Đang tải... (xem toàn văn)
Ứng dụng hình học xạ ảnh để giải và sáng tạo ra các bài toán sơ cấp
OABDCMIJNJIMCDBAO(b)(a)ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀO GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN SƠ CẤP Tóm tắt: Bài viết trình bày một số ví dụ về việc ứng dụng hình học xạ ảnh để giải và sáng tạo ra các bài tốn sơ cấp trong hình học phẳng. Nội dung tập trung chủ yếu vào việc thể hiện, khai thác các kết quả cơ bản của hình học xạ ảnh trong mặt phẳng xạ ảnh P2 như: Định lí Desagues, hình bốn đỉnh, hình bốn cạnh tồn phần , tỉ số kép, phép phối cảnh, phép đối hợp,… vào việc giải và sáng tạo các bài tốn hình học sơ cấp.1. Mở đầu:2. Một số kiến thức cơ bản của hình học xạ ảnh trong mặt phẳng.* Mơ hình xạ ảnh của mặt phẳng afine(ơclit).* Hình ba đỉnh và định lí Desagues.* Hình bốn đỉnh và tính chất của hình bốn đỉnh.* Tỉ số kép.* Liên hệ xạ ảnh, liên hệ phối cảnh, phép đối hợp3. Ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo các bài tốn sơ cấp.a) Tứ giác tồn phần và các bài tốn sơ cấp: Rất nhiều bài tốn trong hình học phẳng khi chuyển qua bài tốn xạ ảnh tương ứng ta thì bài tốn đó chính là nội dung định lí Desagues hoặc áp dụng tính chất của hình bốn cạnh tồn phần *) Các bài tốn chứng minh:Ví dụ 1: Trong mặt phẳng cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. CMR đường thẳng đi qua giao điểm của hai cạnh bên và giao điểm của hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm của hai cạnh đáy.Giải: Đây chính là bài tốn Afine trong A2 . Gọi O = AD ∩ BC, M = AC ∩ BD. Ta cần chứng minh OM đi qua trung điểm của AB và CD.Ta bổ sung vào mặt phẳng A2 đường thẳng vơ tận ∆ ta thu được mặt phẳng xạ ảnh P2. Trong mặt phẳng này hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng vơ tận. Ta thu được bài tốn xạ ảnh sau: Trong mặt phẳng xạ ảnh cho đường thẳng ∆ và hình bốn cạnh tồn phần ABCD sao cho giao điểm N = AB ∩ CD ∈ ∆ .Gọi O = AD ∩ BC, M = AC ∩ BD. Đường thẳng OM cắt cạnh AB và CD tại I và J. Chứng minh rằng (A, B, I, N) = -1 và (D, C, J, N) = -1.Để giải bài toán này ta chỉ cần áp dụng tính chất của hình bốn cạnh toàn phần.Ví dụ 2: Trong mặt phẳng afine cho tam giác ABC và các hình bình hành sao cho mỗi một hình trong chúng có một đường chéo là là một cạnh của tam giác, còn hai cạnh kề nhau là hai cạnh còn lại của tam giác. Chứng minh rằng các đường chéo thứ hai của các hình bình hành đồng quy tại một điểm.Giải: Bài toán đã cho tương ứng với bài toán xạ ảnh sau: Trong P2 cho tam giác ABC và đường thẳng ∆ không đi qua đỉnh của tam giác. Các cạnh của tam giác cắt đường thẳng ∆ tại bai điểm I, J, K Dựng các đường thẳng IC, JA, KB. Gọi P = JA ∩ KB, Q = JA ∩ IC, R = KB ∩ IC. Chứng minh rằng ba đường thẳng Ả, BQ, CR đồng quy tại một điểm O.Áp dụng định lí Desagues cho hai tam giác ABC và RQP ta có giao điểm của các cặp cạnh tương ứng thẳng hàng suy ra đường thẳng đi qua các cặp đỉnh tương ứng đồng quy tại một điểm O.Ví dụ 3: Trong mặt phẳng afine cho tam giác A1A2A3 và một đường thẳng d không đi qua các đỉnh của tam giác. Gọi P1 = d ∩ A2A3, P2 = d ∩ A1A3 , P3= d ∩ A1A2 . Với mỗi cặp đỉnh (Pi ,Pj ), dựng đường thẳng qua Pj và song song với cạnh của hình tam giác chúa Pi . Gọi Mij là giao điểm của các đường thẳng đó. Chứng minh rằng ba điểmM12, M13, M23 thẳng hàng.Bài toán xạ ảnh tương ứng: Cho hình ba đỉnh (tam giác) A1A2A3 ACBPQROABRCQIJKPOA1A2A3P3P1P2M13M12M23A2A3P3P1P2∆Q3Q1Q2M13M12M23A1 và hai đường thẳng phân biệt d, ∆ không đi qua đỉnh nào của tam giác. Gọi P1 = d ∩ A2A3, P2 = d ∩ A1A3 , P3= d ∩ A1A2 . Gọi Q1 = ∆ ∩ A2A3, Q2 = ∆ ∩ A1A3 , Q3= ∆ ∩ A1A2 . *) Các bài toán dựng hình:Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng song song a, b của mặt phẳng afine A2 , A, B là hai điểm nằm trên a. Hãy dựng trung điểm của đoạn AB bằng cách chỉ dùng thức kẻ.Bổ sung vào mặt phẳng afine đường thẳng vô tân ∆ và gọi O = a ∩ b. Bài toán tương ứng trong mặt phẳng xạ ảnh: Trong mặt phẳng xạ ảnh, cho trước một đường thẳng ∆ và hai đường thẳng a, b cắt nhau tại một điểm O nằm trên ∆. Trên a lấy hai điểm A,B tuỳ ý. Hãy dựng điểm I thuộc a sao cho (A, B, I, O)=-1. Từ đó, ta suy ra chỉ cần dựng tứ giác toàn phần sao cho A,B là hai đỉnh và I, O là hai điểm chéo. Từ đó ta suy ra cách dựng như sau:Giải: Lấy một điểm S không nằm trên hai đường thẳng a, b. Đường thẳng SA, SB cắt đường thẳng b tại P, Q. Gọi M =PB ∩ QA. Dựng đường thẳng SM cắt AB tại I. I chính là trung điểm của AB. (Hình 1)Ví dụ 3: Trong A2 cho đoạn AB và trung điểm I của đoạn đó. Chỉ dùng thước kẻ, qua một điểm M cho trước hãy dựng một đường thẳng song song với đường thẳng AB.Giải: Lấy một điểm S không nằm trên đường thẳng a và khác M. Dựng đường thẳng SI cắt đường thẳng BM tại P. Dựng đường thẳng AP cắt đường thẳng SB tại Q. Đường thẳng đi qua hai điểm MQ chính là đường thẳng b cần dựng. (Hình 2)Ví dụ 4: Trong mặt phẳng afine cho một tam giác ABC, một đường trung bình IJ của nó và một đường thẳng d. Chỉ dùng các đường thẳng hãy dựng qua một điểm P đã cho , một đường thẳng song song với đường thẳng d.AH 2H 1SM QABIPbaabMIBQPS Giải: ABCIJPdVì từ một bài toán xạ ảnh ta có thể có nhiều bài toán afine khác nhau do việc lựa chọn các đường thẳng vô tận khác nhau. Dựa vào nhận xét này ta có thể sáng tạo ra nhiều bài toán afine khác nhau từ một bài toán ( kết quả) của hình học xạ ảnh. Để làm ví dụ, ta xét định lí Desagues:Định lí: Cho hai hình ba đỉnh giác ABC và A’B’C’. Nếu các đường thẳng nối các cặp đỉnh tương ứng của hai tam giác đi qua một điểm thì giao điểm của các cặp cạnh tương ứng nằm trên một đường thẳng và ngược lại.Nếu ta chọn đường thẳng vô tận ∆ không chứa bất kì đỉnh nào nói trên thì ta thu được bài toán afine tương ứng như trên: Trong mặt phẳng, Cho hai tam giác ABC và A’B’C’. Nếu các đường thẳng nối các cặp đỉnh tương ứng của hai tam giác đi qua một điểm thì giao điểm của các cặp cạnh tương ứng nằm trên một đường thẳng và ngược lại.Bây giờ, Nếu ta chọn đường thẳng MN làm đường thẳng vô tận thì ta thu được bài toán: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có các đường thẳng đi qua các cặp đỉnh tương ứng đồng PNMOC'B'A'CABABA'C'B'CO quy và có hai cặp cạnh tương ứng song song. Chứng minh rằng cặp cạnh tương ứng còn lại cũng song song với nhau.4. Kết luận.5.Hướng phát triển của đề tài: . OABDCMIJNJIMCDBAO(b)(a )ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀO GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN SƠ CẤP Tóm tắt: Bài viết trình bày một số ví dụ về việc ứng dụng hình học. dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo các bài tốn sơ cấp. a) Tứ giác tồn phần và các bài tốn sơ cấp: Rất nhiều bài
