“Phương trình bậc hai và ứng dụng” Chương 1. NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1.1. Định nghĩa phương trình bậc hai 1.1.1. Phương trình một ẩn x Là biểu thức có dạng )x(g)x(f = . Trong đó: - )x(g),x(f là các hàm số. - Điều kiện của phương trình là tập xác định của hai hàm số f(x) và g(x). Kí hiệu là D. - Nếu Dx 0 ∈ sao cho )x(g)x(f 00 = là đẳng thức đúng thì 0 x là nghiệm của phương trình. - S được gọi là tập nghiệm của phương trình. Nếu ∅=S thì ta nói phương trình vô nghiệm. 1.1.2. Phương trình bậc hai Là phương trình một ẩn x có dạng )1()0a(0cbxax 2 ≠=++ . Tập hợp S là tập nghiệm của phương trình (1). Có 3 trường hợp: - Nếu (1) vô nghiệm thì ( ) )0k.a(kxacbxax 2 2 >+α−=++ . - Nếu (1) có một nghiệm 0 x thì ( ) 2 0 2 xxacbxax −=++ . - Nếu (1) có hai nghiệm 21 x,x thì ( )( ) 21 2 xxxxacbxax −−=++ . 1.2. Giải và biện luận phương trình bậc hai 1.2.1. Giải và biện luận phương trình bậc hai (*)0cbxax 2 =++ . - Nếu 0a = thì 0cbx(*) =+⇔ + 0b ≠       −=⇒ b c S + 0c,0b ≠= ∅=⇒ S + 0c,0b == RS =⇒ - Nếu 0a ≠ , xét biệt thức ac4b 2 −=∆ . Biện luận nghiệm theo dấu của ∆ : + 0<∆ ∅=⇒ S + 0=∆       −=⇒ a2 b S . Khi đó 1 + 0>∆       ∆+−∆−− =⇒ a2 b ; a2 b S 1.2.2. Số nghiệm của phương trình Tìm giá trị của tham số để phương trình (*)0cbxax 2 =++ có số nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước. Phương trình (*): - Có nghiệm kép    =∆ ≠ ⇔ 0 0a - Có một nghiệm    =∆≠ ≠= ⇔ 0,0a 0b,0a - Có hai nghiệm phân biệt    >∆ ≠ ⇔ 0 0a - Có nghiệm      ≥∆≠ ≠= === ⇔ 0,0a 0b,0a 0cba - Vô nghiệm      <∆≠ ≠== === ⇔ 0,0a 0c,0ba 0cba Chú ý: Nếu 0ac < thì (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt (không cần tính ∆ ). 1.2.3. Quan hệ các nghiệm giữa hai phương trình Định tham số để hai phương trình sau có nghiệm chung    =++ =++ )2(0cxbxa )1(0cxbxa 22 2 2 11 2 1 Phương pháp: * Cách 1: Khi (1) và (2) đơn giản ta giải theo hai bước: Bước 1: Giả sử α là nghiệm chung ta có:    =+α+α =+α+α )2(0cba )1(0cba 22 2 2 11 2 1 . Dùng phương pháp thế tìm tham số. Bước 2: Thử lại các giá trị của tham số đã tìm được ở bước 1 để kết luận. * Cách 2: Giải theo hai bước Bước 1: Đặt yx 2 = . Đưa về bài toán giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: 2    =++ =++ )'2(0cxbya )'1(0cxbya 222 111 Bước 2: Chọn tham số ở bước 1 thỏa mãn điều kiện sau:      ≥−=∆ ≥−=∆ = 0ca4b 0ca4b xy 22 2 22 11 2 11 2 1.2.4. Bài tập tương tự 1.3. Định lý Viét và ứng dụng 1.3.1. Nội dung định lý Viét 1.3.1.1. Định lý thuận Phương trình bậc hai 0cbxax 2 =++ có 2 nghiệm 21 x,x thì:        == −=+= a c xxP a b xxS 21 21 1.3.1.2. Định lý đảo ( )    = =+ Pxy Syx :y,x y,x⇒ là nghiệm của phương trình 0PSXX 2 =+− (Với điều kiện 0P4S 2 ≥− ) 1.3.2. Tìm các biểu thức đối xứng của nghiệm Phương pháp: (Sử dụng định lý Viét thuận) - Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: 0≥∆ - Tính S, P. - Biểu diễn biểu thức cần tính qua S, P. 1.3.3. Tìm tham số để phương trình có một nghiệm α=x cho trước và tìm nghiệm kia 1.3.4. Tìm tham số để hai phương trình tương đương Cho hai phương trình:    =++ =++ )2(0cxbxa )1(0cxbxa 22 2 2 11 2 1 * Hai phương trình được gọi là tương đương khi và chỉ khi hai tập nghiệm của chúng trùng nhau (kể cả bằng ∅). 3 * Phương pháp: Xét hai trường hợp - Hai phương trình vô nghiệm: Giải hệ    <∆ <∆ 0 0 2 1 - Hai phương trình đều có nghiệm: Giải hệ        = = ≥∆ ≥∆ 21 21 2 1 PP SS 0 0 ( )2,1i(P,S, iii =∆ tương ưng với phương trình (i)). 1.3.5. Tìm tham số khi biết một hệ thức của nghiệm Phương pháp: (Dùng định lý Viét) - Tính S, P theo m. - Biểu diễn biểu thức qua S, P. Thay S, P vào ta được biểu thức biến m. Tìm m thỏa mãn bài toán. - Thử lại điều kiện 0≥∆ để kết luận về tham số. 1.3.6. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số Phương pháp: - Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: 0≥∆ - Tính S, P. - Khử tham số giữa S và P để được một hệ thức chỉ còn S và P. Thay 2121 xxP,xxS =+= ta được một hệ thức độc lập với tham số. 1.3.7. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng Tìm hai số x, y khi biết PxyvàSyx ==+ . Phương pháp: (Sử dụng định lý Viét đảo) - Lập phương trình bậc hai 0PSXX 2 =+− và giải tìm nghiệm. - Khi đó x, y là nghiệm của phương trình trên. 1.3.8. Bài tập tương tự 1.5. Dấu của tam thức bậc hai và bất phương trình bậc hai Tam thức bậc hai )0a(cbxax)x(f 2 ≠++= . Nghiệm của tam thức bậc hai là nghiệm của phương trình bậc hai 0)x(f = . 1.5.1. Xét dấu của tam thức bậc hai Để xét dấu của tam thức bậc hai ta sẽ xét biệt thức deta: ac4b 2 −=∆ . 4 - 0<∆ tam thức bậc hai vô nghiệm x ∞− ∞+ f(x) Cùng dấu với a - 0=∆ Tam thức bậc hai có nghiệm kép a2 b −=α x ∞− α ∞+ f(x) Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a - 0>∆ Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt )xx(x,x 2121 < x ∞− 1 x 2 x ∞+ f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a 1.5.2. Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên R -    <∆ > ⇔∈∀> 0 0a Rx,0)x(f -    ≤∆ > ⇔∈∀≥ 0 0a Rx,0)x(f -    <∆ < ⇔∈∀< 0 0a Rx,0)x(f -    ≤∆ < ⇔∈∀≤ 0 0a Rx,0)x(f 1.5.3. Bài tập tương tự 1.6. So sánh nghiệm Cho tam thức bậc hai )0a(cbxax)x(f 2 ≠++= có 2 nghiệm )xx(x,x 2121 ≤ . 1.6.1. So sánh hai nghiệm của tam thức với một số thực α - 21 xx:0)(af <α<<α - 0)(af =α : α=x là một nghiệm của tam thức bậc hai, nghiệm còn lại là )0, P x(Sx ≠α α =α−= - 21 xx 2 S 0)(af 0 <<α⇔        α> >α >∆ ; 21 xx 2 S 0)(af 0 ≤<α⇔        α> >α ≥∆ 5 - α<<⇔        α< >α >∆ 21 xx 2 S 0)(af 0 ; α<≤⇔        α< >α ≥∆ 21 xx 2 S 0)(af 0 1.6.2. So sánh hai nghiệm của tam thức với hai số thực )(, β<αβα -    <β <α ⇔<β<α< 0)(af 0)(af xx 21 -          β<<α >β >α >∆ ⇔β<<<α 2 S 0)(af 0)(af 0 xx 21 -    <β >α ⇔<β<<α 0)(af 0)(af xx 21 -    >β <α ⇔β<<α< 0)(af 0)(af xx 21 1.6.3. Tìm điều kiện để tam thức bậc hai )0a(cbxax)x(f 2 ≠++= có dấu xác định trên một tập hợp 1.6.4. Bài tập tương tự Chương 2. NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2.1. Phương trình quy về phương trình bậc hai 2.1.1. Phương trình bậc cao quy về phương trình bậc hai 2.1.1.1. Dạng đoán nghiệm Ta chỉ xét với phương trình bậc 3: )1()0a(0dcxbxax 23 ≠=+++ Phương pháp: Tìm một nghiệm 0 x của phương trình: - Nếu (1) có nghiệm )Z(x 0 ∈αα= (nghiệm nguyên) thì ∈α Ư(d). - Nếu (1) có nghiệm ( ) Zq,p q p x 0 ∈= (nghiệm hữu tỉ) thì )d(Up ∈ và )a(Uq ∈ . Khi đó thực hiện phép chia đa thức dcxbxax 23 +++ cho 0 xx − ta được đa thức bậc hai 'cx'bax 2 ++ . Và ta có: 6 ( ) ( ) 'cx'baxxxdcxbxax 2 0 23 ++−=+++    =++ =− ⇔=+++ 0'cx'bax 0xx 0dcxbxax 2 0 23 2.1.1.2. Dạng phương trình trùng phương )0a(0cbxax 24 ≠=++ Phương pháp: Đặt )0t(tx 2 ≥= . Đưa phương trình về dạng 0cbtat 2 =++ rồi giải tìm nghiệm t. 2.1.1.3. Dạng phương trình đẳng cấp bậc hai )0ca(0cvbuvau 2222 >+=++ (u, v có thể là các biểu thức biến x) Phương pháp: Có hai cách giải Cách 1: Giải phương trình với 0v = Với 0v ≠ , chia hai vế của phương trình cho 2 v ta được phương trình sau: 0c v u b v u a 2 =+       +       Đặt t v u = . Đưa phương trình về phương trình bậc hai 0cbtat 2 =++ rồi giải. Cách 2: Giải phương trình với 0v = Với 0v ≠ , đặt kvu = đưa việc giải phương trình trên về giải phương trình bậc hai biến k: 0cbkak 2 =++ 2.1.1.4. Dạng phương trình dạng hồi quy 0edxcxbxax 234 =++++ trong đó 2 b d a e       = Phương pháp: x không là nghiệm của phương trình trên, chia cả hai vế cho 2 x ta được: 0c) bx d x(b) ax e x(a 2 2 =++++ Đặt t bx d x =+ b d2 t ax e xt b d2 bx d x 2 2 22 2 2 −=+⇔=+       +⇒ Đưa phương trình trên về phương trình sau: 0) b ad2 c(btat 2 =−++ 2.1.1.5. Dạng: ( )( )( )( ) edxcxbxax =++++ trong đó dcba +=+ Phương pháp: ( )( )( )( ) edxcxbxax =++++ 7 [ ] [ ] ecdx)dc(x.abx)ba(x 22 =++++++⇔ Đặt tabx)ba(x 2 =+++ , ta được: e)abcdt(t =−+ ( ) 0etabcdt 2 =−−+⇔ 2.1.1.6. Dạng: ( )( )( )( ) 2 exdxcxbxax =++++ trong đó cdab = Phương pháp: ( )( )( )( ) 2 exdxcxbxax =++++ [ ] [ ] 222 excdx)dc(x.abx)ba(x =++++++⇔ Đặt tabx)ba(x 2 =+++ , ta được: ( ) [ ] 2 exxabdctt =−−++ ( ) 0extxabdct 22 =−−−++⇔ Đây là phương trình đẳng cấp bậc hai đã có phương pháp giải. 2.1.1.7. Dạng: ( ) ( ) cbxax 44 =+++ Phương pháp: Đặt t 2 ba x = + + , ta được: c 2 ab x 2 ab x 44 =       − ++       − − 0c 2 ab 2x 2 ab 12x2 4 2 2 4 =−       − +       − +⇔ Đây là phương trình trùng phương bậc 4 đã có phương pháp giải. 2.1.2. Phương trình căn quy về phương trình bậc hai 2.1.2.1. Dạng: )x(g)x(f = Phương pháp: Điều kiện:    ≥ ≥ 0)x(g 0)x(f Bình phương hai vế của phương trình: )x(g)x(f 2 = 2.1.2.2. Dạng: )x(g)x(f = Phương pháp: Phương trình trên tương đương với phương trình:    = ≥ )x(g)x(f 0)x(g 2 (Chú ý rằng điều kiện 0)x(f ≥ không cần đặt ra, vì nếu )x(g)x(f 2 = thì sẽ kéo theo 0)x(f ≥ ) 2.1.2.3. Dạng: 0c)x(fb)x(af =++ Phương pháp: Điều kiện 0)x(f ≥ Đặt )0t(t)x(f ≥= , ta được: 0cbtat 2 =++ 8 2.1.2.4. Dạng: ( ) 0c)x(g).x(fb)x(g)x(fa =+++ . Trong đó k)x(g)x(f =+ . Phương pháp: Điều kiện:    ≥ ≥ 0)x(g 0)x(f Đặt )x(g)x(ft += (tìm điều kiện của t). Khi đó 2 kt )x(g).x(f 2 − = . Đưa phương trình về dạng: 0kc2at2bt 2 =−++ 2.1.2.5. Dạng: 0c)x(fb)x(fa 1 =++ − Phương pháp: 2.1.3. Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối quy về phương trình bậc hai 2.1.3.1. Dạng: )x(g)x(f = Phương pháp: Bình phương hai vế của phương trình:         −= = ≥ ⇔    = ≥ )x(g)x(f )x(g)x(f 0)x(g )x(g)x(f 0)x(g 22 Trường hợp: k)x(g = với 0k ≥ ta có:    −= = k)x(f k)x(f 2.1.3.2. Dạng: 0c)x(fb)x(af 2 =++ Phương pháp: Đặt 22 t)x(f)0t(t)x(f =⇒≥= , ta được: 0cbtat 2 =++ 2.1.4. Phương trình mũ quy về phương trình bậc hai 2.1.4.1. Dạng: 0cba )x(f)x(f2 =+α+α Phương pháp: Đặt: )0t(t )x(f >α= . Đưa phương trình về dạng 0cbtat 2 =++ rồi giải. 2.1.4.2. Dạng: 0cba )x(f)x(f =+α+α − Phương pháp: Đặt: t 1 )0t(t )x(f)x(f =α⇒>α= − . Đưa phương trình về dạng 0bctat 2 =++ rồi giải. 2.1.4.3. Dạng: 0cba )x(f)x(f =+β+α . Trong đó 1. =βα Phương pháp: Ta có: )x(f)x(f1 1 1. −− α=β⇒α=β⇔ α =β⇔=βα 9 Đặt: t 1 )0t(t )x(f)x(f =β⇒>α= . Đưa phương trình về dạng 0bctat 2 =++ rồi giải. 2.1.4.4. Dạng: ( ) 0cba )x(f2 )x(f )x(f2 =β+αβ+α . Phương pháp: Chia hai vế cho 0 )x(f2 >β (hoặc 0 )x(f2 >α ) ta được: 0cba )x(f)x(f2 =+       β α +       β α Đặt: )0t(t )x(f >       β α = . Đưa phương trình về dạng 0bctat 2 =++ rồi giải. Chú ý: Trong một số trường hợp khó nhận dạng bình phương của một lũy thừa phù hợp có thể đưa phương trình ( ) 0cba )x(f2 )x(f )x(f2 =β+αβ+α (ở dạng tiềm ẩn) về dạng cùng có lũy thừa là )x(f : ( ) ( ) ( ) 0cba )x(f 2 )x(f )x(f 2 =β+αβ+α Khi đó ta sẽ chia cho lũy thừa có cơ số lớn nhất (hoặc bé nhất). Ta cũng đưa được phương trình trên về dạng 0cba )x(f)x(f2 =+       β α +       β α 2.1.4.5. Dạng: )0b,0a(ba )x(f >>= . Trong đó f(x) là đa thức bậc hai. Phương pháp: Lôgarit cơ số a hai vế ta được: 0blog)x(fblog)x(f aa =−⇔= (Đây là phương trình bậc hai). 2.1.4.6. Dạng: )0b,0a(ba )x(g)x(f >>= . Trong đó )0)x(g( )x(g )x(f )x(h ≠= là đa thức bậc hai. Phương pháp: Lôgarit cơ số a hai vế ta được: blog)x(g)x(f a = - Giải với 0)x(g = - Với 0)x(g ≠ : blog)x(g)x(f a = 0blog)x(hblog )x(g )x(f aa =−⇔=⇔ 2.1.4.7. Dạng: )Ra(aa )x(g)x(f + ∈= . Trong đó )x(g)x(f − là đa thức bậc hai. Phương pháp: Chia hai vế cho 0a )x(g > ta được : 10 [...]... GTNN của biểu thức từ điều kiện có nghiệm của phương trình 2.4 Chứng minh bất đẳng thức Sử dụng điều kiện có nghiệm và điều kiện vô nghiệm của phương trình để chứng minh bất đẳng thức 2.5 Giải hệ phương trình 2.5.1 Hệ có một phương trình bậc hai 2.5.2 Hệ phương trình đối xứng loại một 2.5.2 Hệ phương trình đối xứng loại hai 2.5.4 Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai 11 ... Trong đó f(x)-g(x) và h(x) là đa thức bậc 2 Phương pháp: - Giải với h ( x ) = 0 g(x) > 0 ta được : - Với h ( x ) > 0 , chia hai vế cho [ h ( x )] [ h ( x )] f ( x ) [ h ( x )] g ( x ) = 1 ⇔ [ h ( x )] f ( x ) −g ( x ) [ h ( x )] = 1 =1 ⇔  f ( x ) − g ( x ) = 0 2.1.5 Phương trình lôgarít quy về phương trình bậc hai 2.2 Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm thuộc tập hợp cho trước và thỏa mãn điều... bậc hai có nghiệm thuộc tập hợp cho trước và thỏa mãn điều kiện đã định 2.2.1 Định tham số để phương trình có một nghiệm thuộc tập hợp đã cho 2.2.2 Định tham số để mọi nghiệm phương trình có thuộc tập hợp đã cho 2.2.3 Điều kiện để phương trình có nghiệm thuộc một tập hợp cho trước 2.2.4 Điều kiện để phương trình vô nghiệm trên một tập đã cho 2.3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2.3.1 . Phương trình bậc hai và ứng dụng Chương 1. NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1.1. Định nghĩa phương trình bậc hai 1.1.1. Phương trình một ẩn x Là biểu thức. trình trên. 1.3.8. Bài tập tương tự 1.5. Dấu của tam thức bậc hai và bất phương trình bậc hai Tam thức bậc hai )0a(cbxax)x(f 2 ≠++= . Nghiệm của tam thức bậc hai là nghiệm của phương trình bậc. thức bậc hai )0a(cbxax)x(f 2 ≠++= có dấu xác định trên một tập hợp 1.6.4. Bài tập tương tự Chương 2. NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2.1. Phương trình quy về phương trình bậc hai 2.1.1.