Tóm tắt ví dụ Phần Tích phân phức Phép biến đổi Laplace Tóm tắt ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM Chú ý Số mục thứ tự ví dụ giữ nguyên Bài giảng Chương TÍCH PHÂN HÀM PHỨC §2 ĐỊNH LÝ CAUCHY 2.1 Định lý Cauchy cho miền đơn liên a) Định lý Nếu hàm f (z ) giải tích miền đơn liên D liên tục biên C ≡ ∂D thì: ∫ f (z )dz = C VD Hàm f (z ) = z giải tích D : | z | ≤ liên tục biên ∂D nên z +4 zdz = z +4 |z | =1 ∫ b) Hệ • Nếu hàm f (z ) giải tích miền đơn liên D C đường cong kín nằm D ∫ f (z )dz = C • Nếu hàm f (z ) giải tích miền đơn liên D , tích phân ∫ f (z )dz với đường cong C nằm D có C điểm đầu điểm cuối nhận giá trị VD Tính tích phân I = ∫ 2z dz , C cung y = x − 3x nối z = với z = − 2i C Giải Đoạn thẳng OA nối z = với z = − 2i có phương trình: z (t ) = t − 2it, t : → Do f (z ) = 2z giải tích ℂ nên: I = ∫ 2z dz = ∫ 2z dz C = ∫ 2(t − 2it )(1 − 2i)dt = (1 − 2i )2 t = −3 − 4i 0 OA 2.2 Định lý Cauchy cho miền đa liên a) Định lý Cho miền D − n liên ( n > ) có biên ∂D gồm C 1,C , ,C n , C bao chu tuyến khác chu tuyến C , ,C n nằm Nếu f (z ) giải tích D liên tục D = D ∪ ∂D thì: ∫ f (z )dz = ∫ f (z )dz + + ∫ f (z )dz C1 C2 Cn b) Định lý Với giả thiết định lý 1, ta có: ∫ f (z )dz = ∂D Hệ (tính bất biến biến dạng chu tuyến) Nếu chu tuyến C biến dạng liên tục mà không vượt qua điểm kỳ dị f (z ) để trở thành chu tuyến C thì: ∫ f (z )dz = ∫ f (z )dz C1 C2 VD Khảo sát tích phân I n = dz ∫ (z − a ) n , C đường cong kín khơng qua điểm a n ∈ ℤ C Giải • Trường hợp 1: điểm a nằm ngồi C Tóm tắt ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM giải tích miền đóng D có biên C nên I n = (định lý 2) (z − a )n • Trường hợp 2: điểm a nằm C Ta chọn r đủ bé để đường tròn C r tâm a , bán kính r nằm C Do hàm f (z ) = Phương trình tham số C r là: z = a + re iϕ (ϕ ∈ [0;2π ]) Áp dụng hệ quả, ta được: I n = ∫ Cr dz = (z − a )n 2π ∫ 2π ire iϕd ϕ i = n −1 iϕ n (re ) r ∫e i (1−n )ϕ dϕ 2π Với n = I = i ∫ d ϕ = 2πi 2π e i (1−n )ϕ Với n ≠ I n = n −1 = r (1 − n ) Vậy ∫ C 2πi, n = a nằm C  dz =   0, trường hợp lại (z − a )n   §4 CƠNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY 4.1 Định lý (cơng thức tích phân Cauchy) Giả sử hàm f (z ) giải tích miền giới nội D liên tục miền D = D ∪ ∂D Khi đó, giá trị f (z ) điểm z ∈ D biễu diễn qua giá trị biên ∂D theo công thức tích phân Cauchy: f (z ) = VD Tính tích phân I = 2πi f (z ) ∫ z −z ∂D dz dz z +1 |z −i| =1 ∫ Giải Hàm dấu tích phân có điểm bất thường z = i nằm đường tròn | z − i | = Do I = f (z ) dz , với hàm f (z ) = giải tích hình trịn | z − i | < z −i z +i |z −i| =1 ∫ Áp dụng cơng thức tích phân Cauchy, ta có: f (z )dz 2πi f (i ) = ∫ z − i = 2πi I ⇒ I = 2πi.f (i) = 2i = π 2πi |z −i|=1 e izdz VD Tính tích phân I = ∫ , đó: a) C : | z − | = ; b) C : | z − i | = 4z − π C Giải π a) Hàm dấu tích phân có điểm bất thường z = nằm C iz e f (z )dz , với hàm f (z ) = giải tích | z − | < Do I = ∫   π z + π  C z −  4   2   Tóm tắt ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM π π cos + i sin π  2 = −1    Vậy I = 2πi.f   = 2πi  2 4π  e iz π có điểm bất thường z = ± nằm C Xét miền đa liên hình vẽ áp dụng 2 4z − π định lý Cauchy cho miền đa liên, ta có: e iz dz e iz dz I =∫ +∫ 4z − 2π π C 4z + 2π π C1 z+ z− 2 b) Hàm w = Vậy I = 2πi e iz e iz + 2πi = −1 4z − 2π z =− π 4z + 2π z = π 2 4.2 Hệ (cơng thức Cauchy cho đạo hàm hàm giải tích) Giả sử hàm f (z ) giải tích miền giới nội D liên tục miền D = D ∪ ∂D Khi đó, hàm f (z ) có đạo hàm cấp điểm z miền D biễu diễn qua công thức tích phân Cauchy: f (n )(z ) = VD Tính tích phân I = Giải Do hàm w = n! 2πi f (z )dz ∫ (z − z ) n +1 ∂D , n = 1, 2, sin πz dz (z − 1)2 |z −1| =1 ∫ sin πz có điểm bất thường z = nằm C : | z − | = , nên ta có: (z − 1)2 I = f (z ) sin πz dz , với f (z ) = giải tích hình tròn | z − | < (z − 1) (z + 1)2 |z −1|=1 ∫ Áp dụng hệ 1, ta được: I = sin πz 2πi π cos πz (z + 1)2 − 2(z + 1)sin πz dz = f ′(1) = 2πi ∫ (z − 1)2 1! (z + 1)4 |z −1| =1 VD Tính tích phân I = Giải Do hàm w = =− z =1 z4 ∫ (z − i)3 dz |z |=2 z4 có điểm bất thường z = i nằm C : | z | = , nên ta có: (z − i )3 I = f (z ) dz , với f (z ) = z giải tích hình trịn | z | < (z − i ) |z |=2 ∫ Áp dụng hệ 1, ta được: I = z4 2πi 2πi ∫ (z − i)3 dz = 2! f ′′(i) = 12z z =i − 12i π |z | =2 i π2 Tóm tắt ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM Chương Chuỗi Thặng dư §2 THẶNG DƯ 2.1.3 Cách tìm cực điểm cấp m Cho z = a ≠ ∞ điểm bất thường cô lập f (z ) Nếu lim f (z ) = L ≠ ∞ z = a cực điểm cấp z →a lim f (z ) = ∞   Nếu  z →a z = a cực điểm cấp m lim[(z − a )m f (z )] = L ∈ ℂ \ {0}  z →a   Nếu lim f (z ) khơng tồn z = a điểm bất thường cốt yếu z →a sin2 z VD Tìm phân loại điểm bất thường lập f (z ) = z (z − 1)3 Giải Hàm f (z ) có điểm bất thường z = z =   sin z     = −1 ≠ ∞ nên z = cực điểm cấp f (z )   • Do lim f (z ) = lim    z →0 z → (z − 1)3  z       • Ta có: lim f (z ) = ∞ ≠ lim[(z − 1)3 f (z )] = sin2 ≠ ∞ Suy z = cực điểm cấp z →1 z →1 VD Xác định điểm bất thường cô lập f (z ) = cos Giải Hàm f (z ) có điểm bất thường cô lập z = i Do lim cos z →i z −i không tồn nên z = i điểm bất thường cốt yếu z −i 2.1.4 Điểm bất thường cô lập vô • Giả sử hàm f (z ) giải tích miền r < | z | < +∞ với r > khơng giải tích z = ∞ 1 1 f (z ) = f   = g(t ) Khi g (t ) giải tích miền < | z | < nên có khai triển Laurent    t  z r   • Trong khai triển Laurent g (t ) , tùy theo t = cực điểm bỏ được, cực điểm cấp m hay điểm bất thường cốt yếu ta có z = ∞ cực điểm tương ứng f (z ) Đặt t = VD Xác định điểm bất thường cô lập z = ∞ của: a) f (z ) = cos ; b) g (z ) = e z ; z c) Pm (z ) = a 0z m + a1z m −1 + + am , a ≠ Giải a) Đặt t = t t , ta có: cos t = − + − nhận t = làm không điểm z 2! ! Vậy z = ∞ không điểm f (z ) 1 1 b) Đặt t = , ta có: e t = + + + nhận t = làm điểm bất thường cốt yếu z t 2! t 3! t Vậy z = ∞ điểm bất thường cốt yếu g (z ) 1 a a c) Đặt t = , ta có: Pm   = m + m 1 + + am , a ≠ nhận t = làm cực điểm cấp m   t  t z t −    Vậy z = ∞ cực điểm cấp m Pm (z ) Tóm tắt ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM 2.2 THẶNG DƯ 2.2.2 Phương pháp tính thặng dư Cách Dùng định nghĩa, ta có: khai triển f (z ) quanh điểm z = a ) z −a (hệ số khai triển f (z ) quanh điểm z = ∞ ) z Res[ f (z ), a ] = c−1 (hệ số Res[ f (z ), ∞] = −c−1 Cách Dùng cực điểm Nếu a ≠ ∞ cực điểm đơn thì: Res[ f (z ), a ] = lim[(z − a )f (z )] z →a Nếu a ≠ ∞ cực điểm cấp m (m ≥ 2) thì: Res[ f (z ), a ] = lim[(z − a )m f (z )](m−1) (m − 1)! z →a Chú ý 1) Nếu a ≠ ∞ cực điểm đơn f (z ) = h(z ) với g (a ) = , h(a ) ≠ , g ′(a ) ≠ thì: g(z ) Res[ f (z ), a ] = 2) Khi tính giới hạn có dạng h(z ) h(a ) = g ′(z ) z =a g ′(a ) , ta dùng quy tắc L’Hospital VD Tính Res[ f (z ), 2] f (z ) = z − 2z + z −2 Giải Cách Ta có: Vậy Res[ f (z ), 2] = c−1 z − 2z + 3 = + (z − 2) + (0 < | z − | < ∞) z −2 z −2 = Cách Ta có z = cực điểm đơn f (z ) nên: Res[ f (z ), 2] = lim[(z − 2)f (z )] = lim(z − 2z + 3) = z →2 Hoặc Res[ f (z ), 2] = z →2 z − 2z + = (z − 2)′ z =2 VD Tính Res[ f (z ), 1] f (z ) = z (z − 1)2 Giải 1 1 Cách Ta có: = = 2 z (z − 1) (z − 1) − (1 − z ) (z − 1)2 = 1 + (1 − z ) + (1 − z )2 +    1 − + − (0 < | z − | < 1) z −1 (z − 1) Vậy Res[ f (z ), 1] = c−1 = −1 Tóm tắt ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM Cách Ta có: lim f (z ) = ∞ lim[(z − 1)2 f (z )] = ⇒ z = cực điểm cấp z →1 z →1 Vậy Res[ f (z ), 1] =  ′ 1 lim[(z − 1)2 f (z )]′ = lim   = − lim = −1   z →1 z →1  z  z →1 z 1!    z 3z 15 b) g (z ) = z +1 VD 10 Tính Res[ f (z ), ∞] hàm: a) f (z ) = e ; Giải z  2   = + + + ⇒ c =   −1   z z2 n =0 n !  z  ∞ n a) Ta có: e = ∑ Vậy Res[ f (z ), ∞] = −c−1 = −2 b) Ta có: f (z ) = 3z 15 = 3z z8 +1 ∞ (−1)n 3 = 3z ∑ 8n = 3z − + − ⇒ c−1 = −3 −1 z z n =0 z 1− z Vậy Res[ f (z ), ∞] = −c−1 = ez VD 11 Tìm thặng dư f (z ) = điểm bất thường cô lập hữu hạn z +1 Giải Hàm f (z ) có hai cực điểm đơn z = ±i Ta có: Res[ f (z ), i ] = ez ez = 2z (z + 1)′ z =i VD 12 Tìm thặng dư f (z ) = Giải Hàm f (z ) = = z =i ei ez ; Res[ f (z ), −i ] = =− i 2i (z + 1)′ z =−i 2ie sin z + điểm bất thường cô lập hữu hạn z4 sin z + có z = cực điểm cấp z4 Vậy Res[ f (z ), 0] =  sin z + 1′′′  1  = − lim cos z = − lim z     3! z →0  z →0 z  …………………………… §3 ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ 3.1 Tính tích phân dọc theo đường cong kín Định lý Nếu hàm f (z ) giải tích miền đóng D giới hạn đường cong Jordan kín C trừ số hữu hạn điểm a1 , a2 , …, an bất thường cô lập nằm D thì: ∫ C VD Tính tích phân I = n f (z )dz = 2πi.∑ Res[ f (z ), ak ] k =1 ez ∫ z + dz |z |=2 Tóm tắt ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM ez có điểm bất thường lập z = ±i nằm hình trịn D : | z | ≤ z2 + Áp dụng định lý 1, ta có:  ez  ez    I = 2πi Res[ f (z ), i ] + Res[ f (z ), −i ] = 2πi  +    (z + 1)′ ′ z =−i   (z + 1)  z =i Giải Hàm f (z ) = ( ) e i − e −i    = 2πi sin = 2πi     2i     VD Tính tích phân I = z +2 dz (z − 1)2 (z + 1) |z −1|=1 ∫ z +2 có cực điểm cấp z = nằm hình tròn D : | z − | ≤ (z − 1)2 (z + 1) Áp dụng định lý 1, ta có: Giải Hàm f (z ) =  z + ′  = −i π  I = 2πi.Res[ f (z ), 1] = 2πi.lim     z →1  z +   Định lý Nếu f (z ) giải tích tồn mặt phẳng phức trừ số hữu hạn điểm a1, a , , an bất thường lập thì: n ∑ Res[ f (z ), a k =1 VD Tính tích phân I = Giải Hàm f (z ) = k ] + Res[ f (z ), ∞] = dz z +1 |z |=2 ∫ có điểm bất thường cô lập ak , k = 1, bậc −1 z +1 Ta có: 1 ∞ (−1)n 1 = ∑ n = − + 12 − ⇒ c−1 = ⇒ Res[ f (z ), ∞] = −1 z n =0 (z ) z z z 1− z Áp dụng định lý 2, ta được: I = −2πi.Res[ f (z ), ∞] = f (z ) = z4 z4 VD Tính tích phân I = ∫ dz 2z − |z |=1 z4 Giải Hàm f (z ) = có điểm bất thường cô lập ak , k = 1, bậc 2z − ∞ z 1 1 1 Ta có: f (z ) = = = ∑ = + + 11 + 2z 4z 2z n =0 (2z )n 8z 2z − 2z 1− 2z 1 ⇒ c−1 = ⇒ Res[ f (z ), ∞] = − 2 Áp dụng định lý 2, ta được: I = −2πi.Res[ f (z ), ∞] = πi Tóm tắt ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM 3.2 Tính tích phân hàm lượng giác 2π Dạng tích phân I = ∫ π R(cos t, sin t )dt hoaëc I = ∫ R(cos t, sin t )dt −π Trong đó, R(cos t, sin t ) hàm hữu tỉ theo sin cosin Phương pháp giải dz , iz e it + e −it (e it )2 + z + cos t = = = , 2z 2e it e it − e −it (e it )2 − z − sin t = = = 2i 2iz 2ie it • Khi t biến thiên từ đến 2π (hoặc từ −π đến π ) z biến thiên đường tròn đơn vị | z | = | e it | = • Đặt z = e it , ta có: dz = ie itdt ⇒ dt = Suy ra, tích phân có dạng: I = ∫ n f (z )dz = 2πi ∑ Res[ f (z ), ak ] k =1 |z |=1 ( ) Trong ak k = 1, n điểm bất thường lập nằm hình trịn | z | < 2π VD Tính tích phân I = dt ∫ + sin t Giải Đặt z = e it ⇒ dt = dz , ta có: iz dz dz iz I = ∫ = 2∫ 2 z −1 z + 4iz − |z |=1 |z |=1 2+ 2iz Hàm f (z ) = ( π VD Tính tích phân I = ∫ Giải Đặt z = e it ⇒ dt = π dt − cos t dz , ta có: iz dt I = ∫ = ∫ −π − cos t |z |=1 Hàm f (z ) = ) có điểm a = −2 + i cực điểm đơn nằm hình trịn | z | < z + 4iz − z −a (z − a )′ 2π Vậy I = 2.2πi.Res[ f (z ), a ] = 4πi lim = 4πi lim = z →a z + 4iz − z →a (z + 4iz − 1)′ dz dz dz iz =− ∫ =i∫ i |z |=1 z − 6z + z − 6z + z +1 |z |=1 3− 2z có điểm a = − 2 cực điểm đơn nằm hình trịn | z | < z − 6z + z −a (z − a )′ π = −2π.lim = Vậy I = i.2πi.Res[ f (z ), a ] = −2π lim z →a z − 6z + z →a (z − 6z + 1)′ 2 Tóm tắt ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS Đồn Vương Ngun – ĐHCN Tp.HCM 3.3 Tính tích phân suy rộng +∞ 3.3.1 Dạng suy rộng ∫ f (x )dx −∞ b) Ứng dụng Cho f (z ) giải tích nửa mặt phẳng (trừ số hữu hạn điểm bất thường cô lập a1, a2 , , an ) Nếu f (x ) = P (x ) , với bậc P (x ) ≤ (bậc Q(x ) + ) thì: Q(x ) +∞ ∫ n f (x )dx = 2πi ∑ Res[ f (z ), ak ] k =1 −∞ +∞ VD Tính tích phân I = Giải Hàm f (z ) = dx x +1 −∞ ∫ π 3π i i có cực điểm đơn a1 = e a2 = e nằm nửa mặt phẳng phía z4 + Ta có:  z −a z −a    I = 2πi Res[ f (z ), a1 ] + Res[ f (z ), a2 ] = 2πi lim + lim  z →a1 z + z →a2 z + 1     π 3π      i a  1  πi  1  πi  a πi  i  π       = 2πi lim + lim  =  +  =  +  = − e + e  =     4 z →a1 4z   z →a2 4z    a  a1  2 a2  a2       { } +∞ VD Tính tích phân I = Giải Hàm f (z ) = dx (x + 1)2 −∞ ∫ 1 = có cực điểm cấp hai z = i nằm nửa mặt phẳng 2 (z + 1) (z − i ) (z + i )2 Ta có: I = 2πi.Res[ f (z ), i ] = 2πi lim[(z − i )2 f (z )]′ z →i  ′  = 2πi.lim −2 = 2πi = π = 2πi.lim  z →i (z + i )2  z →i (z + i )3 4i   +∞ 3.3.2 Dạng suy rộng I = ∫ +∞ f (x )cos αx dx , I = −∞ ∫ f (x ) sin αx dx −∞ b) Ứng dụng +∞ • Bước Tính: I + iI = ∫ n f (x )e iαxdx = 2πi ∑ Res[ f (z )e iαz , ak ] k =1 −∞ Trong đó, ak điểm bất thường nằm nửa mặt phẳng • Bước Cân phần thực phần ảo, ta có I I VD Tính tích phân sau: +∞ +∞ x cos x x sin x I1 = ∫ dx , I = ∫ dx x − 2x + 10 x − 2x + 10 −∞ −∞ Tóm tắt ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học Giải Hàm f (z ) = ThS Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM z thỏa bổ đề có cực điểm đơn nằm nửa mặt phẳng + 3i z − 2z + 10 Ta có:  ze iz  π   = e −3 (1 + 3i )e i I + iI = 2πi.Res[ f (z )e iz , + 3i ] = 2πi    2z −      z =1+3i π −3 π e (cos1 − 3sin1) + i e −3 (3 cos1 + sin1) 3 π π Vậy I = e −3 (cos1 − 3sin1), I = e −3 (3 cos1 + sin1) 3 ………………………… = Chương Phép biến đổi Laplace §1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 1.2 Định nghĩa phép biến đổi Laplace a) Định nghĩa • Hàm ảnh hàm gốc f (t ) hàm phức F (s ) biến số phức s = α + i β xác định tích phân Laplace: +∞ F (s ) = ∫e −st f (t )dt • Phép biến đổi từ hàm gốc f (t ) sang hàm ảnh F (s ) xác định công thức gọi phép biến đổi Laplace Ký hiệu F (s ) = L{f (t )} 1.3 Biến đổi Laplace số hàm thông dụng a) Hàm bậc thang đơn vị u(t) L{u(t )} = L(1) = s b) Hàm f(t) = eat, f(t) = e – at (a số phức) L(eat ) = 1 , L(e −at ) = s −a s +a c) Hàm f(t) = tn L(t n ) = n! , n ∈ ℤ+ n +1 s d) Hàm lượng giác f(t) = cosat, f(t) = sinat L(cos at ) = s a , L(sin at ) = s +a s + a2 ……………………………………… §2 TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.1 Tính chất tuyến tính Nếu L{f (t )} = F (s ) L{g(t )} = G (s ) L{a.f (t ) + b.g(t )} = aF (s ) + bG (s ) Trong đó, a b số phức 10 Tóm tắt ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học VD L(3t − 2t ) = L(3t ) + L(−2t ) = 3.L(t ) − 2.L(t ) = ThS Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM 4! 72 − 2s − = s5 s s5 2.2 Tính chất dời (dịch chuyển ảnh) (biến đổi hàm e −at f (t ) ) Nếu L{f (t )} = F (s ) , với a số phức, thì: L{e −at f (t )} = F (s + a ) VD Do L(t n ) = n! n! = F (s ) nên L(t ne −at ) = F (s + a ) = n +1 s (s + a )n +1 VD Tìm biến đổi Laplace hàm: a) g (t ) = e −2t cos 3t ; b) g (t ) = e 3t sin 2t Giải a) Ta có: L(cos 3t ) = s s +2 = F (s ) Vậy L(e −2t cos 3t ) = F (s + 2) = s2 + (s + 2)2 + b) Ta có: L(sin 2t ) = 2 = F (s ) Vậy L(e 3t sin 2t ) = F (s − 3) = s +4 (s − 3)2 + 2.3 Tính chất trễ (dời theo t) (biến đổi hàm u(t − T ).f (t − T ) ) L{u(t − T ).f (t − T )} = e −sT F (s ) 0, t < T  Trong u(t − T ) =   1, t ≥ T   Chú ý +∞ 1) L{u(t − T )} = ∫ T e −stdt = e −sT s 2) Cần tránh nhầm lẫn hàm u(t − T ).f (t − T ) f (t − T ) (hàm f (t − T ) thực chất u(t ).f (t − T ) ) VD Tìm biến đổi Laplace hàm: sin(t − 2), t ≥  a) f (t ) =  ;  0, t