Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Đại số tuyến tính
MU.C LU.C1 Ma trˆa.n - D-i.nh th´u.c 31.1 Ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 D-i.nh nghı˜a va` ca´c kha´i niˆe.m . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Ca´c phe´p toa´n trˆen ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Ma trˆa.n d¯ˆo´i x´u.ng va` ma trˆa.n pha’n x´u.ng. . . . . . . . 81.1.4 D-a th´u.c ma trˆa.n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 D-i.nh th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Phe´p thˆe´- Nghi.ch thˆe´. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 D-i.nh th´u.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Ma trˆa.n kha’nghi.ch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4 Ha.ng cu˙’a ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Hˆe.phu.o.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh 312.1 Hˆe.phu.o.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng qua´t. . . . . . . . . . . . . 312.1.1 D-i.nh nghı˜a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.2 Gia’i hˆe.phu.o.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh. . . . . . . . . . . . . 332.2 Hˆe.phu.o.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆa`n nhˆa´t. . . . . . . . . . . . . 402.2.1 D-i.nh nghı˜a va` tı´nh chˆa´t. . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.2 Hˆe.nghiˆe.m co.ba’n cu’a hˆe.phu.o.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆa`nnhˆa´t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.3 Cˆa´u tru´c nghiˆe.m cu’a hˆe.phu.o.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ngqua´t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 Khˆong gian vector 473.1 Kha´i niˆe.m vˆe`khˆong gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.1 D-i.nh nghı˜a khˆong gian vector . . . . . . . . . . . . . . 473.1.2 V`ai v´ı du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.1.3 Mˆo.t sˆo´tı´nh chˆa´t d¯o.n gia’n cu’a khˆong gian vector. . . . 493.2 Khˆong gian vector con. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3 Su phu.thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh v`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. . . . . . . . 511 2MU.C LU.C3.3.1 Tˆo’ho p tuyˆe´n tı´nh va` biˆe’u thi.tuyˆe´n tı´nh. . . . . . . . 513.3.2 D-ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a phu.thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh. . . . . . . 523.3.3 V`ai t´ınh chˆa´t vˆe`hˆe.phu.thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh v`a hˆe.d¯ˆo.c lˆa.ptuyˆe´n t´ınh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4 Ha.ng cu˙’a mˆo.t hˆe.vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4.1 Hˆe.con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh tˆo´i d¯a.i. . . . . . . . . . . . . 553.4.2 Ha.ng cu˙’a mˆo.t hˆe.vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.3 C´ac hˆe.vector trong Kn. . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5 Co.so.˙’- Sˆo´chiˆe`u - To.a d¯ˆo.cu˙’a khˆong gian vector. . . . . . . . 573.5.1 Co.so.˙’cu˙’a khˆong gian vector. . . . . . . . . . . . . . . 573.5.2 Hˆe.sinh cu˙’a mˆo.t khˆong gian vector. . . . . . . . . . . . 583.5.3 Sˆo´chiˆe`u. Khˆong gian h˜u.u ha.n v`a vˆo ha.n chiˆe`u. . . . . 593.5.4 To.a d¯ˆo.cu˙’a mˆo.t vector trong khˆong gian n chiˆe`u. . . . 604 Da.ng to`an phu.o.ng 664.1´Anh xa.song tuyˆe´n t´ınh, da.ng song tuyˆe´n t´ınh. . . . . . . . . 664.1.1 D-i.nh ngh˜ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.1.2 Ma trˆa.n cu˙’a da.ng song tuyˆe´n t´ınh. . . . . . . . . . . . 674.2 Da.ng to`an phu.o.ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.1 D-i.nh ngh˜ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.2 D-u.a da.ng to`an phu.o.ng vˆe`da.ng ch´ınh tˇa´c. . . . . . . . 694.2.3 Da.ng chuˆa˙’n tˇa´c cu˙’a da.ng to`an phu.o.ng. . . . . . . . . 764.2.4 Da.ng to`an phu.o.ng x´ac d¯i.nh ˆam, x´ac d¯i.nh du.o.ng, luˆa.tqu´an t´ınh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Ba`i gia’ng D-a.i sˆo´tuyˆe´n tı´nh Chu.o.ng 1Ma trˆa.n - D-i.nh th´u.c1.1 Ma trˆa.n1.1.1 D-i.nh nghı˜a va` ca´c kha´i niˆe.mCho K la` mˆo.t tru.`o.ng.D-i.nh nghı˜a 1.1. Cho m, n la` hai sˆo´nguyˆen du.o.ng. Ta go.i mˆo.t ma trˆa.n Acˆa´p m × n la` mˆo.t ba’ng gˆo`m m.n phˆa`n tu.’aij∈ K (i = 1, m; j = 1, n) d¯u.o cs˘a´p xˆe´p tha`nh m do`ng va` n cˆo.t nhu.sau:A =a11a12. . . a1na21a22. . . a2n··· ··· ··· ···am1am2. . . amnKı´ hiˆe.u: A = (aij)m×n.Ca´c phˆa`n tu.’o.’do`ng th´u.i va` cˆo.t th´u.j d¯u.o c go.i la` phˆa`n tu.’aij. Ca´c phˆa`ntu.’ai1, ai2, . . . , aind¯u.o c go.i la` ca´c phˆa`n tu.’thuˆo.c do`ng th´u.i. Ca´c phˆa`n tu.’a1j, a2j, . . . , amjd¯u.o c go.i la` ca´c phˆa`n tu.’thuˆo.c cˆo.t th´u.j.Vı´ du.:−1 3 6 06 −2 1 82 2 5 1la` ma trˆa.n cˆa´p 3 × 4 (3 ha`ng, 4 cˆo.t)Ca´c kha´i niˆe.m kha´c:1. Ma trˆa.n khˆong. Mˆo.t ma trˆa.n cˆa´p m× n d¯u.o c go.i la` ma trˆa.n khˆong nˆe´umo.i phˆa`n tu.’d¯ˆe`u b˘a`ng 0.2. Ma trˆa.n vuˆong. Mˆo.t ma trˆa.n A = (aij)m×nd¯u.o c go.i la` ma trˆa.n vuˆongnˆe´u m = n. Lu´c d¯o´ ta go.i A la` ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n, kı´ hiˆe.u A = (aij)n.3 4 1. Ma trˆa.n - D-i.nh th´u.c3. Cho ma trˆa.n vuˆongA = (aij)n=a11a12. . . a1na21a22. . . a2n··· ··· ··· ···an1an2. . . annCa´c phˆa`n tu.’a11, a22, . . . , anngo.i la` ca´c phˆa`n tu.’thuˆo.c d¯u.`o.ng che´o chı´nh.Ca´c phˆa`n tu.’a1n, a2n−1, . . . , an1go.i la` ca´c phˆa`n tu.’n˘a`m trˆen d¯u.`o.ng che´ophu 4. Ma trˆa.n d¯o.n vi Cho ma trˆa.n vuˆong A = (aij)n. A d¯u.o c go.i la` ma trˆa.nd¯o.n vi.nˆe´u mo.i phˆa`n tu.’n˘a`m trˆen d¯u.`o.ng che´o chı´nh d¯ˆe`u b˘a`ng 1 co`n ca´c phˆa`ntu.’kha´c d¯ˆe`u b˘a`ng 0. Lu´c d¯o´ A d¯u.o c kı´ hiˆe.u la` In: ma trˆa.n d¯o.n vi.cˆa´p n.Vı´ du I2=1 00 1I3=1 0 00 1 00 0 15. Ma trˆa.n che´o. Cho A = (aij)n. A d¯u.o c go.i la` ma trˆa.n che´o nˆe´u mo.iphˆa`n tu.’khˆong thuˆo.c d¯u.`o.ng che´o chı´nh d¯ˆe`u b˘a`ng 0.Vı´ du A =1 0 00 −2 00 0 5la` ma trˆa.n che´o.6. Ma trˆa.n tam gia´c. Cho A = (aij)n. A la` ma trˆa.n tam gia´c trˆen nˆe´umo.i phˆa`n tu.’n˘a`m du.´o.i d¯u.`o.ng che´o chı´nh d¯ˆe`u b˘a`ng 0. A la` ma trˆa.n tam gia´cdu.´o.i nˆe´u mo.i phˆa`n tu.’n˘a`m trˆen d¯u.`o.ng che´o chı´nh d¯ˆe`u b˘a`ng 0. A la` mˆo.t matrˆa.n tam gia´c nˆe´u no´ la` ma trˆa.n tam gia´c trˆen ho˘a.c du.´o.i.A =a11a12. . . a1n−1a1n0 a22. . . a2n−1a2n··· ··· ··· ··· ···0 0 . . . an−1n−1an−1n0 0 . . . 0 annla` ma trˆa.n tam gia´c trˆen.B =a110 . . . 0 0a21a22. . . 0 0··· ··· ··· ··· ···an−11an−11. . . an−1n−10an1an2. . . an−1nannla` ma trˆa.n tam gia´c du.´o.i.Ba`i gia’ng D-a.i sˆo´tuyˆe´n tı´nh 1.1. Ma trˆa.n 57. Ma trˆa.n A = (aij)1×n= [a11, a12, . . . , a1n] d¯u.o c go.i la` ma trˆa.n do`ng.Ma trˆa.n B = (bij)m×1=a11a21···am1d¯u.o c go.i la` ma trˆa.n cˆo.t.8. Ma trˆa.n bˆa.c thang. Ma trˆa.n cˆa´p m × n co´ aij= 0 ; ∀i, j , i > j go.i la`ma trˆa.n bˆa.c thang.Vı´ du.:A =3 4 5 6 7 80 0 7 6 9 40 0 0 0 1 20 0 0 0 0 0la` ma trˆa.n bˆa.c thang.9. Hai ma trˆa.n A = (aij)m×nva` B = (bij)m×nd¯u.o c go.i la` b˘a`ng nhau nˆe´uaij= bij, ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.1.1.2 Ca´c phe´p toa´n trˆen ma trˆa.na. Cˆo.ng ma trˆa.n.D-i.nh nghı˜a 1.2. Cho hai ma trˆa.n cu`ng cˆa´p A = (aij)m×nva` B = (bij)m×n.Tˆo’ng cu’a hai ma trˆa.n A, B la` mˆo.t ma trˆa.n C = (cij)m×nv´o.i cij= aij+bij, ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. Kı´ hiˆe.u: A + B = C.Vı´ du 1 2 24 −2 57 −3 4+6 3 −82 −2 10 0 5=1 + 6 2 + 3 2 + (−8)4 + 2 −2 + (−2) 5 + 17 + 0 −3 + 0 4 + 5=7 5 −66 0 67 −3 9Tı´nh chˆa´t 1.1. Cho A, B, C, 0 la` ca´c ma trˆa.n cu`ng cˆa´p, khi d¯o´ ta co´:(i) (A + B) + C = A + (B + C) (tı´nh kˆe´t ho p)(ii) A + B = B + A(tı´nh giao hoa´n)(iii) A + 0 = 0 + A = ABa`i gia’ng D-a.i sˆo´tuyˆe´n tı´nh 6 1. Ma trˆa.n - D-i.nh th´u.c(iv) A + (−A) = (−A) + A = 0b. Nhˆan mˆo.t phˆa`n tu.’cu’a tru.`o.ng K v´o.i ma trˆa.n.D-i.nh nghı˜a 1.3. Cho A = (aij)m×n, k ∈ K. Phe´p nhˆan mˆo.t phˆa`n tu.’cu’atru.`o.ng K v´o.i ma trˆa.n A cho ta mˆo.t ma trˆa.n B = (bij)m×nv´o.i bij= k.aij, ∀i =1, m, ∀j = 1, n.Kı´ hiˆe.u: kA.kA = B = (bij)m×n=ka11. . . ka1n. . . . . . . . .kam1. . . kamnD-˘a.t biˆe.t, khi k = −1 ∈ K, thay cho (−1)A, ta se˜viˆe´t −A va` go.i no´ la` matrˆa.n d¯ˆo´i cu’a A. Nhu.vˆa.y: (−aij)m×n= −(aij)m×n∀i = 1, m, ∀j = 1, n.Vı´ du 2.1 2 24 −2 57 −3 4=2 4 48 −4 1014 −6 8Tı´nh chˆa´t 1.2. Cho A, B la` ca´c ma trˆa.n cu`ng cˆa´p, α, β ∈ K. Khi d¯o´ ta co´:(i) α(A + B) = αA + αB(ii) (α + β)A = αA + βA(iii) α(βA) = (αβ)A = β(αA)(iv) 1.A = Ac. Phe´p nhˆan hai ma trˆa.n.D-i.nh nghı˜a 1.4. Cho A = (aij)m×nla` ma trˆa.n cˆa´p m × n trˆen K va` B =(bjk)n×pla` ma trˆa.n cˆa´p n× p trˆen K. Ta go.i la` tı´ch cu’a A v´o.i B, kı´ hiˆe.u AB,mˆo.t ma trˆa.n C = (cik)m×pcˆa´p m× p trˆen K ma` ca´c phˆa`n tu.’cu’a no´ d¯u.o c xa´cd¯inh nhu.sau:cik=nj=1aijbjk; ∀i = 1, m, ∀k = 1, p.Minh ho.a:Vı´ du Cho ca´c ma trˆa.n:A =1 2 −13 1 2, B =1 32 13 −1, C =2 −11 0Ba`i gia’ng D-a.i sˆo´tuyˆe´n tı´nh 1.1. Ma trˆa.n 7Khi d¯o´:AB =1 2 −13 1 21 32 13 −1=1.1 + 2.2 + (−1).3 1.3 + 2.1 + (−1).(−1)3.1 + 1.2 + 2.3 3.3 + 1.1 + 2.(−1)=2 611 8BA =1 32 13 −11 2 −13 1 2=10 5 55 5 00 0 −5AC va` CB khˆong xa´c d¯i.nh.Nhˆa.n xe´t:1 D-iˆe`u kiˆe.n d¯ˆe’phe´p nhˆan hai ma trˆa.n thu c hiˆe.n d¯u.o c la` sˆo´cˆo.t cu’a matrˆa.n 1 b˘a`ng sˆo´do`ng cu’a ma trˆa.n 2.2 AB = BA. Phe´p nhˆan hai ma trˆa.n khˆong co´ tı´nh giao hoa´n.Ta kı´ hiˆe.u Mm,n(K) la` tˆa.p tˆa´t ca’nh˜u.ng ma trˆa.n cˆa´p m × n trˆen tru.`o.ng K,Mn(K) la` tˆa.p tˆa´t ca’nh˜u.ng ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n trˆen tru.`o.ng K.Tı´nh chˆa´t 1.3. V´o.i phe´p nhˆan hai ma trˆa.n ta co´ ca´c tı´nh chˆa´t sau:(i) (AB)C = A(BC); A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K), C ∈ Mp,q(K).(ii) A(B + C) = AB + AC; A ∈ Mm,n(K), B, C ∈ Mn,p(K).(A + B)C = AC + BC; A, B ∈ Mm,n(K), C ∈ Mn,p(K).(iii) α(AB) = (αA)B = A(αB); A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K), α ∈ K.(iv) AIn= A = ImA; A ∈ Mm,n(K), Im, Inla` ca´c ma trˆa.n d¯o.n vi.cˆa´p lˆa`nlu.o t la` m, n.d. Chuyˆe’n vi.ma trˆa.n.D-i.nh nghı˜a 1.5. Cho A = (aij)m×n. Chuyˆe’n vi.cu’a ma trˆan A la` ma trˆa.n Bco´ cˆa´p n × m va` ca´c phˆa`n tu.’d¯u.o c xa´c d¯i.nh nhu.sau:bij= aji, i = 1, m, j = 1, n.Ta kı´ hiˆe.u ma trˆa.n chuyˆe’n vi.cu’a ma trˆan A la` At. No´i mˆo.t ca´ch kha´c chuyˆe’nvi.cu’a ma trˆa.n A la` ma trˆa.n B d¯u.o c suy ra b˘a`ng ca´ch d¯ˆo’i do`ng tha`nh cˆo.t va`cˆo.t tha`nh do`ng.Ba`i gia’ng D-a.i sˆo´tuyˆe´n tı´nh 8 1. Ma trˆa.n - D-i.nh th´u.cVı´ du A =1 −1 0 22 3 −5 01 0 3 43×4At=1 2 1−1 3 00 −5 32 0 44×3Tı´nh chˆa´t 1.4. Phe´p chuyˆe’n vi.ma trˆa.n co´ nh˜u.ng tı´nh chˆa´t sau:1. (A ± B)t= At± Bt, A, B ∈ Mm,n(K).2. (αA)t= αAt, A ∈ Mm,n(K), α ∈ K.3. (AB)t= BtAt, A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K).4. (In)t= In, Inla` ma trˆa.n d¯o.n vi.cˆa´p n.5. A la` ma trˆa.n che´o thı` At= A.1.1.3 Ma trˆa.n d¯ˆo´i x´u.ng va` ma trˆa.n pha’n x´u.ng.D-i.nh nghı˜a 1.6. Cho A la` ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n .+) A go.i la` ma trˆa.n d¯ˆo´i x´u.ng nˆe´u At= A.+) A go.i la` ma trˆa.n pha’n x´u.ng nˆe´u At= −A.Vı´ du Cho A =1 −2 1−2 3 10 1 −1. Ta co´ At=1 −2 1−2 3 10 1 −1= A. Vˆa.y A la` matrˆa.n d¯ˆo´i x´u.ng.Cho B =0 −2 12 0 3−1 −3 0. Ta co´ Bt=0 2 −1−2 0 −31 3 0= −B. Vˆa.y B la` matrˆa.n pha’n x´u.ng.Nhˆa.n xe´t. Nˆe´u A la` mˆo.t ma trˆa.n pha’n x´u.ng thı` ca´c phˆa`n tu.’trˆen d¯u.`o.ngche´o chı´nh cu’a no´ b˘a`ng 0.Ba`i gia’ng D-a.i sˆo´tuyˆe´n tı´nh 1.1. Ma trˆa.n 91.1.4 D-a th´u.c ma trˆa.n.D-i.nh nghı˜a 1.7. Cho A la` mˆo.t ma trˆa.n vuˆong trˆen K va` p(x) = a0+ a1x +··· + anxn∈ K[x] la` mˆo.t d¯a th´u.c cu’a biˆe´n x v´o.i hˆe.sˆo´trˆen K. Khi d¯o´ matrˆa.na0I + a1A + ··· + anAn,trong d¯o´, I la` ma trˆa.n d¯o.n vi.cu`ng cˆa´p v´o.i A, d¯u.o c go.i la` gia´ tri.cu’a d¯a th´u.cp(x) tai x = A, kı´ hiˆe.u p(A). No´ cu˜ng d¯u.o c go.i la` d¯a th´u.c ma trˆa.n.A go.i la` mˆo.t nghiˆe.m ma trˆa.n cu’a d¯a th´u.c p(x) nˆe´u d¯a th´u.c ma trˆa.np(A) = 0 (ma trˆa.n khˆong cu`ng cˆa´p v´o.i A).Ba`i tˆa.p.1.1.1 Cho ca´c ma trˆa.n:A =1 2−1 02 1; B =1 32 1−3 −2; C =2 50 34 2; D =1 42 53 6.Tı´nh: a) 5A − 3B + 2C + 4D; b) A + 2B − 3C − 5D.1.1.2 Cho ma trˆa.n:A =1 −2 64 3 −82 −2 5.Tı`m ma trˆa.n X sao cho: a) 3A + 2X = I3; b) 5A − 3X = I3.1.1.3 Kı´ hiˆe.u (r × s) la` mˆo.t ma trˆa.n cˆa´p r × s trˆen K. Tı`m m, n ∈ N\{0}trong ca´c tru.`o.ng ho p sau:a) (3 × 4) × (4 × 5) = (m × n); b) (2 × 3) × (m × n) = (2 × 6); c)(2 × m) × (4× 3) = (2 × n).1.1.4 Tı´nh:a)1 2 −33 0 41 1 0 20 1 1 01 0 2 11 42 13 24 3; b)3 2−4 −25; c)1 10 1n;d)λ 10 λn; e)cos ϕ − sin ϕsin ϕ cos ϕn; (n ∈ N, 0 ≤ ϕ < 2π).Ba`i gia’ng D-a.i sˆo´tuyˆe´n tı´nh 10 1. Ma trˆa.n - D-i.nh th´u.c1.1.5 Cho ma trˆa.n:A =0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0.Tı´nh ca´c ma trˆa.n: AAtva` AtA.1.1.6 Ch´u.ng minh ca´c tı´nh chˆa´t 1.1, 1.2, 1.3, 1.4.1.1.7 Cho d¯a th´u.c p(x) = x2− 3x + 1. Tı´nh ca´c d¯a th´u.c ma trˆa.n p(A), p(B)biˆe´tA =1 20 4; B =1 2 −33 0 40 −1 0.1.1.8 Ch´u.ng minh r˘a`ng:a) A =2 0 00 2 00 0 −1la` mˆo.t nghiˆe.m cu’a p(x) = x3− 3x2+ 4;b) B =a bc d∈ M2(K) la` nghiˆe.m cu’a q(x) = x2− (a + d)x ++(ad − bc) ∈ K[x].1.1.9* V´o.i mˆo˜i ma trˆa.n vuˆong A = (aij)n∈ Mn(K), ta go.i tˆo’ng ca´c phˆa`n tu.’trˆen d¯u.`o.ng che´o chı´nh cu’a A la` vˆe´t cu’a no´, kı´ hiˆe.u tr(A). T´u.c la`:tr(A) = a11+ a22+ ··· + ann.Ch´u.ng minh r˘a`ng v´o.i mo.i A, B ∈ Mn(K) ta d¯ˆe`u co´:tr(AB) = tr(BA).1.1.10* Ch´u.ng minh r˘a`ng khˆong tˆo`n ta.i ca´c ma trˆa.n vuˆong A, B ∈ Mn(K) saocho AB − BA = In.1.2 D-i.nh th´u.c1.2.1 Phe´p thˆe´- Nghi.ch thˆe´.D-i.nh nghı˜a 1.8. Cho n la` mˆo.t sˆo´nguyˆen du.o.ng va` X la` mˆo.t tˆa.p ho p co´ nphˆa`n tu.’. Mˆo.t phe´p thˆe´bˆa.c n la` mˆo.t song a´nh σ t`u.X lˆen chı´nh no´. KhˆongBa`i gia’ng D-a.i sˆo´tuyˆe´n tı´nh 123doc.vn