1 C1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 1 Ma trận 2 Định thức 3 Ma trận nghịc đảo 4 Hạng của ma trận 2 1. MA TRẬN 1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.1.1. Định nghĩa ma trận: Một bảng số chữ nhật có m hàng và n cột gọi là ma trận cấp m x n              mn 2 m 1 m n22221 n11211 a aa a aa a aa A • a ij là phần tử của ma trận A ở hàng i cột j. • A = [a ij ] m x n = (a ij ) m x n 3 1. MA TRẬN 1.1.2. Ma trận vuông:  Ma trận vuông: Khi m = n , gọi là ma trận vuông cấp n              nn 2 m 1 n n22221 n11211 a aa a aa a aa A • a 11 ,a 22 ,…a nn được gọi là các phần tử chéo. • Đường thẳng xuyên qua các phần tử chéo gọi là đường chéo chính. 4 1. MA TRẬN  Ma trận tam giác trên: aij = 0 nếu i > j              nn n222 n11211 a 00 a a0 a aa A              nn n222 n11211 a a a a aa A  Ma trận tam giác dưới: aij = 0 nếu i < j              nn 2 m 1 n 2221 11 a aa 0 aa 0 0a A              nn 2 m 1 n 2221 11 a aa aa a A 5 1. MA TRẬN  Ma trận chéo: aij = 0 nếu i ≠ j              nn 22 11 a 00 0 a0 0 0a A              nn 22 11 a a a A  Ma trận đơn vị: I = [a ij ] n x n với a ii =1; a ij = 0, i≠j              1 00 0 10 0 0 1 I 6 1. MA TRẬN 1.1.3. Vectơ hàng(cột): Ma trận chỉ có một hàng(cột) 1.1.4. Ma trận không:              0 00 0 00 0 0 0 1.1.4. Ma trận bằng nhau: A=B 1) A=[a ij ] m x n ; B=[b ij ] m x n 2) a ij = b ij với mọi i,j 7 1. MA TRẬN 1.1.5. Ma trận chuyển vị: A=[a ij ] m x n => A T =[a ji ] n x m              3125171811 2819201513 241618149 30 27 15 12 10 A 8 1. MA TRẬN 1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN: 1.2.1. Phép cộng hai ma trận 1. Định nghĩa: A=[a ij ] mxn ; B=[b ij ] mxn => A+B =[a ij +b ij ] mxn                   3141 2 2 3 1 2315 4 1 3 2 2. Tính chất: •A + B = B + A • (A + B) + C = A + (B + C) •  + A = A • Nếu gọi -A = [-a ij ] m x n thì ta có -A + A =  9 1. MA TRẬN 1.2.2. Phép nhân một số với ma trận: 1. Định nghĩa: cho A=[a ij ] m x n , kR => kA=[ka ij ] m x n               4012 3502 1321 A 2. Tính chất: cho k, h  R: • k(A + B) = kA + kB • (k + h)A = kA + hA Tính 2A? 10 1. MA TRẬN 1.2.3. Phép nhân hai ma trận: 1. Định nghĩa : A=[a ik ] m x p ; B=[b kj ] p x n => C=[c ij ] m x n :    p 1 k kjikpjip2ji21ji1ij baba babac                     1203 0112 1 3 2 1 023 112 Ví dụ: Tính tích 2 ma trận sau: [...]... cột gọi là ma trận con cấp p của A • Định thức của ma trận con đó gọi là định thức con cấp p của A Ví dụ: Tìm các ma trận con A 2  1 3 4 A 2 1 1 4     1  2 1  2   29 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.2 Hạng của ma trận: • Định nghĩa: Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của A Nếu r là hạng của ma trận nếu: • Trong A tồn tại một định con cấp r khác 0 • Mọi định thức con cấp... (hay hai cột) của một định thức ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu 17 2 ĐỊNH THỨC • Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì bằng không • Tính chất 4: Một định thức có một hàng (hay một cột) toàn là số không thì bằng không • Tính chất 5: Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số k thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k Hệ... an1 am2 ann  a11a22 ann 21 2 ĐỊNH THỨC 2.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC: • Phương pháp 1: Dùng định nghĩa • Phương pháp 2: Sử dụng các biến đổi sơ cấp Biến đổi sơ cấp Tác dụng Lý do Nhân một hàng với một số k≠0 Định thức nhân với k TC 5 Đổi chỗ hai hàng Định thức đổi dấu Cộng k lần hàng r vào hàng s Định thức không đổi TC 9 TC 2 22 2 ĐỊNH THỨC Ví dụ: Tính định thức bằng hai phương pháp: 5 6 7...   " ai"2 ain    an2 ann   19 2 ĐỊNH THỨC • Tính chất 8: Nếu định thức có một hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác thì định thức ấy bằng không • Tính chất 9: Khi ta công bội k của một hàng vào một hàng khác thì được một định thức mới bằng định thức cũ 2 1 3 det( A )  4 5 7 6 1 5 20 2 ĐỊNH THỨC • Tính chất 10: Các định thức của ma trận tam giá bằng tích các phần tử chéo a11 a12... hàng 3, 4… 34 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.4 Các phương pháp tìm hạng ma trận 4.4.1 Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa Bước 1: Tính các định thức con cấp p cao nhất có trong A: - Nếu gặp một định thức khác 0 thì kết luận ngay rankA bằng cấp của định thức đó - Nếu tất cả các định thức đều bằng 0 thì tiếp tục bước 2 Bước 2: Tính các định thức con cấp p-1 có trong A: - Nếu gặp một định thức khác 0 thì ta kết luận... là phần bù đại số của aij 15 2 ĐỊNH THỨC • Định thức cấp n của A là: det(A) = a11C11 + a12C12 + …+ a1nC1n n n 1 j det( A )   a1jC1j   ( 1) j1 a1j det( A1j ) j1 Ví dụ: Sử dụng định nghĩa hãy tính định thức: 1 2 3 A  4 5 6 7 8 9 16 2 ĐỊNH THỨC 2.2 TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC: • Tính chất 1:AT=A Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng của một định thức thì nó vẫn còn đúng khi trong... một dòng của ma trận một dòng khác đã nhân với một số thực 3 Đổi chỗ hai dòng của ma trận cho nhau Để tìm ma trận nghịch đảo dùng các phép biến đổi sơ cấp sau cho: [A│I] = [I│A-1] 27 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Ví dụ: tìm ma trận nghịch đảo: 1 1 2 A  1 2 2   2 4 3    28 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.1 Ma trận con: ma trận A cấp m x n, gọi p là một số nguyên dương, p . MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 1 Ma trận 2 Định thức 3 Ma trận nghịc đảo 4 Hạng của ma trận 2 1. MA TRẬN 1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.1.1. Định nghĩa ma trận: Một bảng số chữ nhật có m hàng và n cột gọi là ma. định thức ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu. 18 2. ĐỊNH THỨC • Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì bằng không. • Tính chất 4: Một định thức. (-1) i+j det(A ij ) là phần bù đại số của a ij • A là ma trận vuông cấp n: 16 2. ĐỊNH THỨC Ví dụ: Sử dụng định nghĩa hãy tính định thức: 987 654 321 A   • Định thức cấp n của A là: det(A) = a 11 C 11 +