TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 06 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1: Cho hàm số: 3 2 2 3 2 4 2 x x y y z xy x= + − + − − 1. Tìm cực trị của hàm 2. Tại điểm N(1,1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 0 30 3. Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất. Biểu diễn trên hình vẽ. Câu 2: Trong không gian Oxyz, tìm trọng tâm của tam giác đồng chất ABC với A (3, 0, 0), B (0, 2, 0), C(0, 0, 1). Câu 3: Tính ( ) ( ) C I x y dx x y dy= + + − ∫ , trong đó C là đường ellip 2 2 2 2 1 x y a b + = lấy theo chiều ngược kim đồng hồ. Câu 4: Giải phương trình vi phân: y ’’ -4y ’ +4y= 2 1 x e x x + thoả mãn điều kiện khi x=0 thì y=0 và y ’ =0. Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn Giảng viên ra đề 2: y z x B C A O Câu 1: Tìm cực trị của hàm 3 2 2 3 2 4 2 x x y y z xy x = + − + − − z ’ x =x 2 +x-y-1=0 z ’ y =-x+ 1 2 2 y − =0 →y=2x+1 Thay vào z ’ x ta có: 2 2 2 1 1 2 0x x x x x + − − − = − − = Nghiệm x 1 = -1 → y 1 = -1 M 1 (-1, -1). x 2 = 2 → y 2 = 5 M 2 (2, 5) M 1 (-1, -1) M 2 (2, 5) '' 2 1 xx z x r = + = -1 5 '' 1 xy z s =− = -1 -1 '' 1 2 yy z t = = 1 2 1 2 s 2 - rt (-1) 2 + 1 2 >0 (-1) 2 - 5 2 <0 Không cực trị Cực trị r=5 >0 cực tiểu 2. z ’ x (N)= 1+1-1-1=0 z ’ y (N)=-1+ 1 1 2 2 − =-1 1 1. os 0 3 2 z c l π ∂ − = − = < ∂ Tại điểm N(1,1) hàm số sẽ \ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 0 30 3. Hướng thay đổi nhanh nhất là -j Câu 2: Tìm trọng tâm của tam giác đồng nhất ABC với A(3,0,0), B(0,2,0), C(0,0,1). Phương trình mặt phẳng: 2 -2 y x N 1 3 2 x y z+ + = Đường thẳng AB: 1 3 2 x y + = 1) Khối lượng của tam giác: 2 2 1 1 36 4 9 1 3 2 9.4 7 7 6 2 D xy xy xy s D D ds dxdy dxdy dxdy + +     = + + =  ÷  ÷     = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 2) Tìm x G : 2 2 3 3 3 0 0 0 3 2 3 2 3 0 0 7 7 7 2 . (2 ) 6 6 6 3 7 2 7 2 7 7 2 ( ) (9 6) 6 3 6 9 6 2 xy x s D xds x dxdy dx xdy x x dx x x x dx x − = = = −   = − = − = − =  ÷   ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ →x G = 1 3) Tìm y G : 3 3 2 2 0 0 7 7 6 3 y s yds dy ydx − = = ∫∫ ∫ ∫ →y G = 2 3 4) Tìm z G : 2 2 3 3 2 2 3 2 3 0 0 0 0 7 7 7 (1 ) ( ) 6 3 2 6 3 4 6 x x s x y x y zds dx dy dx y y − − = − − = − − = ∫∫ ∫ ∫ ∫ →z G = 1 3 Toạ độ trọng tâm (1, 2 3 , 1 3 ). Câu 3: ( ) ( ) C I x y dx x y dy= + + − ∫ Tham số hoá đường cong C ta có: 2 y x B A C os , sin ,0 2x ac y b ϕ ϕ ϕ π = = ≤ ≤ 2 0 ( ) ( ) [ ( os sin )a sin ( os sin ) os ]d C I x y dx x y dy ac b ac b bc π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + + − = − + + − ∫ ∫ 2 2 2 2 2 0 2 ( ) ( ) 1 [ sin 2 os2 ] ( os2 sin 2 ) 0 0 2 4 2 a b a b abc d c ab π π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − + + = + = + = ∫ Áp dụng công thức Green với ,P x y Q x y = + = − 1 1 0 Q P x y ∂ ∂ − = − = ∂ ∂ Vậy I = 0 Câu 4: Giải phương trình vi phân: y ’’ -4y ’ +4y= 2 1 x e x x + thoả mãn điều kiện khi x=0 thì y=0 và y ’ =0 • Phương trình thuần nhất: y ’’ -4y ’ +4y=0 Phương trình đặc trưng: 2 4 4 0 λ λ − + = → 2 ( 1) 0 λ − = → 1 2 2 λ λ = = → 2 1 x y e = , 2 2 x y xe = • Phương trình không thuần nhất: Phương pháp hằng số biến thiên: . ⇒ { ' 2 ' 2 1 2 ' 2 ' 2 2 2 1 2 0 2 (2 ) 1 x x x x x x c e c xe c e c xe e e x x + = + + = + ⇒ { ' ' 1 2 ' ' 1 2 0 2 (2 1) 1 c c x c c x x x + = + + = + PT2-2PT1→ ' 2 1c x x = + →c 2 = ( ) ( ) 3 1 2 2 1 ( 1 1) 1 1 1x x dx x x dx x x dx   + = + − + = + − +     ∫ ∫ ∫ = ( ) ( ) 5 3 * 2 2 2 2 2 1 1 5 3 x x c + − + + Thay vào tìm c 1 ta có: ' ' 2 1 2 . 1c c x x x = − = − + → 2 1 1c x x dx = − + ∫ Đặt x+1=t → ( ) 2 2 2 1 2 1x t t t = − = − + ( ) ( ) 5 3 7 5 3 1 2 * 2 2 2 2 2 2 1 1 2 4 2 2 1 2 7 5 3 c t t tdt t t t dt t t t c → = − − + = − − + = − + − + ∫ ∫ Vậy y= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 7 5 3 5 3 * 2 * 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 1 1 1 1 1 7 5 3 5 3 x x x x x c e x x c xe     − + + + − + + + + − + +         Thay điều kiện ta có: * 1 16 105 c = , * 2 4 15 c = Thang điểm Bài 1(2đ): z ’ x =x 2 +x-y-1=0 (0.25) z ’ y =-x+ 1 2 2 y − =0 (0.25) M 1 (-1, -1) (0.25) M 2 (2, 5) (0.25) M 1 không cực trị (0.25) M 2 cực tiểu (0.25) Tại điểm N(1,1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 0 30 (0.25) Hướng thay đổi nhanh nhất là –j (0.25) Bài 2(3 đ): Vẽ được hình (0.5) Lập phương trình mặt phẳng 1 3 2 x y + = , 2 2 3 y = − + (0.5) Khối lượng 7 2 (0.5) Lập tích phân tính x G (0.25) Tính tích phân tính G x suy ra kết quả 1 (0.25) Lập tích phân tính G y (0.25) Tính tích phân tính G y suy ra kết quả 2/3 (0.25) Lập tích phân tính G z (0.25) Tính tích phân tính G z suy ra kết quả 1/3 (0.25) Bài 3(1 đ): Tham số hoá đường cong C ta có: os , sin ,0 2x ac y b ϕ ϕ ϕ π = = ≤ ≤ (0.25) 2 0 ( ) ( ) [ ( os sin )a sin ( os sin ) os ]d C I x y dx x y dy ac b ac b bc π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + + − = − + + − ∫ ∫ 2 2 2 0 2 2 ( ) [ sin 2 os2 ] 2 2 ( ) 1 ( os2 sin 2 ) 0 0 4 2 a b abc d a b c ab π ϕ ϕ ϕ π ϕ ϕ − + = + + = + = ∫ (0.5) Áp dụng công thức Green với ,P x y Q x y = + = − 1 1 0 Q P x y ∂ ∂ − = − = ∂ ∂ (0.25) Bài 4: Lập phương trình thuần nhất. (1/2) Tính nghiệm thuần nhất. (1/2) Lập 2 1C x x dx = + ∫ (1/2) Tính C 2 = ( ) ( ) 5 3 * 2 2 2 2 2 1 1 5 3 x x c + − + + (1/2) Lập 2 1 1c x x dx = − + ∫ (1/2) Tính C 1 = ( ) ( ) ( ) 7 5 3 * 2 2 2 1 2 4 2 1 1 1 7 5 3 x x x c − + + + − + + (1/2) Thay biểu thức trên ta được * 1 16 105 c = (1/2) * 2 4 15 c = (1/2) . TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 06 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1: Cho hàm số: 3 2 2 3 2 4 2 x. giác: 2 2 1 1 36 4 9 1 3 2 9.4 7 7 6 2 D xy xy xy s D D ds dxdy dxdy dxdy + +     = + + =  ÷  ÷     = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 2) Tìm x G : 2 2 3 3 3 0 0 0 3 2 3 2 3 0 0 7 7 7 2 . (2 ) 6 6 6 3 7 2 7. →y G = 2 3 4) Tìm z G : 2 2 3 3 2 2 3 2 3 0 0 0 0 7 7 7 (1 ) ( ) 6 3 2 6 3 4 6 x x s x y x y zds dx dy dx y y − − = − − = − − = ∫∫ ∫ ∫ ∫ →z G = 1 3 Toạ độ trọng tâm (1, 2 3 , 1 3 ). Câu 3: (