ban đầu ở mặt tự do Giả sử 000 === ),,(),(),( xtxWtxP a v 00 0 )(),( xx , (1.19) do đó )( ~ , ~ kFW 0 0 == . (1.20) Phơng trình (1.18) cho độ cao của mặt tự do + = khgks dsse kedk i ts xki th 4 1 2 0 )( ~ . (1.21) Tích phân s có thể đợc xác định dễ dng. Biểu thức dới 17 dấu tích phân có hai cận thực tại = i s với 21 th / )( khgk= . (1.22) Đối với 0<t ta đa ra một đờng viền bán nguyệt khép kín nằm ở nửa phía phải của mặt phẳng s nh trên hình 1.1. Vì nhân tố nhân ts e trong hm dới dấu tích phân đồng nhất triệt tiêu khi s , tích phân đờng dọc theo nửa đờng bán nguyệt lớn bằng không theo bổ đề Jordan. Theo lý thuyết thặng d của Cauchy, tích phân s bằng 0, tức không có những điểm kì dị trong nửa đờng tròn đó. Vậy, hiển nhiên 0 0 <= t, . (1.23) Đối với 0> t , ta chọn nửa đờng tròn phía trái. Cũng theo bổ đề Jordan, tích phân đờng dọc theo nửa đờng tròn triệt tiêu, chỉ để lại phần d cho hai cực tại i . 0 2 1 2 1 22 >= + = + tt isis dsse is dsse i stst ,cos )()( . Thế vo phơng trình (1.21), ta đợc )( ~ cos),( ktedktx ikx 0 2 1 = . (1.24) Rõ rng rằ ng, t cos l hm chẵn theo k. Nói chung, ta có thể tách )( x 0 thnh phần chẵn v phần lẻ theo x : e 0 v o 0 . Theo định nghĩa của phép biến đổi Fourier thì )( ~ )( ~ )(sin)(cos)( ~ kkxkxdxixkxdxk oeoe 000 0 0 0 0 22 += trong đó e o ~ l thực v chẵn theo k , o 0 ~ l ảo v lẻ theo k . Để đơn giản, đặt 0 l chẵn theo x . Phơng trình (1.24) có thể đợc viết lại = = tkxdktx e coscos ~ ),( 0 0 1 [] )()( ~ Re tkxitkxie eedk + + = 0 0 2 1 . (1.25) Số hạng th ứ nhất v thứ hai trong dấu ngoặc vuông tuần tự biểu diễn các sóng truyền về phía phải v phía trái. Hình 1.1 Các đờng lấy tích phân dùng cho phép biến đổi đảo Laplace Để hiểu rõ hơn về bản chất vật lý, ta cần thực hiện những phép xấp xỉ. Tại thời gian t lớn, ta có thể sử dụng phơng pháp pha ổn định ( method of stationary phase) của Kelvin. ý tởng của phơng pháp ny nh sau: Xét tích phân = b a itg dkeftI )( , (1.26) trong đó f v g l các hm liên tục theo k . Khi t lớn, pha tg của phần có dạng hình sin dao động nhanh khi k biến thiên. Nếu vẽ đồ thị hm dới dấu tích phân theo k , thì có rất ít vùng thực phía dới đờng cong bị loại bỏ, ngoại trừ một điểm tại đó 18 pha dừng, điểm đó l 0 0 kkkg == ,)( . (1.27) Tại lân cận của điểm dừng ny, nhân tử dao động của hm dới dấu tích phân của phơng trình (1.26) có thể đợc viết thnh [] {} )()(exp )( 0 0 kgkgtie kgti Phần thực của [] {} 0 )()(exp kgkgti biến thiên chậm, nh trên hình 1.2, trong khi đó phần ảo từ từ cắt ngang trục k tại 0 kk = . Vì vậy ta có thể thấy, vùng lân cận ny sẽ đóng góp đáng kể vo tích phân. Hình 1.2 Phần thực của {} 0 )]()([exp kgkgti Nếu ta xấp xỉ )(kg bằng hai số hạng đầu của khai triển Taylor )()()()( 0 2 00 2 1 kgkkkgkg + , thì tích phân có thể đợc viết thnh )()(exp)( )( 000 2 1 0 kgtkkidkkfeI kitg , trong đó, các giới hạn ),( ba đã đợc xấp xỉ bằng ),( . Sử dụng biểu thức 4/ 2/1 2 iitk e t dke = , cuối cùng ta có 4/ 2/1 0 0 )( )( 2 )( 0 i kitg e kgt kfeI , (1.28) trong đó dấu đợc lấy nếu 0 0 00 < > )(,)( kgkg . Nếu phân tích công phu hơn, ta có thể thấy rằng sai số có bậc )( 1 tO . Ngoi ra, nếu không có điểm dừng trong khoảng ),( ba , tích phân sẽ có bậc lớn nhất bằng )( 1 tO . Điều ny v các thông tin khác có thể thấy trong Stoker (1957) hay Carrier, Krook, v Pearson (1966). Trở lại phơng trình ( 1.25), chúng ta cần một số tính chất nhất định của đờng cong phân tán, nh đợc vẽ trên hình 1.3. Xét 0>x . Với tích phân thứ nhất = t x kkg )( , từ hình 1.3b có thể thấy có một điểm dừng tại )()( 00 kCk t x g = = nếu 21/ )(gh t x < . (1.29) Trong cùng khoảng ),0( của k , không có điểm dừng đối với tích phân thứ hai. Từ phơng trình (1.28) suy ra )()(cos )( )( ~ / 1 00 21 0 00 4 2 2 1 + + tOtkxk kt k e , tghx 21 / )(< , (1.30) trong đó 0< )(k (xem hình 1.3c) v tghxtO 211 / )(),( > . Bây giờ ta phân tích những tính chất vật lý m phơn g 19 trình (1.30) diễn tả. Một ngời quan sát di chuyển với tốc độ xác định tx / chậm hơn 2/1 )(gh , nhìn thấy một chuỗi sóng hình sin với số sóng 0 k [v tần số )( 0 k ], vận tốc nhóm của các sóng ny bằng tx / . Biên độ của chuỗi sóng giảm với bậc )( / 21 tO . Với tx / lớn, từ hình 1.3a ta thấy 0 k nhỏ, do đó, một ngời quan sát di chuyển nhanh hơn sẽ nhìn thấy các sóng di hơn v với biên độ lớn hơn, vì 21 0 / ) )(( k nhỏ hơn. Hình dạng chính xác của )(x 0 có ảnh hởng tới )( ~ k 0 v biên độ của các sóng phân tán. Thí dụ, nếu )( )( 22 0 bx bS x + = , đây l một mô nớc đối xứng, diện tích S v độ rộng đặc trng b , ta tìm đợc: bk e Sekk == )( ~ )( ~ 00 . Hình 1.3 Các thay đổi của , v theo k Nếu độ rộng b lớn, thì e 0 ~ sẽ không đáng kể, ngoại trừ với 0 k nhỏ hoặc với trờng hợp các sóng dẫn đầu di. Khi b tăng, biên độ của một giá trị xác định 0 k giảm đi. Nếu kết hợp các quan sát của nhiều quan sát viên trong cùng một thời gian t , ta thu đợc ảnh chụp của mặt tự do (xem hình 1.4). Thấy rằng, tại t không đổi, các sóng di sẽ dẫn đầu, còn các sóng ngắn theo sau. Bây giờ ta xét quang cảnh tại một thời điểm muộn hơn, 12 tt > . Bây giờ cả hai quan sát viên cùng di chuyển về phía phải. Nhng khoảng cách không gian đã tăng lên. Chẳng hạn, giả sử 21 sao cho giữa họ const ,k . Độ rộng tổng cộng của chuỗi sóng đơn với ,k bây giờ giãn ra cùng với sự tăng t , điều ny có nghĩa rằng các đỉnh sóng đợc tạo thnh trong quá trình lan truyền. Hình 1.4 Biểu diễn không gian - thời gian của các sóng phân tán giữa hai quan sát viên di chuyển Để đi theo một đỉnh sóng cụ thể tại tốc độ pha của nó, một ngời quan sát phải di chuyển với một tốc độ biến đổi, vì 0 k v )( 0 kC không giữ nguyên l hằng số khi đỉnh sóng di chuyển vo một khu vực mới. Tuy nhiên, nếu một ngời di chuyển với tốc độ bằng tốc độ nhóm của các sóng với bớc bằng 0 2 k/ , thì anh ta chỉ nhìn thấy các sóng hình sin có cùng bớc sóng, chúng đuổi kịp anh ta từ phía sau v vợt lên trớc, vì vận tốc pha của chúng lớn hơn vận tốc nhóm. Một cảnh tợng tơng tự cũng diễn ra với những nhiễu động lan truyền sang phía trái. 20 2.1.2 Sự truyền năng lợng, vận tốc nhóm Xét một nhiễu động di chuyển sang phải duy nhất. Phơng trình (1.30) đúng cho thời gian t lớn v biểu diễn một sóng tiến với biên độ 21 0 00 2 2 / )( )( ~ = kt k A e , (1.32) giảm chậm theo 21 / t . Mật độ năng lợng của sóng tiến ny xấp xỉ bằ ng = == 2 21 0 00 2 2 2 2 2 2 1 2 / )( )( ~ kt kg g Ag E e 4 0 2 00 )( )( ~ kt kg e = (1.33) Tại t cho t rớc bất kỳ, các sóng nằm giữa hai quan sát viên di chuyển với với tốc độ )( 11 kCC gg v )( 22 kCC gg = , tức giữa hai tia sóng 1 1 g C t x = v 2 2 g C t x = trong biểu đồ không t hời gian. Năng lợng sóng tổng cộng giữa chúng sẽ l 2 1 2 1 4 0 2 00 x x e x x dx kt kg Edx )( )( ~ . (1.34) Vì tkx 0 )( = đối với t cố định v 0 0 < )(k , ta có 0000 dkkdkk t dx )()( = = . (1.35) Bây giờ, với 1212 kkxx <> , (xem các hình 1.3a, b), phơng trình (1.34) trở thnh const 4 0 2 00 2 1 2 1 = dk k Edx k k e x x )( ~ (1.36) l hằng số theo thời gian. Do đó, năng lợng tổng cộng của các sóng giữa hai ngời quan sát di chuyển với các vận tốc nhóm địa phơng, đợc bảo ton. Cách lý giải ny, theo Jeffreys v Jeffreys (1953), tiếp tục lm tăng thêm ý nghĩa của vận tốc nhóm nh đã bn luận trong chơng 1. Whitham (1965) đã chỉ ra rằng kết quả tiệm cận do pha dừng đối vớ i x v t lớn phù hợp với một lý thuyết đợc gọi l lý thuyết quang hình học. Từ phơng trình (1.29), nếu lấy vi phân theo x v theo t , ta đợc tkk x )( = 1 v + = tkk t )(0 , do đó )( , )( kt k kt k tx = = 1 . (1.37) Từ đó suy ra 0= + x k t k , có thể đợc viết lại dới dạng 0= + x t k (1.38) Vì dx x k dt t k dk + = từ phơng trình (1.37) ta thấy rằng dọc theo đờng co ng 0 = == dkCdtdx g ,/ ; do đó k giữ không đổi. Ngoi ra, nếu nhân phơng trình (1.33) với 1 v lấy vi phân theo t v x , ta 21 có ngay 0= + E C x E t g . (1.39) Cả hai phơng trình (1.38) v (1.39) l kết q uả cơ bản của phép xấp xỉ quang hình v đợc coi l hợp lệ phổ biến cho các chuỗi sóng tựa điều ho biến thiên chậm nh sẽ đợc trình by kỹ trong chơng 3. 2.1.3 Các sóng dẫn đầu trong một xung nhiễu động Các sóng nhanh nhất ứng với 0k v di chuyển với tốc độ gần bằng ( gh) 1/2 . Tại lân cận front sóng, 21/ )(/)( ghtxkg nhỏ v pha thì gần nh l dừng. Hơn nữa, khghk 221/ )()( cũng rất nhỏ v phép xấp xỉ của phơng trình (1.30) không hợp lý. Cần có một xấp xỉ tốt hơn (Kajiura, 1963). Do 0k , ta khai triển hm pha đối với k nh sau: = + = )()()( / 2 3 21 6 hk kgh t x kk t x kkg )( )( / / ++ = 32 21 21 6 kh gh gh t x k (1.40) Gần với sóng dẫn đầu, 2/1 )(/ ghtx có thể bằng không; chúng ta phải giữ số hạng tỉ lệ với 3 k . Một lần nữa, chỉ có tích phân thứ nhất trong phơng trình (1.25) có giá trị, vì thế [] + + = 0 3 221 21 0 0 0 6 0 2 1 1 2 1 dkk thgh tghxk t Otkxkdk e e / / )( )(cos)( ~ )(cos)( ~ ở đây ta đã lợi dụng tính chất e 0 ~ l số thực. Nếu tiến hnh thay các biến [] thgh tghx Z 221 3 21 3 2 / / )( )( = v [ ] = Ztghxk 21/ )( , thì tích phân trên trở thnh + 3 2 02 3 0 31221 0 31 Zd thgh e cos ))(( )( ~ )( ~ // / , v có thể đợc biểu diễn theo hm Airy của Z : + 3 1 3 0 ZdZAi cos)( . (1.41) Vậy, ta có [] tghx thgh Ai thgh e 21 31 221 0 31 221 2 0 2 12 / / / / / )( )( )( ~ )( ~ . (1.42) )(ZAi l một hm dao động với 0< Z v suy giảm theo hm mũ với 0>Z . Sự dao động của nó đợc thể hiện trên hình 1.5. Bức tranh vật lý l nh sau: Với một giá trị t cố định, thì Z tỉ lệ thuận với giá trị tghx 21/ )( khoảng cách tính từ front sóng tghx 21/ )(= . Tại một thời điểm xác định, biên độ sẽ nhỏ ở phía trớc front v điểm cao nhất ở một khoảng cách no phía sau front. Về phía sau, thì biên độ v độ di sóng suy giảm. Vì Z tỉ lệ với 31 / t , các ảnh sóng tại những thời điểm khác nhau có cùng dạng, ngoại trừ việc tỉ lệ không gian tỉ lệ với nhân tử 31 / t , có nghĩa rằng cùng một dạng sóng kéo giãn ra theo thời gian. Trong quá trình tiến triển, biên độ giảm theo 31 / t , trong khi các sóng còn lại trong chuỗi sóng giảm theo 21 / t . Nh vậy, phần đầu sống lâu hơn phần còn lại của chuỗi sóng. Chú ý rằng biên độ của các sóng dẫn đầu tỉ lệ với )( ~ 0 0 e , đại lợng ny bằng tổng diện tích li độ ban đầu ).( ~ x e 0 22 Hình 1.5 Sóng dẫn đầu do một mô nớc hoặc rãnh nớc đối xứng trên mặt gây ra. Tung độ l [] 1 0 31221 02 )( ~ )/)(( // e thgh , xem phơng trình (1.42) 2.1.4 Sóng thần gây bởi dao động nền đáy Sóng thần (tsunami) l các sóng nớc sinh ra do động đất. Nếu biết li độ của đáy biển trong vùng động đất, thì vấn đề sóng trên mặt nớc trở thnh một bi toán động lực học thuần tuý. Đáng tiếc, rất khó đo đạc trực tiếp gần trấn tâm động đất, v ngời ta thờng hớng tới sử dụng các số liệu ghi sóng biển trong một vùng rộng xung quanh trấn tâm để phán đoán thô về bản chất của chuyển động kiến tạo. Vì vậy, có rất nhiều công trình nghiên cứu lý thuyết về sóng nớc do các chuyển động nền đáy khác nhau gây ra. Trong số rất nhiều đặc tính của sóng thần ghi nhận đợc ở vùng gần bờ, có ha i đặc tính thờng hay đợc nhận thấy nhất, nhng không phải bao giờ cũng vậy (Shepard, 1963). Đặc điểm thứ nhất l: sóng thần thờng đi kèm sau một hiện tợng rút nớc ở bãi biển. Đặc điểm thứ hai: sóng đầu tiên của sóng thần có thể không phải l sóng lớn nhất. Trong mục ny, ta sẽ xét một mô hình lý tởng có thể phản ánh đợc những đặc điểm ny một cách định tính. Ta sẽ giả thiết rằng không có nhiễu động trên mặt tự do 0000 === ),,(),(),( txPxx a . (1.43) Trên đáy biển hz = , li độ của nền đất ),( txH cho trớc. Vậy l, tHW = / đợc biết v nghiệm chuyển đổi rút ra từ theo phơng trình (1.16) khgks kzgkkzs khk W th ch sh ch 2 2 + = ~ ~ . (1.44) Li độ của mặt tự do l 22 2 1 ch 2 1 + = s eWs ds ikh e dk stikx ~ , (1.45) trong đó 21 th / )( khgk= . Ta giới hạn thêm rằng chuyển động của nền đất l đột ngột v kết thúc ngay sau một khoảng thời gian vô cùng nhỏ: 00 = ),(xH nhng )(),( xHxH 0 0 =+ . Vận tốc của chuyển động của đất có thể đợc diễn tả bằ ng một hm )()(),( txHtxW z == 0 , vì thế )( ~ ~ kHW 0 = . Tích phân theo s có thể ngay lập tức cho [] )()( )( ~ tkxitkxi ee kh kH dk + + = 2 1 ch 2 1 0 . (1.46) Hm )(xH 0 có thể đợc coi l tổng của hai hm lẻ v chẵn theo x , tuần tự l )(xH o 0 , )(xH e 0 . Một cách tuyến tính, hai phần ny có thể đợc xét tách biệt v sau đó, các kết quả của chúng 23 đợc cộng lại. Dễ dng chỉ ra rằng, phần chẵn )(xH e o có các tác động rất giống với thí dụ ta đã xét trớc đây về sự dịch chuyển đối xứng ban đầu của mặt tự do, nét khác duy nhất l nhân tử 1 ch )( kh , nó lm triệt tiêu sự ảnh hởng của các sóng ngắn. Do đó, sau đây ta chỉ quan tâm đến thnh phần lẻ. Ta đa ra đại lợng dx dB xH o =)( 0 (1.47) sao cho )( ~ )( ~ kBikkH o 0 = . Do )( ~ kH o 0 lẻ, nên B ~ phải l số thực v chẵn theo k ; do đó =+ = )()( ~ titi ikx eekBik kh e dk 2 1 ch 2 1 =+ = )()( ~ titi ikx eekB kh e dk dx d 2 1 ch2 1 )()( ~ Re titi ikx eekB kh e dk dx d + = 2 1 ch 2 1 . (1.48) Với t lớn v xa các sóng dẫn đầu, các tích phân có thể xử lý bằng phơng pháp pha dừng nh trớc đây, v có thể nhận đợc nhiều đặc điểm định tính tơng tự nh trớc đây, một điểm khác quan trọng l 32 / t khi const=tx / . Giả sử ta chỉ xét vùng lân cận các sóng dẫn đầu truyền về phía 0>x . Một lần nữa, tích phân thứ hai lại thống trị v phần đóng góp quan trọng l từ lân cận 0k . Do đó tiikx tkxi eedkBkB kh e dk 00 0 ch )( ~ Re)( ~ Re )( [] + tkhghtghxkidkB 322121 6 1 0 // )()(exp)( ~ Re [] = tghx thgh Ai thgh B 21 31 221 31 221 22 0 / / / / / )( )()( )( ~ nh đã bn luận trớc đây. Lấy vi phân theo x , ta có [] = tghx thgh Ai dx d thgh B 21 31 221 31 221 22 2 0 / / / / / )( )()( )( ~ [] = tghx thgh iA thgh B 21 31 221 32 221 22 2 0 / / / / / )( )()( )( ~ , (1.49) trong đó )(Ai)( Z dZ d ZiA Các sóng dẫn đầu suy yếu theo thời gian 32 / t nhanh hơn nhiều so với trờng hợp tăng hay giảm thuần tuý khi 31 / ~ t . Kết quả ny l do chuyển động của đất l một nửa dơng, một nửa âm đã lm giảm ảnh hởng hiệu dụng. Hm )(iA Z diễn biến nh trên hình 1.6. Chú ý rằng = == dxxxHxdxHdxdxxBB o x o 0 00 )()()()( ~ . Vậy, nếu mặt đất sụt xuống ở phía phải v nâ ng lên ở phía trái, thì 00 >)( ~ B v front sóng truyền về phía phải đợc dẫn đầu bằng sự hạ thấp mặt nớc (đó l nguyên nhân rút nớc ở bãi biển). Các đỉnh sóng tiếp sau đó sẽ có biên độ tăng. ở phía trái, 0<x , front sóng có pha ngợc lại về hớng v đợc dẫn đầu bằng một đỉnh sóng. Nhng nếu nền đất sụt theo hớng ngợc lại, tức hạ thấp ở bên trái v nâng lên ở bên phải, thì front sóng truyền về phía phải sẽ đợc dẫn đầu bằng sự dâng nớc. Kajiura đã chỉ ra rằng, nếu giữ lại số hạng 23 hgk trong biểu thức của )(k sẽ duy trì sự phân tán ở bậc thấp nhất, v có thể [...]... Cole (1 96 8) v Nayfeh (1 97 3) Giả thiết rằng ( x, z , t ) = ( x, x1 , x2 , ; z; t , t1 , t2 , ), ( x, t ) = ( x, x1 , x2 , ; t , t1 , t2 , ) (4 . 2) (4 . 3) do đó 2 2 2 2 2 + 2 + 2 + 2 2 + 2 x x 2 x xx1 xx2 1 k2 2 + 2 0 0 2 2 = 2ik 1 + + 2ik 2 2 x1 x1 x2 z Một cách tơng tự, điều kiện biên mặt tự do sẽ cho: O ( 0 ) : g 0 2 0 = 0 z O () : g 1 21 = 2i 0 z t1 O ( 2 ) : g 2 2. .. ( x x ) 2 + ( y y ) 2 ] 1/ 2 y = r sin , [ = r 2 + r 2 2 rr cos ( ) (2 .13 ) Dạng biến đổi của điều kiện mặt tự do l (2 .14 ) 2 (2 .15 ) 0 0 Nghiệm của phơng trình (2 .13 ) với các điều kiện biên (2 .14 ) v (2 .15 ) l (2 .2 0) Tiếp theo, có thể nhận đợc thế bằng biến đổi ngợc Laplace Phép biến đổi Laplace đối với li độ mặt tự do l ì r = ( x 2 + y 2 )1 / 2 s 1 = r d r d W (r , , s ) ì g z = 0 2. .. exp 2 (4 .2 5) (4 .2 6) trong đó 1 / 2 biểu thức ny thoả mãn phơng trình (4 . 12 b) Để thoả mãn phơng trình (4 .21 a), ta cần e i / 4 1 + i v 2 v 2 , + dv cos + i sin 21 / 2 2 2 2 0 = ( t ) = Vì du C () = cos 0 v 2 dv 2 (4 .27 a) v 37 S () = sin 0 v 2 dv 2 (4 .27 b) l các tích phân côsin v sin của Fresnel, phơng trình (4 .2 5) có thể viết thnh A e i / 4 = 1/ 2 A0 2 1 1 + C () +... ) (2 .2 4) n=0 trong đó n l ký hiệu Jacobi ( 0 = 1, n = 2, n = 1, 2, 3, ) Thế cos n Wnc (k ) 1 dr d (r , ) J n ( kr ) r sin n = W s (k ) 2 n 0 0 (2 .2 5) n=0 0 cos t ì ch kh ì (W cos n + W sin n) d k c n s n 1 r W1 J 1 (kr ) dr , 2 0 Wns = 0 (2 .2 6) Về nguyên tắc, nếu cho trớc hm (r , ) , ta có thể lấy tích phân trong phơng trình (2 .2 5) v nhận đợc Wns (k ) v Wnc (k ) , (2 .2 9) Dễ... trình (4 . 12 ) Nghiệm đồng nhất bị loại bỏ, vì nó đợc xem nh đã bao hm trong 0 Thế phơng trình (4 .10 ) v (4 .13 ) vo vế phải của các phơng trình (4 .7c) v (4 .8c), ta đợc 2 2 A ch Q 2ig 2 A Q sh Q ig 2 A k 2 2 = + 2 + 2ik 2 2 z x1 ch kh x1 x2 ch kh 2 2h sh kh Cg 2 A 2 2 2 + 2 A , 2 = i Cg + ch kh t2 z g x1 2 = 0, z z = h (4 .14 a) z = 0 (4 .14 b) (4 .14 c) Để nhận đợc phơng trình (4 .14 b)... (4 .14 b) ta đã sử dụng phơng trình (4 . 12 ) Bây giờ, vấn đề chứng minh tính khả giải có thể đợc lặp lại: sau những biến đổi đại số khá di những dễ thực hiện, ta có một kết quả đơn giản bất ngờ nh sau: A A i 2 A + Cg = 2 t2 x2 2 x1 (4 .15 ) trong đó Cg d 2 C g C = (1 2 kh th kh) + (2 kh cth 2kh 1) = 2 dk k 2k 2 = = g {T 2 2 kh T (1 T 2 ) + (kh )2 (1 T 2 )2 + 4(kh )2 T 2 (1 T 2 )} , 4 k trong đó... quả l g 1 / 2 t kh = u h 6 1/ 2 (kh)3 g 6 t =u g h Phơng trình (2 .4 6) có thể viết lại thnh 2h 5 / 2 g 1 / 2 t h 6 5 / 6 2 6 d2 duei ( u p + u ) 2 dp 0 Nhờ đó, phơng trình (2 .4 4) trở thnh 1/ 2 cos Aa 3 5 / 2 g t h 1/ 2 h 6 2 16 r 1 / 2 ì 5 / 6 2 6 d2 Re (1 + i ) due i ( u p + u ) 2 dp 0 ì (2 .4 8) 30 T ( p) = Re (1 + i ) du ei ( u 2 p +u6 ) , (2 .4 9) 0 khi đó ... 0 iu 2 A 1 / 2 i / 4 ) + du exp (2 =e 2 A0 0 iu 2 1 1 / 2 + e i / 4 (2 ) du exp 2 2 0 = = (4 .2 4) sau khi đã sử dụng phơng trình (4 .2 2) Đa ra u 2 / = v 2 , ta sẽ nhận đợc: với các điều kiện biên f 1, ~ (4 .21 a) f 0, ~ A 1 e i / 4 iv 2 / 2 = + e dv = A0 2 21 / 2 0 (4 .21 b) Phơng trình (4 .2 0) có thể đợc tích phân để cho iu 2 = C exp f 2 du , iu 2 1 = C... thực Sử dụng kết quả có sẵn u 1/ 2 e du = , 2 (3 . 4) ta có, (k ) = A0 1/ 2 e ( k k0 ) 2 2 (3 . 5) Vậy, hình dạng sóng tại thời điểm t bất kỳ sẽ l = Re A0 1/ 2 e ( k k0 ) 2 2 + i ( kx t ) dk (3 . 6) e ( 2 + i 0 t / 2 ) u 2 + i ( x 0 t ) u du (3 . 7) Hon thnh các phép bình phơng v sử dụng phơng trình (3 . 4) ta thu đợc: Đặt u = x / 2 + i (k k0 ) , ta thu đợc 2 2 2 A = 0 2 e ( k k 0 ) ... ( k r r ) G (k , z , s )dk 2 s2 Gz + G = 0 , g (2 .19 ) Khi phơng trình (2 .18 ) đợc thay thế vo phơng trình (2 . 9) thì Nh vậy, dạng biến đổi LaplaceHankel của phơng trình (2 . 12 ) l d G k2G = 0 2 dz (2 .18 ) 0 Trong trờng hợp đặc biệt, đáy dịch chuyển dạng xung W (r , , t ) = (r , ) (t 0+ ) (2 .2 2) biến đổi Laplace l W = (r , ) Biến đổi ngợc của phép biến (2 .17 ) đổi Laplace đối với phơng trình (2 . 2 1) . tghx thgh Ai dx d thgh B 21 31 2 21 31 2 21 22 2 0 / / / / / )( )( ) ( )( ~ [] = tghx thgh iA thgh B 21 31 2 21 32 2 21 22 2 0 / / / / / )( )( ) ( )( ~ , (1 .4 9) trong đó )( Ai )( Z dZ d ZiA. ch )( ~ Re )( ~ Re )( [] + tkhghtghxkidkB 32 2 12 1 6 1 0 // )( ) (exp )( ~ Re [] = tghx thgh Ai thgh B 21 31 2 21 31 2 21 22 0 / / / / / )( )( ) ( )( ~ nh. trình (1 .2 8) suy ra )( ) (cos )( )( ~ / 1 00 21 0 00 4 2 2 1 + + tOtkxk kt k e , tghx 21 / )( & lt; , (1 .3 0) trong đó 0< )( k (xem hình 1. 3c) v tghxtO 21 1 / )( ) ,(