Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH DỊNG KHƠNG ỔN ĐỊNH SAINT VENANT 2.1 Các dạng chuyển động chất lỏng kênh hở Khác với dịng chảy ống, có mực nước tự do, chịu tác dụng áp lực không khí, tính tốn dịng chảy khó khăn phức tạp, mực nước thay đổi theo thời gian không gian, h, Q, i, đáy kênh có quan hệ với phân tốn 1, 2, chiều - thực tế toán thuỷ lực hạn chế chiều với Q h Dựa theo thay đổi độ sâu dòng chảy theo thời gian khơng gian phân dịng chảy thành: ổn định khơng ổn định 2.1.1 Dòng ổn định Dòng ổn định dịng có độ sâu h, có tốc độ V mặt cắt ω khơng thay đổi theo thời gian Dịng ổn định có dịng dịng khơng Dịng dịng có đặc trưng thuỷ lực mặt cắt, tốc độ khơng đổi theo đường Dịng đều: theo chiều dài dịng chảy dịng có tốc độ, diện tích mặt cắt khơng thay đổi theo chiều dài, có nghĩa V = const, ω = const theo s Dịng khơng dịng có đặc trưng thuỷ lực thay đổi theo S Dịng khơng đều: V = f1 (S), ω = f2 (S) Dịng khơng ổn định dịng có v, ω thay đổi theo khơng gian thời gian Dịng khơng ổn định: V = f1 (S, t) ω = f2 (S, t) Dòng khơng đều: có dịng thay đổi chậm dịng thay đổi gấp Chuyển động sóng lũ sơng chuyển động khơng ổn định, dịng khơng thay đổi chậm Chuyển động nước xả từ thượng lưu cơng trình tràn vệ hạ lưu nhà máy thuỷ điện Hồ Bình dịng khơng thay đổi gấp 31 2.1.2 Chuyển động khơng ổn định -Dịng khơng ổn định dịng có v, ω thay đổi theo khơng gian thời gian -Dịng khơng ổn định: V = f1 (S, t) ω = f2 (S, t) -Dịng khơng đều: có dịng thay đổi chậm dịng thay đổi gấp Các loại chuyển động không ổn định kênh hở : Trong trường hợp dịng khơng ổn định, mực nước có dạng sóng Sóng nước chuyển động sóng dài, có độ cong nhỏ, độ dài sóng gấp 100 - 10.000 lần độ cao sóng Khác sóng gió hồ, biển, sóng kênh hở vận chuyển có lưu lượng nước lớn (sóng chuyển) Có nhiều loại sóng kênh hở: - Sóng thuận: truyền theo dịng chảy - Sóng nghịch: ngược chiều dịng chảy Các đặc điểm sóng xả, sóng lũ, sóng triều sơng - Sóng xả: tăng giảm lưu lượng, có mực nước nhiễu động - Sóng lũ: khơng có mực nước nhiễu động sóng thay đổi chậm - Sóng triều: lên xuống có chu kỳ, mực nước mực nước nhiễu động 3.Quan hệ lưu lượng - mực nước dòng khơng ổn định Dịng ổn định, quan hệ Q = f (Z) lớn Dịng khơng ổn định; nước lên: Q - Z có dạng vịng dây có nhiều vịng dây Đối với sóng vùng triều: quan hệ Q - Z có dạng xoắn ốc 2.2 Phương trình vi phân dịng khơng ổn định thay đổi chậm 2.2.1 Phương trình liên tục Phương trình liên tục thể mối quan hệ yếu tố thuỷ lực liên tục môi trường chất lỏng thường áp dụng cho toán chiều có nghĩa mực nước có đặc trưng, thông số sau: lưu lượng, tốc độ trung bình mặt cắt, bán kính thuỷ lực v.v hàm biến theo dọc sông L Trong giai đoạn lũ, phương trình liên tục có biến L t Giả thiết, Q: lưu lượng, ω: diện tích mực nước, dl cho đoạn sơng, dt - thời gian Xem đoạn sơng có Qdt ( lượng vào) 32 ∂Q ⎞ ⎛ dl⎟ dt: lưu lượng xuất lưu ⎜Q + ⎝ ∂l ⎠ ∂Q Rõ ràng ⎛ Q + dl ⎞ lưu lượng mực nước cửa ⎟ ⎜ ∂l ⎝ ⎠ Do đó, tổng lượng nước đoạn sông biến đổi ∂Q ∂Q dldt Qdt - ⎛ Q + dl ⎞dt = ⎜ ⎟ ∂l ⎝ ⎠ (2.1) ∂l Nếu có dịng chảy gia nhập q cho thời gian chiều dài sóng q dldt, biến đổi tổng lượng đoạn sông với thời gian dt q dldt - ∂Q dldt ∂l (2.2) Nó làm thay đổi mực nước với trị số ∂Q dl , đoạn sơng có dạng hình chữ ∂l nhật ∂ω ∂Q dldt = ∂t ∂l Lấy (2.2) (2.3) đơn giản dl dt ta có ∂ω ∂Q + =q ∂t ∂l (2.4) Nếu khơng có lượng gia nhập ta có: ∂ω ∂Q + =0 ∂t ∂l (2.5) Đây phương trình Saint Venant thứ phương trình liên tục dòng chảy * Nếu thay Q = V ω (2.5) có dạng: ∂ (Vω ) ∂H +B =0 ∂l ∂t Hoặc ω∂V V∂ω ∂H + +B =0 ∂l ∂l ∂t 2.2.2 Phương trình cân động lực dịng khơng ổn định Phương trình chuyển động sóng lũ (đưa Bussinet) cho tổng tất lực đơn vị khối lượng Cụ thể là: -gI + u + F = (2.6) 33 Trong đó: g -gia tốc trọng trường I - độ dốc mực nước u - lực quán tính F - lực ma sát Độ dốc chia thành thành phần: độ dốc i chuyển động ổn định độ dốc phụ gia I=i- dh xuất chuyển động lũ, vậy: dl dh dl (2.7) h - độ sâu dòng chảy Đối với dịng sơng có tốc độ lớn cơng nhận định luật bình phương theo cơng thức chezy V = C RI (2.8) V - tốc độ trung bình mặt cắt, R - bán kính thủy lực, C - hệ số chezy Khi lực ma sát tích trọng lực đơn vị nước độ dốc với đơn vị khối lượng nhận được: F= gV C2 R (2.9) Lực qn tính, theo phương trình Bussinet đặc trưng thành phần: U= ∂v ∂V +V ∂t ∂l (2.10) Lực ban đầu, để khắc phục ma sát mặt cắt, lực thứ để khắc phục biến đổi tốc độ theo chiều dài dịng chảy Như vậy, tính đến lực qn tính phương trình động lực có dạng i− dh V2 ∂V V ∂V = + + dl C K g ∂t g ∂t (2.11) Phương trình (2.11) phương trình thứ Saint- Venant dùng tính tốn chuyển động sóng lũ cho vùng khác * Lúc dòng chảy theo chiều (chảy ngược, chảy xi) sóng chịu ảnh hưởng thủy triều phương trình động lực có dạng i− ∂V ∂ V dh V V = + + dl C K g ∂t ∂l g (2.12) Phương trình (2.12) phương trình Saint Venant đề xuất 1871 Tất nhiên, có thành phần bản: (1) độ dốc mực nước, (2) độ dốc ma sát 34 (3) độ dốc quán tính (4) độ dốc đối lưu; số trường hợp cụ thể cần thêm: lực xốy (Se), lực gió (Wf) Độ dốc tổn thất xoáy xác định 2.13 Ke ∂ (Q / A) 2g ∂x Se = (2.13) Trong đó: Ke - hệ số phân tán hay tập trung, dấu - phân tán (khi ∂ (Q/A)2/∂x âm) ngược lại tập trung Độ dốc gió: sinh để chống lại lực cản gió mặt nước xác định 2.14 Fw = τw Bdx (2.14) τw - ứng suất cắt gió, viết đại thể sau: τw = − pCf Vr Vr (2.15) Trong Vr tốc độ chất lỏng, ký hiệu |Vr|Vr để sử dụng τw với chiều ngược phương Vr Cf hệ số ứng xuất cắt, tốc độ trung bình nước Q/A hợp với phương tốc độ gió Vw với phương góc ω, tốc độ nước quan hệ với khơng khí Vr = Q − Vw cos ω A (2.16) Và lực gió: Fw = − pVCf Vr VrBdx = −WfBpdx (2.17) Trong yếu tố lực cắt gió Wf Wf = Cf Vr Vr / (2.18) Ghi chiều gió ngược với chiều dịng chảy 2.2.3 Phân loại mơ hình diện tốn phân phối Theo ý nghĩa vật lý phương trình moment phân thành: - Loại thành phần gia tăng cho địa phương; diễn tả biến đổi moment biến đổi tốc độ theo thời gian - Loại thành phần gia tăng đối lưu, diễn tả biến đổi tốc độ dọc sơng - Loại thành phần lực áp, tương quan với chiều sâu theo kênh - Loại thành phần trọng lực, tương quan với độ dốc sức cản Sf 35 Trường hợp hệ phương trình Saint venant (bỏ qua q, Fw, Fe, β = 1) viết theo phương trình liên tục: - Dạng bảo toàn: ∂Q ∂A + =0 ∂x ∂t (2.19) - Dạng khơng bảo tồn V ∂y ∂v ∂ y +y + =0 ∂l ∂x ∂ t (2.20) - Dạng khơng bảo tồn (với đơn vị chiều rộng) ∂V ∂V ∂y +V + g − g ( So − Sf ) = ∂t ∂x ∂x (2.22) Sóng động lực Sóng khuếch tán (p/tr trạng thái tức thời) Sóng động lượng Thành phần gia tăng địa phương, gia tăng dịng thẳng mang hiệu ứng qn tính dịng chảy Trường hợp có hiệu ứng mức bù, khơng ảnh hưởng tới phương pháp diễn tốn Phương pháp tích phân chập khơng thể thực tính tốn dịng chảy có hiệu ứng nước bù khơng có học, thủy lực để diễn tả ảnh hưởng biến đổi dịng chảy sơng theo moment Mơ hình diễn tốn phân phối đơn giản mơ hình sống động lực, bỏ qua gia tăng g(So - Sf), giả sử So = Sf (Độ dốc thủy lực độ dốc ma sát cân với nhau) Mơ hình sóng khuếch tán: hợp thêm với giá trị áp suất (bỏ qua gia tăng g ∂y ) ∂χ Mơ hình sóng động lượng: giữ lại tất giá trị gia tăng tốc độ áp suất phương trình moment Phương trình moment viết dạng tính tốn, thí dụ dịng chảy ổn định không ổn định đồng dạng đa dạng Trong phương trình liên tục ∂A = cho dòng ổn định gia nhập khu q = cho dạng sau: ∂t Dạng bảo toàn: ∂Q ∂ (Q / A) ∂y − − +So = Sf gA ∂t gA ∂x ∂u (2.23) 36 Dạng khơng bảo tồn: − ∂V V ∂V ∂y − − + So = ςf g ∂t g ∂x ∂x (2.24) ổn định dòng chảy đồng dạng ổn định dòng chảy đa dạng khơng ổn định, dịng chảy đa dạng 2.2.4 Năm giả thiết phương trình Xem chuyển động chất lỏng chiều Với ý nghĩa coi chuyển động nằm ngang thẳng đứng không đáng kể so với dọc sông Do độ dốc dịng chảy giống mặt cắt Giả thiết có ý nghĩa khơng có độ dốc nằm ngang Chuyển động theo giả thuyết thay đổi chậm, với ý nghĩa tổn thất độ dốc địa phương Giả thiết sóng dài, độ sâu mặt nước nhỏ so với chiều độ dài sóng, vài tác giả gọi lý thuyết nước nơng Điều dẫn tới phân phối định luật áp lực thuỷ tĩnh theo chiều sâu, có nghĩa bỏ bớt áp lực dư gia tốc nước theo chiều thẳng đứng Lực cản phương trình có dạng chuyển động ổn định Độ dốc đáy sông nhỏ 2.3 Xấp xỉ sai phân (Sai phân hóa) 2.3.1 Khái niệm chung Phương trình Saint Venant cho diễn tốn khơng có phương pháp giải tích phân (trừ vài trường hợp đặc biệt) Nó phương trình vi phân phần (đạo hàm riêng) nói chung giải phương pháp số trị phương pháp đặc trưng Trong phương pháp trực tiếp (số trị) xây dựng từ phương trình sai phân ban đầu từ phương trình liên tục phương trình moment Lời giải cho đặc trưng dịng chảy nhận từ bước khơng gian Δl bước thời gian Δt Trong phương pháp đặc trưng, phương trình đạo hàm riêng chuyển sang dạng đặc trưng, sau phương trình đặc trưng giải theo 37 phương pháp phân tích, việc giải sóng động học, sử dụng phương trình đạo hàm riêng Trong phương pháp số để giải toán đạo hàm riêng, việc giải đưa sang việc giải lưới X - t Lưới X - t xác định bước khoảng cách Δx bước thời gian Δt Như hình 2.1, điểm lưới theo ký hiệu i (theo khoảng cách), theo thời gian j Đường theo thời gian vng góc với x Sơ đồ số trị chuyển phương trình đạo hàm riêng tới hàng loạt phương trình vi phân đại số hữu hạn Phương trình vi phân hữu hạn trình bày sai phân riêng tạm thời điểm chưa biết đường thời gian tương lai j +1, đường thời gian j Trong tất giá trị khơng biết tính từ tính tốn bước ban đầu (xem hình 2.1) x x x x t ΔS01 ΔS02 Δt s Hình 2.1 Sơ đồ lưới sai phân Lời giải Saint Venant biết trước từ thời gian đến thời gian sau tính cách liên tục 2.3.2- Phương pháp sai phân Có thể sai phân hóa trực tiếp hệ phương trình để giải mà khơng cần chuyển qua phương trình đặc trưng Tất nhiên, cách giải địi hỏi khối lượng tính tốn lớn nhờ có máy tính điện tử nên việc giải thuận tiện Nhờ cách tính trường hợp phức tạp, sơng có bãi, sơng có mặt cắt thay đổi, lưới sông phức tạp v.v mà phương pháp khác giải Trong năm gần đây, người ta thường dùng phương pháp sai phân để giải tốn dịng 38 khơng ổn định thực tiễn nói chung giải máy tính điện tử.Đặc điểm chung phương pháp sai phân chia kênh thành đoạn ngắn ΔS chia thời gian thành thời gian nhỏ Δt Như vậy, tọa độ (s-t) chia thành ô lưới, ta xác định yếu tố chúng nút lưới, tức mặt cắt định trước vào thời điểm định trước (xem Hình 2.1) Trên lưới thế, đạo hàm riêng hệ phương trình thay tỷ số gia số.Sai phân nhận từ hàm U(x).Trong Hình 2.2, phương trình Taylor U(x) từ x+Δx U(x+Δx)= U(x) + Δx U’ (x) + Δ x U(x)+ Δ x3.U(x)+ U' (x) = ∂4/∂x, U"(x) = ∂2U/∂x2 Liệt Taylor từ x = Δx U (x - Δx) = U (x) - Δx U'(x) + Δx U "( x ) − Δx 3U "( x )t Sai phân trọng tâm tương tự dùng (2.2) trừ (2.1) U (x + Δx) - U (x - Δx)= 2Δx U' (x) + (Δx3) Trong đó: (Δx3) dư thừa bậc bậc lớn Giả thiết U' (x), giả sử 0(Δx3) = 0, lại U' (x) = U ( x + Δx ) − U ( x − Δx ) + 0( Δ x ) Δx Nó có sai số tương tự bậc Δx2, sai số, dừng bậc cao, sai số cắt cụt Sai số tiến tương tự xác định trừ U(x) từ (2.1) U (x + Δx) - (U(x) = Δx U'(x) + (Δx2) u u(x+Δx) i+1 u(x) u(x-Δx) i-1 Hình 2.2 x-Δx x x x+Δx 39 Giả thiết bậc hai cao không đáng kể - Ta có: U ( x + Δx ) − U ( x ) + o(Δ x ) Δx U' (x) = Với sai số tương tự bậc Δx Sai số lùi, tương tự dùng sai số từ (2.2) trừ U(x) U(x) - U(x - Δx) = U(x) U'(x) + 0(Δx2) Giải cho U'(x) U'(x) = U ( x ) − U ( x − Δx ) + 0( Δx ) Δx Có nhiều sơ đồ sai phân chia thành hai loại sơ đồ: Sơ đồ sai phân sơ đồ sai phân ẩn khác chúng là: sơ đồ giải ẩn q trình lưới hai lưới gắn để tính yêú tố thuỷ lực nút Sơ đồ sai phân có điều kiện không sử dụng Δx, Δt nhỏ toán hội tụ Sơ đồ sai phân ẩn : với Δx, Δt lớn khơng địi hỏi điều kiện Sơ đồ Sơ đồ sai phân sơ đồ mà sau sai phân hố hệ phương trình (2.1) (2.2) ta hệ hai phương trình đại số với hai ẩn số Q, ω nút chưa biết giải ẩn số Ví dụ sơ đồ hình thoi (2.3) Sơ đồ đòi hỏi khoảng cách mặt cắt Δs phải nhau, thời đoạn tính tốn Δt phải cố định Thay đạo hàm riêng biểu thức sai phân sau đây: ∂ω ω B −ω A = ∂t 2Δt ∂ω ωD − ωC = 2Δs ∂s ∂Q = ∂t Q −Q ∂Q = ∂s Q B A 2Δt sD − QC 2Δs Nếu đặc trưng hai lớp thời gian trước (nút A, C, D) biết 40 đến sai số tương đối nhỏ đến địi hỏi số hạng 10 k 10 k+ Như vậy, ta thấy muốn cho đáp số Q đến số có nghĩa thứ tổng phải có sai số tương đối nhỏ k phải lấy Pn, qn đến số có nghĩa thứ k + k + 2.4 Sơ lược hội tụ ổn định nghiệm Trong việc tính nghiệm số theo phương pháp sai phân , ta thay Δ Δ đạo hàm riêng tổng số giá số F F , nghiệm tính ΔS Δt 10 k + gần Có thể nghĩ cho đoạn chia ΔS Δt nhỏ nghiệm tìm tiến tới nghiệm phương trình vi phân Nhưng thực không hẳn vậy, nghiệm số tìm phương pháp sai phân hội tụ nghiệm phương trình vi phân cho ΔS, Δt tiến tới vô nhỏ, với điều kiện sơ đồ tính tốn có tỷ số ΔS thích đáng có Δt cách thay đổi thích đáng đạo hàm tỷ số sai phân hữu hạn có cách lấy thích đáng hệ số Trong trường hợp số cần tính tốn hội tụ Trái lại sơ đồ tính tốn khơng đủ điều khoản cần thiết định dù ta cho Δs, Δt nhỏ, nghiệm tính khác xa với nghiệm phương trình vi phân Mặt khác, việc tính tốn số ta khơng tránh khỏi sai số lấy trịn số Khi tính sai phân từ mặt cắt sang mặt cắt khác, sai số bước tính tốn bị khuyếch đại lên, tính nhiều bước sai số lớn lên, sơ đồ tính tốn gọi khơng ổn định Trong trường hợp đó, chọn đoạn Δs, Δt nhỏ số bước tính nhiều lên, nghiệm tìm cịn khác với nghiệm phương trình vi phân Trái lại, sai số bước tính tốn khơng gây sai số lớn cho bước tính sau - sai số phép tính trung gian bù trừ nhau, sản phẩm ổn định Nghiên cứu tích hội tụ ổn định nghiệm vấn đề phức tạp 61 phương pháp tính khơng sâu phân tích lý luận vấn đề Xét sơ đồ sai phân ẩn giới thiệu trên, cần nêu lên vấn đề tính ổn định hội tụ sơ đồ phụ thuộc chủ yếu vào hệ số θ1 θ2 chọn để sai phân hoá đạo hàm ∂Q ∂Z Sơ đồ đảm bảo ổn định hội tụ lấy ∂S ∂S θ1>1/2, θ2>1/2 lấy hệ số vế phải tương ứng Sơ đồ chọn trình bày ( với θ1= θ2=1 QQ K2 lấy trung bình lớp sau ứng với θ2=1) đảm bảo tính ổn định hội tụ Sự hội tụ sơ đồ sai phân vừa định nghĩa khác với hội tụ phép tính lặp xác định hệ số, hai vấn đề dó có liên quan với Với quy định cách lấy hệ số ( chẳng hạn ta quy định: yếu tố d e lấy trung bình điểm, yếu tố k tr lấy trung bình điểm lớp sau ) phải giải tốn với nhiếu tính lặp, thoả mãn điều kiện (2.47) Trên sở tôn trọng điều quy định nói trên, phép giải hội tụ nhanh hay chậm, tức có nghĩa phải hay nhiều lần lặp thoả mãn điều kiện (2.47), điều cịn phụ thuộc vào khéo léo thuật tốn Thuật tốn tính lặp thích đáng rút ngắn khối lượng toán Khi chọn thuật tốn cần ý hai trường hợp xẩy : a, Nghiệm số F tìm lần tính lặp liên tiếp diễn theo kiểu hình (9a) tức : ⏐Fk+1 - Fk⏐ 1/2⏐Fk - Fk+1⏐ FK-1 FK+1 FK+2 Hình 2.11a 62 FK-1 K-1 FK+1 FK+2 FK FK Hình 2.11b Khi giải tốn gặp trường hợp thứ trường hợp thứ tuỳ theo cách sai phân sơ đồ, trường hợp phải chọn thuật toán lợi Trong trường hợp 1, lấy Fk làm nghiệm số để hiệu chỉnh hệ số cho lần thứ lặp k+1 Trong trường hợp 2, sau tính xong lần thứ k tìm Fk nên coi Fk −1+ Fk lại nghiệm số để hiệu chỉnh hệ số cho lần tính lắp thứ k+1, chóng đạt đến (2.47) (số lần tính lặp hơn) 2.5 Sơ đồ sai phân tính tốn cho kênh hở Có nhiều kiểu sơ đồ sai phân giời thiệu sơ đồ tính tốn hình thoi 2.5.1 Sơ đồ công thức Để tiện diễn giải ta xét kênh đơn không rẽ nhánh khơng có cơng trình kênh, với điều kiện biến là: cho biết đường qua trình lưu lượng đần ( s=0) đường trình mực nước đầu (S=1) Qo = Qo (t) Zl = Zl (t) Chia chiều dài kênh nhiều đoạn nhỏ Δs dài nhau, đánh số mặt cắt chia đoạn 0,1,2,3 theo chiều dương trục S với quy ước lưu lượng (+) chẳng theo chiều (+) S Ta chia thời gian thành thời đoạn Δt dài nhau, đánh số thời điểm 0,1,2, mặt phẳng (s,t) chia thành lưới chữ nhật (hình 5-10), nút lưới đánh số chữ số (λ, δ); số thứ i, , số thứ 2j, thời điểm 63 Trên lưới ta quy định : tính mực nước Z nút lẻ thời điểm lẻ đánh dấu X hình (2.12) tính lưu lượng Q cho nút mặt cắt chẵn với thời điểm chẵn (đánh số hình 2.12) Do đó, điều kiện cho lưu lượng đầu mực nước đầu phải đánh số mặt cắt đầu kênh mặt cắt số mặt cắt cuối kênh số lẻ 2n+1 Ngược lại, điều kiện cho mực nước đầu phải đánh số mặt cắt đầu kênh số 1, nghĩa tổng số đánh số chẵn t -1 2i-2 2i-1 2i 2i+1 2n S 2n+1 Hình 2.12 Sơ đồ tính t -1 1 20 S Hình 2.13 64 Theo điều kiện ban đầu, ta biết mực nước tất mặt cắt lẻ, thời điểm t = -1 biết lưu lượng tất mặt cắt chẵn, thời điểm t = Ta tính mực nước tất mặt cắt lẻ, thời điểm t = +1 phương trình liên tục Xét hình thoi có đỉnh hình 2.13 nút (1, -1) (0,0), (2, 0), (1,1) biết Z1,1, Q0,0, Qz, ta tính Z1,1 phương trình liên tục, sai phân hố sau: Q ,0 − Q 0,0 Z1,1 − Z1,−1 q' + q' 2ΔS 2Δt Đó công thức sai phân theo kiểu sai phân trung tâm, trúng ý + B C1, = nghĩa đạo hàm riêng, hệ số BC phải lấy mặt cắt giữa, theo mực nước Z + Z1,−1 trung bình (tức t = 0) Z1,0 = 1,1 nghĩa phục thuộc vào ẩn số cần tìm Z1,1 Do phải tính lặp Tuy nhiên BC thường biến đổi theo mực nước, nên ta tránh tính lặp sơ đồ sai phân người ta quy định lấy BC1,-1 tính theo mực nước Z1,-1 biết, để thay cho B1,0 Từ ta rút cơng thức tính Z1,1: Z1,1 = Z1,-1 + Δt a00 − Q2 ,0 + (q '0 + q '2 ) ΔS ΔS BC1, −1 (2.62) Nếu mặt cắt (1) có biến đổi đột ngột lòng dẫn, hai đoạn kênh (0,1) (1,-2) có trị số BC khác mặt cắt (1) với mực nước Z1 cơng thức tính Z1 là: Z1,1 = Z1,-1 + 2Δt Q 00 − Q ,0 + (q ' + q ' )ΔS ΔS B* 1,−1 + B C1,−1 C Trong đó: BC1: trị số (chiều rộng mực nước lòng dẫn khu chứa) đoạn (01) B*1: trị số đoạn (1-2) Tổng quát, ta có: Z2i+1,2j+1 = Z2i+1,2j-1 +2 Δt Q2i ,2 j − Q2i + ,2 j + (q ' 2i ,2 j + q ' i + ,2 j ) ΔS * ΔS BC 2i +1,2 j −1 + BC 2i +1,2 j −1 (2.63) Theo cơng thức đó, ta tính loạt trị số Z tất mặt cắt lẻ lúc t = +1Δt Riêng mặt cắt cuối Z2n+1,1 lấy theo trị số cho trước 65 cuối biên cuối Sau tính xong hàng Z lúc t = +1Δt ta tính sang hàng Q lúc t = +2Δt phương trình động lực Sai phân hố phương trình (2.63) cho hình thoi có đỉnh nút (2,0); (1,-1); (3,1); (2,2) chẳng hạn có có cơng thức tính Q2,2: Z 3,1 − Z 1,1 2ΔS ⎛ α ⎞ Q2, − Q2,0 ⎛ αBC + α B ⎞ Q2, − Q2,0 Z 2, − Z 0,0 ⎟ +⎜ ⎟ −⎜ ⎜ gω ⎟ ⎜ ⎟ Δt 2Δt gω ⎝ ⎠ 2,1 ⎝ ⎠ ω 3,1 − ω 1,1 αq' 2,1 − a 2,1 Q2,1 α − Q2,1 + = 3 2ΔS gω 2,1 gω 2,1 K 2,1 Trong công thức có yếu tố mặt cắt ω2,1, B2, K2,1 lấy tuyến giữa, đoạn (1,-3) ứng với mực nước Z2,1 - Z 1,1 + Z 3,1 đại lượng biết Ở xuất hai yếu tố cần xử lý thủ thuật tính tốn gần a Trong số hạng thứ ba vế trái phải thay ∂Z ∂t Z ,2 − Z ,0 (SP trung tâm) Z2,2 chưa có khơng muốn tính lặp nên 2Δt ta phải thay Z − Z 0, −1 ∂Z ∂Z 2,1 tức lấy trị số trước thời đoạn ∂t 2Δt ∂t b Trong số hạng thứ tư vế trái vế phải, xuất bình phương ẩn số ( Q2 ,1 ) ⎛ Q + Q ,0 ⎞ = ⎜ ,2 ⎟ ⎝ ⎠ 2 Để tuyến tính hố phương trình sai phân, ta phải thay đổi cách gần đúng: Q22,1 ≈ Q2,0 Q2,2 Vậy phương trình sai phân thành Z 3,1 − Z11 ⎛ α ⎞ Q ,2 − Q ,0 ⎛ αB C + α B⎞ Q ,2 + Q ,0 Z ,1 − Z ,−1 +⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎝ gω ⎠ ,1 2ΔS 2Δt 2Δt ⎠ ,1 ⎝ gω ⎛ αq' ⎞ Q + Q ,0 Q ,0 ⎛ α ⎞ ω − ω 1,1 (Q ,0 Q ,2 ) + ⎜ ⎟ ,2 −⎜ ⎟ 3,1 = Q 2,2 2ΔS ⎝ gω ⎠ ⎝ gω ⎠ ,1 K ,1 66 Phương trình trở thành phương trình bậc Q2,2, hệ số biết Nhân hai vế với Δt, xếp lại đặt: α0 gω αBC + α0 B E= gω α F= gω α G= gω q ' D= (2.64) (2.65) (2.66) (2.67) Ta công thức Q22: Δt (Z1,1 − Z 3,1 ) + D + E( Z ,1 − Z ,−1 )G Q ,0 ΔS Q22 = Q ,0 Δt 2Δt + D − E( Z ,1 − Z ,−1 ) + G (ω 1,1 − ω 3,1 ) Q , ΔS K (2.68) [ ] Công thức tổng quát là: Q2,-1,2j+2= [ ] Δt (Z i−1,2 j+1 − Z i+1,2 j+1 ) + D + E Z i ,2 j+1 − Z i , j−1 − G Q i ,2 j ΔS Q i ,2 j Δt + D − E Z i ,2 j+1 − Z i , j−1 + G (ω i−1,2 j+1 − ω i+1,2 j_ +1 ) Q i ,2 j Δt ΔS K2 ( ( ) ) (2.69) Trong đó: D,E,F,G K = ω R tính theo mặt cắt 2i (giữa đoạn 2i-1, 2j+1) ứng với mực nước: Z i−1, j+1 + Z i+1, j+1 Đó số biết Trên công thức (2.68) ta tính hàng trị số Q tất Z2i,2j+1 = mặt cắt chẵn từ mặt cắt (2) đến mặt cắt (2n) tức t = 2Δt Riêng Q0 lấy theo điều kiện cho Sau lại tính hàng loạt trị số Z lúc t = 3Δt loạt trị số Q lúc t = 4Δt Cứ ta tính tất nút mặt phẳng (S, t) Nếu 67 lưới sai phân đủ dầy có nghiệm số dạng Q(S, t), Z (S, t) 2.5.2 Điều kiện hội tụ ổn định: Dùng công thức sai phân trọng tâm ta tưởng chừng nghiệm Q, Z tìm hội tụ nghiệm phương trình VP, nên ta cho Δs→0 Δt→0, nghĩa thu nhỏ đến vô mắt lưới sai phân Thực hội tụ nghiệm phương trình sai phân cịn phụ thuộc vào Δt ΔS Ta xét trình tự tìm nghiệm Q, Z điểm P mặt tỷ số k = phẳng (s,t) sơ đồ sai phân hình thoi Nghiệm P phụ thuộc n a (xem hình 2.14) Muốn có trị số Q Z a a’ lại phải tính từ trị số Q, Z b, b1, b', Tóm lại nghiệm P phụ thuộc vào nghiệm điểm tam giác PMN, phụ thuộc vào trị số ban đầu cho đoạn kênh MN Tưởng tượng chia nhỏ Δs Δt thành n lần, tức chia nhỏ ô lưới sai phân, giữ nguyên tỷ số k = Δt cũ, nghiệm P ΔS phụ thuộc nghiệm tam giác PMN Tam giác gọi miền phụ thuộc nghiệm P sơ đồ tính sai phân, đường thẳng PM PN làm với trục S góc Δt ΔS Nhưng theo lý luận đường đặc trưng nghiên cứu phần IV tgα = ± miền phụ thuộc nghiệm hệ phương trình vi phân cho điểm P thực tam giác PM'N' (hình 2.15) PM' PN' hai đường đặc trưng thuận nghịch qua P Độ dốc đường PM' PN' là: tg = v+ Δt ≥ Δs gw α 0B = v±C v± gw α 0B 68 t a’ a b b’ b1 c Δt Δt c1 M α c’ α’ N S Hình 2.14 Sơ đồ tính S P t α1 M’ M ình 2.13 α2 N N’ S Hình 2.15 Sơ đồ tính Nếu miền phụ thuộc phương trình sai phân, PMN nằm lọt miền phụ thuộc nghiệm phương trình vi phân PM'N' tức nghiệm số trừ P phương pháp sai phân không phụ thuộc miền PM'M PNN', không phụ thuộc điều kiện ban đầu đoạn M'M NN' Trong trường hợp đó, dù ta rút ngắn bước sai phân ΔS, Δt đến vơ nhỏ ta khơng thể tìm P 69 Vậy điều kiện có để nghiệm phương trình vi phân ta rút ngắn bước tính SP ΔS, Δt vơ nhỏ Δt ΔS < Vm gw α0B Vì lưới sai phân ta lấy Δt ΔS khơng đổi, V thay đổi liên tục nên ta phải chọn gw Vm α0B tức Δt ΔS < gw Vm α0B Δt ΔS gw α0B nhỏ trị số nhỏ (2.70) Điều kiện (2.70) Curăng (R.Coruant) phân tích chứng minh chặt chẽ nghiên cứu lí luận phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng phi tuyến dạng hypecbolíc sai phân Do điều kiện nói thường gọi điều kiện Curăng Về nguyên tắc điều kiện (2.70) chưa phải điều kiện đủ để nghiệm sai phân hội tụ Theo phân tích lí luận nhà nghiên cứu phương pháp tính phương trình Saint venant, số hạng sức cản nhỏ không đáng kể so với số hạng khác nghiệm tìm tính sai phân hội tụ thoả mãn điều kiện Curăng Đồng thời trạng thái ban đầu Q(s)t=0, S(s)t=0 phải hàm giải tích S Trong thực tế tính tốn thuỷ lực cơng trình số hạng sức cản nói chung yếu tố quan trọng phương trình động lực, nên nói chung điều kiện ban đầu yếu tố định hội tụ Chỉ sau thời gian diễn biến dịng chảy trạng thái Q(s,t),Z(s,t) kênh coi khơng cịn phụ thuộc trạng thái ban đầu Trong trường hợp đó, cho rằng, điều kiện (2.70) thoả mãn nghiệm tính sai phân tiến tới nghiệm đúng, ta lấy bước ΔS Δt nhỏ lại Nghiên cứu lý luận vấn đề ổn định nghiệm sơ đồ lại phức tạp Theo phân tích nhà nghiên cứu phương pháp tính, nghiệm khơng ổn định điều kiện Curăng khơng thoả mãn Khi sai số khơng tránh khỏi lấy trịn song bước tính 70 bị khuếch đại qua nhiều bước tính chia ΔS, Δt nhỏ bước tính nhiều lên, nghiệm sai khác nhiều so với nghiệm Ngay điều kiện Curăng thoả mãn khó tìm sơ đồ sai phân ảnh hưởng sai số khơng nhân lên ta tăng bước tính Trường hợp số hạng sức cản khơng đáng kể điều kiện ổn định ngặt nghẽo Phân tích lí luận chặt chẽ vấn đề khó Qua kinh nghiệm tính tốn tốn thuỷ lực sơng ngịi, nhà thuỷ lực học đến nhận định điều kiện (2.70) thoả mãn sơ đồ sai phân hội tụ ổn định 2.5.3 Vấn đề xác định điều kiện ban đầu Điều kiện ban đầu trạng thái thực có kênh lúc bân đầu tính tốn t=0 Hệ phương trình Saint Venant phương trình đạo hàm nói chung, nghiệm Q(s,t), Z(s,t) phụ thuộc điều kiện ban đầu Q(s)t=0 Thay đổi điều kiện ban đầu làm thay đổi kết tính tốn trị số t > Trong cách tính sai phân, điều kiện ban đầu xác định dạng trị số Q, Z, q cho mặt cắt , lớp lưới (t=0) với sơ đồ hố hình thoi phải cho trị số Z hàng t= - 10t trị số t=0 Các trị số ban đầu số biết Thế nhiều tốn thực tiễn địi hỏi khó xác định điều kiện ban đầu Thí dụ tính thuỷ triều sơng , với điêù kiện biên q trình lưu lượng dịng nguồn Q0(t) dùng trình mức nước thuỷ triều thực tế ( điển hình đó), cửa sơng, ta khó xác định lưu lượng mực nước dọc sơng vào thời điểm để bắt đầu tính từ trở Tuy nhiên, nhờ yếu tố sức cản nên ảnh hưởng điều kiện ban đầu bị xố dần có nghĩa trị số Q(s,0), Z(s,0) chọn ban đầu chịu ảnh hưởng đến trị số nghiệm Q(s,t), Z(s,t) phạm vi thời gian t T Trị số T lấy khoảng 8-10 trường Q α ∂v hợp số hạng khó so với số hạng , trường hợp tính lũ g ∂t k sơng, trường hợp tính lũ sơng, lấy vào khoảng 25-30 tuỳ trường hợp số hạng quán tính αo ∂v đáng kể, trường hợp tính thuỷ g ∂t triều mùa cạn Trạng thái ban đầu chọn nói trên, cịn nhiều tính chất tuỳ ý, cần đảm bảo phù hợp với quy luật chuyển động, biểu thị phương trình, liên tục động lực Cụ thể cần nghiệm với hệ thức: ΔQ ΔS ΔZ ΔS t =0 = t =0 ⎛ ΔZ ⎞ = q ' t = − Bc⎜ ⎟ ⎝ Δt ⎠ t = αo ΔV − Q| Q| − K t = g Δt − t =0 α Δ (V ) g ΔS t =0 72 Trong đó: ΔZ ΔV phải ước tính, tuỳ theo đặc điểm cụ thể dòng , Δt ' Δt Các tỷ số chảy lúc ban đầu điều kiện biên Khi tính tốn sơ đồ biên hình thoi, khơng nên bắt đầu tính tốn từ trạng thái tính ban đầu (lưu lượng khơng tồn kênh, mực nước nằm ngang) cơng thức sai phân (2.69) ta viết số hạng sức cản bằng: Q2i ,2 j + Q2i ,2 j K 2i +1 ,2 j +1 Nếu trạng thái ban đầu trạng thái tĩnh Q2i,o = lớp tính (để tính Q2i, 2) ta có số hạng sức cản không Q2i ,2 Q2i ,o K 2i ,1 =0 Điều làm cho sơ đồ ổn định Bài tập số 2: Tính tốn sơ đồ sai phân ẩn, cho đoạn sơng từ n Bái đến Việt Trì Bảng 2.1 Điều kiện ban đầu số liệu lũ năm 1971 (h) 1h 7h 13h 19h 1h 3079 3107 3127 3132 3131 4180 4510 4970 5040 4940 1890 1882 1888 1897 1906 Z cm 1498 1501 1509 1518 1530 Qm3/s (4190) (4500) (4700) (5050) (5050) Yên Bái Z cm Qm /s Phú Thọ Z cm Qm /s Việt Trì Bảng 2.2 Tài liệu mặt cắt chiều dài từ Yên Bái- Phú Thọ Việt Trì N mặt cắt Chiều dài (km) 14 21 28 35 42 49 N mặt cắt 10 11 12 13 14 15 Chiều dài (km) 56 63 70 77 84 91 98 105 73 Bảng 2.3 Bái) Thọ) Đơn vị Z (m) ω (m2) b (m) θ =0,55 Δx =7 km Δt =2h Bảng 2.3 (tiếp) Đơn vị Z (m) ω (m2) b (m) θ =0,55 Δx =7 km Δt =2h Yêu cầu:A-Cho sơ đồ ẩn 1-Vẽ sơ đồ với Δx =7 km Δt =2h (trong Yên Bái mặt cắt 0, Phú Thọ mặt cắt 07, Việt Trì mặt cắt 150 Nội dung điều kiện ban đầu mặt cắt hai bên (cho 1h ngày 15/8/71) Tính hai phương trình C M cho 15 mắt lưới 74 Giải hệ phương trình khử đuổi Dùng phương pháp lặp để tìm (Z0+k)j+1 với ε ≤ 5% Vẽ, so sánh với thực tế Z, đánh giá, kiến nghị B- Cho sơ đồ hiện: Δx =7 km Δt = phút 75 ... suất phương trình moment Phương trình moment viết dạng tính tốn, thí dụ dịng chảy ổn định không ổn định đồng dạng đa dạng Trong phương trình liên tục ∂A = cho dịng ổn định gia nhập khu q = cho dạng. .. =0 ∂t ∂l (2.5 ) Đây phương trình Saint Venant thứ phương trình liên tục dòng chảy * Nếu thay Q = V ω (2.5 ) có dạng: ∂ (Vω ) ∂H +B =0 ∂l ∂t Hoặc ω∂V V∂ω ∂H + +B =0 ∂l ∂l ∂t 2.2 .2 Phương trình cân... vùng triều: quan hệ Q - Z có dạng xoắn ốc 2.2 Phương trình vi phân dịng khơng ổn định thay đổi chậm 2.2 .1 Phương trình liên tục Phương trình liên tục thể mối quan hệ yếu tố thuỷ lực liên tục môi