Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số CHƯƠNG I :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS @@@@@@@ VẤN ĐỀ 1:TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ Cho hàm số ( )y f x= ( C ) .Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) ta có 2 cách : Cách 1 : dùng ý nghĩa hình học của đạo hàm Định lý : Đạo hàm của hàm số ( )y f x= tại điểm 0 x là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm M ( ; ( )) o o o x y f x= : '( ) o k f x= Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm ) Tiếp tuyến tại ( ; ) ( ) o o M x y C∈ '( ).( ) o o o y f x x x y = − + (1) '( ) o k f x= :hệ số góc Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước _Gọi ( ; ) ( ) o o M x y C∈ _Giải pt : '( ) o o o f x k x y= ⇒ ⇒ _Áp Dụng (1) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) cho trước : d y k x b = + _Gọi ( ; ) ( ) o o M x y C∈ _Giải pt : '( ) o d o o f x k x y= ⇒ ⇒ _Áp Dụng (1) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) trước : d y k x b = + _Gọi ( ; ) ( ) o o M x y C∈ _Giải pt : 1 '( ) o o o d f x x y k = − ⇒ ⇒ _Áp Dụng (1) Tiếp tuyến đi qua điểm ( ; ) ( ) A A A x y C∉ cho trước _Gọi ( ; ) ( ) o o M x y C∈ ,tt tại M là ( )∆ : (1) _ ( )∆ qua A: thay tọa độ A vào (1) o o x y⇒ ⇒ PTTT⇒ Cách 2 : dùng đk tiếp xúc :hai đths ( ) ( ) y f x y g x =   =  tiếp xúc với nhau ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x =  ⇔  =  Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm ) Tiếp tuyến tại ( ; ) ( ) o o M x y C∈ '( ).( ) o o o y f x x x y = − + (1) '( ) o k f x= :hệ số góc Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước _PTTT có dạng (*)y kx C = + _ĐKTX ( ) '( ) f x kx C f x k = +   =  _Giải hệ C⇒ minhnguyen249@yahoo.com 1 Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) cho trước : y ax b = + _PTTT có dạng (*)y ax C = + _ĐKTX ( ) '( ) f x ax C f x a = +   =  _Giải hệ C ⇒ Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d) cho trước : y ax b = + _PTTT có dạng 1 (*)y x C a = − + _ĐKTX 1 ( ) 1 '( ) f x x C a f x a  = − +     = −   _Giải hệ C ⇒ Tiếp tuyến đi qua điểm ( ; ) ( ) A A A x y C∉ cho trước _PTTT có dạng: ( ) A A y k x x y= − + _ĐK TX ( ) ( ) '( ) A A f x k x x y f x k = − +   =  _Thế pt dưới vào trên x k⇒ ⇒ ứng với 1 giá trị x sẽ có 1 giá trị k Lưu ý : hai đt : 1 1 2 2 y k x c y k x c = +   = +  vng góc với nhau 1 2 . 1k k⇔ = − ,song song 1 2 k k⇔ = Với 1 2 ,k k là hệ số góc Bài tập có HD Bài toán 1: Cho hàm số (C) 22 43 2 − +− = x xx y . M là một điểm tuý ý trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt đường tiệm cận xiên và đứng tại A và B . Chứng tỏ rằg M là trung điểm của AB, và tam giác IAB (I là giao điểm của hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M Giải: ( ) (C) 1x ≠ − +−= − +− = 1 1 1 222 43 2 x x x xx y ( ) ( ) ⇒∈ CbaM ; tiếp tuyến tại M là (d) ( ) ( ) baxyy a +− ′ =       − +−= 1 1 1 2 a a b ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 2 1 2 − +−+−       − −=⇔ a a ax a y Tiệm cận đứng của (C) là (d 1 ) : x = 1 ( ) ( )       − +−=∩⇒ 1 2 2 1 ;1 1 a Add Tiệm cận xiên của (C) là (d 2 ) : ( ) ( )       −−=∩⇒−= 2 3 ;121 2 2 aaBdd x y minhnguyen249@yahoo.com 2 Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số Ta có : ( ) ( ) MBA xaaxx ==−+=+ 121 2 1 2 1 ( ) MBA y a a a a yy = − +−=       −+ − +−=+ 1 1 1 22 3 1 2 2 1 2 1 2 1 Vậy M là trung điểm của AB Giao điểm của 2 tiệm cận là IBIAIAB xxyySI −−=⇒       − 2 1 2 1 ;1 222. 1 2 . 2 1 =− − = a a Vậy S IAB không phụ thuộc vào M Bài toán 2: Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 – 9x + 5 (C) . Tìm tiếp tuyến của đồ thò (C) có hệ số góc nhỏ nhất Giải : Gọi M(x 0 ; y 0 ) ( ) C∈ : hệ số góc tiếp tuyến tại M : k = f’(x 0 ) = 963 0 2 0 −+ xx Ta có ( ) 121213 2 0 −≥−+= xk . Dấu “=” xảy ra khi x 0 = – 1 Vậy Min k = – 12 ⇔ M(–1; 16) Do đó trong tất cả các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất Bài toán 3: Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + 1 (Cm) Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của Cm) tại B và C vuông góc nhau Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm) x 3 + mx 2 + 1 = – x + 1 ⇔ x(x 2 + mx + 1) = 0 (*) Đặt g(x) = x 2 + mx + 1 . (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt ⇔ g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ( )    −< > ⇔    ≠= >−=∆ ⇔ 2 2 010 04 2 m m g mg Vì x B , x C là nghiệm của g(x) = 0    == −=+= ⇒ 1 CB CB xxP mxxS Tiếp tuyến tại B và C vuông góc ( ) ( ) 1−= ′′ ⇔ BC xfxf ( )( ) 12323 −=++⇔ mxmxxx CBCB ( ) [ ] 1469 2 −=+++⇔ mxxmxxxx CBCBCB ( ) [ ] 14691 2 −=+−+⇔ mmm 102 2 =⇔ m minhnguyen249@yahoo.com 3 Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số 5±=⇔ m (nhận so với điều kiện) Bài toán 4: Cho hàm số y = x 3 – 3x – 2 (H) Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng thuộc (H). Gọi A 1 , B 1 , C 1 lần lït là giao điểm của (H) với các tiếp tuyến của (H) tại A, B, C. Chứng minh rằng A 1 , B 1 , C 1 thẳng hàng. Giải: Gọi M(x 0 ; y 0 ) thuộc (H). Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12132313 32 00 3 0 2 0 +−−=−−+−−= xxxxxxxxyd Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H) ( ) ( ) 121323 32 0 3 +−−=−− xxxxx ( ) ( ) 02 0 2 0 =+−⇔ xxxx ( )    −= = ⇔ 0 0 2xx xx ùpnghiệm ke Gọi A(a; y A ) , B(b; y B ) , C(c; y C ) ⇒ giao điểm A 1 , B 1 , C 1 của các tiếp tuyến tại A, B, C với (H) ( ) 268;2 3 1 −+−−= aaaA ( ) 268;2 3 1 −+−−= bbbB ( ) 268;2 3 1 −+−−= cccC * A, B, C thẳng hàng : ( ) ( ) acac abab ac ab −−− −−− = − − ⇔ 3 3 33 33 3 3 1 22 22 −++ −++ =⇔ acac abab abbacc +=+⇔ 22 ( )( ) 0=++−⇔ cbabc ( ) bc ≠=++⇔ 0cba * A 1 , B 1 , C 1 thẳng hàng : ( ) ( ) ( ) ( ) caca baba ca ba −−− −−− = − − ⇔ 68 68 22 22 33 33 ( ) ( ) 34 34 1 22 22 −++ −++ =⇔ caca baba abbacc +=+⇔ 22 ( )( ) 0=++−⇔ cbacb ( ) bc ≠=++⇔ 0cba Vậy : A, B, C thẳng hàng ⇔ A 1 , B 1 , C 1 thẳng hàng Bài Tập : Bài 1 : Cho hàm số ( )y f x= có đồ thị là ( C ) .Tìm hệ số góc và viết pttt với ( C ) tại điểm o M minhnguyen249@yahoo.com 4 Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số 1) ( C ) : 2 3 3 1 x x y x + + = − với ( ) o M C∈ có hoành độ 2 o x = 2) ( C ) : 3 1y x x= + + với ( 2; 9) ( ) o M C− − ∈ 3) ( C ) : 4 2 2 5y x x= − + với ( ) o M C∈ có tung độ 8 o y = 4) ( C ) : 2 , 1 o x y M x + = − − là giao điểm của ( C ) và Oy 5) ( C ) : 2 3 2 , 3 o x x y M x − + = − là giao điểm của ( C ) và Ox 6) ( C ) : 3 2 2, o y x x M= − + là giao điểm của ( C ) với đt 2y = 7) ( C ) : 3 2 ,y x x= − với o M là giao điểm của ( C ) và Oy 8) ( C ) : 4 2 2 5 3y x x= − + với ( ) o M C∈ là giao điểm của ( C ) và Ox Bài 2 : Cho hàm số 3 2 x y x − = + ( C ),viết pttt với đths : 1) Tại giao điểm của ( C ) với 2 trục tọa độ 2) Biết tiếp tuyến song song với đt 5 2y x= + Bài 3 : Cho hàm số 3 2 3 4y x x= − + ( C ),viết pttt với đths : 1) Tại ( ) o M C∈ có hoành độ 2 o x = − 2) Biết tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm (2;0)A Bài 4 : Viết pttt trong các trường hợp sau : 1) 2 3 6 , 1 x x y x + + = + biết tiếp tuyến vuông góc với đt 1 3 y x= 2) 2 3 ,y x x= + biết tiếp tuyến qua (1;4)A 3) 3 2 3 ,y x x= − biết tiếp tuyến đó vuông góc với đt 1 3 y x= 4) 2 2 2 , 1 x x y x − + = − biết tiếp tuyến song song với đt 3 15 4 y x= + 5) 3 2 2 3 1 3 x y x x= − + − , biết tiếp tuyến đó qua (0; 1)K − 6) 2 3 1 , 2 x x y x − + = − biết tiếp tuyến song song với đt 2 3y x= + Bài 5 : cho ( C ) : 2 4 , 1 x x y x − = − tìm pttt với ( C ) trong các trường hợp sau : 1) Tiếp xúc với ( C ) tại (2; 4)A − 2) Song song với 1 ( ) : 13 1d y x= + 3) Vuông góc với 2 1 ( ): 4 d y x= − 4) Vẽ từ (1;5)M Bài 6 : cho ( C ) : 3 2 3 2y x x= − + 1) Lập pttt với ( C ) tại điểm có hòanh độ 3 o x = − 2) Lập pttt của ( C ) qua i. (2; 2)A − ii. (0;3)B minhnguyen249@yahoo.com 5 Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số 3) Lập pttt với ( C ) biết tt vuông góc với đường thẳng 1 19 9 y x= − + 4) Lập pttt tại điểm uốn của ( C ) .Hệ số góc là lớn nhất hay nhỏ nhất 5) (khó) Tìm trên đt 2y = các điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau Bài 7 : cho ( C ) 2 . 1 x y x − = + Viết pttt với ( C ) biết tiếp tuyến : 1) Qua gốc tọa độ O 2) Qua điểm (2;1)A Bài 8 : cho ( C ) 3 2 3 5 2.y x x x= − + − + Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến đó : 2) Song song với đt : 2 3 0x y+ − = 3) Vuông góc với đt : 29 2 0x y− + = Bài 9 : 2 2 2 1 x y x = − . Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau : 1) Tại điểm có hoành độ 1 o x = 2) Song song với đt 8 9 1 0x y− + = 3) Vuông góc với đt 25 24 2 0x y+ − = Bài 10 : cho ( C ) : 3 2 4 4 1y x x x= + + + và điểm ( )A C∈ với 1 A x = − . Viết pttt với ( C ) biết tiếp tuyến qua A Bài 11 : cho ( C ) : 3 2 2 3 3 x y x x= − + có đồ thị là ( C ). Viết pttt với ( C ) tại điểm uốn. Chứng minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất Bài 12 : 3 2 1 1 ( ): 3 2 3 m m C y x x= − + .Gọi M là điểm thuộc ( ) m C có hoành độ bằng -1 .Tìm m để tiếp tuyến của ( ) m C tai điểm M song song với đt 5 0x y− = Bài 13 : 2 1 1 x x y x − + = − ( C ) .Viết pt đường thẳng đi qua (1;0)M và tiếp xúc với đths ( C ) Bài 14 : cho hàm số ( ) m C 3 2 3 ( 1) 1y x x m m x= + + + + .Tìm m để ( ) m C tiếp xúc với parabol (P) : 2 3 2 1y x x= + + .( đs : 1 2m m = ∨ = − ) Bài 15 : ( C ) : 2 1 1 x x y x − + = − và (P) 2 y x a= + .Định a để ( C ) tiếp xúc với (P) Bài 16 : Định tham số m để đồ thị 1) 2 3 3y x x= + + và 2 1y x m= + − tiếp xúc 2) 3 2 3 2y x x x= − + − và y mx= tiếp xúc 3) 3 2 (2 3) ( 2)y x m x m x m= − + + + + tiếp xúc với trục hoành ( Ox ) 4) 2 1 x y x + = − và 3y x a= − + tiếp xúc *Bài 17 : 2 2 (1 ) 1 ( ): , m x m x m C y x m + − + + = − CMR với mọi 1m ≠ − thì đths luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định tại một điểm cố định *Bài 18 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hay đồ thị sau : 1) 2 1 ( ) :C y x= và 2 2 ( ) : 2 1C y x x= − − 2) 2 1 ( ) : 5 6C y x x= − + và 2 2 ( ) : 5 11C y x x= − + − Lưu ý : minhnguyen249@yahoo.com 6 Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số • Hai đồ thị tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình hòanh độ giao điểm của chúng có nghiệm kép • Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc hoặc lớn nhất hoặc nhỏ nhất Bài 19 : ( C ) : 3 . 1 x y x − = + Viết pttt với ( C ) biết : 1) Tại M là giao điểm của ( C ) và Oy 2) Tại K có hồnh độ bằng -2 3) Tiếp tuyến song song với đt 4 2y x= + 4) Vng góc với đt 4 3 0x y+ − = *Bài 20 : Tìm trên đt 2y = mà qua đó có đúng ba tiếp tuyến với ( C ) : 3 2 3 2y x x= − + − Bài 21 : Tìm trên Ox những điểm mà qua đó có đúng một tiếp tuyến với ( C ) trong các trường hợp sau : 1) 2 2 2 2 ( ) : 1 x x C y x − + = − 2) 2 3 ( ) : 2 x x C y x + − = + VẤN ĐỀ 2:SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ Lý Thuyết : cho hai hàm số ( )y f x= có đồ thị là (C) và ( )y g x= có đồ thị là (C’). Muốn xét sự tương giao của 2 đồ thị trên ta xét phương trình hồnh độ giao điểm : ( ) ( )f x g x = (*) số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị C) và (C’), hình bên cho ta thấy 3 giao điểm. Nhận xét : nếu 2 đồ thị (C) và (C’) tiếp xúc nhau tại M thì điểm M x chính là nghiệm kép của pt (*) , và tại điểm M 2 đồ thị có chung tiếp tuyến Bài tập có HD Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) = x 3 – 3x + 2 . (D) là đường thẳng qua A(2; 4) có hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (D) Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) + 4 (C) : y = x 3 – 3x + 2 * Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D) x 3 – 3x + 2 = m(x – 2) + 4  (x – 2)( x 2 + 2x + 1 – m) = 0 (1) * Số giao điểm của (C) và (d) chính là số nghiệm của phương trình (1) - Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x = 2 - Xét phương trình g(x) = x 2 + 2x + 1 – m = 0 (2) Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 2 thì 9 – m = 0 ⇔ m = 9 Do đó : m = 9 thì (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = – 4 Nếu m ≠ 9 thì g(x) = 0 có nghiệm x ≠ 2 minhnguyen249@yahoo.com 7 Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số Ta có m=∆ ′ m < 0 0 <∆ ′ ⇔ : (2) vô nghiệm m = 0 0 =∆ ′ ⇔ : (2) có nghiệm kép x = – 1 0 < m ≠ 9 0 >∆ ′ ⇔ : (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 - Kết luận: m < 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm m = 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thò tại 1 điểm 0 < m ≠ 9 : (D) cắt (C) tại 3 điểm m = 9 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thò tại điểm (2; 4) Bài toán 2: Cho hàm số y = 2 x 4x 1 ( ) x 2 f x + + = + (C) Tìm tất cả các giá trò m để đường thẳng (D) y = mx + 2 – m cắt đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thò (C) Giải: Phương trình hoàn độ giao điểm của (C) và (D) : x 2 + 4x + 1 = mx 2 + 2x + mx + 4 – 2m (với x ≠ – 2) ⇔ (1 – m)x 2 + (2 – m)x + 2m – 3 = 0 (*) (D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc một nhánh của đồ thò (C) ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 sao cho x 1 < x 2 < – 2 V – 2 < x 1 < x 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]        >−+−−−−=− >−−−+−=∆ ≠−= ⇔ 032221412 03214 2 44 01 mmmmaf mmmm ma      >− >+ ⇔ m) ( m m 013 01624 2 9      > ≠ ⇔ 1. 3 4 m m Kết luận :      > ≠ ⇔ 1. 3 4 m m thì (D) cắt đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C) Bài toán 3:Cho hàm số 1 2 − = x x y . Tìm 2 điểm A , B nằm trên đồ thò (C) và đối xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1 Giải: Vì A , B đối xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1. Suy ra A, B thuộc đường thẳng (d’) y = –x + m Phương trình hoành độ giao điểm của (d’) và (C) x 2 = (x – 1)( – x + m) (đk : x ≠ 1) ⇔ 2x 2 – (m + 1)x + m = 0 (*) minhnguyen249@yahoo.com 8 Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số Ta có ∆ = (m + 1) 2 – 8m > 0 ⇔ m 2 – 6m + 1 > 0     +> −< ⇔ 53 53 m m Giả sử (d’) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi I là trung điểm A, B:        − =+−= + = + = ⇒ 4 13 4 1 2 m mxy mxx x II BA I A và B đối xứng qua (d) ⇒ I thuộc (d): y = x – 1 ⇒ 1 4 1 4 13 − + = − mm ⇒ m = – 1 Lúc đó (*) thành trở thành : 2x 2 – 1 = 0 ⇔ x = 2 1 ± Vậy         +− − 2 2 1; 2 1 A         −− 2 2 1; 2 1 B Bài toán 4:Cho (P) y = x 2 – 2x – 3 và đường thẳng (d) cùng phương đường y = 2x sao cho (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B a) Viết phương trình (d) khi 2 tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc b) Viết phương trình (d) khi AB = 10 Giải: Gọi (d): y = 2x + m là đường thẳng cùng phương với đường y = 2x Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) x 2 – 2x – 3 = 2x + m ⇔ x 2 – 4x – 3 – m = 0 (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B ⇔ ∆ ′ = 7 + m > 0 ⇔ m > –7 Lúc đó gọi x A , x B là 2 nghiệm của (1) ta có S = x A + x B = 4 P = x A x B = – 3 – m a) Tiếp tuyến của (P) tại A, B vuông góc  f’(x A )f’(x B ) = –1 ⇔ (2 x A –2)(2 x B –2) = – 1 ⇔ 4P – 4S + 5 = 0 ⇔ 4(–3 –m) –16 + 5 = 0 ⇔ m = 4 23 − (nhận vì m > –7) b) A, B thuộc (d) ⇒ y A = 2 x A + m y B = 2 x B + m minhnguyen249@yahoo.com 9 Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số Ta có AB 2 = 100 ⇔ (x A – x B ) 2 + (y B – y A ) 2 = 100 ⇔ (x A – x B ) 2 + (2 x A –2 x B ) 2 = 100 ⇔ (x A – x B ) 2 = 20 ⇔ S 2 – 4P = 20 ⇔ 16 + 4(3+m) = 20 ⇔ m = – 2 (nhận vì m > –7) Bài toán 5 : Cho hàm số ( ) ( ) H mx mxxfy + +−+== 1 3 Tìm a để đường thẳng ( ) ∆ : y = a(x+1) + 1 cắt (H) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu Giải:Phương trình hoành độ giao điểm cả (C) và ( ) ∆ : ( ) ( ) 111 1 1 2 −≠++= + ++ x:đk xa x x ( ) 11233 22 ++++=++⇔ xxxaxx ( ) ( ) ( ) ( ) * 02121 2 =−+−+−=⇔ axaxxxg ( ) ∆ cắt (C) tại 2 điểm có hoành độ trái dáu ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt 2121 01, xxxx <<Λ−≠ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 21 012121 021 01 01 001 <<⇔    ≠=−+−−− <−− ⇔      ≠− ≠− <− ⇔ a aaa aa a g ga Bài 1 : tìm tọa độ giao điểm ( nếu có ) của đồ thị 2 hàm số sau a) (C) : 2 3 1y x x= + + và (d) : 1y x= + b) (P 1 ) : 2 1y x= − + và (P 2 ) : 2 y x x= + c) (C) : 1 3 x y x + = − và (d) : 2 6y x= − d) (C) : 3 2 2 1y x x x= − + + và (d) : 2 1y x= − Bài 2 : định m để a) 2 2 ( 2)( 3)y x x mx m= − + + − cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt b) 3 2 3 2y x x= − + cắt (d) : 2y mx= + tại 3 điểm phân biệt Bài 3 : 1)cho hàm số 3 2 2 3 1y x x= − − có đồ thị là (C), và đt (d) : 1y kx= − . Tìm k để (C) cắt (d) tại 3 đểm phân biệt trong đó có 2 điểm có hồnh độ dương 2)Tìm k để đồ thị y=x 3 +x 2 -2x+2k và y=x 2 +(k+1)x+2 cắt nhau tại 3 điểm. 3)Tìm m để đồ thị y=x 3 -3x+2m (1) cắt đường thẳng y=x tại 3 điểm mà trong đó tại 2 trong 3 giao điểm đó các tiếp tuyến của (1) song song với nhau. Bài 4 : a) cho hàm số 3 3 2y x x= − + có đồ thị là (C), và đt (d) qua (3;20)A có hệ số góc là m. Tìm m để (C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt. minhnguyen249@yahoo.com 10 [...]... tốn sau đây : vẽ đồ thị (C) của hàm số y = f ( x) sau đó biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình : h( x; m) = 0 (*) Ta đưa (*) về dạng f ( x ) = ϕ (m) trong đó ϕ ( m) là biểu thức theo m, khơng chứa x Số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng thị y = ϕ ( m) mà ta nhìn thấy qua đồ Chú ý : do m là tham số tùy ý nên ta khơng nên lầm tưởng y = ϕ (m) là 1 hàm số , đường cong…... Phương pháp: điểm M di động thoả các điều kiện cho trước * Tính toạ độ điểm M phụ thuộc theo một tham số m , t x = f(m) & y = g(m) * Khử m (hay t) giữa x và y, ta có một hệ thức độc lập đối với m có dạng sau gọi là phương trình quỹ tích : F(x, y) = 0 (hay y = h(x) ) * Giới hạn : dựa lvào điều kiện của tham sô m, ta tìm được điều kiện của x và y để M(x, y) tồn tại Đó là sự giới hạn của quỹ tích Bài... trị tại x = x0 với v’(x0) v(x) y'(x 0 ) = 0 ⇔ u'(x 0 )v(x 0 ) - u(x 0 )v'(x 0 ) = 0 ⇔ Vậy giá trị cực trị của hàm số là y(x 0 ) = u(x 0 ) u'(x0 ) = v(x 0 ) v '(x 0 ) u(x 0 ) u'(x 0 ) = v(x 0 ) v '(x 0 ) So sánh nghiệm pt f(x)=0 với số 0 ∆ > 0  x1 < x2 < 0 ⇔  P > 0 S < 0  ∆ > 0  0 < x1 < x2 ⇔  P > 0 S > 0  x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0 Bài 1 : tìm cực trị các hàm số sau (dấu hiệu 1): x2 − 2x + 2 x −1 u... ,cho y’ = 0 ⇒ các điểm tới hạn x0 , x1 , x2 ∈ a, b] ,khơng thuộc [a,b] ta khơng lấy , nếu khơng có giá trị nào cần tìm thì thơi… - tính các giá trị f ( x0 ), f ( x1 ), f ( x2 ), , f (a ), f (b) - nhìn , so sánh tìm ra giá trị lớn và nhỏ nhất và kết luận Min và Max Dạng 2 : nếu D là khoảng (a,b) ( ta fải vẽ bảng Biến Thiên mới ra ) - tính đạo hàm - lập BBT , suy ra GTLN , GTNN ( cũng khơng q khó ) chú... B 2 A = 0  2 4) Điểm cố định : f ( x; m) = y ⇔ f ( x; m) − y = 0 ⇔ A.m + B.m + C = 0 ⇔  B = 0 ∀m C = 0  5) Tọa độ ngun : chia hàm số ra , sau đó cho mẫu là các số mà tử chia hết 6) Bất đăng thức Cachy : a + b ≥ 2 a.b ,dấu “ = “ xảy ra ⇔ a = b minhnguyen249@yahoo.com 25 Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số VẤN ĐỀ 5 : BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 . + = − biết tiếp tuyến song song với đt 3 15 4 y x= + 5) 3 2 2 3 1 3 x y x x= − + − , biết tiếp tuyến đó qua (0; 1)K − 6) 2 3 1 , 2 x x y x − + = − biết tiếp tuyến song song với đt 2 3y x= + Bài. : ( ) ( ) acac abab ac ab −−− −−− = − − ⇔ 3 3 33 33 3 3 1 22 22 −++ −++ =⇔ acac abab abbacc +=+⇔ 22 ( )( ) 0=++−⇔ cbabc ( ) bc ≠=++⇔ 0cba * A 1 , B 1 , C 1 thẳng hàng : ( ) ( ) ( ) ( ) caca baba ca ba −−− −−− = − − ⇔ 68 68 22 22 33 33 (. k Lưu ý : hai đt : 1 1 2 2 y k x c y k x c = +   = +  vng góc với nhau 1 2 . 1k k⇔ = − ,song song 1 2 k k⇔ = Với 1 2 ,k k là hệ số góc Bài tập có HD Bài toán 1: Cho hàm số (C) 22 43 2 − +− = x xx y