1 C3. HÀM NHIỀU BIẾN 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x 1 , x 2 ,… x n ) (x i  R, i = 1, n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là R n . R n = {x = (x 1 , x 2 ,… x n ): x i  R, i = 1, n} Trong đó x i là toạ độ thứ i của điểm x. 2 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Khoảng cách 2 điểm: x = (x 1 ,x 2 ,… x n ), y = (y 1 ,y 2 ,… y n )  R n :    n 1 i 2 ii )yx()y,x(d Một số tính chất của d: a) d(x,y)  0; d(x,y) = 0  x i = y i , I  x = y b) d(x,y) = d(y,x) c) d(x,y)  d(x,z) + d (z,y) 3 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Điểm biên: Điểm x 0  R n được gọi là điểm biên của D  R n nếu mọi lân cận của x 0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x  D, y  D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D. Lân cận: Cho x 0 R n và số r > 0. Tập S(x 0 , r) = {x  R n : d(x,x 0 ) < r} được gọi là một lân cận của x 0 . Điểm trong: Điểm x 0 R n được gọi là điểm trong của D  R n nếu D chứa một lân cận của x 0 . Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D. Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D. 4 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Hàm 2 biến: D  R 2 , một ánh xạ f: D  R, được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu: ) y , x ( f z ) y , x ( : f   • D: miền xác định • f(D) = {zD: z = f(x,y), (x,y)  D} gọi là miền giá trị Ví dụ: Tìm miền xác định: z = 2x – 3y +5 z = ln(x + y -1) 22 yx1z  Hàm n biến: D  R n , một ánh xạ f: D  R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu: ) x , x , x ( f z ) x , x , x ( : f n 2 1 n 2 1   5 C3. HÀM NHIỀU BIẾN 2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận M 0 (x 0 ,y 0 ), có thể không xác định tại M 0 . Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M 0 (x 0 ,y 0 ), nếu:  > 0,  > 0: d(M,M 0 ) <  => f(M) – L <  2 0 2 0 0 )y-(y)x-(x)Md(M,  L ) M ( f lim 0 MM   L ) y , x ( f lim )y,x()y,x( 0 0   L ) y , x ( f lim 0 0 yy xx    6 C3. HÀM NHIỀU BIẾN • Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến. • Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến. Ví dụ: 22 )0,0()y,x( yx xy lim   22 2 2 )0,0()y,x( yx )yxsin( lim    7 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x 0 ,y 0 ) nếu ) y , x ( f ) y , x ( f lim 00 )y,x()y,x( 0 0   Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D  R 2 thì: • Tồn tại số M: |f(x,y)| ≤ M • f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm số đối với hàm n biến (n≥3) 8 C3. HÀM NHIỀU BIẾN 3. ĐẠO HÀM RIÊNG Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M 0 (x 0 ,y 0 )  D. Nếu cho y = y 0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y 0 ) có đạo hàm tại x = x 0 , được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M 0 . Ký hiệu: )y,x( x z ),y,x( x f ,)y,x(f 000000 ' x     Đặt  x f = f(x 0 + x, y 0 )-f(x 0 ,y 0 ): Số gia riêng của f tại M 0 . x f limf x 0 x ' x      9 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y. y f limf y 0y ' y     Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n3). Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng: 4234 y2yx5xz  y x u  10 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2. )y,x(f x f x f x '' xx 2 2               )y,x(f xy f x f y '' yx 2               )y,x(f yx f y f x '' xy 2               )y,x(f yy f y f y '' yy 2               Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,… [...]...C3 HÀM NHIỀU BIẾN Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M0 hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại M0 Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n3) 11 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng ux, uy, vx,... đạo hàm riêng: z f u f v   x u x v x z f u f v   y u y v y Ví dụ: Tính z = eucosv, u = xy, v = x/y 12 C3 HÀM NHIỀU BIẾN 3 ĐẠO HÀM HÀM ẨN Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình F(x,y) = 0 Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, x  (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0 Ví dụ: xy – ex + ey = 0 13 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến: ... = 0 14 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0 Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f gọi là hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z) = 0 Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến: Fy z z Fx   y Fz x Fz Ví dụ: tính zx, zy nếu xyz = cos(x+y+z) 15 C3 HÀM NHIỀU BIẾN 4 CỰC TRỊ Cực trị tự do: Định nghĩa: Hàm số f(x,y)... là điểm dừng 19 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1 2 2 z  1 x  y Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x1,x2,…xn) với điều kiện g(x1,x2,…xn) = c Hàm Lagrange L = f + (c-g) L1  f1  g1  0 L  f  g  0 2  2 2   L  f  g  0 n  n n L  c  g  0  20 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện: Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai... gy L yx L yy • Nếu |H|>0: f đạt cực đại có điều kiện • Nếu |H|0, |H2|>0: z đạt cực tiểu • Nếu |H1|0: z đạt cực đại Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8, z = x3 + y3 17 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số y = f(x1,x2…xn) Tại những điểm thỏa fx1 = fx1 = … fx1 = 0, giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2, đặt fij  fxix j f11 f12 f1n Ta có định thức Hessian: f11 f12 f21 f22 f2n H1  f11 ,... sao cho f(M)  f(M0), M   (f(M)  f(M0), M  ) F(M0) gọi chung là cực trị Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 Điều kiện cần để có cực trị: Nếu f(x0,y0) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x0,y0) thì: f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0) = 0 16 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y) Tại những điểm thỏa zx = zy 0, ta gọi định thức Hessian: z xx z xy H z yx z yy z xx... z đạt cực tiểu • Nếu |H1|0,… (-1)n|Hn|>0 : z đạt cực đại Ví dụ: Tìm cực trị hàm số y = x3 + y2 + 2z2 -3x - 2y – 4z 18 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Cực trị có điều kiện: Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c gọi là cực trị có điều kiện Định lý: Nếu M0(x0,y0) là cực trị có điều kiện trên Đặt hàm Lagrange: L(x,y,) = f(x,y) + (c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0 thì:... Hessian đóng: 0 g1 g2 gn g1 L11 L12 L1n H  g2 L21 L 22 L2n gn Ln1 Ln2 Lnn • Nếu |H2| . của hàm số đối với hàm n biến (n≥3) 8 C3. HÀM NHIỀU BIẾN 3. ĐẠO HÀM RIÊNG Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M 0 (x 0 ,y 0 )  D. Nếu cho y = y 0 là hằng số, hàm số một biến. đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n3) 12 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm. 0 14 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến: y x F F 'y  Ví dụ: Tính y’ nếu: F(x,y) = x 3 + y 3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – e x + e y = 0 15 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: