Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Quy hoạch tuyến tính
1 Bài toán vận tải 3.1 Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ Cần vận chuyển hàng hoá từ m kho (điểm phát) Pi, i=1,2,…,m đến n nơi tiêu thụ (điểm thu) Tj, j=1,2,…,n. Lượng hàng có ở mỗi kho Pi là ai, i=1,2,…,m. Lượng hàng cần ở mỗi nơi tiêu thụ Tj là bj, j=1,2,…,n. Chi phí vận chuyển 1 đơn vị hàng từ kho Pi đến nơi tiêu thụ Tj là cij, i=1,2,…m, j=1,2,…,n. Cho biết tổng lượng hàng ở các kho bằng tổng lượng hàng cần tiêu thụ. Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng hoá sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất và đảm bảo yêu cầu thu phát. 2 Bài toán vận tải Gọi xij là lượng hàng cần vận chuyển từ điểm phát Pi đến điểm thu Tj, xij 0. Tổng chi phí vận chuyển là: f = c11x11 + c12x12 + … + cmnxmn hay f = cijxij Lượng hàng vận chuyển đi từ kho Pi, i=1,2,…,m: xi1 + xi2 + … + xin = ai hay xij = ai , i=1,2,…,m. Lượng hàng vận chuyển đến nơi tiêu thụ Tj, j=1,2,…,n: x1j + x2j + … + xmj = bj hay xij = bj , j=1,2,…,n. Do lượng hàng phát ra bằng lượng hàng thu vào nên ta có: ai = bj , i=1,2,…,m, j=1,2,…,n 3 Bài toán vận tải Bài toán vận tải là bài toán quy hoạch tuyến tính nên ta cũng có thể giải bằng phương pháp đơn hình. Mô hình toán học của bài toán là: Tìm x = (x11, x12, … , xmn) sao cho f = cijxij min với các điều kiện ràng buộc sau đây xij = ai, i=1,2,…,m. xij = bj, j=1,2,…,n. xij 0, i=1,2,…,m, j=1,2,…,n. trong đó ai = bj (điều kiện cân bằng thu phát) Ta trình bày dưới dạng bảng sau còn gọi là bảng vận tải: 4 Bài toán vận tải ThuPhát b1 b2 … bn a1 c11 x11 c12 x12 … c1n x1n a2 c21 x21 c22 x22 … c2n x2n … … … … … am cm1 xm1 cm2 xm2 … cmn xmn 5 Bài toán vận tải 3.2 Một số khái niệm Ta g ọi vectơ Ô (i, j) là ô nằm trên dòng i, cột j cho ta xác định lượng hàng cũng như cước phí vận chuyển một đơn vị hàng từ Pi đến Tj. Ô chọn là ô (i, j) mà xij > 0, ô loại là ô (i, j) mà xij = 0. Dây chuyền là một tập hợp các ô chọn sao cho không có quá hai ô liên tiếp nằm trên cùng một dòng hoặc cột. Chu trình là một dây chuyền khép kín. Số các ô trong một chu trình là số chẵn. Số các ô tối đa trong bảng không tạo thành chu trình là m + n 1. Với m + n 1 ô không tạo thành chu trình ta có thể bổ sung thêm một ô bất kỳ để có ít nhất một chu trình. Xét bảng vận tải m n. 6 Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ Dây chuyền Không là dây chuyền Một số chu trình thường gặp 7 Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ Ma trận cước phí là ma trận (cij) với cij là cước phí vận chuyển một đơn vị hàng từ Pi đến Tj. Phương án hay ma trận phương án là ma trận (xij) với xij là lượng hàng cần vận chuyển từ Pi đến Tj. Một phương án cực biên là phương án có số ô chọn tương ứng không tạo thành chu trình tối đa là m + n 1, nếu số ô này bằng đúng m + n 1 ta có phương án cực biên không suy biến, ngược lại ta có phương án cực biên suy biến. Trường hợp phương án cực biên suy biến ta có thể bổ sung thêm một số “ô chọn 0” để có m + n 1 ô không tạo thành chu trình. Lưu ý: Bài toán vận tải cân bằng thu phát luôn có phương án tối ưu. 8 Bài toán vận tải 3.3 Tìm phương án cực biên ban đầu Ta g ọi vectơ Tìm ô có cước phí bé nhất, phân phối lượng hàng tối đa có thể vào ô đó. Loại bỏ dòng hay cột đã phân phối đủ hàng, tiếp tục quá trình cho đến khi phân phối hết hàng. 3.3.1 Phương pháp “min” cước VD29: Tìm phương án cực biên ban đầu 30 60 50 40 45 1 5 7 2 80 5 7 4 9 55 12 2 3 6 9 Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ VD30: Tìm phương án cực biên ban đầu 130 140 120 160 180 20 18 22 25 170 15 25 30 15 200 45 30 40 35 30 60 50 40 45 1 30 5 7 2 15 80 5 7 5 4 50 9 25 55 12 2 55 3 6 Phương án cực biên 30 0 0 15 x = 0 5 50 25 0 55 0 0 Giá trị mục tiêu f = 630 10 Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ 130 140 120 160 180 20 18 140 22 40 25 170 15 130 25 30 15 40 200 45 30 40 80 35 120 Tính hiệu số cước phí của hai ô có cước phí bé nhất trên các dòng và cột. 3.3.2 Phương pháp Vogel Phương án cực biên 0 140 40 0 x = 130 0 0 40 0 0 80 120 Giá trị mục tiêu f = 13350 [...]... với mọi i, j thì phương án đang xét là phương án tối ưu, trong trường hợp trái lại ta chuyển sang xây dựng phương án mới. 3 Bài toán vận tải Bài toán vận tải là bài tốn quy hoạch tuyến tính nên ta cũng có thể giải bằng phương pháp đơn hình. Mơ hình tốn học của bài tốn là: Tìm x = (x 11 , x 12 , … , x mn ) sao cho f = c ij x ij min với các điều kiện ràng buộc sau đây x ij = a i ,... hay cột đã phân phối đủ hàng tính lại hiệu số cước phí trên cột hay dịng, tiếp tục q trình cho đến khi phân phối hết hàng. VD31: Tìm phương án cực biên ban đầu 30 60 50 40 45 1 5 7 2 80 5 7 4 9 55 12 2 3 6 Trên dịng hay cột có hiệu số lớn nhất tìm ơ có cước phí bé nhất và phân phối lượng hàng tối đa vào đó. 19 Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ VD34: Giải bài toán vận tải 130 140 120... = 0 v 2 = 0 v 3 = 3 v 4 = 0 Phương án mới 60 0 120 0 x = 70 0 0 100 0 140 0 60 Giá trị mục tiêu f = 12690 14 Bài toán vận tải 3.4 Giải bài toán vận tải Ta g ọi vectơ Tìm phương án cực biên không suy biến ban đầu. Đánh giá phương án hiện có – Thuật tốn quy 0 cước phí ơ chọn + Xây dựng hệ thống thế vị u i và v j trên các dòng i và các cột j sao cho với các ô chọn (i, j) ta...16 Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ VD33: Giải bài toán vận tải 30 60 50 40 45 1 5 7 2 80 5 7 4 9 55 12 2 3 6 Dùng phương pháp min cước ta có phương án cực biên ban đầu 1 30 5 7 2 15 5 7 5 4 50 9 25 12 2 55 3 6 30 0 0 15 x = 0 5 50 25 0 55 0 0 Giá trị mục tiêu f = 630 5 Bài toán vận tải 3.2 Một số khái niệm Ta g ọi vectơ... bảng vận tải m n. 17 Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ Biến đổi ma trận cước phí 1 30 5 7 2 15 u 1 = 1 5 7 5 4 50 9 25 u 2 = 8 12 2 55 3 6 u 3 = 3 v 1 = 0 v 2 = 1 v 3 = 4 v 4 = 1 Xây dựng hệ thống thế vị 0 30 5 10 0 15 3 0 5 0 50 0 25 9 0 55 4 2 + + Phương án đang xét chưa tối ưu vì cịn c 21 = 3 < 0 11 Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ... trong đó a i = b j (điều kiện cân bằng thu phát) Ta trình bày dưới dạng bảng sau còn gọi là bảng vận tải: 6 Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ Dây chuyền Không là dây chuyền Một số chu trình thường gặp 8 Bài tốn vận tải 3.3 Tìm phương án cực biên ban đầu Ta g ọi vectơ Tìm ơ có cước phí bé nhất, phân phối lượng hàng... có phương án cực biên suy biến. Trường hợp phương án cực biên suy biến ta có thể bổ sung thêm một số “ơ chọn 0” để có m + n 1 ơ khơng tạo thành chu trình. Lưu ý: Bài tốn vận t ải cân bằng thu phát ln có phương án tối ưu. 13 Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ 130 140 120 160 180 20 120 18 22 60 25 2 2 4 170 15 10 25 30 15 160 0 10 200 45 30 140 40 60 35 5 10 10 5 25 7 12... 0 140 60 0 Giá trị mục tiêu f = 12870 Lưu ý: Ngồi hai phương pháp nêu trên cịn có phương pháp góc Tây –Bắc tuy nhiên phương pháp này ít hiệu quả, nó chỉ thuận tiện khi lập trình trên máy tính. 21 Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ Biến đổi ma trận cước phí Biến đổi ma trận phương án. Xây dựng hệ thống thế vị Phương án đang xét chưa tối ưu vì cịn c 11 = 3 < 0 -3 0 60 0 120 2 0... phương pháp min cước ta có phương án cực biên ban đầu 0 140 40 0 x = 130 0 0 40 0 0 80 120 Giá trị mục tiêu f = 13350 20 18 140 22 40 25 15 130 25 30 15 40 45 30 40 80 35 120 22 Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ Biến đổi ma trận cước phí Biến đổi ma trận phương án. Xây dựng hệ thống thế vị Phương án mới là phương án tối ưu vì ta có c ij 0 với mọi i, j. 0 60 3 0 120 5... đã phân phối đủ hàng, tiếp tục quá trình cho đến khi phân phối hết hàng. 3.3.1 Phương pháp “min” cước VD29: Tìm phương án cực biên ban đầu 30 60 50 40 45 1 5 7 2 80 5 7 4 9 55 12 2 3 6 7 Bài toán vận tải Ta g ọi vectơ Ma trận cước phí là ma trận (c ij ) với c ij là cước phí vận chuyển một đơn vị hàng từ P i đến T j . Phương án hay ma trận phương án là ma trận (x ij ) với x ij . 3 Bài toán vận tải Bài toán vận tải là bài toán quy hoạch tuyến tính nên ta cũng có thể giải bằng phương pháp đơn hình. Mô hình toán học của bài toán. này ít hiệu quả, nó chỉ thuận tiện khi lập trình trên máy tính. 14 Bài toán vận tải 3.4 Giải bài toán vận tải Ta g ọi vectơ Tìm phương án cực biên
