Định nghĩa 3.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu tập các giá trị có thể có của X là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Giả sử X nhận các giá trị x 1 , x 2 , …, x n ,… Đặt A k = [w: X = x k ] và ký hiệu xác suất để nhận giá trị x k là p k =P( X = x k ) =P(A k ) ; k = 1, 2,…. Khi đó, P(W) = 1. Định nghĩa 3.2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X được xác định bởi P( X = x k ) = , k = 1, 2, 3, ; Hàm p X (.) được gọi là hàm (mật độ) xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X. Trong một số trường hợp, ta có thể viết phân phối xác suất của X dưới dạng bảng như sau X x 1 x 2 … x n … P(X = x i ) p 1 p 2 … p n … trong đó, 1. Ø Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc X có dạng: F X (x) = ; x Î R. Nếu ta sắp xếp các giá trị x 1 , x 2 , ,x n , theo thứ tự tăng dần, tức là x 1 < x 2 < < x n < thì hàm phân phối của X được viết dưới dạng: * Nhận xét: F X (.) là hàm gián đoạn kiểu bậc thang, tại x i có bước nhảy là p(x i ). Ví dụ 3.3. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau X -1,9 - 0,1 20p 3 4 P p 0,1 0,3 p 4p a- Tìm p và tính b- Xác định hàm phân phối F X (x). Giải. a- Ta có p + 0,1 + 0,3 + p + 4p = 1 => p = 0,1. = 0, 1+ 0,3 + 0,1 = 0,5 b- Hàm phân phối Ví dụ 3.4. Một túi chứa 8 tấm thẻ đỏ; 4 tấm thẻ vàng và 2 thẻ xanh. Chọn ngẫu nhiên ra 2 tấm thẻ. Giả sử mỗi thẻ vàng chọn ra được 2 điểm; mỗi thẻ đỏ bị trừ đi 1 điểm và thẻ xanh không có điểm. Gọi Y là số điểm tổng cộng trong số 3 thẻ được rút ra. Tìm phân phối xác suất của Y. Giải. X nhận các giá trị -2; -1; 0; 1; 2; 4. Ta có P(chọn 2 thẻ đỏ) P(chọn 1 thẻ đỏ +1 thẻ xanh) P(chọn 2 thẻ xanh) P(chọn 1 thẻ đỏ +1 thẻ vàng) P(chọn 1 thẻ vàng+1thẻ xanh) P(chọn 2 thẻ vàng) Vậy bảng phân phối xác suất của X là X - 2 - 1 0 1 2 4 P 4. Biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa 4.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối nếu hàm phân phối của nó có dạng F(x) = , x Î R. Hàm dưới dấu tích phân f(x) được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X. Tính chất 4.2.  f(x)   P(X = x) = 0  tại các điểm liên tục của f(x).  = Ví dụ 4.3. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) = , a- Tìm a và xác định hàm phân phối F(x). b- Tính P(-1 £ X < 1). Giải. a- Ta có <=> <=> . * Hàm phân phối F(x) = = b- P[- 1 £ X < 1] = F(1) – F(-1) = = Ví dụ 4.4. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác định bởi a- Tìm k và xác định hàm phân phối F(x). b- Tính P( X > 0,5). Giải. a- Ta có <=> => k = 6. * Hàm phân phối b- P(X > 0,5) = Ví dụ 4.5. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác định bởi Tìm a và xác định hàm mật độ f(x). Giải. Do hàm F(x) liên tục tại điểm x = 0 nên 0 = F(0) = 1 – a => a = 1.Có f(x) = F’(x) = . +1 thẻ vàng) P(chọn 1 thẻ vàng+1thẻ xanh) P(chọn 2 thẻ vàng) Vậy bảng phân phối xác suất của X là X - 2 - 1 0 1 2 4 P 4. Biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa 4.1. Biến ngẫu nhiên X. 4.3. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) = , a- Tìm a và xác định hàm phân phối F(x). b- Tính P (-1 £ X < 1). Giải. a- Ta có <=> <=> . * Hàm phân phối F(x) = = b- P [- 1 £. F (-1 ) = = Ví dụ 4.4. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác định bởi a- Tìm k và xác định hàm phân phối F(x). b- Tính P( X > 0,5). Giải. a- Ta có <=> => k = 6. * Hàm phân phối