Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu ôn tập môn Xác suất thống kê của Ths. Hoàng Ngọc Nhâm.
Bài tập Toán Xác suất và Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm SV: Hồ Quang Vương Bài Email: kakaking262@yahoo.com 1.3: Lớp 35/K36 a, Gọi MSSV: 31101023112 A1 là biến cố “SV đạt yêu cầu môn 1” A2 là biến cố “SV đạt yêu cầu môn 2” A là biến cố “SV đạt yêu cầu cả 2 môn” thì A=A1A2 Áp dụng công thức nhân XS P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2/A1)=0,8.0,6=0,48 b, A là biến cố “SV không đạt yêu cầu môn 1” A và A là 2 biến cố đầy đủ và xung khắc Biến cố A2 có thể xảy ra đồng thời với 1 trong 2 biến cố trên Do đó, theo công thức xác suất đầy đủ P(A2)= P(A1)P(A2/A1)+ P( A )P(A2/ A ) = 0,8.0,6+0,2.0,3 =0,54 c, Gọi B là biến cố “SV đạt ít nhất một môn” Bài tập Toán Xác suất và Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm B=A1 A2 P(B)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2) =0,8+0,54-0,48 =0,86 d, B là biến cố “SV đạt ít nhất một môn” B là biến cố “SV không đạt yêu cầu cả 2 môn” P( B )=1-P(B)=1-0,86=0,14 Bài 1.5: a, A1 là biến cố “Lấy hộp thứ nhất ra chai thuốc tốt” A2 là biến cố “Lấy hộp thứ hai ra chai thuốc tốt” A là biến cố “Lấy được 2 chai thuốc tốt” thì A=A1A2 P( A) P( A1)P( A2 ) 58 35 38 b, Gọi B là biến cố “Lấy được 1 chai tốt và 1 chai kém phẩm chất” thì B A1A2 A1 A2 P(B) P( A1A2 ) ( A1 A2 ) 3 3 5 2 9 1 19 8 5 8 5 40 4 40 Bài tập Toán Xác suất và Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm c, Gọi C là biến cố “Chai kém phẩm chất thuộc hộp 1” Ta cần tính P(C/B) 3 P(CB) 8 35 9 P(C / B) P(B) 19 19 40 Câu 1.6 a, Gọi Ai (i=1,2) là biến cố “Chọn được hộp i” B là biến cố “Chọn được 2 chai thuốc tốt” P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2) C52 C32 23 0, 5 2 0,5 2 C8 C5 70 b, Gọi C là biến cố “Lấy được 1 chai tốt và 1 chai kém phẩm chất” P(C)= P(A1)P(C/A1)+P(A2)P(C/A2) 0, 5 2 3.5 0,5 2 2.3 159 C8 C5 280 Bài tập Toán Xác suất và Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm 0,5 2 3.5 P( A1)P(C / A1) C8 25 c, P( A1 / C) P(C) 159 53 280 Bài tập Toán Xác suất và Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm Bài 1.12 Gọi A1 là biến cố “Khách hàng biết được sản phẩm của công ty qua TV” A2 là biến cố “Khách hàng biết được sản phẩm của công ty qua đài phát thanh” A là biến cố “Khách hàng được chọn biết được sản phẩm quảng cáo của công ty” A=A1+A2 Vì A1 và A2 là hai biến cố không xung khắc nên P(A)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2) =15%+24%-10% =29% Bài tập Toán Xác suất và Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm Bài 1.17 Gọi Ai là biến cố “Sản phẩm thứ i được chọn là sản phẩm loại B” Để việc kiểm tra dừng lại ở sản phẩm thứ tư thì một trong ba lần đầu chọn được một sản phẩm loại B và lần thứ tư chọn được sản phẩm loại B còn lại Gọi B là biến cố “một trong ba lần đầu chọn được một sản phẩm loại B và lần thứ tư chọn được sản phẩm loại B còn lại” Ta có B A1 A2 A3 A4 A1A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 Vì các biến cố tích A1 A2 A3 A4 , A1A2 A3 A4 và A1 A2 A3 A4 là xung khắc nên: P(B) P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1A2 A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 ) Mà P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1)P( A2 / A1)P( A3 / A1 A2 )P( A4 / A1 A2 A3 ) 2 48 47 1 1 50 49 48 47 1225 Tương tự P( A1A2 A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 ) 1 1225 Bài tập Toán Xác suất và Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm P(B) 3 1225 Bài 1.18 Gọi A1;A2;A3 lần lượt là các biến cố SV thứ nhất, thứ hai, thứ ba rút được thăm có đánh dấu Ta có P( A1) 23 P A2 P A1 P A2 / A1 P( A1)P( A2 / A1) 2 1 1 1 2 32 3 3 P A3 P( A1 A2 A1) P( A1) 2.1 1 2 32 3 3 Vì P(A1)=P(A2)=P(A3) nên khả năng rút được thăm có đánh dấu của 3 SV là như nhau nên cách làm này là công bằng Bài tập Toán Xác suất và Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm Chương 2: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Bài 2.5: a, Gọi X là số sản phẩm loại I có trong 9 sản phẩm lấy ra từ 3 kiện X là đại lượng ngẫu nhiên và có thể nhận một trong các giá trị 3,4,5,6 Gọi Ai (i 0,3) là biến cố “Có i sản phẩm loại I lấy ra từ kiện II” Vì cả 3 sản phẩm lấy ra từ kiện I đều phải là sản phẩm loại I Cả 3 sản phẩm lấy ra từ kiện II đều phải là sản phẩm loại II nên: C53 1 P( X 3) P( A0 ) 3 C10 12 5.C52 5 P( X 4) P( A1) 3 C10 12 C52.5 5 P( X 5) P( A2 ) 3 C10 12 C53 1 P( X 6) P( A3 ) 3 C10 12 Bài tập Toán Xác suất và Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm b, Gọi Bi (i=1,2,3) là biến cố “chọn được kiện I” P(Bi ) 13 (i 1, 2,3) Gọi Ci là biến cố “có i sản phẩm loại I trong 3 sản phẩm lấy ra” và đại lượng ngẫu nhiên Y là số sản phẩm loại I có trong 3 sản phẩm Y có thể nhận một trong các giá trị 0,1,2,3 Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: P( X 0) P(C0 ) P(B1)P(C0 / B1) P(B2 )P(C0 / B2 ) P(B3 )P(C0 / B3 ) 1 C53 13 (0 3 1) 3 C10 36 Tương tự ta tính được 1 5.C52 53 P( X 1) P(C1) (0 3 0) C10 36 1 C52.5 53 P( X 2) P(C2 ) (0 3 0) C10 36 1 C53 13 P( X 3) P(C3 ) (1 3 0) 3 C10 36 X 0 1 2 3 13/36 P 13/36 5/36 5/36 Bài tập Toán Xác suất và Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm Bài 2.9: Gọi Ai (i=0,1,2) là biến cố “có i sản phẩm loại A trong 2 sản phẩm lấy ra từ kiện thứ nhất” Ta có: C82 14 P( A0 ) 2 33 C12 16 P( A1) 2 4.8 33 C12 1 C42 11 P( A2 ) 2 C12 Gọi BI (i=0,1,2,3) là biến cố “có i sản phẩm loại A trong 3 sản phẩm lấy ra từ kiện thứ hai” X là số sản phẩm loại A trong 3 sản phẩm lấy ra từ kiện thứ hai X là đại lượng ngẫu nhiên và X có thể nhận 1 trong các giá trị 0,1,2,3 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có: P(X=0)=P(B0)=P(A0)P(B0/A0)+ P(A1)P(B0/A1)+ P(A2)P(B0/A2) Bài tập Toán Xác suất và Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm Trong đó: C73 7 P(B0 / A0 ) 3 C10 24 C63 1 P(B0 / A1 ) 3 C10 6 C53 1 P(B0 / A2 ) 3 C10 12 P( X 0) P(B0 ) 1433 724 1633 16 111 112 733 ( 70 330) Tính tương tự ta được: 14 3.C72 16 4.C62 1 5.C52 83 166 P( X 1) P(B1) 3 3 3 ( ) 33 C10 33 C10 11 C10 165 330 14 C32.7 16 C42.6 1 C52 5 17 85 P( X 2) P(B2 ) 3 3 3 ( ) 33 C10 33 C10 11 C10 66 330 14 1 16 C43 1 C53 9 P( X 3) P(B3 ) 3 3 3 33 C10 33 C10 11 C10 330 Bài tập Toán Xác suất và Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm Bảng phân phối xác suất của X: X 0 1 2 3 9 P 70 166 85 330 330 330 330 b, E(X)=0.70/330+1.166/330+2.85/330+3.9/330=11/10=1,1 E(X2)= 02.70/330+12.166/330+22.85/330+32.9/330=587/330 Var(X)=E(X2)-E(X)2=587/330-(11/10)2 0,5688 Bài 2.18 X 4 6 8 10 12 P 0,05 0,1 0,3 0,4 0,15 Y -4 2 8 10 12 16 P 0,1 0,2 0,2 0,25 0,15 0,1 a, Ta có: E(X)=4.0,05+6.0,1+8.0,3+10.0,4+12.0,15=9 E(Y)=-4.0,1+2.0,2+8.0,2+10.0,25+12.0,15+16.0,1=7,5 b, Đầu tư vào công ty A có lãi suất kì vọng cao hơn Bài tập Toán Xác suất và Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm Để biết đầu tư vào công ty nào có mức độ rủi ro nhiều hay ít hơn ta cần tính và so sánh phương sai về lãi suất Công ty nào có phương sai về phần trăm lãi suất thấp hơn thì sẽ có ít rủi ro hơn E(X2)=85,2; E(Y2)=87,4 Var(X)=4,2; Var(Y)=31,15 Do vậy, đầu tư vào công ty A có ít rủi ro hơn Bài tập Toán Xác suất và Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm Chuong 3: Bài 3.23 Gọi X là khoảng thời gian (năm) từ khi sản phẩm được sử dụng đến khi bị hư Theo đề, X là đại lượng ngẫu nhiên được phân phối theo quy luật chuẩn với kì vọng toán là 11 và độ lệch chuẩn là 2 X~N(11, 2 ) a, Nếu quy định thời gian bảo hành là 10 năm thì để được bảo hành, sản phẩm phải có thời gian sử dụng đến lúc bị hư bé hơn hoặc bằng 10 năm Do vậy tỉ lệ bảo hành chính là xác suất P(X10) P(X10)= P(0X10) = (10 11) (0 11) ( 0,71) ( 7,78) 2 2 =(7,78) (0,71) 0,5 0, 26115 0, 23885 23, 9% b, Gọi thời gian tối thiểu cần bảo hành là α năm Bài tập Toán Xác suất và Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm Ta cần tìm α sao cho P(Xα)=10% hoặc P(Xα) 10% P(X α)=P(0 X α) = ( 11) (0 11) ( 11) ( 7,78) 2 2 2 =0,5 ( 11) =0,1 2 ( 11 2 ) =-0,4 11 1, 29 2 α9,18 năm( gần 9 năm 2 tháng) Với α=9 thì P(Xα)8% Bài tập Toán Xác suất và Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm Bài tập chương 4 Bài 4.5: X1 3 4 8 PY Y 3 0,15 0,06 0,25 0,04 0,5 6 0,30 0,10 0,03 0,07 0,5 PX 0,45 0,16 0,28 0,11 1 Ta có: P(Y 3 / X 4) P34 0, 25 25 P4 0, 28 28 Bài tập Toán Xác suất và Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm Bài 4.12 X 1 3 5 P 0,2 0,5 0,3 Ta có Y=X2+1 E(Y)=E(X2+1) Ta có thể xem một hằng số C bất kì là đại lượng ngẫu nhiên đặc biệt, chỉ nhận một giá trị có thể có là C với xác xuất tương ứng bằng 1 Do đó: E(X2+1)=E(X2)+E(1) Mà E(1)=1 (theo tính chất của kì vọng toán) nên E(X2+1)=E(X2)+1 Từ bảng phân phối xác suất của X ta tính được E(X2)=12.0,2+32.0,5+52.0,3=12,2 => E(Y)=E(X2)+1=12,2+1=13,2 Bài tập Toán Xác suất và Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm Bài 4.17 X1~B(2;0,7) nên X1 có thể nhận một trong các giá trị: 0,1,2 X2~N(10,6,3) nên X2 có thể nhận một trong các giá trị 0,1,2,3 Vì X1 là đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận một trong các giá trị 0,1,2 nên 2X1 cũng là đại lượng ngẫu nhiên và có thể nhận một trong các giá trị 0,2,4 Vì X1 và X2 là 2 đại lượng ngẫu nhiên độc lập Tức là phân phối xác suất của X1 không phụ thuộc vào việc đại lượng ngẫu nhiên X2 nhận giá trị là bao nhiêu nên 2X1 và X2 cũng là 2 đại lượng độc lập ... E(Y)=-4.0,1+2.0,2+8.0,2+10.0,25+12.0,15+16.0,1=7,5 b, Đầu tư va? ?o công ty A có lãi suất kì vọng cao Bài tập Toán Xác suất va? ? Thống kê Đại Học Kinh Tế TPHCM-Th.s Hoàng Ngọc Nhậm Để biết đầu tư va? ?o công ty nào có... ít ta cần tính va? ? so sánh phương sai về lãi suất Công ty nào có phương sai về phần trăm lãi suất thấp thì sẽ có ít rủi ro E(X2)=85,2; E(Y2)=87,4 Var(X)=4,2; Var(Y)=31,15 Do... lượng ngẫu nhiên va? ? có thể nhận một các giá trị 0,2,4 Vì X1 va? ? X2 là đại lượng ngẫu nhiên độc lập Tức là phân phối xác suất của X1 không phụ thuộc va? ?o việc đại lượng