TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 10 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1(2 điểm): Cho hàm số: 3 2 2 2 4 3 6z x x y xy x y= − + − − − 1. Tìm các điểm cực trị của hàm z. 2. Tại điểm N (-1, 2), hàm z sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với trục Ox góc 30 0 . 3. Tại điểm N đó, hãy tìm hướng để hàm z tăng nhanh nhất. Biểu diễn trên hình vẽ. Câu 2(3 điểm): Cho hệ toạ độ Oxy với i và j là vector đơn vị theo trục Ox và trục Oy. Xét trường vector ( ) 2 2 2 1 2 2 V x y xy i x y xy j   = + − + − + +  ÷   . 1. Chứng minh rằng trường vector V là trường có thế. Hãy tìm hàm thế của trường vector V thoả mãn điều kiện hàm thế đó có giá trị bằng 1 tại gốc toạ độ. 2. Tính tích phân (tính trực tiếp): ( ) 2 2 2 1 2 2 x y xy dx x y xy dy   + − + − + +  ÷   L(BA) với L là đường parabole y=x 2 nối 2 điểm A (-1, 1) và B (2, 4). 3. Kiểm chứng kết quả ở phần 2) bằng cách sử dụng hàm thế tìm được ở phần 1). Câu 3(2 điểm): Cho một vật thể phẳng, trong hệ toạ độ Oxy với trục Oy hướng thẳng đứng lên trên, được giới hạn bởi các đường có phương trình lần lượt là : y = 0, y = b, y = x và y = x-2. Mật độ của vật thể đó được xác định là p(x, y) = 2 – x - y. Hãy xác định độ cao tối đa (thông qua tham số b) của vật thể để vật thể đó không bị đổ dưới tác động duy nhất là của lực trọng trường. Câu 4 (3 điểm): Giải hệ phương trình vi phân: ' ' 4 3 10 2 3 y y z x z y z x = + − =− − +    với điều kiện: khi x = 0 thì y = 0 và z = 0. Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn Giảng viên ra đề 2: 6 4 2 y -5 x x N Câu 1: 1. Tìm điểm cực trị: 3 2 2 2 4 3 6z x x y xy x y= − + − − − { ' 2 ' 3 4 4 3 0 2 4 6 0 x y z x x y z y x = − − − = = − − = →y=2x+3 Thay vào ta có: ( ) 2 2 2 1 1 2 2 1 2 3 4 4 2 3 3 0 3 12 15 0 4 5 0 1 1 5 13 ( 1,1), (5,13) x x x x x x x x y x y M M − − + − = → − − = → − − = = − → = = → = − 1 ( 1,1)M − ( ) 2 5,13M '' 6 4 xx z x r = − = -10 26 '' 4 xy z s = − = -2 -4 '' 2 yy z t = = 2 2 s 2 - rt 16+20=36 16-52=-36<0 Không cực tiểu r=26→ cực tiểu 1. Xét N(-1, 2) Trong đó có cosα= 3 2 cosβ= 1 2 ' ' 4 2 x y z N z N = − = Vậy 3 1 4 2. 2 3 1 0 2 2 z σ σε = − + = − + < Vậy hàm sẽ giảm nếu đi ra khỏi điểm N theo hướng lập với Ox góc 30 0 . 3. Hướng tăng nhanh nhất của hàm z tại N (-1, 2) là (-4, 2). Ta có hình vẽ trên: Câu 2: 1. Chứng minh rằng trường vector V ur là trường có thế: ( ) 2 2 2 , 2 2 2 ( , ) 2 y P P x y x xy y x y Q Q x y x y xy x y x ∂ = + − → = − ∂ ∂ = − + + → = − + ∂ Vậy P Q y x ∂ ∂ = ∂ ∂ →Vậy trường V ur có thế. Hàm thế ( , )x y φ được tìm theo công thức ( , )x y φ = 0 0 7 ( , 0) ( , ) x x y P x y Q x y dy C+ + ∫ ∫ Ta chọn x 0 =0, y 0 =0 Ta có: ( ) 2 2 0 0 2 3 2 2 0 0 ( , ) 2 3 2 y x x y y y x y xdx x y xy dy C x y xy x y C φ = = = + − + + +   = + − + + +  ÷   ∫ ∫ 2 3 2 2 ( , ) 2 3 2 x y xy x y x y C φ = − + + + Tại O (0, 0), Ф có giá trị là 1 nên C=1. Vậy hàm Ф phải tìm là: 2 3 2 2 ( , ) 1 2 3 2 x y xy x y x y φ = − + + + 2. Tính trực tiếp: ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 L BA y x xy dx x y xy dy   + − + − + +  ÷   ∫ A (-1, 1), B(2, 4), L: y=x 2 . ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 1 2 3 5 4 2 1 2 5 6 3 4 5 4 1 2 2 2 .2 2 2 . 2 2 2 2 5 4 2 2 2 2 3 1 1 1 64 1 2 16 16 2 2 3 3 24 y x xy x y xy x dx x x x x x x x dx x x x x x x x dx x − − − −     = + − + − + +    ÷         = + − − + +         = − + + = − + +  ÷  ÷       = − − + − − + +  ÷   = − ∫ ∫ ∫ 3. Tính qua hàm thế ( , )x y φ ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) ( 1,1) (2,4) 1 1 1 64 1 2 16 16 24 2 3 2 3 L BA y x xy dx x y xy dy A B φ φ φ φ   + − + − + +  ÷   = − = − −     = − + − − − + + = −  ÷  ÷     ∫ Câu 3: 1. Vẽ hình: Phương trình của các biến: AB: y=0 BC: y=x-2 CD: y=b DA: y=x 2. Khối lượng của vật thể: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 2 2 0 0 2 2 0 2 2 0 0 ( , ) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2 4 4 2 4 6 2 6 2 6 x y b D x y b b x y x y b b b m P x y dxdy dy x y dx x dy x xy dy y y y y y y y dy y y y y dy y y y b b = + = = + = = = + +     = + + = + − + + − + + −  ÷         = + + + + −     = + = + = + ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3. Moment của vật thể đối với trục Oy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 3 2 2 2 2 0 0 2 3 2 2 3 2 0 2 2 3 2 3 2 0 , 2 yx 2 3 2 1 1 2 2 2 3 2 1 1 4 4 6 12 8 4 4 3 2 x y b x D x y x y b b x y x y x y b b m xP x y dxdy dy x x y dx x dy x x xy dx dy x dy y y y y y y y dy y y y y y y y y y y y = + = = + = + = = = = + +   = + + = + +  ÷           = + − + + − + + −               = + + − + + + + − + + + −     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2           2 2 0 3 3 2 2 2 0 0 8 4 4 2 4 2 2 3 20 4 20 4 20 4 10 5 5 3 3 3 3 3 b b b dy y y y y y y b dy y y y y b b   = + + + + + +       = + + = + + = + +  ÷   ∫ ∫ Vậy toạ độ x của trọng tâm M là : 3 2 2 2 4 20 4 20 5 5 3 3 3 3 2 6 2 6 x b b b b b M b b b + + + + = = + + 4. Để vật thể không bị đổ thì M x < 2 Ta có: 2 2 2 4 20 5 4 12 3 3 4 16 0 4 3 16 0 3 3 b b b b b b b + + < + → + − < → + − < Giải: 1,2 3 265 9 256 265 8 b − ± ∆ = + = → = Chiều cao tối đa là: 265 3 8 b − = Câu 4: * Phương pháp khử: ( ) '' ' ' ' ' ' ' ' 10 4 3 1 4 3 2 2 1 3 4 10 6 6 1 4 10 2 8 2 6 1 2 2 4 1 y y z y y z x y y z x y y y y x x y y x   = + − = + − − + −  ÷   = − − + − = − + − + − + − = − + − Vậy '' ' 2 2 4 1y y y x− + = − * Giải phương trình thuần nhất: '' ' 2 2 0y y y − + = Phương trình đặc trưng: 2 1 2 2 2 0 4 8 4 2 2 2 1 2 2 2 1 2 i i i i i λ λ λ λ − + = ∆ = − = − → ∆ = ± + = = + − = = − Vậy phương trình thuần nhất có hai nghiệm: 1 sinx x y e= và 2 cos x y e x= Nghiệm tổng quát là: 1 2 sinx cos x x y c e c e x= + * Giải phương trình không thuần nhất: Phương pháp hằng số biến thiên. [ ] [ ] { ' ' 1 2 ' ' 1 2 sinx cos 0 sinx cos cos sinx 4 1 x x x x c e c e x c e x c e x x + = + + − = − ( ) { ' ' 1 2 ' ' 1 2 sinx cos 0 cos sinx 4 1 x c c x c x c e x − + = − = − → ( ) ' 1 4 1 cos x c e x x − → = − và ( ) ' 2 4 1 sinx x c e x − = − − * Giải tìm 1 ( )c x và 2 ( )c x ( ) 1 4 1 cos 4 cos cos x x x c e x xdx e x xdx e xdx − − − = − = − ∫ ∫ ∫ Xét cos . ? x e x xdx − = ∫ Đặt ( ) 1 cos cos sinx cos 2 x x x e xdx dv v e xdx e x − − − = → = = − ∫ x=u→du=dx Vậy ( ) ( ) ( ) 1 1 cos sinx cos sinx cos 2 2 1 1 1 sinx cos sin x cos 2 2 2 x x x x x x e xdx xe x e x xe x e dx e xdx − − − − − − = − − − = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 sinx cos 2 sin x 2 cos cos 2 sinx cos 2 sin x cos 1 2 sinx cos 2. sinx cos 2 1 2 sinx cos sinx+cos sinx cos 2 1 sinx 2 1 cos 2 1 2 x x x x x x x x x x x x x x c xe x e dx e xdx e xdx xe x e dx e xdx xe x e x xe x e x e x e x e x x − − − − − − − − − − − − − − = − − + − = − − + = − − − = − − + −   = − + + − − −     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ * 1 1 2 1 3 sinx 2 cos 2 2 2 x x e x e x x c − −           = − + − − +  ÷  ÷     Tương tự ( ) 2 4 1 sin x 4 sinx. sin x x x x c e x dx e xdx e dx − − − = − − = − + ∫ ∫ ∫ Xét .sinx. . ? x e x dx − = ∫ Đặt ( ) 1 sin x sin x cos 2 x x e dx dv v e x − − = → = + x=u→du=dx Vậy ( ) ( ) 1 1 .sinx. . sinx cos sinx cos 2 2 x x x e x dx xe x e x dx − − − = + − + ∫ ∫ Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 sinx cos 2 sinx cos sinx 2 sinx cos 3 sin x 2 cos 3 2 sinx cos sinx cos sinx-cos 2 3 3 sinx 2 1 cos 2 1 2 2 5 sinx 2 co 2 x x x x x x x x x x x x x c xe x e x dx e dx xe x e dx e xdx xe x e x e x e x e x x e x e − − − − − − − − − − − − − = − + + + + = − + + + = − + + + +     = − + + + − + −           = − + +     ∫ ∫ ∫ ∫ 1 s 2 2 x x   − +     * 2 2 5 1 sinx 2 cos 2 2 2 x x c e x e x x c − −     = − + + − + +         Thang điểm Bài 1: 1. 2 4 5 0x x− − = → 1 ( 1,1)M − 36 Không cực trị (0.5) 2 (5,13)M -36, 26 Cực tiểu (0.5) 2. ' 4 x z = − , ' 2 y z = (tại N)→ 3 1 4. 2. 0 2 2 − + < → giảm. (0.5) 3. Hướng tăng nhanh nhất (-4, 2). (0.5) Bài 2: 1. 2 P P y x V y x ∂ ∂ = − = → ∂ ∂ ur là trường có thế. (0.5) Hàm thế Ф có giá trị là 1 tại O (0, 0) là hàm 2 3 2 2 ( , ) 1 2 3 2 x y xy x y x y φ = − + + + (0.5) 2. Tính trực tiếp: ( ) 1 4 2 2 4 2 2 2 . 2 4 24 x x x x x x xy x dx −     = + − + − + +    ÷     = − ∫ (1.0) 3. Tính qua hàm thế: 2 ( ) 3 A φ = − 70 ( ) 3 B φ = (1.0) A (-1, 1) B (2, 4) →=-24 Bài 3: 1. Vẽ hình (0.5) 2. Khối lượng ( ) 2 2 0 ( , ) 2 2 6 x y b D x y m P x y dxdy dy x y dx b b = + = = = − − = + ∫∫ ∫ ∫ (0.5) 3. Moment tục Ox ( ) 2 3 2 0 4 20 ( , ) 2 5 3 3 x y b x D x y b m xP x y dxdy dy x x y dx b b = + = = = + + = + + ∫∫ ∫ ∫ (0.5) Toạ độ trọng tâm: 3 2 2 4 20 5 3 3 2 6 x b b b M b b + + = + Để vật thể không đổ: 0<M x < 2→ 2 ax 265 3 4 3 16 0 8 m b b b − + − < → = (0.5) Bài 4: 1. Khử → '' ' 2 2 4 1y y y x− + = − (0.5) 2. Phương trình đặc trưng: 2 1 2 2 2 0 1 , 1i i λ λ λ λ − + = → = + = − → 1 sinx x y e= , 2 cos x y e x= (0.5) 3. [ ] [ ] { ' ' 1 2 ' ' 1 2 sinx cos 0 sinx cos cos sinx 4 1 x x x x c e c e x c e x c e x x + = + + − = − ( ) ' 1 4 1 cos x c e x x − → = − ( ) ' 2 4 1 sinx x c e x − = − − (1.0) Giải ra tìm được c 1 (0.5) và c 2. (0.5) . ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 10 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1(2 điểm): Cho hàm số: 3 2 2 2 4 3 6z x x y xy. 2 1 2 3 4 4 2 3 3 0 3 12 15 0 4 5 0 1 1 5 13 ( 1,1), (5, 13) x x x x x x x x y x y M M − − + − = → − − = → − − = = − → = = → = − 1 ( 1,1)M − ( ) 2 5, 13M '' 6 4 xx z x r = − = -1 0. trọng tâm M là : 3 2 2 2 4 20 4 20 5 5 3 3 3 3 2 6 2 6 x b b b b b M b b b + + + + = = + + 4. Để vật thể không bị đổ thì M x < 2 Ta có: 2 2 2 4 20 5 4 12 3 3 4 16 0 4 3 16 0 3 3 b b b b b b